大題06圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）（30題）（教師解析版）

黃金沖刺大題06圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）（精選30題）1．（2024·山東·二模）已知橢圓的焦點分別是，點在橢圓上，且．(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線與橢圓交于兩點，且，求實數(shù)的值．【答案】(1)；(2)或．【分析】（1）根據(jù)所給條件求出，即可得出橢圓標準方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及，列出方程求即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓的標準方程為．由題意可知，解得所以橢圓的標準方程為．（2）設(shè)，如圖，聯(lián)立方程，消去，得，則，從而，因為，即，所以，解得或，經(jīng)驗證知，所以的值為或．2．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，設(shè)橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左、右焦點，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點，直線與交于，兩點，且的周長是.(1)求橢圓的方程；(2)當時，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由橢圓離心率和焦點三角形的周長，列方程組求出，得橢圓的方程；（2）設(shè)直線，的方程，與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理和求出和的方程，再求出O到直線的距離，可求的面積.【詳解】（1）由題意知，，解得，所以橢圓的方程為；（2）若直線的斜率不存在，則直線的斜率為0，不滿足，直線的的斜率為0，則三點共線，不合題意，所以直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，由，消去得，設(shè)，則，，同理可得，由，得，解得，則，∴直線的方程為，∴坐標原點O到直線的距離為，即的面積的面積為.【點睛】方法點睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．3．（2024·河北邯鄲·二模）已知橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為軸、軸，且過兩點．(1)求的方程．(2)是上兩個動點，為的上頂點，是否存在以為頂點，為底邊的等腰直角三角形？若存在，求出滿足條件的三角形的個數(shù)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，個【分析】（1）設(shè)橢圓的方程為，根據(jù)條件得到，即可求出結(jié)果；（2）設(shè)直線為，直線為，當時，由橢圓的對稱性知滿足題意；當時，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出的坐標，進而求出中垂線方程，根據(jù)條件中垂線直經(jīng)過點，從而將問題轉(zhuǎn)化成方程解的個數(shù)，即可解決問題.【詳解】（1）由題設(shè)橢圓的方程為，因為橢圓過兩點，所以，得到，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知，易知直線的斜率均存在且不為0，不妨設(shè)，，直線為，直線為，由橢圓的對稱性知，當時，顯然有，滿足題意，當時，由，消得到，所以，，即，同理可得，所以，設(shè)中點坐標為，則，，所以中垂線方程為，要使為為底邊的等腰直角三角形，則直中垂線方程過點，所以，整理得到，令，則，，所以有兩根，且，即有兩個正根，故有2個不同的值，滿足，所以由橢圓的對稱性知，當時，還存在2個符合題意的三角形，綜上所述，存在以為頂點，為底邊的等腰直角三角形，滿足條件的三角形的個數(shù)有3個.

【點睛】關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于第（2）問，通過設(shè)出直線為，直線為，聯(lián)立橢圓方程求出坐標，進而求出直線的中垂線方程，將問題轉(zhuǎn)化成直線的中垂線經(jīng)過點，再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程的解的問題.4．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知橢圓，右頂點為，上?下頂點分別為是的中點，且.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過點的直線交橢圓于點，點，直線分別交直線于點，求證：線段的中點為定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）通過橢圓的性質(zhì)和中點的坐標，然后根據(jù)向量的數(shù)量積得到等量關(guān)系即可求出橢圓的標準方程；（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)的關(guān)系，求得點的坐標，進而證得線段的中點為定點.【詳解】（1）由題可得，，的中點為，故橢圓的方程為；（2）依題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，由，得.設(shè)，則，依題意可知直線的斜率存在，直線的方程為，令，得，同理可求得，，線段的中點為定點.【點睛】方法點睛：對于直線和圓錐曲線相交的問題，我們一般將直線和圓錐曲線聯(lián)立，利用韋達定理帶入計算求解.5．（2024·遼寧·二模）平面直角坐標系xOy中，面積為9的正方形的頂點分別在x軸和y軸上滑動，且，記動點P的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)過點的動直線l與曲線交于不同的兩點時，在線段上取點Q，滿足．試探究點Q是否在某條定直線上？若是，求出定直線方程；若不是，說明理由．【答案】(1)(2)點Q在定直線上，定直線方程為【分析】（1）設(shè)點的坐標，利用平面向量的坐標表示消參得，結(jié)合正方形面積得的方程；（2）設(shè)，的坐標，與橢圓聯(lián)立并根據(jù)韋達定理得橫坐標關(guān)系，再根據(jù)線段乘積關(guān)系化為比值關(guān)系得，化簡得，代入直線方程即可，從而求出定直線方程.【詳解】（1）設(shè)，由，得，所以，因為正方形ABCD的面積為，即，所以，整理可得，因此C的軌跡方程為．（2）依題意，直線l存在斜率，設(shè)l：，即，設(shè)點，，，由，消y得，即，由，可以得到，所以，可得，，由，得，所以，可得，所以，因為，所以點Q在定直線上，定直線方程為．

6．（2024·福建廈門·三模）在直角坐標系中，已知拋物線的焦點為，過的直線與交于兩點，且當?shù)男甭蕿?時，．(1)求的方程；(2)設(shè)與的準線交于點，直線與交于點（異于原點），線段的中點為，若，求面積的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）先設(shè)的方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達定理及拋物線定義即可求解；（2）先設(shè)出，進而可求的坐標，可得直線軸，求出的范圍，再由三角形面積公式即可求解.【詳解】（1）不妨先設(shè)的方程為，，，代入，可得，所以，，則，由題意可知當斜率為1時，，又，即，解得，所以的方程為；（2）由（1）知，直線的方程為，拋物線方程，，所以的縱坐標，將的縱坐標代入，得，所以的坐標，易知拋物線的準線為,又因為與的準線交于點，所以的坐標，則直線的方程為，把代入，得，即或，因為點異于原點，從而的縱坐標為，把代入，得，所以，因為的坐標，所以，的縱坐標相同，所以直線軸，且，所以面積，因為，所以，所以，因為點異于原點，所以，所以，因為，所以，所以，即面積的取值范圍為.7．（2024·浙江麗水·二模）已知拋物線，點在拋物線上，且在軸上方，和在軸下方（在左側(cè)），關(guān)于軸對稱，直線交軸于點，延長線段交軸于點，連接.(1)證明：為定值（為坐標原點）；(2)若點的橫坐標為，且，求的內(nèi)切圓的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件作出圖形，設(shè)出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理及直線的點斜式方程即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及向量的數(shù)量積的坐標表示，進而得出直線的方程，利用直線的斜率公式及直線的點斜式方程，結(jié)合角平分線的性質(zhì)及圓的標準方程即可求解.【詳解】（1）設(shè)直線的方程為，則，由，消去，得，，所以，直線的方程為，化簡得，令，得，所以因此.（2）因為點的橫坐標為，由（1）可知，，設(shè)交拋物線于，，如圖所示又由（1）知，，同理可得，得，又，，又，則，故結(jié)合，得.所以直線的方程為又，則，所以直線的方程為，設(shè)圓心,因為為的平分線，故點到直線和直線的距離相等，所以，因為，解得，故圓的半徑，因此圓的方程為.8．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知點，，和動點滿足是，的等差中項．(1)求點的軌跡方程；(2)設(shè)點的軌跡為曲線按向量平移后得到曲線，曲線上不同的兩點M，N的連線交軸于點，如果（為坐標原點）為銳角，求實數(shù)的取值范圍；(3)在（2）的條件下，如果時，曲線在點和處的切線的交點為，求證：在一條定直線上．【答案】(1)；(2)或；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，由平面向量的坐標運算，結(jié)合等差中項的定義代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由平移公式可得曲線的方程，然后與直線的方程聯(lián)立，由平面向量的夾角公式，代入計算，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得在點處的切線方程，聯(lián)立兩條切線方程，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得，，，則，，又是，的等差中項，，整理得點的軌跡方程為．（2）由（1）知，又，平移公式為即，代入曲線的方程得到曲線的方程為：，即．曲線的方程為．如圖由題意可設(shè)M，N所在的直線方程為，由消去得，令，，則，，，又為銳角，，即，，又，，得或．（3）當時，由（2）可得，對求導(dǎo)可得，拋物線在點，，處的切線的斜率分別為，，在點M，N處的切線方程分別為，，由，解得交點的坐標．滿足即，點在定直線上．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了曲線的軌跡方程問題以及切線問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理計算以及轉(zhuǎn)化為坐標運算.9．（2024·江蘇南通·二模）已知雙曲線的漸近線為，左頂點為.(1)求雙曲線的方程；(2)直線交軸于點，過點的直線交雙曲線于，，直線，分別交于，，若，，，均在圓上，①求的橫坐標；②求圓面積的取值范圍.【答案】(1)(2)①；②且【分析】（1）根據(jù)漸近線方程及頂點求出得雙曲線方程；（2）①設(shè)，由四點共圓可得，根據(jù)斜率公式轉(zhuǎn)化為點坐標表示形式，由直線與雙曲線聯(lián)立得出根與系數(shù)的關(guān)系，據(jù)此化簡即可求出；②求出點坐標得出，利用正弦定理求出外接圓的半徑，根據(jù)均值不等式求出半徑的最值，即可得出圓面積的最值.【詳解】（1）因為雙曲線的漸近線關(guān)于坐標軸及原點對稱，又頂點在軸上，可設(shè)雙曲線的方程為（，），從而漸近線方程為：，由題條件知：.因為雙曲線的左頂點為，所以，，所以雙曲線的方程為：.（2）如圖，

①，設(shè)直線的方程為：，將代入方程：，得，當且時，設(shè)，，則，.設(shè)直線的傾斜角為，不妨設(shè)，則，由于，，，四點共圓知：，所以直線的傾斜角為，.直線的方程為：，令，則，從而，所以，又，得：，又，代入上式得：，，，化簡得：，解得：（舍）或.故點的坐標為.②直線的方程為，由①知：，所以.直線方程；，所以，若，在軸上方時，在的上方，即時，；若，在軸下方時，即時，，所以或.又直線與漸近線不平行，所以.所以，或且.因為，設(shè)圓的半徑為，面積為，則，所以，當且僅當即時，上述不等式取等號，或且.所以且，從而且.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于利用直線的傾斜角與圓的內(nèi)接四邊形的角的關(guān)系，得出這一關(guān)鍵數(shù)量關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為直線與雙曲線相交，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡求參數(shù)的常規(guī)問題.10．（2024·江蘇南京·二模）已知拋物線與雙曲線（，）有公共的焦點F，且．過F的直線1與拋物線C交于A，B兩點，與E的兩條近線交于P，Q兩點(均位于y軸右側(cè)).(1)求E的漸近線方程；(2)若實數(shù)滿足，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由兩曲線有公共的焦點F，且，得，，可求漸近線方程；（2）通過設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，借助韋達定理，表示出和，由求的取值范圍．【詳解】（1）拋物線與雙曲線（，）有公共的焦點F，設(shè)雙曲線E的焦距為，則有，又，則.由，得，所以E的漸近線的方程為（2）設(shè)，，1與E的兩條近線交于P，Q兩點均位于y軸右側(cè)，有，由，解得，，.設(shè)，由，消去得，則有，，由，，有，即，由，有，所以.

【點睛】方法點睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．11．（2024·重慶·三模）已知，曲線上任意一點到點的距離是到直線的距離的兩倍.(1)求曲線的方程；(2)已知曲線的左頂點為，直線過點且與曲線在第一、四象限分別交于，兩點，直線、分別與直線交于，兩點，為的中點.（i）證明：；（ii）記，，的面積分別為，，，則是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）是，【分析】（1）設(shè)曲線上任意一點坐標為，利用坐標可得曲線的方程；（2）(i)設(shè)直線：，，，聯(lián)立方程組可得，，求得直線：，求得，，進而可得的坐標，求得的坐標，直線的方向向量的坐標，利用向量法可證結(jié)論.(ii)法一：利用（i）可求得；，進而可得，進而求得，代入運算可求得，可求結(jié)論.法二：（利用雙曲線的第二定義）由（1）知，，同理，計算可得，又，，進而計算可得結(jié)論成立.【詳解】（1）設(shè)曲線上任意一點坐標為，則由題意可知：，故曲線的方程為.（2）(i)設(shè)直線：，，，

其中且，，故，；直線：，當時，，故，同理，為中點，故；；（*）；故，即，則，直線的方向向量，，故.(ii)法一：；（**）故；，又，故.；；，，由（*）知，由（**）知，故，故，則.法二：（利用雙曲線的第二定義）由（1）知，，同理，故，又，故，又，且由（*）知，記直線與軸相交于點，由可得，即，即，故；又為的中點，故，即.【點睛】方法點睛：直線與雙曲線聯(lián)立問題第一步：設(shè)直線方程：有的題設(shè)條件已知點，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點不定，都可設(shè)出直線方程．第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程．第三步：求解判別式：計算一元二次方程根的判別式(有些題可不考慮).第四步：寫出根之間的關(guān)系，由根與系數(shù)的關(guān)系可寫出．第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中的結(jié)論．有些運算量大，轉(zhuǎn)化是關(guān)徤，運算求解能力也是考查點之一.12．（2024·河北·二模）已知橢圓的離心率．(1)若橢圓過點，求橢圓的標準方程．(2)若直線，均過點且互相垂直，直線交橢圓于兩點，直線交橢圓于兩點，分別為弦和的中點，直線與軸交于點，設(shè).（?。┣?；（ⅱ）記，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)（?。?；（ⅱ）.【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率得到之間的關(guān)系，再結(jié)合橢圓過點，求出的值，從而得到橢圓的方程.（2）（?。├酶c系數(shù)的關(guān)系及中點坐標公式求得點的坐標，再根據(jù)三點共線得之間的關(guān)系；（ⅱ）求得，并利用等比數(shù)列的前項和公式求得.【詳解】（1）因為，，所以，所以橢圓的方程為，因為橢圓過點，所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）（?。┊斨本€中一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，直線與軸重合，不符合題意.故直線的斜率均存在且不為0.設(shè)直線的方程為，,聯(lián)立方程，消去并整理得，因為直線與橢圓相交于兩個不同的交點，所以，根據(jù)韋達定理得，，則，同理可得，因為三點共線，所以，易知，則，因為，所以.（ⅱ）結(jié)合（ⅰ）可知，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前項和.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓相交以及等比數(shù)列求和的問題.其中關(guān)鍵點是聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)韋達定理和三點共線，求出點的坐標，從而得到.13．（2024·遼寧沈陽·二模）以坐標原點為圓心的兩個同心圓半徑分別為和，為大圓上一動點，大圓半徑與小圓相交于點軸于于點的軌跡為．(1)求點軌跡的方程；(2)點，若點在上，且直線的斜率乘積為，線段的中點，當直線與軸的截距為負數(shù)時，求的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，根據(jù)條件得到，消元即可求出結(jié)果；（2）法一：設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程得到，由韋達定理得，根據(jù)題設(shè)得到直線的方程為，再利用點在橢圓上，得到，從而有與y軸負平軸所形成的夾角為，再求出與x正半軸所形成的夾角，即可解決問題；法二：設(shè)，直線的方程為，直接求出，再根據(jù)條件求出，后面同法一；法三：建立新的坐標系，在新的坐標系中，得橢圓的方程為，及直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓，再結(jié)合條件得到，從而有，后面同法一；法四：設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程得，進而得到，通過令，得到，令，得到，從而有，下面同方法一.【詳解】（1）設(shè)，則，消去得，所以點軌跡的方程為.（2）方法一：設(shè)，直線的方程為，，消去y得，，即由韋達定理知，，所以，整理得，即，當時，直線的方程為當時，直線的方程為，恒過點，不合題意設(shè)，將，將M、N兩點代入到橢圓得，兩式相減得，即，所以，故，設(shè)與y軸負平軸所形成的夾角為，因為，所以，設(shè)與x正半軸所形成的夾角為，因為，所以，.方法二：設(shè)，直線的方程為消去y可得：從而，故，將代入直線的方程可得，所以，又，將式點M中的k換成得到，，下面同方法一方法三：以為坐標原點建立新的直角坐標系，新坐標系下橢圓方程，在新坐標系下設(shè)，直線的方程為將橢圓方程變形可得：將直線的方程與橢圓方程結(jié)合，構(gòu)成其次分式可得，整理得即：，所以，故，直線的方程為，下面同方法一方法四：設(shè)，直線的方程為消去y可得：因為是上述一元二次方程的兩個根，所以

①又整理得：在①式中令得：

②令得：

③可得：整理得，下面同方法一【點睛】關(guān)鍵點點晴，本題的關(guān)鍵在于第（2）問，通過設(shè)出直線的方程為，，聯(lián)立直線與橢圓方程得到，由韋達定理得，根據(jù)題設(shè)得到直線的方程為，再利用點在橢圓上，得到，從而將問題轉(zhuǎn)化成解決，其中為與y軸負平軸所形成的夾角，為與x正半軸所形成的夾角.14．（2024·廣東佛山·二模）兩條動直線和分別與拋物線相交于不同于原點的A，B兩點，當?shù)拇剐那∈荂的焦點時，.(1)求p；(2)若，弦中點為P，點關(guān)于直線的對稱點N在拋物線C上，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用垂直關(guān)系，結(jié)合斜率坐標公式，列式計算即得.（2）求出P的軌跡方程，分和兩種情況討論，求出直線AB過定點，再求出N點坐標，即可求出三角形面積.【詳解】（1）由的垂心恰是C的焦點，由拋物線對稱性得，，而，不妨設(shè)，而焦點，則，解得，所以.（2）由（1）知，，由，解得，同理，則，而，因此所以P的軌跡方程為，當時，不妨設(shè)，，此時，直線AB過點，當時，直線AB的斜率為，AB的方程為，整理得，直線AB過點，因此直線AB過定點，由可得，解得，于是或，當時，MN的中點為，直線MN的斜率為，此時直線AB的方程為，由解得或，當時，直線AB為，不符合題意，舍去，則，，邊上的高，因此的面積，當時，由對稱性，同理可得，所以的面積為.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：①“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；②“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；③求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.15．（2024·廣東深圳·二模）設(shè)拋物線C：（），直線l：交C于A，B兩點．過原點O作l的垂線，交直線于點M．對任意，直線AM，AB，BM的斜率成等差數(shù)列．(1)求C的方程；(2)若直線，且與C相切于點N，證明：的面積不小于．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，分與代入計算，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達定理代入計算，再由等差中項的定義列出方程，即可得到結(jié)果；（2）方法一：聯(lián)立直線與拋物線的方程，表示出中點的坐標，再由點M，N，E三點共線可得△AMN面積為△ABM面積的，結(jié)合三角形的面積公式代入計算，即可證明；方法二：聯(lián)立直線與拋物線的方程，再由，得，點，即可得到直線MN與x軸垂直，再由三角形的面積公式代入計算，即可證明.【詳解】（1）

設(shè)點，，由題可知，當時，顯然有；當時，直線OM的方程為，點．聯(lián)立直線AB與C的方程得，，所以，，因為直線AM，AB，BM的斜率成等差數(shù)列，所以．即，，化簡得．將代入上式得，則，所以曲線C的方程為．（2）

（法一）設(shè)直線：，聯(lián)立C的方程，得．由，得，點，設(shè)AB的中點為E，因為，，則點．因為，所以點M，N，E三點共線，且點N為ME的中點，所以△AMN面積為△ABM面積的．記△AMN的面積為S，點到直線AB：的距離，所以，當時，等號成立．所以命題得證．（法二）設(shè)直線：，聯(lián)立C的方程，得．由，得，點．所以直線MN與x軸垂直．記△AMN的面積為S，所以．當時，等號成立．所以命題得證．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵采用設(shè)線法，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)相切求出，再得出，最后計算出面積表達式求出其最值即可.16．（2024·湖南·一模）已知雙曲線的漸近線方程為，的半焦距為，且．(1)求的標準方程．(2)若為上的一點，且為圓外一點，過作圓的兩條切線（斜率都存在），與交于另一點與交于另一點，證明：（ⅰ）的斜率之積為定值；（ⅱ）存在定點，使得關(guān)于點對稱．【答案】(1)(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）利用漸近線方程可得，再由焦距為以及即可求得，，可得的標準方程；（2）（i）設(shè)切線方程為，利用直線和圓相切可得，再由韋達定理整理可得的斜率之積為定值，且定值為2；（ii）聯(lián)立直線與雙曲線方程，可得，同理可求出，化簡得，所以，因此關(guān)于點對稱.【詳解】（1）因為的漸近線方程為，所以，則，所以，因為，所以，得.因為，所以，可得，所以，故的標準方程為.（2）證明：（i）設(shè)，如下圖所示：設(shè)過點的切線的斜率為，則切線方程為，即，所以，即，因此的斜率是上式中方程的兩根，即.又因為，所以所以的斜率之積為定值，且定值為.（ii）不妨設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，聯(lián)立，得.因為，所以，則，同理可得，所以.因為，所以，所以，得.因為都在上，所以或（舍去），所以存在定點，使得關(guān)于點對稱.【點睛】方法點睛：處理圓錐曲線中定點、定值時，經(jīng)常聯(lián)立直線和曲線方程利用韋達定理對表達式進行整理化簡，便可得出結(jié)論.17．（2024·湖南岳陽·三模）已知動圓過定點且與直線相切，記圓心的軌跡為曲線．(1)已知、兩點的坐標分別為、，直線、的斜率分別為、，證明：；(2)若點、是軌跡上的兩個動點且，設(shè)線段的中點為，圓與動點的軌跡交于不同于的三點、、，求證：的重心的橫坐標為定值．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【分析】（1）先有兩點間距離公式求出圓心的軌跡方程，再由斜率的定義表示出斜率，利用軌跡方程化簡斜率之差即可證明；（2）先設(shè)直線的方程為，直曲聯(lián)立，用韋達定理表示出線段中點坐標進而得到的軌跡方程是，再與動圓的方程聯(lián)立，得到、、的橫坐標分別為，，，最后利用的展開式系數(shù)與相同，得到系數(shù)為零即可.【詳解】（1）設(shè)點，依題有，化簡并整理成，圓心的軌跡的方程為，，又，所以，所以.（2）顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由，消并整理成，在判別式大于零時，，又，所以，所以，，，所以線段的中點坐標為，設(shè)，則，消得，所以的軌跡方程是，圓過定點，設(shè)其方程為，由，得，設(shè)、、的橫坐標分別為，，，因為、、異于，所以，，都不為零，故的根為，，，令，即有，所以，故的重心的橫坐標為定值．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問關(guān)鍵是圓過定點，設(shè)其方程為，然后與的軌跡方程聯(lián)立，表示出重心橫坐標的方程，然后利用待定系數(shù)法求出結(jié)果.18．（2024·湖北·二模）已知雙曲線的方程為，其中是雙曲線上一點，直線與雙曲線的另一個交點為，直線與雙曲線的另一個交點為，雙曲線在點處的兩條切線記為與交于點，線段的中點為，設(shè)直線的斜率分別為．(1)證明：；(2)求的值．【答案】(1)證明見解析(2)1【分析】（1）根據(jù)點坐標求得斜率表達式，利用自變量范圍即可得出證明；（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程可得其斜率為，同理可得，聯(lián)立直線的方程解得，再通過聯(lián)立的方程利用韋達定理代入化簡可求得，可知點的橫坐標，即，可得.【詳解】（1）證明：如下圖所示：

由，可得；所以，又在雙曲線上，．因此，易知，由可知，所以；（2）設(shè)，設(shè)直線的斜率分別為，直線的方程為，聯(lián)立方程，由可得，同理可得；聯(lián)立的方程，消去可得；將，代入上式，化簡整理可得；設(shè)直線的方程分別為，則可得，聯(lián)立雙曲線與直線方程，消去可得關(guān)于的二次方程，該方程的兩根為；由韋達定理可知，可得；同理可得，所以，再將表達式代入中整理可得：，再將代入上式整理可得；所以點的橫坐標，所以，故；可得.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)直線和切線方程，通過與雙曲線聯(lián)立求得點橫坐標的表達式，并通過化簡變形求得點的橫坐標為0，即可求得，可得.19．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知橢圓和的離心率相同，設(shè)的右頂點為，的左頂點為，，(1)證明：；(2)設(shè)直線與的另一個交點為P，直線與的另一個交點為Q，連，求的最大值．參考公式：【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)離心率相等可得，然后求出直線和的斜率，利用斜率即可得證；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程求出的坐標，從而可得的中點坐標，根據(jù)（1）中結(jié)論可得，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】（1）當時，的離心率，當時，的離心率；當時，的離心率，當時，的離心率；因為，所以或，得，又，所以，且；由題意知，，即，則，，它們的斜率之積為，因此.（2）由（1）問知，，聯(lián)立與的方程，將y消去得：，解得，，又在曲線上，則，，聯(lián)立與的方程，將y消去得：，解得，，又在曲線上，則，，因此的中點，連，因為，即，所以，記，當最大時，也最大；可知，令得，解得，又，則，令得，因此在處取得最大值，且最大值為，因此最大值為.20．（2024·山東·二模）已知橢圓的離心率為，設(shè)的右焦點為，左頂點為，過的直線與于兩點，當直線垂直于軸時，的面積為．(1)求橢圓的標準方程；(2)連接和分別交圓于兩點．（ⅰ）當直線斜率存在時，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求；（ⅱ）設(shè)的面積為的面積為，求的最大值．【答案】(1)(2)（i）；（ii）的最大值為【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率與橢圓上的點列方程組求解即可得橢圓方程；（2）（i）設(shè)，則直線，與圓方程聯(lián)立可得點坐標，求解計算斜率，從而可得的值；（ii）設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立得交點坐標關(guān)系，利用坐標運算可得，從而可得最大值.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，將代入橢圓方程可得，，解得，所以得面積為，又，解得，所以橢圓的標準方程為；（2）（i）設(shè)，則直線與聯(lián)立，可得，解得，帶入可得，所以，同理可得，，所以，所以；（ii）設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，可得，所以，，當且僅當時，等號成立，所以的最大值為.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為,；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.21．（2024·山東濰坊·二模）已知雙曲線：的實軸長為，右焦點到一條漸近線的距離為1．(1)求的方程；(2)過上一點作的切線，與的兩條漸近線分別交于R，S兩點，為點關(guān)于坐標原點的對稱點，過作的切線，與的兩條漸近線分別交于M，N兩點，求四邊形的面積．(3)過上一點Q向的兩條漸近線作垂線，垂足分別為，，是否存在點Q，滿足，若存在，求出點Q坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）根據(jù)雙曲線的基本量關(guān)系，結(jié)合右焦點到一條漸近線的距離為1求解即可；（2）設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程可得交點坐標，再根據(jù)點到直線的距離結(jié)合弦長公式與三角形面積公式求解即可；（3）設(shè)，可得，再結(jié)合可得，進而根據(jù)點到線的距離公式，結(jié)合雙曲線的方程求解即可.【詳解】（1）因為雙曲線實軸長為，故，，的一條漸近線方程為，則，故雙曲線的方程為.（2）由題意可知四邊形為平行四邊形，其面積，由題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線，且，聯(lián)立，消去并整理得，因為直線與雙曲線相切，故，得，即，所以，直線方程為.設(shè)直線與的交點為，與的交點為，聯(lián)立，得，同理得，則，因為原點到直線的距離，所以，所以.（3）設(shè)，則，不妨設(shè)到直線的距離為：，同理，所以①又因為②，由①②解得或，當時，解得，又，則，解得，同理有或或，所以存在點或或或滿足.【點睛】方法點睛：（1）弦長公式；（2）設(shè)雙曲線上一點，則可得為定值22．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知拋物線，過點的直線與拋物線交于兩點，設(shè)拋物線在點處的切線分別為和，已知與軸交于點與軸交于點，設(shè)與的交點為.(1)證明：點在定直線上；(2)若面積為，求點的坐標；(3)若四點共圓，求點的坐標.【答案】(1)證明見解析(2)或(3)【分析】（1）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求和的方程，進而可得點的坐標，再聯(lián)立直線、拋物線的方程，利用韋達定理分析求解；（2）根據(jù)面積關(guān)系可得，結(jié)合韋達定理分析求解；（3）可知拋物線焦點，分析可得是外接圓的直徑，結(jié)合垂直關(guān)系分析求解.【詳解】（1）由，得，設(shè).所以方程為：，整理得：.同理可得，方程為：.聯(lián)立方程，解得.因為點在拋物線內(nèi)部，可知直線的斜率存在，且與拋物線必相交，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立得：，故，所以，可知.所以點在定直線上..（2）在的方程中，令，得，所以面積.故，代入可得：.整理得，解得：或.所以點的坐標為或.（3）若，則重合，與題設(shè)矛盾.拋物線焦點，由得直線斜率，可知，同理，所以是外接圓的直徑.若點也在該圓上，則.由，得直線的方程為：.又點在定直線上，聯(lián)立兩直線方程，解得，所以點的坐標為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第3小問解決的關(guān)鍵是，引入拋物線焦點，利用斜率可得，，可知是外接圓的直徑，即可得結(jié)果.23．（2024·福建漳州·一模）已知過點的直線與圓：相交于，兩點，的中點為，過的中點且平行于的直線交于點，記點的軌跡為．(1)求軌跡的方程．(2)若為軌跡上的兩個動點且均不在軸上，點滿足（，），其中為坐標原點，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①點在軌跡上；②直線與的斜率之積為；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．【答案】(1)(2)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)題意可知：為線段的中垂線，可得，結(jié)合橢圓的定義和方程分析求解：（2）設(shè)，可知，根據(jù)題意選擇條件結(jié)合橢圓的方程分析證明.【詳解】（1）由題意可知：圓：的圓心為，半徑，由題意可知：不為x軸，即不在x軸上，因為為的中點，則，又因為∥，則，即為線段的中垂線，則，可得，可知：點的軌跡是以為焦點的橢圓，且不為長軸頂點，則，可得，所以軌跡的方程為.（2）設(shè)，可知，因為，則，即，若選①②證明③：因為直線與的斜率之積為，即，可得，又因為點在軌跡上，則，可得，即；若選①③證明②：因為點在軌跡上，則，可得，即，且，結(jié)合的任意性可知，可得，即直線與的斜率之積為；若選②③證明①：因為直線與的斜率之積為，即，可得，且，則，，即，可知點在軌跡上.【點睛】方法點睛：求解定值問題的三個步驟：（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．24．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）點是橢圓：（）上（左、右端點除外）的一個動點，，分別是的左、右焦點.(1)設(shè)點到直線：的距離為，證明為定值，并求出這個定值；(2)的重心與內(nèi)心（內(nèi)切圓的圓心）分別為，，已知直線垂直于軸.（ⅰ）求橢圓的離心率；（ⅱ）若橢圓的長軸長為6，求被直線分成兩個部分的圖形面積之比的取值范圍.【答案】(1)證明見解析，定值為(2)（?。?；（ⅱ）【分析】（1）由兩點間距離公式（結(jié)合點在橢圓上）、點到直線距離公式表示出，兩式相比即可得解；（2）（ⅰ）解法一：一方面由（1）得，另一方面結(jié)合已知以及橢圓定義得，對比兩式即可得解；解法二：利用已知以及橢圓定義得的一種表達式，另外結(jié)合兩點間距離公式也可以分別表示，從而平方后作差即可得解；解法三：表示出方程，根據(jù)題意設(shè)出內(nèi)心坐標，結(jié)合點到直線距離公式以及內(nèi)切圓性質(zhì)即可得解；（ⅱ）先求出橢圓方程，然后求得的面積與的面積之比的表達式結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求出其范圍，進一步即可得解.【詳解】（1）依題意，.設(shè)，則，，所以，所以，又，所以，，所以，所以，即為定值，且這個定值為.（2）（?。┙夥ㄒ唬阂李}意，，設(shè)直線與軸交于點，因為軸，所以，所以，因為的內(nèi)切圓與軸切于點，所以，又因為，解得由（1）得，所以，所以橢圓的離心率.解法二：依題意，，設(shè)直線與軸交于點，因為軸，所以，所以，因為的內(nèi)切圓與軸切于點，所以，又因為，得所以兩式平方后作差，得對任意成立，所以橢圓的離心率.解法三：依題意，，因為軸，設(shè)點坐標為，可求直線方程為，則點到直線的距離，即，化簡得，①同理，由點到直線的距離等于，可得，②將式①－②，得，則.將代入式①，得，化簡得，得，所以橢圓的離心率.（ⅱ）由，得，又，所以，，所以橢圓的方程為.根楛橢圓對稱性，不妨設(shè)點在第一象限或軸正半軸上，即，又，，所以直線的方程為，設(shè)直線與交于點，因為，所以，的面積與的面積之比為，令（），則，當，，當，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.又因為，，，所以的值域是，所以，所以，根據(jù)對稱性，被直線分成兩個部分的圖形面積之比的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問（ⅱ）的關(guān)鍵在于求得的面積與的面積之比的表達式，由此即可順利得解.25．（2024·福建三明·三模）已知平面直角坐標系中，有真命題：函數(shù)的圖象是雙曲線，其漸近線分別為直線和y軸．例如雙曲線的漸近線分別為x軸和y軸，可將其圖象繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到雙曲線的圖象．(1)求雙曲線的離心率；(2)已知曲線，過上一點作切線分別交兩條漸近線于兩點，試探究面積是否為定值，若是，則求出該定值；若不是，則說明理由；(3)已知函數(shù)的圖象為Γ，直線，過的直線與Γ在第一象限交于兩點，過作的垂線，垂足分別為，直線交于點，求面積的最小值．【答案】(1)(2)是定值(3)【分析】（1）設(shè)雙曲線的實軸長為，虛軸長為，由雙曲線的兩條漸近線為x軸和y軸得出，根據(jù)離心率公式計算即可；（2）不妨設(shè)是雙曲線在第一象限的點，則，，，，得出過點的切線方程，與兩漸近線方程聯(lián)立，得出點得坐標，由即可得出；（3）由題意將函數(shù)，，點，，，繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，得到雙曲線，，，再得出直線與的交點為，結(jié)合韋達定理及對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求出面積的最小值．【詳解】（1）設(shè)雙曲線的實軸長為，虛軸長為，因為雙曲線的兩條漸近線為x軸和y軸，所以兩漸近線之間的夾角為，所以，所以．（2）不妨設(shè)是雙曲線在第一象限的點，則，，，，則過點的切線方程為：，即，與雙曲線漸近線聯(lián)立，即，，解得或，設(shè)，則,，因為，所以，所以面積是定值2．

（3）由的圖象是雙曲線，漸近線為軸與直線，則兩漸近線的夾角為，故，兩漸近線夾角的平分線所在直線方程為，聯(lián)立得，或，則雙曲線的，所以，則將圖象繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到雙曲線的圖象，直線與軸夾角為，故直線的圖象繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到直線，同理可得點，繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到，且點為右支上的點，設(shè)，則，由題知，過的直線斜率不為0，設(shè)該直線方程，因為點為右支上的點，所以且，所以，由得，，，，則，即，因為由圖象知直線的斜率存在，所以，故直線的方程為：，令，，由得，，所以直線過定點，同理可得直線也過定點，所以直線與的交點為，則，令，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則，即所以，故面積的最小值為．

【點睛】方法點睛：當三角形三個頂點均為動點時，求面積比較困難，此時可以將其中一個或兩個點轉(zhuǎn)化為定點（或證明為頂點），再研究三角形面積的最值．26．（2024·浙江紹興·二模）已知拋物線：的焦點到準線的距離為2，過點作直線交于M，N兩點，點，記直線，的斜率分別為，.(1)求的方程；(2)求的值；(3)設(shè)直線交C于另一點Q，求點B到直線距離的最大值.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）由焦準距的定義求出的值即得；（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立消元，得到韋達定理，分別化簡計算和，再整體代入計算即得定值；（3）設(shè)點表示出直線、、的方程，分別利用過點，過點得出與，與的關(guān)系式，消去，整理得，再與方程比較得出過定點，從而得到結(jié)論.【詳解】（1）因為焦點到準線的距離為2，所以，所以拋物線的方程為.（2）如圖，設(shè)，，直線的方程為，由得，所以（*）由，將（*）代入整理得：.又，將（*）代入整理得：所以，.（3）設(shè)，，，則直線的斜率，所以直線的方程為，即.同理，直線方程為，直線方程為.因為直線經(jīng)過，所以，解得，因為直線經(jīng)過，所以，解得，所以，整理得.又因為直線的方程為，所以直線經(jīng)過定點，所以，當時，點到直線距離取得最大值為.27．（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知拋物線:的焦點，直線過且交C于兩點，已知當時，中點縱坐標的值為.(1)求的標準方程.(2)令，P為C上的一點，直線，分別交C于另兩點A，B.證明：.(3)過分別作的切線，與相交于，同時與相交于，求四邊形面積取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析；(3).【分析】（1）設(shè)直線的方程為，，利用設(shè)而不求法可得，由條件可得，，由此可求，可得拋物線方程；（2）設(shè)，聯(lián)立與拋物線方程可求的坐標，由此可得，聯(lián)立與拋物線方程可求的坐標，由此可得，進一步證明結(jié)論；（3）由條件求出方程，再求的坐標，討論，表示四邊形面積，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求其范圍.【詳解】（1）拋物線的焦點的坐標為，若直線的斜率為0，則與拋物線只有一個交點，與條件矛盾，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，化簡得①，方程①的判別式，設(shè)，所以，若，則，所以，又中點縱坐標的值為，所以，解得，所以拋物線方程為；（2）設(shè)點的坐標為，則，直線的方程為，聯(lián)立，化簡可得②，方程②的判別式，所以，，設(shè)的坐標為，則，所以，所以，直線的方程為，聯(lián)立，化簡可得③，方程③的判別式設(shè)的坐標為，則，所以，所以，所以；（3）設(shè)過點的切線方程為，聯(lián)立，化簡可得④，方程④的判別式，解得，所以，所以，即的方程為，同理可得的方程為：，的方程為：，聯(lián)立，又，，解得，，又，即點的坐標為，聯(lián)立，又，解得，，又，即點的坐標為，因為，，所以，所以點的坐標為，因為，，所以，所以點的坐標為，所以直線的方程為，記直線與直線的交點為點，則點的坐標為，根據(jù)拋物線的對稱性，不妨設(shè)，則或，當時，則，，所以，，所以四邊形的面積，所以，設(shè)，由已知，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，當時，則，，所以，，所以四邊形的面積，所以，設(shè)，由已知，則，所以，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以四邊形面積取值范圍為.【點睛】方法點睛：（1）解答直線與拋物線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．（2）涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．28．（2024·河北保定·二模）平面幾何中有一定理如下：三角形任意一個頂點到其垂心（三角形三條高所在直線的交點）的距離等于外心（外接圓圓心）到該頂點對