期中考試押題卷（考試范圍：第9-12章）-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版）（解析版）

第第頁(yè)2023-2024學(xué)年下學(xué)期期中考試押題卷高一·數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。4．測(cè)試范圍：必修第二冊(cè)第9章、第10章、第11章、第12章。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量滿(mǎn)足，且與夾角的余弦值為，則（

）A．36 B． C．32 D．【答案】B【解析】設(shè)與的夾角為，則，.故選：B2．對(duì)于復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則為純虛數(shù)B．若，則C．若，則為實(shí)數(shù)D．i的平方等于1【答案】C【解析】A：當(dāng)時(shí)，顯然是實(shí)數(shù)，因此本選項(xiàng)說(shuō)法不正確；B：，因此本選項(xiàng)說(shuō)法不正確；C：，，因此本選項(xiàng)說(shuō)法正確；D：由虛數(shù)單位的定義可知：，因此本選項(xiàng)說(shuō)法不正確，故選：C3．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，的面積為，則（

）A． B．4 C．2 D．【答案】C【解析】，由，故，又，故，，由余弦定理可得：，即.故選：C.4．如圖，矩形中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解法一：依題意①，②，③，由②③式解得，，代入①式得．解法二：以為原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由，有，有，解得，得．故選：A．5．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】．故選：A．6．的值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【解析】.故選：D.7．在中，，，則的大小為（

）A．或 B． C． D．或【答案】C【解析】由，，等式兩邊平方相加得：，即，故，故或.由，得，得，故，則，故.故選：C8．在任意四邊形中，點(diǎn)，分別在線段，上，且，，，，，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，則①，又②，由①+②可得，即，故，設(shè)與夾角為，則，解得.故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知向量，，且，則（

）A． B．C．向量與向量的夾角是 D．向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是【答案】ACD【解析】因?yàn)橄蛄?，，所以，由得，解得，所以，故A正確；又，所以，故B錯(cuò)誤；設(shè)向量與向量的夾角為，因?yàn)?，，所以，又，所以，即向量與向量的夾角是，故C正確；向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是，故D正確.故選：ACD.10．設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（

）A．B．若，則C．若且，則D．若，則的最大值為.【答案】ACD【解析】對(duì)于A中，由，可得，所以A正確；對(duì)于B中，由，因?yàn)椋傻?，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，因?yàn)?，可得，即又因?yàn)?，可得，?lián)立方程組，可得，解得，所以C正確；對(duì)于D中，由，可得，因?yàn)椋傻?，即，表示以為圓心，半徑為的圓，可得，則原點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最大距離為，即的最大值為，所以D正確.故選：ACD.11．如圖，在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且是外一點(diǎn)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是等邊三角形B．若，則四點(diǎn)共圓C．四邊形面積的最小值為D．四邊形面積的最大值為【答案】ABD【解析】，根據(jù)正弦定理得，即，，顯然，則，根據(jù)題意，有，又，可得為等邊三角形，故A正確；，在中，，當(dāng)時(shí)，，即共圓，B正確.又四邊形面積，，則，所以四邊形的面積沒(méi)有最小值，C錯(cuò)誤.當(dāng)，即時(shí)，四邊形面積取最大值，故D正確.故選：ABD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知銳角滿(mǎn)足，，則.【答案】/【解析】均為銳角，，，.故答案為：.13．圣·索菲亞教堂是哈爾濱的標(biāo)志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對(duì)稱(chēng)之美.為了估算圣·索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物，高約為，在它們之間的地面上的點(diǎn)（，，三點(diǎn)共線）處測(cè)得建筑物頂、教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在建筑物頂處測(cè)得教堂頂?shù)难鼋菫椋瑒t可估算圣·索菲亞教堂的高度約為.【答案】【解析】由題可得在直角中，，，所以，在中，，，所以，所以由正弦定理可得，所以，則在直角中，，即圣·索菲亞教堂的高度約為54m.故答案為：14．在中，三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，，，，H為的垂心．若，則．【答案】【解析】因?yàn)椋?，，所以，由余弦定理可得，由以及為銳角，可得，故．同理，．于是．接下來(lái)證明定理4：O是（非直角三角形）的垂心．證明：O是（非直角三角形）的垂心，由定理4得，故，化簡(jiǎn)得．所以．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．（13分）已知復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位.(1)求；(2)若復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)m，n的值.【解析】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以（2）因?yàn)閺?fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，所以，可得，即，所以,解得.16．（15分）如圖，在中，，點(diǎn)在線段上，且.求：(1)的長(zhǎng)；(2)的大小.【解析】（1）設(shè)，則，∴，故.（2）設(shè)，則為向量與的夾角.∵，∴，即.17．（15分）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)若，求的最值及取最值時(shí)的值；(3)若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1），故函數(shù)的最小正周期為．（2）由（1）知，因?yàn)?，所以，令，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為．當(dāng)，即，函數(shù)有最大值，最大值為．綜上的最小值為0，此時(shí)；最大值為3，此時(shí)．（3）因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以在只有一個(gè)實(shí)根，即，即，即函數(shù)在的圖象在與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，令，則在區(qū)間的圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即，解得．18．（17分）如圖，在直角梯形中，為上靠近的三等分點(diǎn)，交于為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)用和表示；(2)求；(3)設(shè)，求的取值范圍．【解析】（1）依題意，，；（2）因交于，由（1）知，由共起點(diǎn)的三向量終點(diǎn)共線的充要條件知，，則，所以，所以，即；（3）由已知，因是線段上動(dòng)點(diǎn)，則令，，又不共線，則有，得，因?yàn)椋栽谏线f增，所以，故的取值范圍是．19．（17分）“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題．該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，(1)若，①求；②若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，求；(2)若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的最小值．【解析】（1）①由正弦定理得，即，所以，又，所以；②由①，所以三角形的三個(gè)角都