2023年江蘇省南京市天印高考數(shù)學(xué)一模試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

2.對(duì)于函數(shù)“X）,定義滿足〃/）=尤0的實(shí)數(shù)4為“X）的不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)/（x）=log?x,其中a>0且aH1,若

有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則”的取值范圍是（）

A.0<。<1或°=&B.\<a<\[e

C.0<。<1或〃」D.0<?<1

3.如圖，正方體ABC。-44Gq的棱長為1,動(dòng)點(diǎn)E在線段4G上，F(xiàn)、M分別是A。、CO的中點(diǎn)，則下列

結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

5

4

A.FM/M.C,,B.存在點(diǎn)E,使得平面班下//平面CGA。

C.區(qū)W,平面cc/D.三棱錐B-CEE的體積為定值

4.已知函數(shù)f(x)=lnx,若E(x)=/(x)—3區(qū)2有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)攵的取值范圍為()

5.已知￡=(1,2),h-(m,m+3),?若￡//B，則B.c=()

A.-7B.-3C.3D.7

6.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有勾六步，股八步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已

知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自

內(nèi)切圓的概率是()

71冗_(dá)7171

A.—B.—C.-D.一

12369

7.已知集合4={劃%>-1},集合B={x|x(x+2)<0},那么AUB等于()

A.{x|x>-2}B.{x|-l<x<0}C.{x|x>-l}D.{x|-l<x<2}

8.如圖是2017年第一季度五省GO尸情況圖，則下列陳述中不正確的是()

(

)X

舟

羊

我

金

咫

常

叵

時(shí)

HJ

UT

一□總量T-與去年同期相比墻長率

A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.

B.與去年同期相比，2017年第一季度的G。產(chǎn)總量實(shí)現(xiàn)了增長.

C.2017年第一季度G。尸總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個(gè)

D.去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元.

9.復(fù)數(shù)滿足z+|z|=4+8i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

10.對(duì)于正在培育的一顆種子，它可能1天后發(fā)芽，也可能2天后發(fā)芽，….下表是20顆不同種子發(fā)芽前所需培育的

天數(shù)統(tǒng)計(jì)表，則這組種子發(fā)芽所需培育的天數(shù)的中位數(shù)是（）

發(fā)芽所需天數(shù)1234567>8

種子數(shù)43352210

A.2B.3C.3.5D.4

11.已知數(shù)列｛4｝滿足4+44+7%+???+(3〃-2)。〃=4力，則〃2。3+〃3%+…+〃2必22=()

12.若集合A=k|y=V^7},3={H—34xW3},則4口3=（）

A.[-3,2]B.{%|2<x<3}

C.（2,3）D."R-34X<2}

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

22

13.已知雙曲線毛-與=13>0,6>0）的漸近線與準(zhǔn)線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,百），則雙曲線的焦距為.

ab-

14.“sina+cosa=0”是“cos2a=0”的條件.（填寫“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既

不充分也不必要”之一）

22

15.已知橢圓C：，+方=1（。>匕>0）的左，右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,過耳的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),若

ZABF2=90°,且的三邊長忸可，|A閭成等差數(shù)列，則。的離心率為.

16.設(shè)全集U=R,A={x\-3<x<\,xeZ},B={x|x2-X-2>0,XG/?）,則AI。,8=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，四棱錐P—ABCD中，四邊形A8CQ是矩形，AB=BAD=2,為正三角形，且平

面平面A3CO,E、F分別為PC、/歸的中點(diǎn).

（1）證明：所//平面尸AD；

（2）求幾何體ABC0E/的體積.

x-2A/2+2t

18.（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為廠（/為參數(shù)），以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極

y=\/2-t

軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為。=2sinO.

（1）求/的普通方程和G的直角坐標(biāo)方程;

（2）把曲線G向下平移1個(gè)單位，然后各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到曲線。2（縱坐標(biāo)不變），設(shè)點(diǎn)P是曲線上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線/的距離的最小值.

19.（12分）如圖為某大江的一段支流，岸線4與4近似滿足4〃4,寬度為7km.圓。為江中的一個(gè)半徑為2如?的

小島，小鎮(zhèn)A位于岸線4上，且滿足岸線《LOA,OA=3km.現(xiàn)計(jì)劃建造一條自小鎮(zhèn)A經(jīng)小島。至對(duì)岸〃的水上

通道A8C（圖中粗線部分折線段，B在A右側(cè)），為保護(hù)小島，8c段設(shè)計(jì)成與圓。相切.設(shè)

ZABCI2J.

（1）試將通道ABC的長L表示成。的函數(shù)，并指出定義域；

（2）若建造通道的費(fèi)用是每公里100萬元，則建造此通道最少需要多少萬元?

20.（12分）如圖，在四棱錐中，R41.平面A8C。，NABC=NBAD=90。，AD=AP=4,AB=BC=2,M為

PC的中點(diǎn).

p

(1)求異面直線AP,5"所成角的余弦值：

一—4

(2)點(diǎn)N在線段4。上，且AN=2,若直線MN與平面P5C所成角的正弦值為不，求2的值.

21.(12分)某企業(yè)質(zhì)量檢驗(yàn)員為了檢測(cè)生產(chǎn)線上零件的質(zhì)量情況，從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取了80個(gè)零件進(jìn)行測(cè)量，根據(jù)

所測(cè)量的零件尺寸(單位：mm),得到如下的頻率分布直方圖：

4頻率

組距

0.750________________________

0.650______________________________

6225

200

0.

0.100

0.O75

62.062.563.063.564.064.565.0零件尺寸/mm

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這8()個(gè)零件尺寸的中位數(shù)(結(jié)果精確到0.01)；

(2)若從這80個(gè)零件中尺寸位于［62.5,64.5)之外的零件中隨機(jī)抽取4個(gè)，設(shè)X表示尺寸在［64.5,65］上的零件個(gè)數(shù),

求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX；

(3)已知尺寸在［63.0,64.5)上的零件為一等品，否則為二等品，將這80個(gè)零件尺寸的樣本頻率視為概率.現(xiàn)對(duì)生產(chǎn)

線上生產(chǎn)的零件進(jìn)行成箱包裝出售，每箱100個(gè).企業(yè)在交付買家之前需要決策是否對(duì)每箱的所有零件進(jìn)行檢驗(yàn)，已

知每個(gè)零件的檢驗(yàn)費(fèi)用為99元.若檢驗(yàn)，則將檢驗(yàn)出的二等品更換為一等品；若不檢驗(yàn)，如果有二等品進(jìn)入買家手中,

企業(yè)要向買家對(duì)每個(gè)二等品支付500元的賠償費(fèi)用.現(xiàn)對(duì)一箱零件隨機(jī)抽檢了11個(gè)，結(jié)果有1個(gè)二等品，以整箱檢驗(yàn)

費(fèi)用與賠償費(fèi)用之和的期望值作為決策依據(jù)，該企業(yè)是否對(duì)該箱余下的所有零件進(jìn)行檢驗(yàn)？請(qǐng)說明理由.

22.（10分）如圖，三棱柱中，平面ABC,NAC8=90°,AC=CB=2,M,N分別為AB,

1

(2)若平面平面gMN,求直線A8與平面gMN所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，同增異減以及采用排除法，可得結(jié)果.

【詳解】

當(dāng)x>l時(shí)，/(x)=ln(x--),

由y=-」,y=x在遞增，

X

所以/=X-L在(1,+8)遞增

X

又y=hn是增函數(shù),

所以/(x)=ln(x-J)在(1,位)遞增，故排除B、C

當(dāng)時(shí)/(x)=冷％若xe(O,l),則加w(O,乃)

所以Z=COSG在(0,1)遞減，而3；=一是增函數(shù)

所以/(力=產(chǎn)°皿在(0,1)遞減，所以A正確，D錯(cuò)誤

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查具體函數(shù)的大致圖象的判斷，關(guān)鍵在于對(duì)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的理解，記住常用的結(jié)論：增+增=增，增-減=增,

減+減=減，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減，屬中檔題.

2.C

【解析】

Inx1nY

根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義，利用換底公式分離參數(shù)可得Ina=丁；構(gòu)造函數(shù)g(x)=-j，并討論g")的單調(diào)性與最值，

畫出函數(shù)圖象，即可確定"的取值范圍.

【詳解】

由log“x=x得，lna=叱.

X

&、Inx

令g(x)=——'

X

、1-lnx

貝Ug(x)=1T-，

令g'(x)=0,解得x=e,

所以當(dāng)xe(O,e)時(shí)，g'(x)>0,則g(x)在(0,e)內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(e,+oo)時(shí)，g[x)<0,則g(x)在(e,+co)內(nèi)單調(diào)遞減；

所以g(x)在x=e處取得極大值，即最大值為g(e)=止=,，

ee

Inx

則g(x)=—的圖象如下圖所示：

由/(X)有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，可得得lna<0或lna=l,

e

解得OVQVI或〃

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)新定義的應(yīng)用，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與最值，分離參數(shù)法與構(gòu)造函數(shù)方法的應(yīng)用，屬于中檔題.

3.B

【解析】

根據(jù)平行的傳遞性判斷A；根據(jù)面面平行的定義判斷B；根據(jù)線面垂直的判定定理判斷C；由三棱錐B-CE尸以三角

形為底，則高和底面積都為定值，判斷D.

【詳解】

在A中，因?yàn)榉謩e是A。,CD中點(diǎn)，所以FM〃AC〃AG，故A正確；

在B中，由于直線8r與平面CG2。有交點(diǎn)，所以不存在點(diǎn)E，使得平面8EF//平面CGA。，故B錯(cuò)誤；

在C中，由平面幾何得根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出結(jié)合線面垂直的判定定理得出區(qū)平

面CC/,故C正確；

在D中，三棱錐6-CE尸以三角形8CF為底，則高和底面積都為定值，即三棱錐B-CE/的體積為定值，故D正

確；

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了判斷面面平行，線面垂直等，屬于中檔題.

4.C

【解析】

InXInx

令尸(x)=/(x)-3履2=0,可得％=守，要使得/(x)=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即y=k和g(x)=/y有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)

合已知，即可求得答案.

【詳解】

令F(x)-f(x)—3kx2-0>

Inx

可得&=

3?

Inx..

要使得門>)=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即y=Z和g(x)F有兩個(gè)A交點(diǎn)，

，/、l-21nx

令1-21nx=0,

可得x=Ve，

???當(dāng)XE((),C)時(shí)，g'(X)>0,函數(shù)g(x)在(0,五)上單調(diào)遞增;

當(dāng)了￡(五,+8)時(shí)，g'(x)<o,函數(shù)g(x)在(八,+00)上單調(diào)遞減.

???當(dāng)X=五時(shí)，g(X)max=—,

6e

若直線y=左和g(x)=能有兩個(gè)交點(diǎn)，則％e(°，?

實(shí)數(shù)4的取值范圍是(0,*).

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的步驟，考查

了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

5.B

【解析】

由平行求出參數(shù)“，再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算.

【詳解】

由￡//坂，得2加一(，〃+3)=。，貝>"=3,

b-(3,6),c—(1,-1)>所以5.c=3-6=-3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算是解題關(guān)鍵.

6.C

【解析】

利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系求出半徑，再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公

式，即可求解.

【詳解】

由題意，直角三角形的斜邊長為Jr+62=10,

6x8

利用等面積法，可得其內(nèi)切圓的半徑為「=-7)=2,

6+8+10

萬?22_K

所以向次三角形內(nèi)投擲豆子，則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為1/。=7.

—x6x8

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計(jì)算問題，其中解答中熟練應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)，求得其內(nèi)切圓的半徑

是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.

7.A

【解析】

求出集合B,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.

【詳解】

A={x|x>-1},B={x|-2<x<0},

:.A|jB={x|x>—2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

8.C

【解析】

利用圖表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析即可求解.

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是：江蘇、遼寧、山東、河南、浙江，故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)：與去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增長，所以其總量也實(shí)現(xiàn)了增長，故B正確;

對(duì)于C選項(xiàng)：2017年第一季度GDP總量由高到低排位分別是：江蘇、山東、浙江、河南、遼寧，2017年第一季度5

省的GDP增速由高到低排位分別是：江蘇、遼寧、山東、河南、浙江，均居同一位的省有2個(gè)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)：去年同期河南省的GDP總量4067.4X—1—?3815.57<4000,故D正確.

1+6.6%

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圖表分析，學(xué)生的分析能力，推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

設(shè)z=a+砥eR）,則z+目=a+bi+yla2+b2=4+8i,可得＜；［'即可得到，，進(jìn)而找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所

在象限.

【詳解】

設(shè)z=a+力'（a,。eR）,則z+忖=a+bi+\la2+b2=4+8i,

a+J/+〃=4fa=-6

z=-6+8i,

伍=83=8

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（-6,8），在第二象限.

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限,考查復(fù)數(shù)的模，考查運(yùn)算能力.

10.C

【解析】

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，即可容易求得中位數(shù).

【詳解】

3+4

由圖表可知，種子發(fā)芽天數(shù)的中位數(shù)為一=3.5,

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查中位數(shù)的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

11.C

【解析】

利用（3〃-2）4的前〃項(xiàng)和求出數(shù)列｛（3〃-2）4｝的通項(xiàng)公式，可計(jì)算出仆，然后利用裂項(xiàng)法可求出

a2a3+a3a4---卜〃21a22的值.

【詳解】

?「q+4%+7%+???+（3〃-2）?！?4n.

當(dāng)〃=1時(shí)，q=4；

當(dāng)幾之2時(shí)，由q+4a2+7/+???+(3〃-2)cin=4〃,

可得q+4al+7%+,??+(3〃-5)?=4(〃—1),

兩式相減，可得(3附—2)%=4,故q=」一，

3H-2

4

因?yàn)?=4也適合上式，所以為=-----.

3n-2

1616f11

依題意，?！?1%+2=,A\=VQ.1一Q,

(3〃+1)(3〃+4)313〃+13/2+4A

.16fl1111111116(15

故—+%%+…+%危=可匕7+1歷+記-值+…+6-制=5匕

4

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用S“求勺，同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

12.A

【解析】

先確定集合A中的元素，然后由交集定義求解.

【詳解】

:A=J|丁=,2-x}={x|xV2},B={x|-3?x?3},AcB={目-34x〈2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查求集合的交集運(yùn)算，掌握交集定義是解題關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1

【解析】

fy2Q2/-b

由雙曲線二-「=1（〃＞0力＞0）的漸近線x=2=l,6=—以及片+〃=/求得C的值即可得答案.

a~b~ca

【詳解】

22

由于雙曲線4-與=1（。＞0力＞0）的漸近線與準(zhǔn)線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,6）,

ab

2

所以X=《=l,即c=/①，

c

把(1,百)代入y=得百=2,即=②

aa

又/+h2=/③

聯(lián)立①②③，得c=2.

所以2c=4.

故答案是：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的性質(zhì)，注意題目“雙曲線的漸近線與準(zhǔn)線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,百)”這一條件的運(yùn)用，另外注意題目

中要求的焦距即2c,容易只計(jì)算到c,就得到結(jié)論.

14.充分不必要

【解析】

由余弦的二倍角公式可得cos2cr=cos2tz-sin2a=(cosa-sina)(coscz+sina)=0,即sina—cosa=0或

sina+cosa=0,即可判斷命題的關(guān)系.

【詳解】

由cos2a=cos?a-sin2a=(cosa-sina)(cosa+sina)=0,所以sina-cosa=0或sina+cosa=0,所以

“sina+cosa=0"是"cos2a=0”的充分不必要條件.

故答案為:充分不必要

【點(diǎn)睛】

本題考查命題的充分條件與必要條件的判斷，考查余弦的二倍角公式的應(yīng)用.

10?----

2

【解析】

設(shè)忸￡|=x,|AB|=x+d,|A6|=x+2d,根據(jù)勾股定理得出x=3d,而由橢圓的定義得出“8月的周長為4a,

有a=3d,便可求出。和。的關(guān)系，即可求得橢圓的離心率.

【詳解】

解：由已知，招的三邊長怛閭，|A用成等差數(shù)列，

設(shè)忸用=x,|A8|=x+d,|9|=》+2",

而乙436=90°,根據(jù)勾股定理有：f+(x+d)2=(x+2Q)2,

解得：x=3d,

由橢圓定義知：AABF2的周長為4a,有。=34,忸瑪|=。=忸制,

r-1

在直角△BQ耳中，由勾股定理，2a2=4/,BP：二=七,

CT2

:.離心率e=\：=也.

\a22

故答案為：息.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的離心率以及橢圓的定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

16.{0,1}

【解析】

先求出集合A,B,然后根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義求解即可.

【詳解】

解：A={-2,-1,0,1},8={x|xWT或xN2}；

:.金B(yǎng)={x[-1<x<2}；

:.Ac加8={0,1}.

故答案為：{0,1}.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)見解析；(2)-

4

【解析】

(1)由題可知，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)，得出E/3/BC,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出4)//BC,所以EF//AD,再

利用線面平行的判定定理即可證出EF//平面PAD；

(2)由于平面平面ABC。，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，得出P。，平面ABCO,從而得出￡到平面A8C。的距

離為結(jié)合棱錐的體積公式，即可求得結(jié)果.

2

【詳解】

解：(1),:E，/分別為PC,PB的中點(diǎn)，

:.EFHBC,

,??四邊形A3CD是矩形，,AD//BC,E///AD,

；4)u平面PAD,EF0平面。AD,

:.￡73/平面PAD.

(2)取A。，8c的中點(diǎn)。，M，連接PO,OE,OM,ME,則PO_LAD,

由于ABF—為三棱柱，￡—Q0C。為四棱錐，

V平面PAD±平面ABCD，,P0_1_平面ABCD,

由已知可求得P0=百，

二E到平面ABCD的距離為力=,P0=走，

22

因?yàn)樗倪呅蜛BCO是矩形，AB=g，4)=2,

S四邊形AS”。=S四邊形awe。=/X6X2=6,

設(shè)幾何體ABCDEF的體積為V,

貝!J"=七棱柱AM-QME+棱錐E-OMCD，

,V=5S四邊形AEW0§S四邊形OMCQ,力，

即：V=-x>/3x+—xGx-—?

22324

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行的判定、面面垂直的性質(zhì)和棱錐的體積公式，考查邏輯推理和計(jì)算能力.

18.(1)/:x+2y-4&=0,C:x2+(y-l)2=1；(2)

【解析】

(1)在直線/的參數(shù)方程中消去參數(shù)/可得出直線/的普通方程，在曲線G的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以「得

p-=2p^e,進(jìn)而可化簡得出曲線G的直角坐標(biāo)方程；

2

(2)根據(jù)變換得出C?的普通方程為?+y2=i,可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2cosasin。)，利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合

正弦函數(shù)的有界性可得出結(jié)果.

【詳解】

(1)由<廣Q為參數(shù))，得:=-2,化簡得x+2y-4逝=0,

y=>J2-ty-72

故直線/的普通方程為x+2y-40=0.

由°=2sin。，得夕2=2?sin。，又。2=/+/，x=pcosO,y=psin。.

所以G的直角坐標(biāo)方程為犬+(y-1)?=1；

(2)由(1)得曲線q的直角坐標(biāo)方程為無2+(y-iy=l,向下平移1個(gè)單位得到尤2+；/=],

2

縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到曲線C的方程為r工+)/=1,

4

八x=2cos。

所以曲線C的參數(shù)方程為4.八(6為參數(shù)).

y=sin夕

故點(diǎn)P到直線/的距離為'|2cos6+2sine-4碼2及5心+力-4夜，

-------忑-------=--------忑-------

當(dāng)。=工時(shí)，”最小為2叵.

45

【點(diǎn)睛】

本題考查曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化，同時(shí)也考查了利用橢圓的參數(shù)方程解決點(diǎn)到直線的距

離最值的求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

0—3cos0(

19.(1)L(e)=———,定義域是4,彳.(2)6&百萬

sin。V27

【解析】

(1)以A為原點(diǎn)，直線4為X軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=a(a>0),利用直線與圓相切得到

。=_?箸，再代入L=+這一關(guān)系中，即可得答案；

(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可得答案；

【詳解】

以A為原點(diǎn)，直線4為X軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

設(shè)AB=a(a>0),則B(a,O),0(0,3),l2：y=l.

因?yàn)镹ABC=萬一夕0<6<g,

所以直線8C的方程為丁=12114。一。)，

即x?tan。-y—。tan6=0,

|一3一。tan。|

因?yàn)閳A。與8C相切，所以2,

5/1+tan2^

口宣3cose+asin822-3cos。

即--------------二-----從而得。=

cos0cos0sin。

77cos8

在直線3c的方程中，令y=7,得％=。+——=。+——,

tan0sin0

2

所以BC=V1+tan^|xfi-xc\=--——九"」=—^―,

cos?sin。sin。

…79_3cos'

所以L=AB4-BC—-----=---------

sin0sin0

227i

當(dāng)(7=0時(shí)，COS^=—,設(shè)銳角4滿足cos4=§,則為<。<5,

0—3cos(9(7i\

所以L關(guān)于。的函數(shù)是L3)=———，定義域是為，彳.

sin。72)

(2)要使建造此通道費(fèi)用最少，只要通道的長度即L最小.

一/八、3sin2^-(9-3cos^)cos^3-9cos^f__

￡⑹=-----------；----------=----Z——4<8<一

siir。sirr。12J

令z/(e)=o,得cos。=,，設(shè)銳角可，滿足cosq得研%).

3

列表：

e(%可)4

u(e)—0+

L⑹減極小值增

9-3cos^,3，后

所以e=4時(shí)，[L(6)]mm=sin.2/=612,所以建造此通道的最少費(fèi)用至少為60百萬元.

亍

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推

理能力、運(yùn)算求解能力.

20.(1)-.(2)1

3

【解析】

(1)先根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量麗和向量后的坐標(biāo)，再利用線線角的向量方法求解.

(2,由AN=2,設(shè)N(0,九0)(03*),則麗=(-1,2—1,-2),再求得平面P5C的一個(gè)法向量，利用直線MN

4______|MN-m\_I-2-21_4

與平面P8C所成角的正弦值為二，由|cosm「而向=15+(4一1)2本=:求蟀

【詳解】

(1)因?yàn)锽l_L平面ABC。，且A8,AOu平面A3C。，所以R1_LAB,PAA.AD.

又因?yàn)镹A4O=90。，所以Ri,AB,A￡>兩兩互相垂直.

分別以A3,AD,A尸為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則由4O=2A8=28C=4,D4=4可得

4(0,0,0),5(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4).

又因?yàn)镸為PC的中點(diǎn)，所以"(1,1,2).

所以^7=(—1，1，2),A戶=(0，0，4),

APB而

所以cos〈而，BM)

rAP\\BM|

0x(-l)+0xl+4x2_

4x763

所以異面直線AP,所成角的余弦值為直.

(2)因?yàn)锳N=2,所以M0,2,0)(0<2<4),

則加=(一1，%—1，-2),BC=(0,2,0),PB=(2,0,—4).

設(shè)平面PBC的法向量為浣=(x,y,z),

m-BC=012y=0

則《一即4-

m-PB=Q[2x-4z=0

令x=2,解得y=0,z=l>

所以加=(2,0,1)是平面PBC的一個(gè)法向量.

4

因?yàn)橹本€MN與平面PBC所成角的正弦值為y,

5/—■_、\MN-m\1-2—214

所以w〈MN，Q尸兩向=4+(一面6=二

解得2=1G［O,4］,

所以2的值為1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了空間向量法研究空間中線線角，線面角的求法及應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，

屬于中檔題.

21.(1)63.47；(2)分布列見詳解，期望為3；(3)余下所有零件不用檢驗(yàn)，理由見詳解.

7

【解析】

(1)計(jì)算［62.0,63.0),［63.0,63.5)的頻率，并且與0.5進(jìn)行比較，判斷中位數(shù)落在的區(qū)間，