《正態(tài)分布》示范公開課教學(xué)設(shè)計(jì)【高中數(shù)學(xué)人教A版】

第3課時(shí)《正態(tài)分布》教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)內(nèi)容

正態(tài)分布

（二）教學(xué)目標(biāo)

1.通過實(shí)例了解正態(tài)分布密度曲線及其特點(diǎn)，了解參數(shù)。，〃的含義及其對正態(tài)曲線的影響

2.理解正態(tài)分布的意義，了解正態(tài)分布隨機(jī)變量在（〃-o,”+o],-2CT,H+2O],

（/z-3a,〃+3可上取值的概率及3o原則.

3.通過學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析問題的能力，用圖象和函數(shù)的觀點(diǎn)分析隨機(jī)變量的分布情

況，體會(huì)正態(tài)分布在實(shí)際應(yīng)用中的廣泛性.

4.進(jìn)行偶然性和必然性對立統(tǒng)一觀點(diǎn)的教育，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的興趣.

（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)，正態(tài)分布參數(shù)所表示的意義.

難點(diǎn)：運(yùn)用正態(tài)分布模型解釋隨機(jī)現(xiàn)象、解決實(shí)際問題.

（四）教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.引入新課

問題1：前面我們學(xué)習(xí)了兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布，它們的隨機(jī)變量有什么共同點(diǎn)？

答：它們都是離散型隨機(jī)變量.

追問：生產(chǎn)生活當(dāng)中還有其它類型的隨機(jī)變量嗎？舉例說明

答：生活中還有大量問題中的隨機(jī)變量不是離散型的，它們的取值往往充滿某個(gè)區(qū)間甚至整

個(gè)實(shí)軸，但取一點(diǎn)的概率為0,我們稱這類隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量（continuousrandom

variable）.

比如，某種產(chǎn)品的使用壽命X是一個(gè)隨機(jī)變量，它可以取區(qū)間[0,句或[0,+8）內(nèi)的所有值.

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)回顧兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布，為引出正態(tài)分布做鋪墊.

2.課堂探究

問題2：自動(dòng)流水線包裝的食鹽，每袋標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g.由于各種不可控制的因素，任意抽取

一袋食鹽，它的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間或多或少會(huì)存在一定的誤差（實(shí)際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量），

用X表示這種誤差，貝UX是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，檢測人員在一次產(chǎn)品檢驗(yàn)中，隨機(jī)抽取了

100袋食鹽，獲得誤差X（單位：g）的觀測值如下：

-0.6-1.4一0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9

-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.2

0.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.4

2.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.1

2.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.5

3.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6

-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7

-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.6

2.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9

-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9

追問1：(1)如何描述這100個(gè)樣本誤差數(shù)據(jù)的分布？

答：我們可用頻率分布直方圖描述這組誤差數(shù)據(jù)的分布.

追問2：圖1是上述數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，你能據(jù)圖說出它

代表的含義嗎？

答：頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積表示誤差落在相應(yīng)區(qū)

間內(nèi)的頻率，所有小矩形的面積之和為1.

追問3：這組誤差數(shù)據(jù)的特點(diǎn)嗎？

答：觀察圖形可知，誤差觀測值有正有負(fù)，并大致對稱地分布在X=0的兩側(cè)，而且小誤差比

大誤差出現(xiàn)得更頻繁.

設(shè)計(jì)意圖：通過分析頻率分布直方圖的特點(diǎn)，方便通過類比得出正態(tài)分布的概念及性質(zhì).

問題2：如果所取樣本數(shù)據(jù)量越來越大，讓分組越來越多，頻

率分布直方圖會(huì)有怎樣的變化特點(diǎn)？

答：隨著樣本數(shù)據(jù)量越來越大，讓分組越來越多，組距越來

越小，由頻率的穩(wěn)定性可知頻率分布直方圖的輪廓就越來越

穩(wěn)定，接近一條光滑的鐘形曲線.

追問1：對照頻率分布直方圖，說一說這一光滑的鐘形曲線所

包含的實(shí)際意義是什么？.

答：根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，我們可用圖中的鐘形曲線來描述

袋裝食鹽質(zhì)量誤差的概率分布，曲線與水平軸之間的面積為1.

例如，任意抽取一袋食鹽，誤差落在［-2,-1］內(nèi)的概率，可

用圖中黃色陰影部分的面積表示

追問2：如何構(gòu)建適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂坍嬚`差X的分布？

答：由函數(shù)知識可知，圖中的鐘形曲線是一個(gè)函數(shù)，數(shù)學(xué)家找到了以下刻畫隨機(jī)誤差分布的

解析式：定義：

1(x-4)z

/(無)=——e2<r2,XGR

W27r

其中〃6R,c>0為參數(shù).我們稱f(x)為正態(tài)密度函

數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.若隨

機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為/(x),則稱隨機(jī)變量X服

從正態(tài)分布(normaldistribution),記為X?N(ju,

力).特別地，當(dāng)〃=0,<7=1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服

從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

追問3：由整體密度函數(shù)的表達(dá)式和函數(shù)的理解過

程，其函數(shù)圖象有怎樣的特點(diǎn)？

答：對任意的xeR都有f(x)>0,它的圖象在x軸

的上方，我們也可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.

追問4：結(jié)合頻率分布直方圖和鐘形曲線的實(shí)際意義，上述圖象中區(qū)域A、B的面積有怎樣

的概率含義？

答：若X?N(〃，a2),則區(qū)域A的面積表示X取值不超過x的概率P(XSx),區(qū)域8的面

積表示圖中而P(a<X<b).

追問5：你知道在生產(chǎn)生活中有哪些現(xiàn)象適合正態(tài)分布模型嗎？

答：正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要地位，它廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)踐之

中.在現(xiàn)實(shí)生活中，很多隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布.

例如，某些物理量的測量，誤差，某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等，一定條

件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量，自動(dòng)流水線生產(chǎn)的各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)

(如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容)，某地每年7月的平均氣溫、平均濕度、降

水量等，一般都近似服從正態(tài)分布.

設(shè)計(jì)意圖：類比分析頻率分布直方圖得出正態(tài)分布的概念及實(shí)際意義.

問題3：觀察正態(tài)曲線及相應(yīng)的密度函數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線的哪些特點(diǎn)？

答：(1)對稱性：曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=〃對稱；

(2)集中性：曲線在x=“處達(dá)到峰值號；

(3)非負(fù)性：當(dāng)因無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸.

追問1：一個(gè)正態(tài)分布由參數(shù)。和〃完全確定，如何研究兩個(gè)參數(shù)對正態(tài)曲線的形狀影響

呢？

答：可以讓一個(gè)參數(shù)保持不變，研究另一個(gè)參數(shù)對圖象的影響.

追問2：分析正態(tài)函數(shù)解析式，說一說當(dāng)參數(shù)。取固定值時(shí)，參

數(shù)〃變化時(shí)圖象如何變化？

答:我們知道，函數(shù)y=/(%-4)的圖象可由y=f(x)的圖象

平移得到，因此，在參數(shù)。取固定值時(shí)，正態(tài)曲線的位置由〃確

定，且隨著“的變化而沿X軸平移.

追問3：結(jié)合正態(tài)函數(shù)解析式及其性質(zhì)，說一說當(dāng)參數(shù)4取固定

值時(shí)，參數(shù)。變化時(shí)圖象如何變化？

答：當(dāng)〃取定值時(shí)，因?yàn)榍€的峰值高與。成反比，而且對任意

的。＞0,曲線與x軸圍成的面積總為1.因此，當(dāng)較小時(shí)?，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機(jī)

變量X的分布比較集中：當(dāng)c較大時(shí)，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分

散.

追問4：結(jié)合上述正態(tài)分布的圖象特點(diǎn)，你能得出正態(tài)分布的均值和方差分別和哪些量有關(guān)

嗎？

答：可以發(fā)現(xiàn)，參數(shù)〃反映了正態(tài)分布的集中位置，。反映了隨機(jī)變量的分布相對于均值從

的離散程度，實(shí)際上，我們有

若X?N(ji,a2),則E(X)=〃，D(X)=a2.

設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合正態(tài)密度函數(shù)及曲線研究了正態(tài)分布的性質(zhì).

3.知識應(yīng)用

問題5：例李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車

所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時(shí)30min,樣本方差為36；騎自行車平均

用時(shí)34min,樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)丫都服從正態(tài)分布.

(1)估計(jì)X,丫的分布中的參數(shù)；

(2)根據(jù)(1)中的估計(jì)結(jié)果，利用信息技術(shù)工具畫出

x和y的分布密度曲線；

(3)如果某天有38min可用，李明應(yīng)選擇哪種交通工

具？如果某天只有34min可用，又應(yīng)該選擇哪種交通

工具？請說明理由.

解：(1)隨機(jī)變量X的樣本均值為30,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6；隨機(jī)變量丫的樣本均值為34,樣

本標(biāo)準(zhǔn)差為2.用樣本均值〃估計(jì)參數(shù)，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)參數(shù)〃，可以得到X?N(30,62),

V?N(34,22).

(2)x和丫的分布密度曲線如圖所示

(3)分析：觀察圖象可得，在時(shí)間小于38分鐘時(shí)，藍(lán)色線與X軸圍成面積小于等于紅色

線與x軸圍成面積；在時(shí)間小于等于34分鐘時(shí)，藍(lán)色線與x軸圍成面積大于紅色線與x軸

圍成面積；

應(yīng)選擇在給定時(shí)間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具，由圖可知，P(XS38)<P(YS

38),P(X<34)>P(Y<34).

所以，如果有38min可用，那么騎自行車不遲到的概率大，應(yīng)該選擇騎自行車；如果只有

34min可用，那么坐公交車不遲到的概率大，應(yīng)該選擇坐公交車.

設(shè)計(jì)意圖：通過分析和解決具體的正態(tài)分布實(shí)例，幫助學(xué)生理解正態(tài)分布的概念與性質(zhì).

問題5：在生產(chǎn)生活中常常會(huì)記住一些常用的

對應(yīng)數(shù)值以方便計(jì)算及比較，比如某些數(shù)的

開方近似值、某些對數(shù)的近似值，那么正態(tài)

分布有沒有類似做法呢？

答：假設(shè)X?N(%ct2),可以證明：對給定的

k是一個(gè)只與k6N*,P(〃-kbWXW〃+ka)

是一個(gè)只與k有關(guān)的定值，特別地，PQi—o：X<M~0.6827,P(〃—2a<X<n+

2ct)x0.9545,P(/z-3cr<X<M+3<r)?0.9973.

由此看到，盡管正態(tài)變量的取值范圍是(-8,+8),但