2017年初中自主招生數(shù)學(xué)組卷

絕密★啟用前

2017年初中自主招生數(shù)學(xué)組卷

試卷副標(biāo)題

考試范圍：XXX；考試時間：100分鐘；命題人：XXX

注意事項(xiàng):

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

請點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明

評卷人得分

一.選擇題（共11小題）

1.（2017?江漢區(qū)校級自主招生）若*=近且，則上空工田一的值等于（）

A9n2_

（XZ-X）+2+V3

A.B.亨C.如D.

2.（2017?諸暨市校級自主招生）已知aVO,ab<0,化簡|a-b-11-12+b-a|

的結(jié)果是（）

A.1B.3C.-1D.-3

3.（2017?奉化市自主招生）實(shí)數(shù)a,b,c滿足2a=5,2b=10,2c=80,則代數(shù)式

2006a-3344b+1338c的值為（）

A.2007B.2008C.2009D.2010

4.（2017?江漢區(qū)校級自主招生）已知關(guān)于x的方程也有正根，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是（）

A.aVO且aW-3B.a>0C.a<-3D.aV3且a#-3

5.（2017?雨城區(qū)校級自主招生）方程x?-|2x-l|-4=0,求滿足該方程的所有

根之和為（）

A.0B.2C.2+V6D.2-加

6.（2017?江陰市自主招生）已知三個關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,

222

bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰有一個公共實(shí)數(shù)根，則-5——的值為（）

becaab

A.0B.1C.2D.3

7.（2017?余姚市校級自主招生）已知：關(guān)于x方程上+受1_=包月有且僅有一

2

x+1xx+x

個實(shí)數(shù)根，則k的值為（）

A.2B.1c.區(qū)5或1D.塌5或-2

2222

8.（2017?海曙區(qū)校級自主招生）有鉛筆、練習(xí)本、圓珠筆三種學(xué)習(xí)用品.若購

鉛筆3支，練習(xí)本7本，圓珠筆1支共需3.15元；若購鉛筆4支，練習(xí)本10本,

圓珠筆1支共需4.2元.現(xiàn)購鉛筆，練習(xí)本，圓珠筆各1個，共需（）

A.1.2元B.1.05元C.0.95元D.0.9元

9.（2017?江陰市自主招生）已知點(diǎn)P（l-2m,m-1）,則不論m取什么值，

該P(yáng)點(diǎn)必不在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

10.（2017?成都自主招生）已知二次函數(shù)y=ax?+bx+c（aW0）的圖象如圖所示，

有下列5個結(jié)論：

①abc>0；②b-a>c；③4a+2b+c>0；④2cV3b；⑤a+b>m（am+b）（m/l的

實(shí)數(shù)）；

11.(2017?雨城區(qū)校級自主招生)若xi，x2(x]<X2)是方程(x-a)(x-b)=

-1(a<b)的兩根，則實(shí)數(shù)xi，X2，a,b的大小關(guān)系是()

A.a<Xi<X2<bB.Xi<a<X2<bC.xi<a<b<x2D.xi〈x2Va〈b

第n卷(非選擇題)

請點(diǎn)擊修改第H卷的文字說明

評卷人得分

二.填空題(共18小題)

12.(2017?徐匯區(qū)校級自主招生)二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)

M、N,頂點(diǎn)為R,若^IVINR恰好是等邊三角形，則b?-4ac=.

2

13.(2017?諸暨市校級自主招生)如果記f(x)=_J,并且f(1)表示當(dāng)x=l

1+x2

121

時y的值，即f(1)=-^—=L,那么f(2014)+f(2013)+..+f(2)+f(1)+f

l+l22

(1)+f(1)+...+f(1)=

232014

14.(2017?楊浦區(qū)校級自主招生)拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與

y軸交于點(diǎn)C.若AABC是直角三角形，則ac=.

15.(2017?蕭山區(qū)校級自主招生)若D是等邊三角形ABC的內(nèi)心，點(diǎn)E,F分別

在AC、BC上，且滿足CD=C，NDEF=60。，記aDEF的周長為C,則C的取值范

圍是.

16.(2017?江漢區(qū)校級自主招生)如圖所示，在梯形ABCD中，AD〃BC(BO

AD),ZD=90°,BC=CD=12,NABE=45°,若AE=10,則CE的長為.

17.(2017?成都自主招生)如圖所示aABC中，AB=AC,ZBAC=90°,直角NEPF

的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F,給出以下四個結(jié)論:

為等腰直角三角形；四邊形二

①AE=CF；②4EPF③SAEPF|sAABC；④EF=AP；

當(dāng)NEPF在AABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合)，上述結(jié)論始終正

確的有（填序號）.

18.（2017?徐匯區(qū)校級自主招生）設(shè)X、丫、2為整數(shù)且滿足辰-丫［2?！?+|丫-產(chǎn)13=1,

則代數(shù)式|x-y「+|y-z戶+|z-x|3的值為______.

19.（2017?徐匯區(qū)校級自主招生）一個老人有n匹馬，他把馬全部分給兩個兒子，

大兒子得x匹，小兒子得y匹，（x>yNl）,并且滿足x是n+1的約數(shù)，y也是

n+1的約數(shù)，則正整數(shù)n共有種可能的取值？

20.（2016?安徽自主招生）十進(jìn)制的自然數(shù)可以寫成2的方累的降累的多項(xiàng)式，

如:）432X即十進(jìn)制的數(shù)

19,io=16+2+1=1X2+0X2+0X2+1X2+1X20=10011<2）,19

對應(yīng)二進(jìn)制的數(shù)10011.按照上述規(guī)則，十進(jìn)制的數(shù)413對應(yīng)二進(jìn)制的數(shù)

是.

21.（2016?黃岡校級自主招生）設(shè)整數(shù)a使得關(guān)于x的一元二次方程5x2-5ax+26a

-143=0的兩個根都是整數(shù)，則a的值是.

22.（2016?黃岡校級自主招生）在一次球類比賽中有8個隊(duì)參賽，每兩隊(duì)要進(jìn)行

一場比賽，勝一場得2分，平一場得1分，負(fù)一場得0分.一個隊(duì)要確保進(jìn)入前

四名（即積分至少要超過其他四個隊(duì)），則他的積分最少是.

23.（2016?黃岡校級自主招生）在2006的中間嵌入一個數(shù)字得到五位數(shù)20口

06,若此五位數(shù)能被7整除，則嵌入的數(shù)字口為.

24.（2015?永春縣自主招生）如圖，四邊形的兩條對角線AC、BD所成的角為a,

AC+BD=10,當(dāng)AC、BD的長等于時，則四邊形ABCD的面積最大是.

25.（2017?諸暨市校級自主招生）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x2+4x

與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,其頂點(diǎn)為M,點(diǎn)P是該拋物線上位于A、M兩點(diǎn)之間

的部分上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PB±x軸于點(diǎn)B,PC±y軸于點(diǎn)C,且交拋物線于點(diǎn)D,

連接BC,AD,0P,當(dāng)四邊形ABCD被0P分成的兩部分面積比為1：2時，點(diǎn)P

26.（2017?慈溪市校級自主招生）在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是整

數(shù)的點(diǎn)（x,y）稱為整點(diǎn)，如果將二次函數(shù)尸-x2+8x號的圖象與x軸所圍成的

封閉圖形染成紅色，則此紅色區(qū)域內(nèi)部及其邊界上的整點(diǎn)個數(shù)有.個?

27.（2017?黃州區(qū)校級自主招生）兩個反比例函數(shù)y=3,y=9在第一象限內(nèi)的圖

XX

象如圖所示.點(diǎn)Pl，P2,P3、…、P2007在反比例函數(shù)丫=9上，它們的橫坐標(biāo)分別

X

為Xi、X2、X3........X2007,縱坐標(biāo)分別是1,3,5…共2007個連續(xù)奇數(shù),過P1，

P2，p3........P2007分別作y軸的平行線，與y=3的圖象交點(diǎn)依次為Qi（X1',yi'）、

X

IP2007Q20071=.

X

28.（2016?綿陽校級自主招生）如圖，二次函數(shù)y=ax2+mc（aWO）的圖象經(jīng)過

正方形ABOC的三個頂點(diǎn)，且ac=-2,則m的值為.

29.（2016?安徽自主招生）如圖，直線y=Lx與雙曲線y=K（k>0,x>0）交于

2x

點(diǎn)A,將直線y=L向上平移3個單位長度后，與y軸交于點(diǎn)C,與雙曲線y=K（k

2x

>0,x>0）交于點(diǎn)B,若0A=3BC,則k的值為.

評卷人得分

三.解答題（共11小題）

30.（2017?諸暨市校級自主招生）如圖，ZXABC是。。的內(nèi)接三角形，AC=BC,

D為而出一點(diǎn)，延長DA至點(diǎn)E,使CE=CD.

(1)求證：AE=BD；

(2)若AC_LBC,求證：AD+BD=V2CD.

31.（2017?雨城區(qū)校級自主招生）如圖，AABC內(nèi)接于。0,AB是。。的直徑,

D是圓上異于A、B的一點(diǎn)，C是劣弧AD中點(diǎn)，弦CE，AB于點(diǎn)H,連結(jié)AD,分

別交CE、BC于點(diǎn)P、Q,連結(jié)BD.

（1）求證：P是線段AQ的中點(diǎn)；

（2）若的半徑為5,AQ=11,求弦CE的長.

2

32.（2017?江漢區(qū)校級自主招生）拋物線y=ax2+bx+c（a>0）經(jīng)過點(diǎn)A（-3b，0）、

B（E，0）,它與y軸相交于點(diǎn)C,且NACB290。，設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為D,ABCD

的邊CD上的高為h.

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）求高h(yuǎn)的取值范圍；

（3）當(dāng)（1）的實(shí)數(shù)a取得最大值時，求此時4BCD外接圓的半徑.

33.（2017?鏡湖區(qū)校級自主招生）如圖1,在直角坐標(biāo)系中放入一個邊長AB長

為6,BC長為10的矩形紙片ABCD,B點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)0重合.將紙片沿著折痕

AE翻折后，點(diǎn)D恰好落在x軸上，記為F.

（1）求折痕AE所在直線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求過D,F的直線解析式；

（3）將矩形ABCD水平向右移動m個單位，則點(diǎn)B坐標(biāo)為（m,0）,其中m>0.如

圖2所示，連接。A,若AOAF是等腰三角形，求m的值.

34.（2017?江陰市自主招生）如圖，在4ABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,P是

AC上一點(diǎn)，過P作PD±AB于點(diǎn)D,將aAPD繞PD的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。得到aEPD.（設(shè)

AP=x)

（1）若點(diǎn)E落在邊BC上，求AP的長;

35.（2017?信豐縣自主招生）先閱讀下面某校八年級師生的對話內(nèi)容，再解答問

題.（溫馨提示：一周只上五天課，另外考試時每半天考一科）

小明："聽說下周會進(jìn)行連續(xù)兩天的期中考試.”

劉老師："是的，要考語文、數(shù)學(xué)、英語、物理共四科，但具體星期幾不清楚."

小宇："我估計是星期四、星期五.”

（1）求小宇猜對的概率；

（2）若考試已定在星期四、星期五進(jìn)行，但各科考試順序沒定，請用恰當(dāng)?shù)姆?/p>

法求同一天考語文、數(shù)學(xué)的概率.

36.（2017?蕭山區(qū)校級自主招生）一次測試九年級若干名學(xué)生1分鐘跳繩次數(shù)的

頻數(shù)分布直方圖如圖.請根據(jù)這個直方圖回答下面的問題：

（1）在頻數(shù)分布直方圖上畫出頻數(shù)分布折線圖，并求自左至右最后一組的頻率;

（2）若圖中自左至右各組的跳繩平均次數(shù)分別為137次，146次，156次，164

次，177次.小麗按以下方法計算參加測試學(xué)生跳繩次數(shù)的平均數(shù)是：

（137+146+156+164+177）4-5=156.請你判斷小麗的算式是否正確,若不正確，

寫出正確的算式（只列式不計算）；

（3）如果測試所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)是160次，那么測試次數(shù)為160次的學(xué)生至少

有多少人？

九年級若干名學(xué)生1分鐘跳繩次數(shù)

頻數(shù)分布直方圖

0135145155165175跳繩次數(shù)（次）

37.(2017?奉化市自主招生)如圖，設(shè)^ABC的面積為1,點(diǎn)D,E,F分別在AB,

BC,CA上，AD=LAB,BE=LBC,CF=LCA,且滿足m+n+p=9,

mnp

222333

m+n+p=29.m+n+p=99,求aDEF的面積.

38.（2016?溫州自主招生）試求出所有滿足下列條件的正整數(shù)a,b,c,d,其

中l(wèi)VaVbVcVd,且abed-1是(a-1)?(b-1)?(c-1)?(d-1)的整

數(shù)倍.

39.（2016?黃岡校級自主招生）120人參加數(shù)學(xué)競賽，試題共有5道大題，已知

第1、2、3、4、5題分別有96、83、74、66、35人做對，如果至少做對3題便

可獲獎，問：這次競賽至少有幾人獲獎？

40.（2016?黃岡校級自主招生）k、a、b為正整數(shù)，k被a?、b?整除所得的商分

別為m,m+116.

（1）若a,b互質(zhì)，證明a2-b?與a?、b?都互質(zhì)；

（2）當(dāng)a,b互質(zhì)時，求k的值.

（3）若a,b的最大公約數(shù)為5,求k的值.

2018年04月27日初中自主招生數(shù)學(xué)組卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共11小題）

1.（2017?江漢區(qū)校級自主招生）若x：：近且，則上空工田一的值等于（）

A992-

（XZ-X）+2+V3

A.當(dāng)應(yīng)B.返C.如D.7^或叵

333

【考點(diǎn)】7A：二次根式的化簡求值.

【分析】本題需先根據(jù)題意求出x2-x的值，再把求得的結(jié)果代入要求的式子，

即可求出答案.

【解答】解：xJ+l，

X2

/.X2-X

=x（x-1）,

=遍+］、遙T,

22

=1,

.X2-X+1+2V3

,,2'

（x2-x）+2+V3

J+l+2收

1+2+V3'

=2如

3

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了二次根式的化簡求值，在解題時要能夠?qū)σ蟮氖阶舆M(jìn)

行靈活化簡，然后代入要求的式子是本題的關(guān)鍵.

2.（2017?諸暨市校級自主招生）已知a<0,abVO,化簡|a-b-1|-|2+b-a|

的結(jié)果是（）

A.1B.3C.-ID.-3

【考點(diǎn)】15：絕對值.

【專題】1:常規(guī)題型.

【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)即可求出答案.

【解答】解：由于aVO,abVO,

.,.b>0,

Aa-b-1<O,

2+b-a>0,

.,.原式=-(a-b-1)-(2+b-a)

=-a+b+1-2-b+a

=-1

故選：c.

【點(diǎn)評】本題考查絕對值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用絕對值的性質(zhì)，本題屬

于基礎(chǔ)題型.

3.(2017?奉化市自主招生)實(shí)數(shù)a,b,c滿足2a=5,2b=10,2c=80,則代數(shù)式

2006a-3344b+1338c的值為()

A.2007B.2008C.2009D.2010

【考點(diǎn)】47：幕的乘方與積的乘方.

【分析】直接利用同底數(shù)塞的除法運(yùn)算法則進(jìn)而將原式變形得出答案.

【解答】解：?.吁+2a=2,

/.b-a=l,則a=b-1,

V2c4-2b=8,

c-b=3,則c=b+3,

A2006a-3344b+1338c

=2006(b-1)-3344b+1338(b+3)

=2008.

故選：B.

【點(diǎn)評】此題主要考查了同底數(shù)基的除法運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

4.（2017?江漢區(qū)校級自主招生）已知關(guān)于x的方程曲=T有正根，則實(shí)數(shù)a的

x-3

取值范圍是（）

A.aVO且a#-3B.a>0C.a<-3D.a<3且aW-3

【考點(diǎn)】B2：分式方程的解.

【專題】11：計算題.

【分析】首先解方程求得方程的解，根據(jù)方程的解是正數(shù)，即可得到一個關(guān)于a

的不等式，從而求得a的范圍.

【解答】解:去分母得：x+a=-x+3

即2x=3-a

解得x=/

2

根據(jù)題意得：—>0

2

解得:a<3

Vx-37^0,.e.x^3,

即芝MW3,

2

解得aW-3,a<3且aW-3.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了分式方程的解的符號的確定，正確求解分式方程是解題

的關(guān)鍵.

5.（2017?雨城區(qū)校級自主招生）方程X?-|2x-l|-4=0,求滿足該方程的所有

根之和為（）

A.0B.2C.2+76D.2-&

【考點(diǎn)】AB：根與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】因?yàn)轭}目中帶有絕對值符號，所以必須分兩種情況進(jìn)行討論，去掉絕對

值符號，得到兩個一元二次方程，求出方程的根，不在討論范圍內(nèi)的根要舍去.

【解答】解：①當(dāng)2X-120時，即原方程化為：x2-2x-3=0,（x-3）

2

（x+1）=0,

Xl=3,X2=-1,

：-1<1,

2

.**x2=-1(舍去)

.*.x=3；

②當(dāng)2x-lV0,即x〈J_時，原方程化為：x?+2x-5=0,(x+1)2=6,

2

x+l=±粕，XF-1+遍，x2=-1-Vs

-.*.xi=-1+-76(舍去)

/.X=-1-A/5.

貝U3+(-1-5/3)=2-5/5.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是解一元二次方程，由于帶有絕對值符號，必須對題目進(jìn)行

討論，對不在討論范圍內(nèi)的根要舍去.

6.(2017?江陰市自主招生)已知三個關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,

222

bx2+cx+a=0,cx?+ax+b=0恰有一個公共實(shí)數(shù)根，則且~+卜_的值為()

becaab

A.0B.1C.2D.3

【考點(diǎn)】A3：一元二次方程的解；6D：分式的化簡求值.

【專題】34：方程思想.

【分析】設(shè)三個方程的公共根為X。，代入三個方程得到a,b,c的關(guān)系，然后代

入代數(shù)式求出代數(shù)式的值.

【解答】解：X。是它們的一個公共實(shí)數(shù)根，

222

貝ijaxo+bxo+c=O,bxo+cxo+a=O,cxo+axo+b=O.

把上面三個式子相加，并整理得

(a+b+c)(Xn2+xo+l)=0.

13

為

因22-

+計-^

XoX-Xo24

所以a+b+c=O.

干是a?b2c2a3+b3+c3a3+b3-(a+b)3--3ab(a+b).

becaababcabcabc

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是一元二次方程的公共解，一般是設(shè)公共解，代入方程，確

定a,b,c的值，然后求出代數(shù)式的值.

7.（2017?余姚市校級自主招生）已知：關(guān)于x方程UJ+至L生墳有且僅有一

2

x+1xx+x

個實(shí)數(shù)根，則k的值為（）

A.LB.1C.蝮5或1D.1^5或-2

2222

【考點(diǎn)】B2：分式方程的解.

【專題】11：計算題；522：分式方程及應(yīng)用.

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有且僅有一個實(shí)數(shù)根，分

情況討論，即可確定出k的值即可.

【解答】解:分式方程去分母得：x2+x2+2x+l=4x+k,

即2x2-2x+l-k=0,

由分式方程有且僅有一個實(shí)數(shù)根，可得整式方程中4=4-8（1-k）=0,

解得:kJ；

2

若整式方程中△AO,則

當(dāng)增根為x=0時，代入整式方程可得：1-k=0,

即k=l,

此時，方程2x2-2x=0的解為X1=1,X2=o（不合題意）；

當(dāng)增根為x=-i時，代入整式方程可得：5-k=0,

即k=5,

此時，方程2x2-2x-4=0的解為4=2,X2=-l（不合題意）;

綜上所述，k的值為上或5或1,

2

故選：C.

【點(diǎn)評】此題考查了分式方程的解，解題時注意：在解方程的過程中因?yàn)樵诎逊?/p>

式方程化為整式方程的過程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根

是令分母等于0的值，不是原分式方程的解.

8.（2017?海曙區(qū)校級自主招生）有鉛筆、練習(xí)本、圓珠筆三種學(xué)習(xí)用品.若購

鉛筆3支，練習(xí)本7本，圓珠筆1支共需3.15元；若購鉛筆4支，練習(xí)本10本,

圓珠筆1支共需4.2元.現(xiàn)購鉛筆，練習(xí)本，圓珠筆各1個，共需（）

A.1.2元B.1.057GC.0.95元D.0.9元

【考點(diǎn)】9D：三元一次方程組的應(yīng)用.

【專題】12：應(yīng)用題.

【分析】設(shè)一支鉛筆、一本練習(xí)本和一支圓珠筆的單價分別為x、y和z元，根

據(jù)"購鉛筆3支，練習(xí)本7本，圓珠筆1支共需3.15元；購鉛筆4支，練習(xí)本10

本，圓珠筆1支共需4.2元"建立三元一次方程組，然后將兩個方程聯(lián)立，即可

求得x+y+z的值.

【解答】解：設(shè)一支鉛筆、一本練習(xí)本和一支圓珠筆的單價分別為x、y和z元,

根據(jù)題意得:儼+7什3.15①，

l4x+10y+z=4.2②

③x-②y可得：x+y+z=1.05.

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查三元次方程組的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)兩個等量關(guān)系列出

方程組；而利用整體思想，把所給兩個等式整理為只含x+y+z的等式是解決本題

的難點(diǎn).

9.（2017?江陰市自主招生）已知點(diǎn)P（l-2m,m-1）,則不論m取什么值，

該P(yáng)點(diǎn)必不在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【考點(diǎn)】D1：點(diǎn)的坐標(biāo).

【分析】分橫坐標(biāo)是正數(shù)和負(fù)數(shù)兩種情況求出m的值，再求出縱坐標(biāo)的正負(fù)情

況，然后根據(jù)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征解答.

【解答】解:①l-2m>0時,m<l,

2

m-KO,

所以，點(diǎn)P在第四象限，一定不在第一象限；

②l-2m<0時，m>—,

2

m-1既可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，

點(diǎn)P可以在第二、三象限，

綜上所述，P點(diǎn)必不在第一象限.

故選:A.

【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，分情況討論判斷出縱坐標(biāo)的正負(fù)情況是解題的關(guān)

鍵.

10.（2017?成都自主招生）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aWO）的圖象如圖所示，

有下列5個結(jié)論：

①abc>0；②b-a>c；③4a+2b+c>0；④2c〈3b；⑤a+b>m（am+b）（m/l的

實(shí)數(shù)）；

其中正確的結(jié)論有（）

>,4x=l

A.5個B.4個C.3個D.2個

【考點(diǎn)】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)得出c

的值，然后根據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)的個數(shù)及x=l時二次函數(shù)的值的情況進(jìn)行推理,

進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷.

【解答】解：由二次函數(shù)的圖象開口向下可得a<0,由拋物線與y軸交于x軸

上方可得c>0,由拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判

別式b2-4ac>0,

把x=l代入y=ax2+bx+c,得：y=a+b+c,由函數(shù)圖象可以看出x=l時二次函數(shù)的值

為正，?.?對稱軸為x=l,a,b異號，.?.b>0,

/.abc<0；故①abc>0,此選項(xiàng)錯誤；

②,當(dāng)x=-1時,ax2+bx+c<0,

.,.a-b+cVO,

/.-(a-b+c)>0,

Ab-a>c；故此選項(xiàng)正確;

③當(dāng)x=2時,ax2+bx+c>0,

:.4a+2b+c>0；

(4)2c<3b；當(dāng)x=3時函數(shù)值小于0,y=9a+3b+c<0,且

2a

即2=一互，代入得9(-旦)+3b+c<0,得2cV3b,正確；

22

⑤當(dāng)x=l時,y的值最大.此時，y=a+b+c,

而當(dāng)x=m時，y=am2+bm+c,

所以a+b+c>am2+bm+c,

故a+b>arr|2+bm,即a+b>m(am+b),正確.

②③④⑤正確.

故選：B.

【點(diǎn)評】此題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)與方程之間的

轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用.會利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：

y=a+b+c,y=a-b+c,然后根據(jù)圖象判斷其值.

11.(2017?雨城區(qū)校級自主招生)若xi，x2(x】Vx2)是方程(x-a)(x-b)=

-1(a<b)的兩根，則實(shí)數(shù)xi，X2，a,b的大小關(guān)系是()

A.a<xi<x2<bB.Xi<a<X2<bC.xi<a<b<x2D.Xi<x2<a<b

【考點(diǎn)】HA：拋物線與x軸的交點(diǎn).

【專題】2:創(chuàng)新題型.

【分析】因?yàn)閤i和X2為方程的兩根，所以滿足方程(x-a)(x-b)=-1,再由

已知條件Xi〈X2、aVb結(jié)合圖象，可得到xi，X2，a,b的大小關(guān)系.

【解答】解：用作圖法比較簡單，首先作出(x-a)(x-b)=0圖象，隨便畫一

個(開口向上的，與x軸有兩個交點(diǎn))，

再向上平移一個單位，就是(x-a)(x-b)=-1,這時與x軸的交點(diǎn)就是Xi，

X2,畫在同一坐標(biāo)系下，很容易發(fā)現(xiàn)：

實(shí)數(shù)xi、X2、a、b的大小關(guān)系是：a<X1<x2<b.

故選:A.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程根的情況，結(jié)合圖象得出答案是解決問題的關(guān)

鍵.

二.填空題（共18小題）

12.（2017?徐匯區(qū)校級自主招生）二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)

M、N,頂點(diǎn)為R,若△MNR恰好是等邊三角形，則b?-4ac=12.

【考點(diǎn)】HA：拋物線與x軸的交點(diǎn)；KK；等邊三角形的性質(zhì).

【分析】當(dāng)aiVINR為等邊三角形時，解直角△MER,得RE=JjME=H§MN,據(jù)此

列出方程，解方程即可求出b?-4ac的值.

【解答】解：如圖，過R作RE_LMN于E.則MN=2ME.

當(dāng)△MNR等邊三角形時，RE=J^ME=Yi_MN,

2

b'-4ac=V5xVb2-4ac,

4a2a

Vb2-4ac>0,

Ab2-4ac=12.

【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，拋物線與X軸的交點(diǎn)及根與系數(shù)的關(guān)系

定理，綜合性較強(qiáng)，難度中等.

2

13.(2017?諸暨市校級自主招生)如果記f(x)=，一，并且f(1)表示當(dāng)x=l

1+x2

時的值，即那么

yf(1)=-^—=L,f(2014)+f(2013)+..+f(2)+f(1)+f

l+l22

(L)+f(L)+...+f(_J_)=2013^.

2320142__

【考點(diǎn)】E5：函數(shù)值；37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類.

【專題】2A：規(guī)律型.

【分析】根據(jù)f的變化規(guī)律求出f(!)從而得到f(x)+f(L)=1,然

x1+x2x

后求解即可.

【解答】解:Vf(x)

??I\—Z-V-1'，

X1+(-)21+x2

X

Af(x)+f(1)=1,

X

：.f(2014)+f(2013)+...+f(2)+f(1)+f(L)+f(L)+..+f(二—)，

232014

=2014-f(1),

=2014-L

2

=2013^.

2

故答案為：20131.

2

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)值，數(shù)字變化規(guī)律，讀懂題目信息，理解變化規(guī)律f的

方法并確定出f(x)+f(1)=1是解題的關(guān)鍵.

X

14.(2017?楊浦區(qū)校級自主招生)拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與

y軸交于點(diǎn)C.若^ABC是直角三角形，則ac=-1.

【考點(diǎn)】HA：拋物線與x軸的交點(diǎn).

【專題】11：計算題；2B：探究型.

【分析】根據(jù)x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可設(shè)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（xi，0）,（X2,0）,

根據(jù)AABC是直角三角形可知xi、X2必異號，再由拋物線與y軸的交點(diǎn)可求出C

點(diǎn)的坐標(biāo)，由射影定理即可求出ac的值.

【解答】解：設(shè)A（xi，0）,B（X2,0）,由aABC是直角三角形可知4、X2必異

號，

則Xi*X2=—<0,

a

由于函數(shù)圖象與y軸相交于C點(diǎn)，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（0,c）,

由射影定理知,|OC|2=|AO|?|BO|,即C2=|X/?|X2|=|￡|,

a

故|ac|=l,ac=±l,

由于￡>V0,所以ac=-1.

a

故答案為：-L

【點(diǎn)評】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，根據(jù)射影定理得到

IOC12=IAO|?|BO|是解答此題的關(guān)鍵.

15.（2017?蕭山區(qū)校級自主招生）若D是等邊三角形ABC的內(nèi)心，點(diǎn)E,F分別

在AC、BC上，且滿足CD=?,NDEF=60。，記4DEF的周長為C,則C的取值范

圍是3WCW3+J5.

【考點(diǎn)】Ml：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.

【專題】121：幾何圖形問題.

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知：當(dāng)DE或DF與等邊三角形ABC的一邊垂

直（E或F與點(diǎn)C重合）時，4DEF的周長C最大；DE或DF與等邊三角形ABC

的比邊不垂直且ADEF為等邊三角形時，4DEF的周長C最小，進(jìn)而可求出C的

取值范圍.

【解答】解：當(dāng)DE或DF與等邊三角形ABC的一邊垂直（E或F與點(diǎn)C重合）時，

△DEF的周長C最大，C=3+V3；當(dāng)DE或DF與等邊三角形ABC的比邊不垂直且

△DEF為等邊三角形時，4DEF的周長C最小，此時C=3.

所以C的取值范圍是：3WcW3+?,

故答案為：3WcW3+遙.

【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外接圓以及三角形內(nèi)心的定義,

記住三角形有關(guān)的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

16.(2017?江漢區(qū)校級自主招生)如圖所示，在梯形ABCD中，AD〃BC(BO

AD),ZD=90°,BC=CD=12,NABE=45°,若AE=10,則CE的長為4或6.

【考點(diǎn)】KQ：勾股定理；KD：全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】11：計算題；16：壓軸題.

【分析】過B作DA的垂線交DA的延長線于M,M為垂足，延長DM到G,使

MG=CE,連接BG.求證△BEC^^BMG,AABE^AABG,設(shè)CE=X,在直角^ADE

中，根據(jù)AE2=AD2+DE2求x的值，可以求CE的長度.

【解答】解：過B作DA的垂線交DA的延長線于M,M為垂足，

延長DM到G,使MG=CE,連接BG,

易知四邊形BCDM是正方形，

所以BC=BM,ZC=ZBMG=90°,EC=GM,

/.△BEC^ABMG(SAS),

.,.ZMBG=ZCBE,

VZABE=45°,

，NCBE+NABM=45°,

AZGBM+ZABM=45°,

，ZABE=ZABG=45°,

/.△ABE^AABG,AG=AE=10,

設(shè)CE=x,則AM=10-x,

AD=12-(10-x)=2+x,DE=12-x,

在MADE中,AE2=AD2+DE2,

A100=(x+2)2+(12-x)2,

即x2-10x+24=0；

解得：Xi=4,X2=6.

故CE的長為4或6.

【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，考查了全等三角形的判定和

對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求△ABE^^ABG即AG=AE=10是解題的關(guān)鍵.

17.（2017?成都自主招生）如圖所示^ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,直角NEPF

的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F,給出以下四個結(jié)論:

①AE=CF；②4EPF為等腰直角三角形；③S四邊形AEPF二9△甌；④EF=AP；

當(dāng)NEPF在aABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），上述結(jié)論始終正

確的有①②③（填序號）.

【考點(diǎn)】KW：等腰直角三角形；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；R2：旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì).

【分析】利用旋轉(zhuǎn)的思想觀察全等三角形，尋找條件證明三角形全等.根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)對題中的結(jié)論逐一判斷.

【解答】解：??,NAPE、NCPF都是NAPF的余角，

；.NAPE=NCPF,

VAB=AC,ZBAC=90°,P是BC中點(diǎn)，

，AP=CP,

/.ZPAE=ZPCF,

在AAPE與ACPF中，

，ZPAE=ZPCF

<AP=CP，

kZEPA=ZFPC

/.△APE^ACPF(ASA),

同理可證△APFgABPE,

，AE=CF,Z\EPF是等腰直角三角形，S四邊形AEPF=LS/、ABC，①②③正確；

2

而AP=J_BC,EF因不是中位線，則不等于BC的一半，故④不成立.

2

故始終正確的是①②③.

故答案為：①②③.

【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，綜合利用了全等三角

形的判定.

18.(2017?徐匯區(qū)校級自主招生)設(shè)X、丫、2為整數(shù)且滿足辰-丫［2?！?+|丫-產(chǎn)13=1,

則代數(shù)式|x-y|3+|y-z|3+|z-x|3的值為2.

【考點(diǎn)】%B：絕對值.

【分析】根據(jù)x、y、z為整數(shù)，貝Ux-y和y-z都是整數(shù)而|x-y|和y-z|都20,

故Ix-y/oii和|y-z|2ou都是非負(fù)的整數(shù)，只能是|x-y|=i,|y-z|=0或者|x-

y1=0,|y-z=1,進(jìn)而得出即可.

【解答】解：???x、v、z為整數(shù)，

...x-y和y-z都是整數(shù)

???卜-丫|和丫一|都20,

???Ix-y產(chǎn)】和|丫一z12?！倍际欠秦?fù)的整數(shù),

,只能是Ix-y|=1,y-z|=0或者|x-yI=0,|y-z|=1,

當(dāng)|x-y|=1,|y-z|=0,

??y=z,

.*.z-x=y-x,

Ix-y+y-z|+|z-x|=2,

IX-y3+1y-z13+1z-x3=2,

當(dāng)|x-y1=O,|y-z|=l,

/.x=y,z-x=z-y,

]x-y+y-z|+lz~x=2,

/.Ix-y3+1y-z13+1z-x3=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評】此題主要考查了絕對值的應(yīng)用，根據(jù)題意得出|x-y|=l,|y-z|=O或者

|x-y|=O,|y-z|=l進(jìn)而求出是解題關(guān)鍵.

19.（2017?徐匯區(qū)校級自主招生）一個老人有n匹馬，他把馬全部分給兩個兒子,

大兒子得x匹，小兒子得y匹，（x>y2l）,并且滿足x是n+1的約數(shù)，y也是

n+1的約數(shù)，則正整數(shù)n共有2種可能的取值?

【考點(diǎn)】#6：約數(shù)與倍數(shù).

【分析】根據(jù)一個老人有n匹馬，他把馬全部分給兩個兒子，大兒子得x匹，小

兒子得y匹，可得x+y=n,即再根據(jù)x是n+1的約數(shù)，y也是n+1的約數(shù)，可得

n+1是x、y的公倍數(shù)

【解答】解：???x+y=n,

/.y=n-x

?.'x是n+1的約數(shù)，y也是n+1的約數(shù)，

，n+l是x、y的公倍數(shù)

當(dāng)y=l,x=2時，n=3,

當(dāng)且yN2時，

*.'y（n-y）=n+l

y-1

???n是整數(shù)，且n>2,y是整數(shù)，且y22,

當(dāng)y=2時，n=5,

綜上所述，n共有兩種可能，

故答案為2.

【點(diǎn)評】本題考查了約數(shù)與倍數(shù).理解x+y=n,n+1是x、y的公倍數(shù)是解題關(guān)鍵.

20.(2016?安徽自主招生)十進(jìn)制的自然數(shù)可以寫成2的方幕的降幕的多項(xiàng)式，

如：19<?=16+2+1=1XZ’+OX23+0X22+1X21+lX2°=10011⑵，即十進(jìn)制的數(shù)19

對應(yīng)二進(jìn)制的數(shù)10011.按照上述規(guī)則，十進(jìn)制的數(shù)413對應(yīng)二進(jìn)制的數(shù)是

110011101.

【考點(diǎn)】#1：數(shù)的十進(jìn)制；1G：有理數(shù)的混合運(yùn)算.

【專題】23：新定義.

【分析】仿照例子，首先把413寫成2的方累的降事的多項(xiàng)式的形式，然后確定

二進(jìn)制數(shù).

【解答】解:413=256+128+16+8+4+1,

=1X28+1X27+0X26+0X25+1X24+1X23+1X22+0X21+1X2°,

=110011101(2).

故答案為:110011101.

【點(diǎn)評】本題考查了十進(jìn)制數(shù)與二進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)化，屬于競賽題型，學(xué)生平時沒有

接觸這方面的知識，因而有一定難度.解題的關(guān)鍵是讀懂題意，按照規(guī)定進(jìn)行計

算.

21.(2016?黃岡校級自主招生)設(shè)整數(shù)a使得關(guān)于x的一元二次方程5x2-5ax+26a

-143=0的兩個根都是整數(shù)，則a的值是18.

【考點(diǎn)】&A：一元二次方程的整數(shù)根與有理根；59：因式分解的應(yīng)用.

【專題】44：因式分解.

【分析】首先將方程組5x2-5ax+26a-143=0左右乘5得25x2-25ax+(130a-

262)-39=0,再分解因式.根據(jù)39為兩個整數(shù)的乘積，令兩個因式分別等于

39分解的整因數(shù).討論求值驗(yàn)證即可得到結(jié)果.

【解答】解：V5x2-5ax+26a-143=0=?25x2-25ax+(130a-262)-39=0,

即(5x-26)(5x-5a+26)=39,

???x,a都是整數(shù)，故(5x-26)、(5x-5a+26)都分別為整數(shù)，

而只存在39=1X39或39義1或3X13或13X3或四種情況,

①當(dāng)5x-26=1、5x-5a+26=39聯(lián)立解得a=2.8不符合，

②當(dāng)5x-26=39、5x-5a+26=l聯(lián)立解得a=18,

③當(dāng)5x-26=3、5x-5a+26=13聯(lián)立解得a=8.4不符合，

④當(dāng)5x-26=13、5x-5a+26=3聯(lián)立解得a=12.4不符合，

:.當(dāng)a=18時,方程為5x2-90x+325=0兩根為13、-5.

故答案為：18.

【點(diǎn)評】本題考查因式分解的應(yīng)用、一元二次方程的整數(shù)根與有理根.解決本題

的關(guān)鍵是巧妙利用39僅能分解為整數(shù)只存在39=1*39或39*1或3*13*13*3或四

種情況，因而討論量，并不大.

22.（2016?黃岡校級自主招生）在一次球類比賽中有8個隊(duì)參賽，每兩隊(duì)要進(jìn)行

一場比賽，勝一場得2分，平一場得1分，負(fù)一場得0分.一個隊(duì)要確保進(jìn)入前

四名（即積分至少要超過其他四個隊(duì)），則他的積分最少是8分.

【考點(diǎn)】!4：容斥原理.

【分析】設(shè)8個隊(duì)分別為A、B、C、D、E、F、G、H.可得8個隊(duì)一共進(jìn)行28

場比賽，再根據(jù)勝一場得2分，平一場得1分，負(fù)一場得0分.得到一個隊(duì)要確

保進(jìn)入前四名（即積分至少要超過其他四個隊(duì)），則他的積分最少的分?jǐn)?shù).

【解答】解：設(shè)八個隊(duì)從高到低排名分別為A、B、C、D、E、F、G、H.

???是每2隊(duì)進(jìn)行一次比賽，

...一共進(jìn)行28場比賽.

???每隊(duì)都能進(jìn)行7場比賽，

...每隊(duì)能得到的最高分為14分.

若當(dāng)A隊(duì)為最高分14分或13分，

則B隊(duì)的最高分為12分或13分，

???為了確保進(jìn)入前4,

...D隊(duì)的積分最少是8分.

故答案為：8分.

【點(diǎn)評】考查了比賽問題；得到各隊(duì)可能的積分與排名第四隊(duì)的積分的關(guān)系式是

解決本題的關(guān)鍵.

23.(2016?黃岡校級自主招生)在2006的中間嵌入一個數(shù)字得到五位數(shù)20口

06,若此五位數(shù)能被7整除，則嵌入的數(shù)字口為0或7.

【考點(diǎn)】#3：數(shù)的整除性.

【專題】15：綜合題.

【分析】能被7整除的數(shù)的特點(diǎn)，能被7整除的數(shù)，若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去,

再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除，

如果差太大或心算不易看出是否7的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述的過程，直到能清楚

判斷為止.例如，判斷133是否7的倍數(shù)的過程如下：13-3X2=7,所以133

是7的倍數(shù)；又例如判斷6139是否7的倍數(shù)的過程如下：613-9X2=595,59

-5X2=49,所以6139是7的倍數(shù).

【解答】解：設(shè)插入的數(shù)為x,則五位數(shù)為20x06,

當(dāng)x=0時，2000-6X2=1988,198-8X2=182,可以被7整除；

當(dāng)x=l時，2010-2X6=1998,199-8X2=183,不能被7整除；

當(dāng)x22時，20x0-2X6=20(x-2)8,20(x-2)-8X2=7k(k=26,27,...),

只有當(dāng)x=7時滿足題意,即205-16=189,

綜上可得0或7滿足題意.

故答案為：0或7.

【點(diǎn)評】本題考查數(shù)的整除性問題，難度較大，關(guān)鍵是掌握判斷能被7整除的數(shù)

的特點(diǎn).

24.(2015?永春縣自主招生)如圖，四邊形的兩條對角線AC、BD所成的角為a,

AC+BD=10,當(dāng)AC、BD的長等于5時,則四邊形ABCD的面積最大是—空

【考點(diǎn)】@2：面積及等積變換.

【分析】根據(jù)四邊形面積公式，S=L\CXBDXsina,根據(jù)sinaWl得出S=L<(10

22

-x)sinaWLx(10-x),再利用二次函數(shù)最值求出即可.

2

【解答】解：.?*AC與BD夾角為a,

...根據(jù)四邊形面積公式，得S=L\CXBDXsina,

2

設(shè)AC=x,則BD=10-x,

所以S=L<(10-x)Xsina；

2

Vsina^l,即S=4(10-x)sinaWb(10-x),

22

VS=-L(X?-lOx),

2

S=-—(x-5)2+-^-,

22

所以有x=5,S有最大值空，

2

/.AC=BD=10-x=5,

所以有AC=BD=5時，四邊形ABCD面積最大為空.

2

故答案為：5,25.

2

【點(diǎn)評】此題主要考查了四邊形面積公式以及二次函數(shù)最值和銳角三角函數(shù)的取

值范圍，得出4(10-x)sinaWL(10-x)進(jìn)而利用二次函數(shù)最值求出是解決

22

問題的關(guān)鍵.

25.(2017?諸暨市校級自主招生)在平面直角坐標(biāo)系xOy