重難點02 二次函數(shù)中相似三角形問題（解析版）

重難點02二次函數(shù)中相似三角形問題技巧方法技巧方法二次函數(shù)背景下的相似三角形考點分析：1.先求函數(shù)的解析式，然后在函數(shù)的圖像上探求符合幾何條件的點；2.簡單一點的題目，就是用待定系數(shù)法直接求函數(shù)的解析式；3.復(fù)雜一點的題目，先根據(jù)圖形給定的數(shù)量關(guān)系，運用數(shù)形結(jié)合的思想，求得點的坐標，繼而用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；4.還有一種常見題型，解析式中由待定字母，這個字母可以根據(jù)題意列出方程組求解；5.當(dāng)相似時：一般說來，這類題目都由圖像上的點轉(zhuǎn)化到三角形中的邊長的問題，再由邊的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化到三角形的相似問題；6.考查利用幾何定理和性質(zhì)或者代數(shù)方法建立方程求解的方法。能力拓展能力拓展一、單選題1．（2022·浙江紹興·九年級期末）如圖，已知點，O為坐標原點，P是線段OA上任意一點（不含端點O，A），過P，O兩點的二次函數(shù)和過P，A兩點的二次函數(shù)的圖象開口均向下，它們的頂點分別為B，C，射線OB與AC相交于點D，當(dāng)時，這兩個二次函數(shù)的最大值之和等于（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】C【分析】過作于，過作于，過作于，利用拋物線和等腰三角形的對稱性可得，先證明，，由此可得，，兩式相加并化簡，可得，利用勾股定理求出，即可得的值．【詳解】過作于，過作于，過作于．，，．由二次函數(shù)的對稱性可知，，，．，，，，，兩式相加，得．在中，．．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，有一定難度，屬于綜合性試題．二、填空題2．（2022·浙江寧波·九年級期末）已知過點的拋物線與坐標軸交于點A，C如圖所示，連結(jié)AC，BC，AB，第一象限內(nèi)有一動點M在拋物線上運動，過點M作交y軸于點P，當(dāng)點P在點A上方，且與相似時，點M的坐標為______．【答案】或【分析】運用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式，求出點A，C的坐標，得出AC=，BC=，AB=，判斷為直角三角形，且，過點M作MG⊥y軸于G，則∠MGA=90°，設(shè)點M的橫坐標為x，則MG=x，求出含x的代數(shù)式的點M的坐標，再代入二次函數(shù)解析式即可．【詳解】把點B(4，1)代入，得：∴拋物線的解析式為令x=0，得y=3，∴A(0，3)令y=0，則解得，∴C（3，0）∴AC=∵B（4，1）∴BC=，AB=∴∴為直角三角形，且，過點M作MG⊥y軸于G，則∠MGA=90°，設(shè)點M的橫坐標為x，由M在y軸右側(cè)可得x＞0，則MG=x，∵PM⊥MA，∠ACB=90°，∴∠AMP=∠ACB=90°，①如圖，當(dāng)∠MAP=∠CBA時，則△MAP∽△CBA，∴同理可得，∴∴AG=MG=x，則M（x，3+x），把M（x，3+x）代入y=x2-x+3，得x2-x+3=3+x，解得，x1=0（舍去），x2=，∴3+x=3+∴M（，）；②如圖，當(dāng)∠MAP=∠CAB時，則△MAP∽△CAB，∴同理可得，AG=3MG=3x，則P（x，3+3x），把P（x，3+3x）代入y=x2-x+3，得x2-x+3=3+3x，解得，x1=0（舍去），x2=11，∴M（11，36），綜上，點M的坐標為（11，36）或（，）【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)等等知識，解題關(guān)鍵是注意分類討論思想在解題過程中的運用．三、解答題3．（2022·浙江麗水·三模）定義：對于拋物線，把它在軸下方的部分圖形作關(guān)于軸的軸對稱圖形，所得的圖形稱為的“型曲線”．如圖為的“型曲線”，與軸的交點為，，與軸的交點為，與對稱軸的交點為，有軸．(1)求的值．(2)若直線與的“型曲線”有且只有三個公共點，求的值．(3)在的“型曲線”是否存在點，使得，若存在，求點的橫坐標；若不存在，說明理由．【答案】(1)；(2)或(3)存在，點的橫坐標是，，【分析】（1）求出點的坐標為(，)以及點的坐標為(，)，利用軸，列出方程即可求解；（2）當(dāng)直線過點時；當(dāng)直線與段拋物線一個交點時，兩種情況，畫出圖形求解；（3）過作，交拋物線于點，過作交的延長線于點，證得，求得點，得到直線OE的解析式，與“型曲線”的解析式聯(lián)立求得交點；再延長到，使得，過點作垂直于拋物線的對稱軸直線于點，連接，則，求得點點的坐標，得到直線ON的解析式，然后與“型曲線”的解析式聯(lián)立求得交點即可．(1)解：中，令，則，點的坐標為(，)，對稱軸直線為，，由題意可得，點的坐標為(，)，∵軸，∴，解得．此時．(2)當(dāng)直線過點時，令，則，解得，∴，∴．當(dāng)直線與段拋物線一個交點時，可得，即，由，解得∴的值是或．(3)由（1）知，當(dāng)時，點的坐標為(，)，∴，∵點的坐標為(，)，∴，過作，交拋物線于點，過作交的延長線于點，則，∴，，∴∴，∴∵，∴，解得，，∴，∴點，∴直線的解析式為：，令，解得；令，解得；延長到，使得，過點作垂直于拋物線的對稱軸直線于點，連接，則，∴，，∴點橫坐標為，縱坐標為，∴點的坐標為(，)，∴直線的解析式為：，當(dāng)，解得．綜上可得，點的橫坐標是，，．【點睛】本題是一道二次函數(shù)的綜合題目，涉及到相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的解析式等，數(shù)形結(jié)合的思想是解決問題的關(guān)鍵．4．（2022·浙江湖州·中考真題）如圖1，已知在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC是邊長為3的正方形，其中頂點A，C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上，拋物線經(jīng)過A，C兩點，與x軸交于另一個點D．(1)①求點A，B，C的坐標；②求b，c的值．(2)若點P是邊BC上的一個動點，連結(jié)AP，過點P作PM⊥AP，交y軸于點M（如圖2所示）．當(dāng)點P在BC上運動時，點M也隨之運動．設(shè)BP＝m，CM＝n，試用含m的代數(shù)式表示n，并求出n的最大值．【答案】(1)①A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；②；(2)；【分析】（1）①根據(jù)坐標與圖形的性質(zhì)即可求解；②利用待定系數(shù)法求解即可；（2）證明Rt△ABP∽Rt△PCM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到n關(guān)于m的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．(1)解：①∵正方形OABC的邊長為3，∴點A，B，C的坐標分別為A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；②把點A(3，0)，C(0，3)的坐標分別代入y=?x2+bx+c，得，解得；(2)解：由題意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°，∴Rt△ABP∽Rt△PCM，∴，即．整理，得，即．∴當(dāng)時，n的值最大，最大值是．【點睛】本題綜合考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出點A，B，C的坐標是解題的關(guān)鍵．5．（2022·浙江金華·二模）如圖1，已知等腰中，，垂足為點D，動點P從點A出發(fā)，以1.5個單位每秒速度，沿方向運動，同時，點Q從點B出發(fā)，以1個單位每秒速度，沿方向運動，當(dāng)點P到達點B時，點Q即停止運動，設(shè)運動時間為t秒，過點P作，垂足為R，連結(jié)，作關(guān)于的對稱．(1)如圖2，當(dāng)時，求的長度．(2)求與面積差的最大值．(3)當(dāng)點M落在的邊上時，求t的值．【答案】(1)(2)當(dāng)秒時，面積差的最大值為(3)【分析】（1）利用勾股定理求出AD，利用平行線分線段成比例得到，即，得到t值，再利用勾股定理求出PQ；（2）過點P作PE⊥BC于E，證得△BPE∽△BAD，得到，即，求出PE，根據(jù)面積公式求出△BPQ的面積，△PQR的面積，計算面積差，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到最大值；（3）分點落在邊上，三種情況討論即可求解．(1)解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=6，∴，如圖2，當(dāng)時，，解得，(2)解：過點P作PE⊥BC于E，∵PE⊥BC，AD⊥BC，∴PE∥AD，∴△BPE∽△BAD，∴，即，解得，∴△BPQ的面積=，∵AP=1.5t，∴PR=，∴△PQR的面積，∴與面積差=，∴當(dāng)秒時，面積差的最大值為；(3)解：由在中，，，，，①當(dāng)點Q與點D重合時，點M落在AC上，如圖，設(shè)交于點，，關(guān)于的對稱，，，，在上，，，，，在與中，，，，四邊形是菱形，，,,在中，即，解得，②當(dāng)首次落在上時，重合，與重合，此時，當(dāng)不重合時，延長交于點，，關(guān)于的對稱，關(guān)于對稱，，，，即，，，，，，，解得，③當(dāng)落在上時，延長交于點,則，,，，，在中，，即，解得，綜上所述，當(dāng)點M落在的邊上時，．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，對稱的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．6．（2022·浙江寧波·九年級期末）如圖1，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點．(1)求點A，點C的坐標；(2)如圖2，連結(jié)AC，DC，過點C作交拋物線于點E．求證：∠DCE＝∠CAO；(3)如圖3，在（2）的條件下，連結(jié)BC，在射線EC上有點P，使以點D，E，P為頂點的三角形與△ABC相似，求EP的長．【答案】(1)，；(2)證明見解析；(3)或【分析】（1）由拋物線的解析式得出方程求出答案即可；（2）求出D點坐標，作DF⊥CE于F，證明△CFD∽△AOC，由相似三角形的性質(zhì)可得出答案；（3）求出AC的長，證出∠DEC=∠CAB，分兩種情況：①當(dāng)△DEP∽△CAB時，有，②當(dāng)△DEP∽△BAC時，有，由比例線段求出EP的長可得出答案．(1)解：令y＝0，得，解得，x1＝﹣3，x2＝1，∴，令x＝0，y＝，∴C（0，4）．(2)證明：∵，∴，如圖，作DF⊥CE于F，∴CF＝1，，∵AO＝3，OC＝4，∴，∵∠CFD＝∠AOC＝90，∴△CFD∽△AOC，∴∠DCE＝∠CAO；(3)解：如圖，連接DE，∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，4），D（﹣1，），∴，AB＝4，，由拋物線的對稱性質(zhì)得：DE＝DC＝，CE＝2，∴∠ECD＝∠DEC，由（2）得∠ECD＝∠CAO，∴∠DEC＝∠CAB，∵△DEP和△ABC相似，①當(dāng)△DEP∽△CAB時，有，∴，∴．②當(dāng)△DEP∽△BAC時，有，∴，∴．綜上所述，EP＝或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，坐標和圖形的性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·浙江湖州·九年級期中）拋物線過點A（－1，0），點B（3，0），頂點為C．(1)求拋物線的表達式及點C的坐標；(2)如圖1，點P在拋物線上，連接CP并延長交x軸于點D，連接AC，若△DAC是以AC為底的等腰三角形，求點P的坐標；(3)如圖2，在（2）的條件下，點E是線段AC上（與點A，C不重合）的動點，連接PE，作，邊EF交x軸于點F，當(dāng)AF的長度最大時，求點E的坐標．【答案】(1)；頂點C（1，4）；(2)P（，）；(3)點E的坐標（0，2）【分析】（1）把點A、B的坐標分別代入拋物線解析式中，解方程組即可，將一般式化為頂點式可得點C的坐標；（2）設(shè)AC交y軸于點F，連接DF，過點C作CG⊥x軸于點G，易得F點是AC的中點，從而可得DF⊥AC，則由△AFO∽△FDO可求得OD的長，從而得點D的坐標，用待定系數(shù)法可求得直線CD的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立即可求得點P的坐標；（3）過點P作PH⊥AB于點H，設(shè)，，則，利用△CEP∽△AFE對應(yīng)邊成比例，可得y與x的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．(1)將點A(－1，0)，點B(3，0)代入得:，解得:∴拋物線的表達式為∵∴頂點C(1，4)(2)設(shè)AC交y軸于點F，連接DF，過點C作CG⊥x軸于點G∵A(－1，0)，C(1，4)∴OA=1，OG=1，CG=4∴OA=OG，∵FO⊥AB，CG⊥AB∴FO//CG∴OF=CG=2，F(xiàn)為AC的中點∵△DAC是以AC為底的等腰三角形∴DF⊥AC∴∠AFO+∠OFD=90°∵FO⊥AD∴∠FAO+∠AFO=90°∴∠FAO=∠OFD∴∴∴∴OD=4∴D(4，0)設(shè)直線CD的解析式為∴，解得：∴直線CD的解析式為∴，解得：或∴P(，)(3)過點P作PH⊥AB于點H，如下圖則，∵OD=4∴∴∵∴由（2）知：設(shè)，，則∵DA=DC∴∵，又∵∴∴△CEP∽△AFE∴∴∴∴當(dāng)時，y最大值，即AF有最大值∵∴點E是線段AC的中點，即AC與y軸的交點由（2）知，OE=2∴點E的坐標(0，2)【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)解析式，直線與拋物線交點，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，利用相似表示出AF與AE的函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵與難點．8．（2021·浙江金華·一模）如圖1，拋物線y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）與x軸交于點A（8，0），與y軸交于點B，在x軸上有一動點E（m，0）（0<m<8），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PM⊥AB于點M．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)當(dāng)△PMN的周長是△AOB周長的時，求m的值；(3)如圖2，在（2）的條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為30°，連接E′A、E′B，在平面直角坐標系內(nèi)找一點Q，使△AOE′∽△BOQ，并求出點Q的坐標．【答案】(1)；(2)m＝4；(3)．【分析】（1）把點（8，0）代入y=ax2-6ax+6（a≠0），求得a的值即可；（2）先求出點B的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式為；根據(jù)題意可證明△PNM∽△ABO，根據(jù)相似比可求出PN=6．由E（m，0）（0<m<8），可知P，，所以，OE=m，AE=8-m，求出，進而可求出m的值．（3）由旋轉(zhuǎn)可知，△AOE'∽△BOQ，所以O(shè)E′：OA=OQ：OB，∠BOQ=∠AOE′=30°，則可求出OQ=6．如圖，過點Q作QH⊥y軸于點H，所以，，進而可求出Q的坐標．(1)把（8，0）代入y＝ax2﹣6ax+6（a≠0），得64a﹣48a+6=0，解得，∴拋物線的函數(shù)表達式為：．(2)在中，令x＝0，得y＝6，∴B（0，6），設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，將（8，0），（0，6）代入y＝kx+b中，得，解得，∴直線AB的解析式為：．∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEP＝90°．又∵∠PNM＝∠ANE，∴∠MPN＝∠BAO．又∵∠PMN＝∠AOB，∴△PNM∽△ABO，∴PN：AB＝C△PMN：C△AOB＝3：5，由題意得OB＝6，OA＝8，由勾股定理定理可得AB＝10，∴PN＝6．∵E（m，0）（0<m<8），∴，，∴，OE＝m，AE＝8﹣m，∴，解得m＝4．(3)∵線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OE'，旋轉(zhuǎn)角為30°，∴OE'＝OE＝4，∠AOE'＝30°．∵△AOE'∽△BOQ，∴OE′：OA＝OQ：OB，∠BOQ＝∠AOE′＝30°，∴4：8＝OQ：6，即OQ＝6，如圖，過點Q作QH⊥y軸于點H，∴，，∴當(dāng)點Q在y軸右側(cè)時，，當(dāng)點Q在y軸左側(cè)時，同理可得，，綜上所述，點Q的坐標為：，．【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形存在性等內(nèi)容；設(shè)出合適未知數(shù)，結(jié)合背景圖形表達點Q坐標是解題關(guān)鍵．9．（2021·浙江溫州·九年級期末）如圖，y=ax2-2ax+a-4與x軸負半軸交于A，交y軸于B，過拋物線頂點C作軸，垂足為D，四邊形AOCD是平行四邊形．(1)求拋物線的對稱軸以及二次函數(shù)的解析式；(2)作軸交拋物線于另一點E，交OC于F，求EF的長；(3)該二次函數(shù)圖象上有一點G（m，n）若點G到y(tǒng)軸的距離小于2，則n的取值范圍為___．【答案】(1)y＝x2－2x－3；(2)；(3)-4≤n＜5【分析】(1)先求對稱軸為直線x=1，再由題意可求A(?1,0)，將A點代入y=ax2?2ax+a?4，即可求解析式；(2)先求C(1,?4)，再求OB=3，由△OBF∽△OCD，可求BF=，即可求EF；(3)由題意可知?2<m<2，則當(dāng)x=?2時，y=5，當(dāng)x=1時，y=?4，從而可求?4?n<5(1)解：拋物線的對稱軸x＝－＝1∵ADCO是平行四邊形∴AO＝CD＝1∴A（－1，0）代入得：a＋2a＋a－4＝0，得a＝1∴y＝x2－2x－3；(2)解：y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4∴C（1，－4）∴CD＝1，OD＝4當(dāng)x＝0代入y＝－3∴OB＝3∵∴△OBF∽△OCD

∴＝∴BF＝由對稱性得BE＝2CD＝2∴EF＝2－＝；(3)解：∵點G到y(tǒng)軸的距離小于2，∵y＝(x－1)2－4，當(dāng)x=?2時，y=5，當(dāng)x=1時，y=?4故答案為：【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵10．（2022·浙江·嘉興一中一模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣2，0）和點B（8，0），與y軸交于點C，頂點為D，連接AC，BC，BC與拋物線的對稱軸l交于點E．(1)求拋物線的表達式；(2)點P是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接PB，PC，當(dāng)S△PBC＝S△ABC時，求點P的坐標；(3)點N是對稱軸l右側(cè)拋物線上的動點，在射線ED上是否存在點M，使得以點M，N，E為頂點的三角形與△OBC相似？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)P1（1，10.5），P2（7，4.5）；(3)存在，（3，8）或或（3，11）【分析】（1）直接將A（﹣2，0）和點B（8，0）代入y＝x2+bx+c（a≠0），解出b，c的值即可得出答案；（2）先求出點C的坐標及直線BC的解析式，再根據(jù)圖及題意得出三角形PBC的面積；過點P作PG⊥x軸，交x軸于點G，交BC于點F，設(shè)，根據(jù)三角形PBC的面積列關(guān)于t的方程，解出t的值，即可得出點P的坐標；（3）由題意得出三角形BOC為等腰直角三角形，然后分MN＝EM，MN＝NE，NE＝EM三種情況討論結(jié)合圖形得出邊之間的關(guān)系，即可得出答案．(1)解：∵拋物線y＝x2+bx+c過點A（﹣2，0）和點B（8，0），∴∴拋物線解析式為：；(2)解：當(dāng)x＝0時，y＝8，∴C（0，8），∴直線BC解析式為：y＝﹣x+8，∵，∴14過點P作PG⊥x軸，交x軸于點G，交BC于點F，設(shè)，∴F（t，﹣t+8），∴，∴，即，∴t1＝1，t2＝7，∴P1（1，10.5），P2（7，4.5）；(3)解：存在，點M的坐標為：（3，8），或（3，11）．∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°，∴△OBC為等腰直角三角形，拋物線的對稱軸為，∴點E的橫坐標為3，又∵點E在直線BC上，∴點E的縱坐標為5，∴E（3，5），設(shè)，①當(dāng)MN＝EM，∠EMN＝90°，△NME∽△COB，則，解得或（舍去），∴此時點M的坐標為（3，8），②當(dāng)ME＝EN，當(dāng)∠MEN＝90°時，則，解得：或（舍去），∴此時點M的坐標為；③當(dāng)MN＝EN，∠MNE＝90°時，此時△MNE與△COB相似，此時的點M與點E關(guān)于①的結(jié)果（3，8）對稱，設(shè)M（3，m），則m﹣8＝8﹣5，解得m＝11，∴M（3，11）；此時點M的坐標為（3，11）；故在射線ED上存在點M，使得以點M，N，E為頂點的三角形與△OBC相似，點M的坐標為：（3，8）或或（3，11）．【點睛】本題是一道綜合題，涉及二次函數(shù)的綜合、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識點，綜合性比較強，解答類似題的關(guān)鍵是添加合適的輔助線．11．（2022·浙江金華·一模）如圖，把兩個全等的和分別置于平面直角坐標系中，使直角邊OB、OD在x軸上．已知點，過A、C兩點的直線分別交x軸、y軸于點E、F，拋物線經(jīng)過O、A、C三點．(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)點G為拋物線上位于線段OC所在直線上方部分的一動點，求G到直線OC的最大距離和此時點G的坐標；(3)點P為線段OC上一個動點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點M，交x軸于點N，問是否存在這樣的點P，使得四邊形ABPM的邊AM與邊BP相等？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)G點到直線OC的最大距離為，此時G(2，4)(3)存在，P點的坐標為【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求得直線OC的解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）確定相關(guān)點的坐標以及線段長度的數(shù)量關(guān)系，得到一元二次方程，求出t的值，從而可解．(1)解：由題意：A(2，4)，C(4，2)，O(0，0)，因為拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點O，A，C，∴，解得，，，∴拋物線解析式為；(2)解：連接GO，GC，過G點作x軸的垂線交OC于點K，GH⊥OC于點H．令G點的橫坐標為m（0<m<4），則G(m，?m2+m)．設(shè)直線OC的解析式為y=kx+b，把C(4，2)，O(0，0)代入得：b=0，4k+b=2，k=，∴直線OC的解析式為y=x，則K(m，m)∴，當(dāng)時，的值最大為6，此時GH的值為最大，，∴，，∴G點到直線OC的最大距離為，此時G(2，4)；(3)解：存在．如圖所示，過點M作于點R，過點P作于點T．由題意：，∴MR=PT，∵AM=BP，∴．∴設(shè)點M的橫坐標為t，則．由（2）知：直線OC的解析式為，則∴，當(dāng)時，解得：，（不合題意，舍去）；當(dāng)時，無實數(shù)解．∴，此時∴P點的坐標為．【點睛】本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、相似三角形，涉及到的知識點眾多，難度較大，對學(xué)生能力要求較高，有利于訓(xùn)練并提升學(xué)生解決復(fù)雜問題的能力．12．（2022·浙江紹興·九年級期末）在平面直角坐標系xOy中，如果拋物線上存在一對點P和，且它們關(guān)于坐標原點O對稱，那么我們把點P和叫做這條拋物線的成對點．(1)已知點與是拋物線的成對點，求的坐標．(2)如圖，已知點A與C為拋物線的成對點，且A為該拋物線的頂點．①求c的值．②若這條拋物線的對稱軸與x軸交于點B，連結(jié)AC，BC，點D是射線AB上一點．如果∠ADC＝∠ACB，求點D的坐標．【答案】(1)；(2)①1；②【分析】（1）根據(jù)成對點的定義，結(jié)合中心對稱，將點代入解方程即可；（2）①根據(jù)成對點的定義，結(jié)合中心對稱，分別得到點A和點C的坐標，然后解方程即可；②由∠ADC＝∠ACB可知，然后根據(jù)坐標分別求出AB和AC，在根據(jù)相似的性質(zhì)，列方程即可．（1）∵點在函數(shù)的圖象上，∴當(dāng)時，，∴點，∴點與是拋物線的成對點，∴；(2)①∵點A為拋物線的頂點，∴，∴當(dāng)時，，∴，∵點A與C為拋物線的成對點，∴點在拋物線上，∴當(dāng)時，，∴，解得；②∵，，∴AB＝2，，∵如圖，∠ADC＝∠ACB，∠BAC＝∠CAD，∴,∴即，解得AD＝10,∴，∴．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)相關(guān)知識，理解成對點，根據(jù)中心對稱得到相關(guān)點坐標關(guān)系，然后結(jié)合相似三角形性質(zhì)進而列方程是解題的關(guān)鍵．13．（2021·浙江·天臺縣赤城中學(xué)一模）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c交x軸于點A，B，其中點A（﹣1，0），交y軸于點C（0，2），對稱軸交x軸于點M（，0）．(1)求拋物線的解析式；(2)作點C關(guān)于點M的對稱點D，順次連接A，C，B，D，判斷四邊形ACBD的形狀，并說明理由；(3)在該拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△BMP與△BAD相似？若存在，求出所有滿足條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)yx2x＋2；(2)矩形，理由見解析(3)存在，（，）或（，）或（，5）或（，﹣5）【分析】(1)根據(jù)對稱軸上的M點坐標得出B點坐標，再用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；(2)根據(jù)對角線互相平分得出四邊形ABCD是平行四邊形，再利用勾股定理證其中一個角是直角即可得出四邊形ABCD是矩形；(3)過點D作DE⊥x軸于E，得出D點坐標，分別求出BD，AD，AB，BM，分情況利用線段比例關(guān)系求出PM的長度，即可確定P點的坐標．(1)解：∵拋物線對稱軸交x軸于點M（，0），且A（﹣1，0），∴B（4，0），又∵C（0，2），∴，解得，∴拋物線的解析式為：yx2x＋2；(2)解：四邊形ABCD為矩形，理由如下：∵點M是AB的中點，也為CD的中點，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC，BC，AB=5，∴AC2＋BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴四邊形ABCD是矩形；(3)解：由題知，拋物線的對稱軸為直線x，過點D作DE⊥x軸于點E，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∴，∵DE⊥x，，∴，∴，∴DE=OC，AO=BE，∵OC=2，AO=1，∴DE=OC=2，AO=BE=1，∴OE=5-1-1=3，∴OM=ME，∴D（3，﹣2），又∵BD，AD2，AB=5，BM，∠BDA=90°，且點P在對稱軸上，∴∠BMP=90°，即∠BDA=∠BMP=90°，當(dāng)時，△BMP∽△ABD，即，解得PM，則P（，）或（，），當(dāng)時，△BPM∽△ABD，即，解得PM=5，則P'（，5）或（，﹣5），綜上，符合條件的P點坐標為（，）或（，）或（，5）或（，﹣5）．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．14．（2022·浙江金華·九年級期末）已知拋物線：y＝ax2﹣6ax﹣16a（a＞0）與x軸交點為A，B（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C，點G是AC的中點．(1)求點A，B的坐標及拋物線的對稱軸．(2)直線y＝﹣x與拋物線交于點M、N，且MO＝NO，求拋物線解析式.(3)已知點P是（2）中拋物線上第四象限內(nèi)的動點，過點P作x軸的垂線交BC于點E，交x軸于點F．若以點C，P，E為頂點的三角形與△AOG相似，求點P的坐標．【答案】(1)，，對稱軸x＝3．(2)；(3)P點坐標為或．【分析】（1）將解析式變形為，即可求解．（2）聯(lián)立方程組，整理得，，得到，再由，可知，即可求得的值，進而確定函數(shù)解析式．（3）先判斷是等腰三角形，再求出，可分兩種情況討論：設(shè)，則，①當(dāng)時，；②當(dāng)PC=CE時，；再由邊的關(guān)系，列出方程式求解即可．(1)令y=0，則，解得x=-2，x=8，，∴對稱軸為直線x=3．(2)聯(lián)立方程組，整理得，，∴，∵，∴M點與N點關(guān)于原點對稱，∴，∴，∴，∴．(3)由可知，設(shè)直線BC的解析式為，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，，∵點G是AC的中點，∴，∴AG=，GO=，∴是等腰三角形，∵OA=2，OC=4，∴，∵OB=8，∴，∴，∵，∴∴，①當(dāng)時，，∴，∴，解得，，∵P點在第四象限，∴，∴；②當(dāng)PC=CE時，，∴解得t=4，∴．綜上所述，P點坐標為或．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．15．（2022·浙江寧波·九年級期末）如圖，拋物線與x軸交于點A，B，與y軸交于點C．點P是線段BC上的動點（點P不與點B，C重合），連結(jié)AP并延長AP交拋物線于另一點Q，連結(jié)CQ，BQ，設(shè)點Q的橫坐標為x．(1)①寫出A，B，C的坐標：A（

），B（

），C（

）；②求證：是直角三角形；(2)記的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)表達式；(3)在點P的運動過程中，是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)①-1，0；4，0；0，-2；②見解析(2)(3)存在，當(dāng)時，最大，最大為.【分析】（1）①分別令即可求得拋物線與坐標軸的交點坐標；②根據(jù)點的坐標，分別求得進而勾股定理逆定理即可證明；（2）連接OQ，設(shè)點Q的坐標為，進而根據(jù)進行求解即可；（3）過點Q作于點H，證明，由（2）可得，進而列出關(guān)于的關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可(1)①由，令，則，令，即解得，，故答案為：-1，0；4，0；0，-2；②證明：∵，，∴，，∴∴是．(2)連接OQ，如圖所示設(shè)點Q的坐標為(3)過點Q作于點H，如圖所示∴∵∴∴當(dāng)時，最大，最大為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)坐標軸的交點問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，二次函數(shù)求面積問題，二次函數(shù)的最值問題，熟練運用以上知識是解題的關(guān)鍵．16．（2021·浙江金華·九年級期末）已知拋物線與x軸負半軸交于點A，與x軸正半軸交于點B，與y軸交于點C，點P為拋物線上一動點（點P不與點C重合）．(1)當(dāng)為直角三角形時，求的面積(2)如圖，當(dāng)時，過點P作軸于點Q，求BQ的長．(3)當(dāng)以點A，B，P為頂點的三角形和相似時（不包括兩個三角形