專題29 正方形的性質(zhì)與判定【十六大題型】（舉一反三）（原卷版）

專題29正方形的性質(zhì)與判定【十六大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1根據(jù)正方形的性質(zhì)求角度、線段長、面積、坐標】 2【題型2正方形的判定定理的理解】 3【題型3證明四邊形是正方形】 4【題型4求正方形重疊部分面積】 6【題型5與正方形有關(guān)的折疊問題】 7【題型6根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求角度】 8【題型7根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求線段長】 9【題型8根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求面積】 10【題型9根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定證明】 12【題型10根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題】 13【題型11與正方形有關(guān)的動點問題】 15【題型12與正方形有關(guān)的規(guī)律探究問題】 16【題型13正方形與一次函數(shù)的綜合應用】 18【題型14正方形與反比例函數(shù)的綜合應用】 19【題型15正方形與一次函數(shù)、反比例函數(shù)綜合應用】 21【題型16正方形與二次函數(shù)綜合應用】 23【知識點正方形的性質(zhì)與判定】定義：四個角相等、四條邊也相等的四邊形叫作正方形性質(zhì)：正方形既是矩形，又是菱形，具有矩形和菱形的一切性質(zhì)．性質(zhì)1：正方形的四個內(nèi)角都相等，且都為，四條邊都相等．性質(zhì)2：正方形的對角線互相垂直平分且相等，對角線平分一組對角．性質(zhì)3：正方形具有4條對稱軸，兩條對角線所在的直線和過兩組對邊中點的兩條直線．另外，由正方形的性質(zhì)可以得出：（1）正方形的對角線把正方形分成四個小的等腰直角三角形．（2）正方形的面積是邊長的平方，也可表示為對角線長平方的一半．3．判定：判定一個四邊形是正方形，除了定義之外，還可以采用以下方法：（1）先證明是矩形，再證明該矩形有一組鄰邊相等，或?qū)蔷€互相垂直．（2）先證明是菱形，再證明該菱形的一個角是直角，或兩條對角線相等．【題型1根據(jù)正方形的性質(zhì)求角度、線段長、面積、坐標】【例1】（2023·河南安陽·統(tǒng)考模擬預測）如圖．四邊形ABCO為正方形，點A的坐標為1,3，將正方形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C所到位置的坐標為（

）

A．3,-1 B．-1,-3 C．-1,3【變式1-1】（2023·廣東東莞·三模）如圖，正方形ABCD的兩條對角線AC，BD相交于點O，點E在BD上，且BE=BC．則∠BEC的度數(shù)為．【變式1-2】（2023·河南·統(tǒng)考二模）如圖，邊長為2的正方形ABCD的對角線相交于點O，過點O的直線分別交AD、BC于E、F，則陰影部分的面積是．

【變式1-3】（2023·江蘇鹽城·?？寄M預測）如圖，以正方形ABCD的兩邊BC和AD為斜邊向外作兩個全等的直角三角形BCE和DAF，過點C作CG⊥AF于點G，交AD于點H，過點B作BI⊥CG于點I，過點D作DK⊥BE，交EB延長線于點K，交CG于點L．若S四邊形ABIG=2S△BCE，GH=1

【題型2正方形的判定定理的理解】【例2】（2023·河北邢臺·統(tǒng)考二模）下列四個菱形中分別標注了部分數(shù)據(jù)，根據(jù)所標數(shù)據(jù)，可以判斷菱形是正方形的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式2-1】（2023·河北邢臺·二模）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，下列條件中，能判定四邊形ABCD是正方形的是（

）A．AC=BC=CD=DAB．AO=CO，BO=DO，AC⊥BDC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AB=BC，CD⊥DA【變式2-2】（2023·河南南陽·統(tǒng)考三模）在?ABCD中，已知AC、BD為對角線，現(xiàn)有以下四個條件：①∠ABC=90°；②AC=BD；③AC⊥BD；④AB=BC．從中選取兩個條件，可以判定?ABCD為正方形的是．（寫出一組即可）【變式2-3】（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB=2，∠ABC=60°，E，F(xiàn)是對角線BD上的動點，且BE=DF，M，N分別是邊AD，邊BC上的動點．下列四種說法：①存在無數(shù)個平行四邊形MENF；②存在無數(shù)個矩形MENF；③存在無數(shù)個菱形MENF；④存在無數(shù)個正方形MENF．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【題型3證明四邊形是正方形】【例3】（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預測）綜合與實踐如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC邊上一點，將△ACD繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，使AC與AB重合，得到△ABE，過點E作EF∥BC，交AB于點F，過點F作FG⊥BC于點G．

(1)求證：四邊形BEFG是正方形；(2)如圖2，在△ABC中，∠BAC=90°，AB>AC．D是BC邊上一點，將△ACD繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，使AC落在邊AB上，得到△AFE，過點E作EG∥BC，分別交AB，AD，AC于點I，J，G，過點F作FH∥BC，交AD于點H，且∠AEG=∠AHG．求證：四邊形EGHF是矩形；(3)在圖2中，若∠BAC=90°，AC=3，AB=4，BD=3DC．將△ACD繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，使AC落在邊AB上，得到△AEF，過點E作EG∥BC，分別交AB，AD，AC于點I，J，G．求線段FI的長度．【變式3-1】（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在對角線BD上，且BE=DF，OE=OA．求證：四邊形AECF是正方形．【變式3-2】（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC中，AB=AC，D、F分別為BC、AC的中點，連接DF并延長到點E，使FE=DF，連接AE、AD、CE

【變式3-3】（2023·福建泉州·統(tǒng)考二模）在ΔABC中，∠ABC=90°，將ΔABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到ΔADE（點B的對應點是點D，且0°<∠BAD<180°），射線DE與直線CB

(1)如圖1，當∠BAD=90°時，求證：四邊形ADMB是正方形；(2)如圖2，當點D在線段CA的延長線上時，若AB=1，AC=3，求線段ME的長；(3)如圖3，過點A作AN∥DE，交線段CB于點N，AN平分∠CAE，試探索：CN與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【題型4求正方形重疊部分面積】【例4】（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）用四塊大正方形地磚和一塊小正方形地磚拼成如圖所示的實線圖案，每塊大正方形地磚的面積為a，小正方形地磚的面積為b，依次連接四塊大正方形地磚的中心得到正方形ABCD．則正方形ABCD的面積為（用含a，b的代數(shù)式表示）．【變式4-1】（2023·四川自貢·統(tǒng)考一模）如圖，將邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°到正方形AEFG的位置，則圖中陰影部分的面積為(

)A．33 B．36 C．39【變式4-2】（2023·山東菏澤·校考一模）如圖，兩個邊長為4的正方形重疊在一起，點O是其中一個正方形的中心，則圖中陰影部分的面積為．【變式4-3】（2023·天津·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點E，N，P，G分別在邊AB，BC，CD，DA上，點M，F(xiàn)，Q都在對角線BD上，且四邊形MNPQ和AEFG均為正方形，則S正方形MNPQS【題型5與正方形有關(guān)的折疊問題】【例5】（2023·安徽·模擬預測）如圖，在正方形ABCD中，G為AD邊上一點，將△ABG沿BG翻折到△FBG處，延長GF交CD邊于點E，過點F作FH∥BC分別交BG,AB,CD于點H,P,Q．請完成下列問題：（1）∠EBG=°；（2）若FH=12BC=4，則【變式5-1】（2023·江蘇揚州·?？既＃┰谶呴L為6的正方形ABCD中，點E是邊BC上的動點（不與B，C重合），連接AE，將△ABE沿AE向右翻折得△AFE，連接CF和DF，若△DFC為等腰三角形，則BE

【變式5-2】（2023·山西朔州·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在正方形ABCD中，AB=2，將其沿EF翻折，使∠EFC=120°，頂點B恰好落在線段AD上的點G處，點C的對應點為點H．則線段AE的長為．

【變式5-3】（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，將邊長為3的正方形ABCD沿直線EF折疊，使點B的對應點M落在邊AD上（點M不與點A,D重合），點C落在點N處，MN與CD交于點P，折痕分別與邊AB，CD交于點E,F，連接BM．

(1)求證：∠AMB=∠BMP；(2)若DP=1，求MD的長．【題型6根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求角度】【例6】（2023·江西南昌·一模）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)一周．(1)如圖1，連接BG、CF，①求CFBG②求∠BHC的度數(shù)．(2)當正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖2位置時，連接CF、BE，分別取CF、BE的中點M、N，連接MN，猜想MN與BE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由．【變式6-1】（2023·陜西·陜西師大附中?？级＃┤鐖D，P為正方形ABCD內(nèi)一點，PA：PB：PC=1：2：3，則∠APB=.【變式6-2】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）如圖，E是正方形ABCD對角線BD上一點，連接AE，CE，并延長CE交AD于點F．若∠AEC=140°，求∠DFE的度數(shù)．【變式6-3】（2023·福建·模擬預測）四邊形ABCD是矩形，點P在邊CD上，∠PAD＝30°，點G與點D關(guān)于直線AP對稱，連接BG．(1)如圖，若四邊形ABCD是正方形，求∠GBC的度數(shù)；(2)連接CG，設(shè)AB＝a，AD＝b，探究當∠CGB＝120°時，求b的值．【題型7根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求線段長】【例7】（2023·河南信陽·二模）如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E是BC邊上一動點（點E不與點B、C重合），以線段DE為邊長，作正方形DEFG，使得點F、G落在直線DE的下方，連接AF、BF．當△ABF為等腰三角形時，BE的長為．【變式7-1】（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D是AC的中點，將BCD沿BD折疊得到△BED，連接AE.若DE⊥AB于點F，BC=10，則AF的長為．

【變式7-2】（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，延長CE交AB于F．交BD于點G，且CG垂直BD，將ADE繞點A旋轉(zhuǎn)至AE∥BD時，若CE=5，EF=1，則BG的值是【變式7-3】（2023·江蘇宿遷·沭陽縣懷文中學校聯(lián)考一模）如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=4，AD=2，點E，F(xiàn)分別是邊AD，BC上的兩個動點，且AE=CF，過點B作

A．210-2 B．10+2 C【題型8根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求面積】【例8】（2023·浙江舟山·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于點D，以AB為邊作矩形ABEF，使得AF＝AD，延長CD，交EF于點G，作AN⊥AC交GF于點N，作MN⊥AN交CB的延長線于點M，MN分別交BE，DG于點H、P，若NP=HP，NF=1，則四邊形ABMN的面積為（

）A．3 B．2.5 C．3.5 D．5【變式8-1】（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，連接BD且BD平分∠ABC．若AB+BC=8，則四邊形ABCD的面積為．【變式8-2】（2023·甘肅白銀·校聯(lián)考一模）模型探究：（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于點E，若AE=10，求四邊形ABCD的面積．拓展應用：（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC=180°，AB=AD，AE⊥BC于點E，若AE=19，BC=10，CD=6，求四邊形

【變式8-3】（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學校聯(lián)考二模）如圖，在正方形ABCD中，O為AC、BD的交點，△DCE為直角三角形，∠CED=90°，OE=32，若CE?DE=6，則正方形的面積為（

A．20 B．22 C．24 D．26【題型9根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定證明】【例9】（2023·湖南株洲·校考模擬預測）如圖，四邊形ABCD是矩形，E是BD上的一點，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED．點G是BC、AE延長線的交點，AG與CD相交于點F．

(1)求證：四邊形ABCD是正方形；(2)當AE=3EF，DF=38時，求【變式9-1】（2023·山東泰安·?？级＃┤鐖D，正方形ABCD中，AB=1，點E是對角線AC上的一點，連接DE．過點E作EF⊥ED，交AB于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接AG，EB．

(1)求證：①∠EFB=∠EBF；②矩形DEFG是正方形；(2)求AG+AE的值．【變式9-2】（2023·山東泰安·三模）四邊形ABCD為正方形，點E為線段AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交射線BC于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．

(1)如圖1，求證：矩形DEFG是正方形；(2)若AB=2，CE=2，求CG(3)當線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是30°時，直接寫出∠EFC的度數(shù)．【變式9-3】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考三模）問題情境：如圖①，點E為正方形ABCD內(nèi)一點，∠AEB=90°，將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBE'(點A的對應點為點C)，延長AE交CE'于點猜想證明：(1)試判斷四邊形BE(2)如圖②，若DA=DE，請猜想線段CF與FE(3)如圖①，若AB=10，CF=2，請直接寫出DE的長．【題型10根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題】【例10】（2023·黑龍江雞西·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，M，N分別為AB，BC的中點，CM與DN相交于點G，延長BG交CD于點E，CM交BD于點H．下列結(jié)論：①CM⊥DN；②BH=BM；③S△DNC=3S△BMH；④∠BGM=45°；⑤

A．②③④ B．①③⑤ C．①③④⑤ D．①②④⑤【變式10-1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，∠BAC的平分線交BD于E，交BC于F，BH⊥AF于H，交AC于G，交CD于P，連接GE、GF，以下結(jié)論：①ΔOAE?ΔOBG；②四邊形BEGF是菱形；③BE=CG；④PGAE=2?1；⑤SΔPBC：SΔAFC=1：2，其中正確的有（

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式10-2】（2023·廣東河源·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，AB=6，點O是對角線AC的中點，點Q是線段OA上的動點（點Q不與點O，A重合），連接BQ，并延長交邊AD于點E，過點Q作FQ⊥BQ交CD于點F，分別連接BF與EF，BF交對角線AC于點G．過點C作CH∥QF交BE于點H，連接AH．有以下四個結(jié)論：①BF=2BQ；②△DEF的周長為12；③線段AH的最小值為2；④A．1 B．2 C．3 D．4【變式10-3】（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預測）七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，如圖，在正方形紙板ABCD中，BD為對角線，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，AP⊥EF分別交BD，EF于O，P兩點，M，N分別為BO，DO的中點，連接MP，NF，沿圖中實線剪開即可得到一副七巧板，則在剪開之前，關(guān)于該圖形的下列說法：①圖中的三角形都是等腰直角三角形；②圖中的四邊形MPEB是菱形；③四邊形EFNB的面積占正方形ABCD面積的58．正確的有（

A．①③ B．①② C．只有① D．②③【題型11與正方形有關(guān)的動點問題】【例11】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，點D在AC上，且AD=2，點E是AB上的動點，連結(jié)DE，點F，G分別是BC，DE的中點，連接AG，F(xiàn)G，當AG=FG時，線段DE長為（

）A．13 B．522 C．412【變式11-1】（2023·山東濟南·校聯(lián)考二模）如圖，已知正方形ABCD，點M是邊BA延長線上的動點(不與點A重合)，且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若過點E作EH⊥AC，H為垂足，則有以下結(jié)論：①點M位置變化，使得∠DHC＝60°時，2BE＝DM；②無論點M運動到何處，都有DM＝2HM；③無論點M運動到何處，∠CHM一定大于135°．其中正確結(jié)論的序號為()A．①③ B．①② C．②③ D．①②③【變式11-2】（2023·湖北黃石·黃石十四中?？寄M預測）如圖，P是正方形ABCD邊BC上一個動點，線段AE與AD關(guān)于直線AP對稱，連接EB并延長交直線AP于點F，連接CF．（1）如圖1，∠BAP=20°，直接寫出∠AFE=；（2）如圖2，連接CE，G是CE的中點，AB=1，若點P從點B運動到點C，直接寫出點G的運動路徑長為．【變式11-3】（2023·陜西西安·高新一中?？级＃┤鐖D，正方形ABCD中，AD＝4+23，已知點E是邊AB上的一動點（不與A、B重合）將△ADE沿DE對折，點A的對應點為P，當PA＝PB時，則線段AE＝．【題型12與正方形有關(guān)的規(guī)律探究問題】【例12】（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考模擬預測）在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．延長CB交x軸于點A1，作正方形A1B1C1C；延長C1B1交x軸于點A2，作正方形A2B2C2C1…按這樣的規(guī)律進行下去，第2012個正方形的面積為（）A．5×(32)2010 B．5×(【變式12-1】（2023·山東煙臺·統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCD的邊長為1，以AB為底邊在正方形ABCD內(nèi)作等腰ΔABE，點E在CD邊上，再在等腰ΔABE中作最大的正方形A1B1C1D1A．122018 BC．2(52)2018【變式12-2】（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中有一邊長為1的正方形OABC，邊OA，OC分別在x軸，y軸上，如果以對角線OB為邊作第二個正方形OBB1C1，再以對角線OB1為邊作第三個正方形OB1B2C2，照此規(guī)律作下去，則點B2019的坐標為．【變式12-3】（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，射線OM在第一象限，且與x軸正半軸的夾角為60°，過點D（6，0）作DA⊥OM于點A，作線段OD的垂直平分線BE交x軸于點E，交AD于點B，作射線OB，以AB為邊在△AOB的外側(cè)作正方形ABCA1，延長A1C交射線OB于點B1，以A1B1為邊在△A1OB1的外側(cè)作正方形A1B1C1A2，延長A2C1交射線OB于點B2，以A2B2為邊在△A2OB2的外側(cè)作正方形A2B2C2A3…按此規(guī)律進行下去，則正方形A2020B2020C2020A2021的周長為．【題型13正方形與一次函數(shù)的綜合應用】【例13】（2023·安徽蚌埠·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD為正方形，點A0,3,B1,0，將正方形ABCD沿x軸的負方向平移，使點D恰好落在直線AB上，則平移后點B

【變式13-1】（2023·湖北黃岡·?？寄M預測）如圖1，正方形ABCD在直角坐標系中，其中AB邊在y軸上，其余各邊均與坐標軸平行，直線l：y=x-5沿y軸的正方向以每秒1個單位的速度平移，在平移的過程中，該直線被正方形ABCD的邊所截得的線段長為m，平移的時間為t（秒），m與t的函數(shù)圖象如圖2所示，則圖2中b的值為．【變式13-2】（2023·遼寧葫蘆島·校聯(lián)考二模）如圖，MN⊥BE，垂足為點B，BD平分∠MBE，BD=2，點A從點B出發(fā)，沿射線BN運動，連接AD，DC⊥AD交BE于點C，設(shè)AB=x，△BDC的面積為y，則下列圖象中能大致反映 B． C． D．【變式13-3】（2023·江蘇·模擬預測）直線l：y=12x-1分別交x軸，y軸于A，(1)求線段AB的長；(2)如圖，將l沿x軸正方向平移，分別交x軸，y軸于E，F(xiàn)兩點，若直線EF上存在兩點C，D，使四邊形ABCD為正方形，求此時E點坐標和直線AD的解析式；(3)在（2）的條件下，將EF繞E點旋轉(zhuǎn)，交直線l于P點，若∠OAB+∠OEP=45°，求P點的坐標．【題型14正方形與反比例函數(shù)的綜合應用】【例14】（2023·安徽·二模）如圖，正方形ABCD的頂點A，D分別在函數(shù)y=-3xx<0和y=6xx>0的圖象上，點B，C在

A．1,3 B．2,3 C．2,2 D．3,2【變式14-1】（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標是(5,0)，點B是函數(shù)y=6xx>0圖象上的一個動點，過點B作BC⊥y軸交函數(shù)y=-2xx<0的圖象于點C，點D在x軸上（D在A的左側(cè)），且AD=①四邊形ABCD可能是菱形；②四邊形ABCD可能是正方形；③四邊形ABCD的周長是定值；④四邊形ABCD的面積是定值．所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．①④【變式14-2】（2023·福建泉州·模擬預測）如圖，反比例函數(shù)y=kx(x>0)圖象經(jīng)過正方形OABC的頂點A，BC邊與y軸交于點D，若正方形OABC的面積為12，BD=2CD，則kA．3 B．185 C．165 D【變式14-3】（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數(shù)y=3x和y=n

A．-3 B．-13 C．13【題型15正方形與一次函數(shù)、反比例函數(shù)綜合應用】【例15】（2023·江蘇·一模）直線l：y=12x-1分別交x軸，y軸于A，(1)求線段AB的長；(2)如圖，將l沿x軸正方向平移，分別交x軸，y軸于E，F(xiàn)兩點，若直線EF上存在兩點C，D，使四邊形ABCD為正方形，求此時E點坐標和直線AD的