2015年黑龍江省大慶市中考數(shù)學(xué)試卷（含解析版）

2015年黑龍江省大慶市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）

1.（3分）（2015?大慶）sin60°=（）

A.1B.立C.1D.立

222

2.（3分）（2015?大慶）將0.00007用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.7x106B.70x105C.7x105D.0.7xl06

3.（3分）（2015?大慶）az的算術(shù)平方根一定是（）

A.aB.|a|C.〃D.-a

4.（3分）（2015?大慶）正n邊形每個內(nèi)角的大小都為108。，則n=（）

A.5B.6C.7D.8

5.（3分）（2015?大慶）某品牌自行車1月份銷售量為100輛，每輛車售價相同.2

月份的銷售量比1月份增加10%,每輛車的售價比1月份降低了80元.2月份

與1月份的銷售總額相同，則1月份的售價為（）

A.880元B.800元C.720元D.1080元

6.（3分）（2015?大慶）在。O中，圓心。到弦AB的距離為AB長度的一半，

則弦AB所對圓心角的大小為（）

A.30°B.45℃.60°D.90°

7.（3分）（2015?大慶）以下圖形中對稱軸的數(shù)量小于3的是（）

8.（3分）（2015?大慶）某射擊小組有20人，教練根據(jù)他們某次射擊的數(shù)據(jù)繪

制如圖所示的統(tǒng)計圖，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

個人教

5678910環(huán)數(shù)

A.7,7B.8,7.5C.7,7.5D.8,6

9.（3分）（2015?大慶）已知二次函數(shù)y=a（x-2）2+c,當(dāng)x=xi時，函數(shù)值為

yi；當(dāng)x=X2時，函數(shù)值為y2,若|xi-2|〉|x2-2|,則下列表達(dá)式正確的是（）

A.yi+y2>0B.yi-y2>0C.a（yi-y2）>0D.a（yi+y2）>0

10.（3分）（2015?大慶）已知點A（-2,0）,B為直線x=-1上一個動點，P

為直線AB與雙曲線y口的交點，且AP=2AB,則滿足條件的點P的個數(shù)是（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

二、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分）

H.（3分）（2015?大慶）函數(shù)y=4的自變量x的取值范圍是.

12.（3分）（2015?大慶）已知工口，則二的值為___________.

y3y

13.（3分）（2015?大慶）底面直徑和高都是1的圓柱側(cè)面積為.

14.（3分）（2015?大慶）邊長為1的正三角形的內(nèi)切圓半徑為.

15.（3分）（2015?大慶）用一個平面去截一個幾何體，截面形狀為三角形，則

這個幾何體可能為：①正方體；②圓柱；③圓錐；④正三棱柱（寫

出所有正確結(jié)果的序號）.

16.（3分）（2015?大慶）方程3（x-5）2=2（x-5）的根是.

17.（3分）（2015?大慶）若a?n=5,b2n=16,則（ab）n=.

18.（3分）（2015?大慶）在R3ABC中，ZC=9O°,AC=BC=1,將其放入平面直

角坐標(biāo)系，使A點與原點重合，AB在x軸上，4ABC沿x軸順時針無滑動的滾

動，點A再次落在x軸時停止?jié)L動，則點A經(jīng)過的路線與x軸圍成圖形的面積

為

x

三、解答題（共10小題，滿分66分）

19.（4分）（2015?大慶）求值：VO725+2+（-1）2015

2

20.（4分）（2015?大慶）解關(guān)于x的不等式：ax-x-2>0.

21.（5分）（2015?大慶）已知實數(shù)a,b是方程x2-x-1=0的兩根，求—的值.

ab

22.（6分）（2015?大慶）已知一組數(shù)據(jù)xi,X2,...X6的平均數(shù)為1,方差為至

3

⑴求:Xl2+X22+...+X62；

（2）若在這組數(shù)據(jù)中加入另一個數(shù)據(jù)X7,重新計算，平均數(shù)無變化，求這7個

數(shù)據(jù)的方差（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）

23.（7分）（2015?大慶）某商場舉行開業(yè)酬賓活動，設(shè)立了兩個可以自由轉(zhuǎn)動

的轉(zhuǎn)盤（如圖所示，兩個轉(zhuǎn)盤均被等分），并規(guī)定：顧客購買滿188元的商品，

即可任選一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動一次，轉(zhuǎn)盤停止后，指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)容即為優(yōu)惠方式；若

指針?biāo)竻^(qū)域空白，則無優(yōu)惠.已知小張在該商場消費300元

（1）若他選擇轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤1,則他能得到優(yōu)惠的概率為多少？

（2）選擇轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤1和轉(zhuǎn)盤2,哪種方式對于小張更合算，請通過計算加以說

明.

24.（7分）（2015?大慶）小敏同學(xué)測量一建筑物CD的高度，她站在B處仰望

樓頂C,測得仰角為30。，再往建筑物方向走30m,到達(dá)點F處測得樓頂C的仰

角為45。（BFD在同一直線上）.已知小敏的眼睛與地面距離為L5m,求這棟建

筑物CD的高度（參考數(shù)據(jù)：73=1.732,72=1.414.結(jié)果保留整數(shù)）

25.（7分）（2015?大慶）如圖，AABC中，ZACB=9O°,D、E分別是BC、BA

的中點，聯(lián)結(jié)DE,F在DE延長線上，且AF=AE.

（1）求證：四邊形ACEF是平行四邊形；

（2）若四邊形ACEF是菱形，求NB的度數(shù).

D

A

26.(8分)(2015?大慶)如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=-1的

x

圖象交于A(-1,m)、B(n,-1)兩點

(1)求一次函數(shù)的解析式；

(2)求^AOB的面積.

27.(9分)(2015?大慶)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,ADIIBC,P為BD

上一■點，ZAPB=ZBAD.

(1)證明：AB=CD；

(2)證明：DP?BD=AD?BC；

(2)證明：BD2=AB2+AD?BC.

B

28.(9分)(2015?大慶)已知二次函數(shù)y=x?+bx-4的圖象與y軸的交點為C,

與x軸正半軸的交點為A,且tanNACO=。

4

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)P為二次函數(shù)圖象的頂點，Q為其對稱軸上的一點，QC平分NPQO,求Q

點坐標(biāo)；

(3)是否存在實數(shù)xi、X2(xi<X2),當(dāng)xiWxWx2時，y的取值范圍為乂口4衛(wèi)？

x2X1

若存在，直接寫在XI,X2的值；若不存在，說明理由.

2015年黑龍江省大慶市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）

1.（3分）（2015?大慶）sin60°=（）

A.1B.蟲C.1D.立

222

考點：特殊角的三角函數(shù)值.

專題：計算題.

分析：原式利用特殊角的三角函數(shù)值解得即可得到結(jié)果.

解答：解：5m60。=在，

2

故選D

點評：此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解本題的

關(guān)鍵.

2.（3分）（2015?大慶）將0.00007用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.7X10-6B.70X10-5C.7X10-5D.0.7X10-6

考點：科學(xué)記數(shù)法一表示較小的數(shù).

分析：絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為axlO?

與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)募，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一

個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

解答：解：0.00007=7xl0-5.

故選：C.

點評：本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為axio?其中14|a|<

10,n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

3.（3分）（2015?大慶）az的算術(shù)平方根一定是（)

A.aB.|a|C.立D.-a

考點：算術(shù)平方根.

分析：根據(jù)算術(shù)平方根定義，即可解答.

解答：解：4=叫

故選：B.

點評：本題考查了對算術(shù)平方根定義的應(yīng)用，能理解定義并應(yīng)用定義進(jìn)行計算

是解此題的關(guān)鍵，難度不是很大.

4.（3分）（2015?大慶）正n邊形每個內(nèi)角的大小都為108。，則n=（）

A.5B.6C.7D.8

考點：多邊形內(nèi)角與外角.

分析：利用正多邊形的性質(zhì)得出其外角，進(jìn)而得出多邊形的邊數(shù).

解答：解：?.,正n邊形每個內(nèi)角的大小都為108。，

??.每個外角為：72°,

則n=更^—=5.

72°

故選：A.

點評：此題主要考查了多邊形內(nèi)角與外角，正確得出其外角度數(shù)是解題關(guān)鍵.

5.（3分）（2015?大慶）某品牌自行車1月份銷售量為100輛，每輛車售價相同.2

月份的銷售量比1月份增加10%,每輛車的售價比1月份降低了80元.2月份

與1月份的銷售總額相同，則1月份的售價為（）

A.880元B.800元C.720元D.1080元

考點：一元一次方程的應(yīng)用.

分析：設(shè)1月份每輛車售價為X元，則2月份每輛車的售價為（X-80）元，依

據(jù)"2月份的銷售量比1月份增加10%,每輛車的售價比1月份降低了80元.2

月份與1月份的銷售總額相同"列出方程并解答.

解答：解：設(shè)1月份每輛車售價為x元，則2月份每輛車的售價為（x-80）元,

依題意得100x=（x-80）xlOOx（1+10%）,

解得x=88O.

即1月份每輛車售價為880元.

故選：A.

點評：本題考查了一元一次方程的應(yīng)用.根據(jù)題意得到"2月份每輛車的售價"

和"2月份是銷售總量”是解題的突破口.

6.（3分）（2015?大慶）在。0中，圓心。到弦AB的距離為AB長度的一半，

則弦AB所對圓心角的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

考點：垂徑定理；等腰直角三角形.

分析：利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及垂徑定理得出NBOC的度數(shù)進(jìn)而求出.

解答：解：如圖所不：連接BO,AO,

,圓心O到弦AB的距離為AB長度的一半，

.".DO=DB,DO±AB,

.,.ZBOC=ZBOC=45°,

則NA=NAOC=45。，

.,.ZAOB=90°.

故選：D.

點評：此題主要考查了垂徑定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)，得出NBOC=N

BOC=45。是解題關(guān)鍵.

7.（3分）（2015?大慶）以下圖形中對稱軸的數(shù)量小于3的是（）

考點：軸對稱圖形.

分析：根據(jù)對稱軸的概念求解.

解答：解：A、有4條對稱軸；

B、有6條對稱軸；

C、有4條對稱軸；

D、有2條對稱軸.

故選D.

點評：本題考查了軸對稱圖形，解答本題的關(guān)鍵是掌握對稱軸的概念：如果一

個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖

形，這條直線叫做對稱軸.

8.（3分）（2015?大慶）某射擊小組有20人，教練根據(jù)他們某次射擊的數(shù)據(jù)繪

制如圖所示的統(tǒng)計圖，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

個人教

5678910環(huán)數(shù)

A.7,7B.8,7.5C.7,7.5D.8,6

考點：眾數(shù)；條形統(tǒng)計圖；中位數(shù).

分析：找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)（或兩

個數(shù)的平均數(shù)）為中位數(shù)；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，可得答案.

解答：解：在這一組數(shù)據(jù)中7是出現(xiàn)次數(shù)最多的，故眾數(shù)是7；

排序后處于中間位置的那個數(shù)是7,8,那么由中位數(shù)的定義可知，這組數(shù)據(jù)的

中位數(shù)是堡=7.5；

2

故選：C.

點評：本題為統(tǒng)計題，考查極差、眾數(shù)與中位數(shù)的意義.中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)

從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個數(shù)（或最中間兩個數(shù)的平均

數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).如果中位數(shù)的概念掌握得不好，不把數(shù)據(jù)按要求

重新排列，就會出錯.

9.（3分）（2015?大慶）已知二次函數(shù)y=a（x-2）2+c,當(dāng)x=xi時，函數(shù)值為

yi；當(dāng)x=x2時，函數(shù)值為y2,若|xi-2|>|x2-2|,則下列表達(dá)式正確的是（）

A.yi+y2>0B.yi-y2>0C.a（yi-y2）>0D.a（yi+y2）>0

考點：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

分析：分a>0和a<0兩種情況根據(jù)二次函數(shù)的對稱性確定出yi與yi的大小關(guān)

系，然后對各選項分析判斷即可得解.

解答：解：①a>0時，二次函數(shù)圖象開口向上，

?■>|xi-2|>|X2-2|,

」.yi>y2,

無法確定yi+y2的正負(fù)情況，

a（yi-y2）>0,

②aVO時，二次函數(shù)圖象開口向下，

?■?|xi-2|>|X2-2|,

：yi<y2,

無法確定yi+y2的正負(fù)情況，

a(yi-y2)>0,

綜上所述，表達(dá)式正確的是a(yi-y2)>0.

故選C.

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，主要利用了二次函數(shù)的對稱

性，難點在于根據(jù)二次項系數(shù)a的正負(fù)情況分情況討論.

10.(3分)(2015?大慶)已知點A(-2,0),B為直線x=-1上一個動點，P

為直線AB與雙曲線y=。的交點，且AP=2AB,則滿足條件的點P的個數(shù)是()

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

分析：如圖，設(shè)P(m,A),B(-1,n),直線x=-1與x軸交于C,有A(-

IT

2,0),得到OA=2,OC=1,AC=1,BCIIy軸，推出坐望」，于是得到這樣的

AP-AO2

點P不存在，點P4在AB之間，不滿足AP=2AB,過P2作P2Q_Lx軸于Q,求

得滿足條件的點P(-4,-1),于是得到滿足條件的點P的個數(shù)是1,

4

解答：解：如圖，設(shè)P(m,1),B(-1,n),直線x=-1與x軸交于C,

IT

,/A(-2,0),

.,.OA=2,OC=1,

.,.AC=1,BCIIy軸,

.AB_AC_1；

''AP=AO^

」.Pi,P3在y軸上，

這樣的點P不存在，

點P4在AB之間，不滿足AP=2AB,

過P2作P2Q_Lx軸于Q,

.PQIIBiC,

AB

.1_AC=1

■,AP^-AQ~2

?-----1-—_—1,

~in~22

/.m=-4,

.-.P(-4,-1)，

4

「?滿足條件的點P的個數(shù)是1,

故選B.

點評：本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的焦點問題，平行線分線段成比例,

注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

二、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分）

11.（3分）（2015?大慶）函數(shù)y=口的自變量x的取值范圍是x>0

考點：函數(shù)自變量的取值范圍.

分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0,分母不等于0,

就可以求解.

解答：解：根據(jù)二次根式有意義，分式有意義得：X20且x，0,

解得：x>0.

故答案為：x>0.

點評：本題考查的知識點為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)

是非負(fù)數(shù).

12.（3分）（2015?大慶）已知則上二2的值為_1

y3y3

考點：比例的性質(zhì).

分析：根據(jù)已知設(shè)x=k,y=3k,代入求出即可.

解答：解：7皂，

y3

.,?設(shè)x=k,y=3k,

.x-y_k-3k__2

??---------------——9

y3k3

故答案為：-2

3

點評：本題考查了比例的性質(zhì)的應(yīng)用，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪鼋Y(jié)果是解此題的

關(guān)鍵，難度不大.

13.（3分）（2015?大慶）底面直徑和高都是1的圓柱側(cè)面積為兀.

考點：圓柱的計算.

分析：圓柱的側(cè)面積=底面周長X高.

解答：解：圓柱的底面周長=71X1=71.

圓柱的側(cè)面積=底面周長X高=TTX1=TI.

故答案是：71.

點評：本題考查了圓柱的計算，熟記公式即可解答該題.

14.（3分）（2015?大慶）邊長為1的正三角形的內(nèi)切圓半徑為亞

—6—

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.

分析：根據(jù)等邊三角形的三線合一，可以構(gòu)造一個由其內(nèi)切圓的半徑、外接圓

的半徑和半邊組成的30。的直角三角形，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出內(nèi)切圓半徑

即可.

解答：解：???內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑和半邊組成一個30。的直角三角形，

貝I]NOBD=30°,BD=1,

2

.,.tanNBOD=?=立，

BD3_

內(nèi)切圓半徑OD=^x1=理.

326

故答案為：近.

6

點評：此題主要考查了三角形的內(nèi)切圓，注意：根據(jù)等邊三角形的三線合一，

可以發(fā)現(xiàn)其內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑和半邊正好組成了一個30。的直角三角

形.

15.（3分）（2015?大慶）用一個平面去截一個幾何體，截面形狀為三角形，則

這個幾何體可能為：①正方體；②圓柱；③圓錐；⑷正三棱柱①⑶⑷（寫

出所有正確結(jié)果的序號）.

考點：截一個幾何體.

分析：當(dāng)截面的角度和方向不同時，圓柱體的截面無論什么方向截取圓柱都不

會截得三角形.

解答：解：①正方體能截出三角形；

②圓柱不能截出三角形；

③圓錐沿著母線截幾何體可以截出三角形；

④正三棱柱能截出三角形.

故截面可能是三角形的有3個.

故答案為：①③④.

點評：本題考查幾何體的截面，截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān)，還與截面

的角度和方向有關(guān).

16.(3分)(2015?大慶)方程3(x-5)2=2(x-5)的根是xi=5,X2=—.

3-

考點：解一元二次方程-因式分解法.

專題：計算題.

分析：方程移項變形后，利用因式分解法求出解即可.

解答：解：方程變形得：3(x-5)2-2(x-5)=0,

分解因式得：(x-5)[3(x-5)-2]=0,

可得x-5=0或3x-17=0,

解得：Xl=5,X2=—.

3

故答案為：XI=5,X2=—

3

點評：此題考查了解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是

解本題的關(guān)鍵.

17.(3分)(2015?大慶)若a2n=5,b2n=16,則(ab)n=_±

考點：募的乘方與積的乘方.

分析：根據(jù)募的乘方與即的乘方，即可解答.

解答：解：:a2n=5,b2n=16,

(an)2=5,(bn)2=16,

??&“=±粕，bn=±4J

■'（ab）三&%y=±縱而，

故答案為：土蟲四.

點評：本題考查了哥的乘方與即的乘方，解決本題的關(guān)鍵是注意公式的逆運用.

18.（3分）（2015?大慶）在RtZkABC中，zC=90°,AC=BC=1,將其放入平面直

角坐標(biāo)系，使A點與原點重合，AB在x軸上，AABC沿x軸順時針無滑動的滾

動，點A再次落在x軸時停止?jié)L動，則點A經(jīng)過的路線與x軸圍成圖形的面積

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；扇形面積的計算.

專題：規(guī)律型.

分析：由勾股定理求出AB,由題意得出點A經(jīng)過的路線與x軸圍成的圖形是

一個圓心角為135。，半徑為友的扇形，加上AABC,再加上圓心角是90。，半徑

是1的扇形；由扇形的面積和三角形的面積公式即可得出結(jié)果.

解答：解：,.,NC=90。，AC=BC=L

」.AB=[J[]2=正；

根據(jù)題意得：&AABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)135。，BC落在x軸上；z\ABC再繞

點C順時針旋轉(zhuǎn)90。，AC落在x軸上，停止?jié)L動；

.??點A的運動軌跡是：先繞點B旋轉(zhuǎn)135。，再繞點C旋轉(zhuǎn)90。；如圖所示:

.?.點A經(jīng)過的路線與x軸圍成的圖形是：

一個圓心角為135。，半徑為血的扇形，加上2\ABC,再加上圓心角是90。，半徑

是1的扇形；

，點A經(jīng)過的路線與x軸圍成圖形的面積

J35X71X（加）Z+Lia+goxjrxJG+L

36023602

故答案為：n+1.

2

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、扇形面積的計算公式；根據(jù)題意得出點A經(jīng)過

的路線與x軸圍成的圖形由三部分組成是解決問題的關(guān)鍵.

三、解答題（共10小題，滿分66分）

19.（4分）（2015?大慶）求值：V6725+（-）2+（-1）2015.

2

考點：實數(shù)的運算.

專題：計算題.

分析：原式第一項利用算術(shù)平方根定義計算，第二項利用乘方的意義化簡，第

三項利用乘方的意義化簡，計算即可得到結(jié)果.

解答：解：原式“+工-1=-上

244

點評：此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

20.（4分）（2015?大慶）解關(guān)于x的不等式：ax-x-2>0.

考點：解一元一次不等式.

專題：分類討論.

分析：利用不等式的基本性質(zhì)，把不等號左邊的-2移到右邊，再根據(jù)a-1的

取值，即可求得原不等式的解集.

解答：解：ax-x-2>0.

（a-1）x>2,

當(dāng)a-1=0,則ax-x-2>0為空集，

當(dāng)a-l>0,貝Ix>—Z-,

a-1

Ha-l<0,則a<-^-.

a-1

點評：此題考查了解簡單不等式的能力，掌握解不等式要依據(jù)不等式的基本性

質(zhì)：

（1）不等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或整式不等號的方向不變；

（2）不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù)不等號的方向不變；

（3）不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負(fù)數(shù)不等號的方向改變.

21.（5分）（2015?大慶）已知實數(shù)a,b是方程x?-x-1=0的兩根，求耳色的值.

ab

考點：根與系數(shù)的關(guān)系.

分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=l,ab=-1,再利用完全平方公式變形得

到耳去且f（空b'二2日,然后利用整體代入的方法進(jìn)行計算.

ababab

解答：解：...實數(shù)a,b是方程x2-x-1=0的兩根，

.*.a+b=Lab=-l,

.上］」>2+&2=（a+b）2\ab=_3

ababab

點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若xi,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0（arO）

的兩根時，Xl+X2=--X1X2=—.

a9a

22.（6分）（2015?大慶）已知一組數(shù)據(jù)xi,X2,...X6的平均數(shù)為1,方差為至

3

(1)求：Xl2+X22+...+X62；

（2）若在這組數(shù)據(jù)中加入另一個數(shù)據(jù)X7,重新計算，平均數(shù)無變化，求這7個

數(shù)據(jù)的方差（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）

考點：方差；算術(shù)平均數(shù).

分析：（1）先由數(shù)據(jù)XI,X2,...X6的平均數(shù)為1,得出X1+X2+...+X6=1X6=6,再

根據(jù)方差為&得到s2=l[（XI-1）2+（X2-1）2+...+（X6-1）2]=反利用完全

363

平方公式求出。（XI2+X22+...+X62-2x6+6）=至，進(jìn)而求解即可；

63

（2）先由數(shù)據(jù)XI,X2,…X7的平均數(shù)為1,得出X1+X2+...+X7=1X7=7,而

Xl+X2+...+X6=6,所以X7=l；再根據(jù)』（XI-1）2+（X2-1）2+...+（X6-1）2]=—,

63

得出（XI-1）2+（X2-1）2+...+（X6-1）2=10,然后根據(jù)方差的計算公式即可求

出這7個數(shù)據(jù)的方差.

解答：解：⑴???數(shù)據(jù)XI,X2,...X6的平均數(shù)為1,

.'.Xl+X2+...+X6=1x6=6,

又???方差為巨

3

/.S2=-l[（XI-1）2+（X2-1）2+...+（X6-1）2]

=A[X12+X22+...+X62-2（X1+X2+…+X6）+6]

6

=—（XI2+X22+...+X62-2x6+6）

6

=—（Xl2+X22+...+X62）-1二至，

63

..X12+X22+...+X62=16；

（2）???數(shù)據(jù)XI,X2,…X7的平均數(shù)為1,

」.X1+X2+…+X7=1X7=7,

「X1+X2+…+X6=6,

.'.X7=L

[（XI-1）2+（X2-1）2+...+（X6-1）2]=—,

63

（XI-1）2+（X2-1）2+...+（X6-1）2=10,

.-.S2=-1[（XI-1）2+（X2-1）2+...+（X7-1）2]

=l[10+（1-1）2]

7

=w

點評：本題考查了平均數(shù)與方差的意義.平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之

和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù).一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù),

叫做這組數(shù)據(jù)的方差.計算公式是：s2=』（XI-X）2+（X2-x）2+...+（Xn-X）

n

7

23.（7分）（2015?大慶）某商場舉行開業(yè)酬賓活動，設(shè)立了兩個可以自由轉(zhuǎn)動

的轉(zhuǎn)盤（如圖所示，兩個轉(zhuǎn)盤均被等分），并規(guī)定：顧客購買滿188元的商品，

即可任選一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動一次，轉(zhuǎn)盤停止后，指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)容即為優(yōu)惠方式；若

指針?biāo)竻^(qū)域空白，則無優(yōu)惠.已知小張在該商場消費300元

（1）若他選擇轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤1,則他能得到優(yōu)惠的概率為多少？

（2）選擇轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤1和轉(zhuǎn)盤2,哪種方式對于小張更合算，請通過計算加以說

明.

考點：列表法與樹狀圖法.

分析：（1）根據(jù)轉(zhuǎn)盤1,利用概率公式求得獲得優(yōu)惠的概率即可;

（2）分別求得轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤所獲得的優(yōu)惠，然后比較即可得到結(jié)論.

解答：解：（1）?.?整個圓被分成了12個扇形，其中有6個扇形能享受折扣,

.-.p（得到優(yōu)惠）=A=1;

122

（2）轉(zhuǎn)盤］能獲得的優(yōu)惠為：°。3X300+0.2X300X2+0.1X300義3=25元,

12

轉(zhuǎn)盤2能獲得的優(yōu)惠為：40x2=20元，

4

所以選擇轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤1更優(yōu)惠.

點評：本題考查了幾何概率，考查學(xué)生對簡單幾何概型的掌握情況，既避免了

單純依靠公式機械計算的做法，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實生活、甚至娛樂中的運

用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)性.用到的知識點為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之

比.

24.（7分）（2015?大慶）小敏同學(xué)測量一建筑物CD的高度，她站在B處仰望

樓頂C,測得仰角為30。，再往建筑物方向走30m,到達(dá)點F處測得樓頂C的仰

角為45。（BFD在同一直線上）.已知小敏的眼睛與地面距離為1.5m,求這棟建

筑物CD的高度（參考數(shù)據(jù)：73=1.732,72=1.414.結(jié)果保留整數(shù)）

考點：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

分析：延長AE交CD于點G,設(shè)CG=xm,在直角^CGE中利用x表示出EG,

然后在直角AACG中，利用x表示出AG,根據(jù)AE=AG-EG即可列方程求得x

的值，進(jìn)而球兒CD的長.

解答：解：延長AE交CD于點G.設(shè)CG=xm,

在直角4CGE中，NCEG=45。，則EG=CG=xm.

在直角△ACG中，AG=―3—=/3xm.

tan300

/AG-EG=AE,

-x=30,

解得：x=15(V3+1)=15x2.732=40.98(m).

貝ljCD=40.98+1.5=42.48(m).

答：這棟建筑物CD的高度約為42nl.

點評：本題考查仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三

角形.

25.（7分）（2015?大慶）如圖，ZkABC中，ZACB=90°,D、E分別是BC、BA

的中點，聯(lián)結(jié)DE,F在DE延長線上，且AF=AE.

（1）求證：四邊形ACEF是平行四邊形；

（2）若四邊形ACEF是菱形，求NB的度數(shù).

考點：菱形的性質(zhì)；平行四邊形的判定.

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CE=AE=BE,

從而得到AF=CE,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得N1=N2,根據(jù)等邊對

等角可得然后NF=N3,然后求出N2=NF,再根據(jù)同位角相等，兩直線平行求出

CEIIAF,然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是菱形證明;

（2）根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AC=CE,然后求出AC=CE=AE,從而得到

△AEC是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的每一個角都是60。求出NCAE=60。，

然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余解答.

解答：（1）證明：??,NACB=90。，E是BA的中點，

.,.CE=AE=BE,

,.AF=AE,

..AF=CE,

在ABEC中，,??BE=CE且D是BC的中點，

??.ED是等腰ZkBEC底邊上的中線，

,ED也是等腰ABEC的頂角平分線，

.-.Z1=Z2,

.AF=AE,

.,.ZF=Z3,

,?,Z1=Z3,

，N2=NF,

.,.CEIIAF,

又,.,CE=AF,

四邊形ACEF是平行四邊形；

（2）解：?四邊形ACEF是菱形，

.,.AC=CE,

由（1）知，AE=CE,

.,.AC=CE=AE,

「.△AEC是等邊三角形,

，NCAE=60°,

在RtAABC中，ZB=9O°-ZCAE=9O°-60°=30°.

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，

熟記各性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵.

26.(8分)(2015?大慶)如圖，一次函數(shù)丫=1?+13的圖象與反比例函數(shù)y=-1的

X

圖象交于A(-1,m)、B(n,-1)兩點

(1)求一次函數(shù)的解析式；

(2)求ZkAOB的面積.

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

專題：計算題.

分析：(1)把A與B坐標(biāo)代入反比例解析式求出m與n的值，確定出A與B

坐標(biāo)，代入一次函數(shù)解析式求出k與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；

(2)由A與B的坐標(biāo)求出AB的長，利用點到直線的距離公式求出原點O到直

線AB的距離，即可求出三角形AOB面積.

解答：解：(1)把A(-1,m),B(n,-1)代入反比例函數(shù)y=-工得:

m=7,n=7,即A(-1,7),B(7,-1),

把A與B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式得：("k+b=7,

7k+b=-1

解得：k=-1,b=6,

則一次函數(shù)解析式為y=-x+6；

(2),.,A(-1,7),B(7,-1),

-,AB=(-1-7)2+(7+1)2=8,'厄

,點O至U直線y=-x+6的距離d=」L=3?,

V2

.1.SAAOB=—AB?d=24.

2

點評：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：待定系

數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩點間的距離公式，以及點到直線的距離公式，熟練掌

握待定系數(shù)法是解本題第一問的關(guān)鍵.

27.(9分)(2015?大慶)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于ADIIBC,P為BD

上一■點，ZAPB=ZBAD.

(1)證明：AB=CD；

(2)證明：DP?BD=AD?BC；

(2)證明：BD2=AB2+AD?BC.

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理.

專題：證明題.

分析：(1)利用平行線的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理得出第=而，進(jìn)而得出答案;

（2）首先得出AADPsADBC,進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出答案;

(3)利用相似三角形的判定方法得出AABPSADBA,進(jìn)而求出AB?=DB?PB,

再利用(2)中所求得出答案.

解答：證明：(1)■■?ADIIBC,

.,.ZADB=ZBDC,

.?.AB=DC>

.,.AB=BC；

(2),.ZAPB=ZBAD,ZBAD+ZBCD=180°,ZAPB+ZAPD=18O°,

..NBCD=NAPD,

又.,NADB=NCBD,

..△ADPSADBC,

.AD=DP；

-BD而

，DP?BD=AD?BC；

(3),.ZAPB=ZBAD,NBAD=NBPA,

」.△ABPSADBA,

?逗里

'DBAB)

.-.AB2=DB?PB,

.-.AB2+AD?BC=DB?PB+AD*BC

...由(2)得：DP?BD=AD?BC,

.-.AB2+AD?BC=DB?PB+DP?BD=DB(PB+DP)=DB2,

即BD2=AB2+AD?BC.

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理，熟練應(yīng)用相

似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

28.（9分）（2015?大慶）已知二次函數(shù)y=x?+bx-4的圖象與y軸的交點為C,

與x軸正半軸的交點為A,且tanNACO=」

4

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）P為二次函數(shù)圖象的頂點，Q為其對稱軸上的一點，QC平分NPQO,求Q

點坐標(biāo)；

（3）是否存在實數(shù)xi、X2（xi<X2）,當(dāng)xiWxWx2時，y的取值范圍為基4y4基？

x2X1

若存在，直接寫在XI,X2的值；若不存在，說明理由.

考點：二次函數(shù)綜合題.

分析：（1）首先根據(jù)tanNACO=L求出0A的值，即可判斷出A點的坐標(biāo)；

4

然后把A點的坐標(biāo)代入y=x2+bx-4,求出b的值，即可判斷出二次函數(shù)的解析

式.

（2）首先根據(jù)Q為拋物線對稱軸上的一點，設(shè)點Q的坐標(biāo)為（-旦n）；然后

2

未艮據(jù)NOQC=NCQP、ZCQP=ZOCQ,可得NOQC=NOCQ,所以0Q=0C,據(jù)止匕求

出n的值，進(jìn)而判斷出Q點坐標(biāo)即可.

（3）根據(jù)題意，分3種情況：①當(dāng)XI4X24-3時；②當(dāng)XI4-3WX2時；③當(dāng)-

22

3<xi<X2Ht；然后根據(jù)二次函數(shù)的最值的求法，求出滿足題意的實數(shù)XI、X2（XI

2

<X2）,使得當(dāng)X1WX