江西省五市九校2024屆高三下學期2月開學聯(lián)考數(shù)學試卷（含答案解析）

高三數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2，回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由復數(shù)的乘法運算即可得解.【詳解】．故選：C.2.集合，則（）A. B.1 C. D.或【答案】B【解析】【分析】依題意可得，即可得到，解得，再代入檢驗即可.【詳解】因為，所以，則，解得，當時，，，不符合題意，當時，，，符合題意．故選：B3.已知，則（）A.0 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用兩角和差的正余弦公式計算，由商數(shù)關(guān)系得的值.【詳解】因為，結(jié)合題設(shè)，有，得．故選：D.4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷.【詳解】，且函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，所以為奇函數(shù)，排除CD．當時，，所以，排除B，經(jīng)檢驗A選項符合題意.故選：A．5.已知為橢圓C：()的右焦點，，B分別為橢圓的上頂點和右頂點，若的周長為，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】用參數(shù)表示的周長，得關(guān)于a，c的齊次式，化簡解方程，得離心率.【詳解】由題意可得，所以，即，解得或（舍去）．故選：D.6.某班級舉行“變廢為寶”手工活動，某學生用扇形紙殼裁成扇環(huán)(如圖1)后，制成了簡易筆筒(如圖2)的側(cè)面，在它的軸截面中，，，則原扇形紙殼中扇形的圓心角為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】易得圖1中小扇形和大扇形的弧長設(shè)扇形的圓心角為，小扇形的半徑為，則大扇形的半徑為，再根據(jù)弧長公式即可得解.【詳解】由題意圖1中小扇形弧長為，大扇形的弧長為，設(shè)扇形的圓心角為，小扇形的半徑為，則大扇形的半徑為，所以，解得，所以原扇形紙殼中扇形的圓心角為.故選：B.7.過原點的直線與圓交于兩點，且，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)圓心到直線的距離為，且的中點為，根據(jù)題意得到，結(jié)合圓的性質(zhì)和弦長公式，列出方程，求得，利用斜率公式，即可求解.【詳解】由圓，即圓，圓心為，設(shè)圓心到直線的距離為，且的中點為，因為，所以，又因為，所以，因為，所以，解得，所以直線經(jīng)過圓心，所以.故選：A.8.如圖，已知圓的半徑為2，弦長，為圓上一動點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中點，連接、，根據(jù)數(shù)量積的運算律得到，再求出即可求出的范圍，從而得解.【詳解】取的中點，連接、，則，又，所以，，即，所以，．故的取值范圍為．故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于軸對稱C.的值域為D.將函數(shù)的圖象向上平移一個單位長度可以得到的圖象【答案】AD【解析】【分析】將解析式轉(zhuǎn)化為，易得函數(shù)的性質(zhì)，判斷選項的正誤.【詳解】因為，所以最小正周期為，A正確；不是偶函數(shù)，圖象不關(guān)于軸對稱，錯誤；因為，所以的值域為，C錯誤；將函數(shù)的圖象向上平移一個單位長度可以得到的圖象，D正確．故選：AD.10.國家統(tǒng)計局發(fā)布的2018年至2022年我國居民消費水平情況如圖所示，則下列說法正確的是（）（居民消費水平：）A.2018年至2022年我國居民消費水平逐年提高B.2018年至2022年我國城鎮(zhèn)居民消費水平逐年提高C.2018年至2022年我國居民消費水平數(shù)據(jù)的分位數(shù)為27504元D.2022年我國城鎮(zhèn)人口數(shù)比農(nóng)村人口數(shù)的1.5倍還要多【答案】D【解析】【分析】AB選項，2019年比2020年的兩項指標高；C選項，將數(shù)據(jù)從小到大排序，再利用百分位數(shù)的概念進行求解；D選項，設(shè)2022年我國農(nóng)村人口數(shù)為，城鎮(zhèn)人口數(shù)為，則可列出方程，得到，故D正確.【詳解】A選項，2019年的居民消費水平為元，2020年的居民消費水平為元，2019年比2020年的居民消費水平高，A錯誤；B選項，2019年的城鎮(zhèn)居民消費水平為元，2020年的城鎮(zhèn)居民消費水平為元，2019年比2020年的城鎮(zhèn)居民消費水平高，B錯誤；C選項，2018年至2022年我國居民消費水平數(shù)據(jù)從小到大排序為，由于，故年至2022年我國居民消費水平數(shù)據(jù)的分位數(shù)為從小到大第3個和第4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即元，C錯誤.D選項，設(shè)2022年我國農(nóng)村人口數(shù)為，城鎮(zhèn)人口數(shù)為，則，化簡得，所以2022年我國城鎮(zhèn)人口數(shù)比農(nóng)村人口數(shù)的1.5倍還要多，D正確.故選：D11.已知定義在上的函數(shù)滿足，當，時，.下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.是奇函數(shù) D.在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】【分析】利用賦值法得到，由此判斷出的奇偶性.利用賦值法求得，進而求得，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，計算的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】令，可得.令，可得.因為當時，，所以.令，可得.因為，所以當時，.又因為當時，，所以當時，.令，可得，①所以，兩式相加可得.令，可得.②①-②可得，化簡可得，所以奇函數(shù)，C正確.由，可得：，B錯誤.由可得解得，A正確.令，可得令，則.因為當時，，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.因為為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，D正確.故選：ACD【點睛】方法點睛：利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，首先要在函數(shù)定義域的給定區(qū)間內(nèi)，任取兩個數(shù)，且，然后通過計算的符號，如果，則在給定區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，則在給定區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知拋物線的焦點為為拋物線上任意一點，點，則的最小值為__________．【答案】4【解析】【分析】利用拋物線的定義，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】由題意可知拋物線的焦點坐標為，準線的方程為，過作于由拋物線定義可知，所以，則當共線時取得最小值，所以最小值為：．故答案為：4．13.小王一次買了兩串冰糖葫蘆，其中一串有兩顆冰糖葫蘆，另一串有三顆冰糖葫蘆．若小王每次隨機從其中一串吃一顆，則只有兩顆冰糖葫蘆的這串先吃完的概率為__________．【答案】##【解析】【分析】由題意將問題等價轉(zhuǎn)換為滿足題意的間隔插空或者捆綁插空的概率，結(jié)合排列組合知識即可求解.【詳解】將串在一起的兩顆冰糖葫蘆編號為1，2（最下面那顆），串在一起的三顆冰糖葫蘆編號為3，4，5（最下面那顆），現(xiàn)在可將題目等價轉(zhuǎn)換為首先從左到右固定3，4，5的排列順序，問將1，2間隔插空或者捆綁插空，且1，2都在5的左邊的概率，若1，2間隔插空或者捆綁插空，共有種排列，其中滿足1，2都在5的左邊的排列，共有，所以只有兩顆冰糖葫蘆的這串先吃完的概率為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：將問題等價轉(zhuǎn)換為間隔插空或者捆綁插空是解題的關(guān)鍵.14.如圖，將正四棱柱斜立在平面上，頂點在平面內(nèi)，平面.點在平面內(nèi)，且.若將該正四棱柱繞旋轉(zhuǎn)，的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】過點作，垂足為，連接，過點作平面，垂足為，當三點共線，且時，取得最大值，進而可得出答案.【詳解】過點作，垂足為，連接，因為平面，所以平面，所以點到平面的距離為，則，，過點作平面，垂足為，當三點共線，且時，取得最大值，最大值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：過點作平面，垂足為，由三點共線，且時，取得最大值，是解決本題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列滿足，．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）構(gòu)造數(shù)列，得數(shù)列是等差數(shù)列，得的通項公式，進而得的通項公式；（2）用裂項相消法求的前項和.【小問1詳解】設(shè)，則，，所以數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，．【小問2詳解】，．16.如圖，在四棱錐中，四邊形是等腰梯形，，，，．（1）證明：平面平面；（2）若，且，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）過點作，求出，利用勾股定理即可證明；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論建立空間直角坐標系即可求解.【小問1詳解】過點作，由等腰梯形易知，因為，所以，因為，所以，所以，所以，因為，，，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面；【小問2詳解】因為平面，所以，因為，，平面，所以平面，所以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，所以，令，所以，同理可得平面的法向量，所以二面角的余弦值絕對值為，所以二面角的正弦值.17.將3個數(shù)字1，2，3隨機填入如下99個空格中，每個空格中最多填一個數(shù)字，且填入的3個數(shù)字從左到右依次變大.（1）求數(shù)字2填在第2個空格中的概率；（2）記數(shù)字2填在第個空格中的概率為，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意第1格填1，第2格填2，從而可得概率；（2）由題意可得，再分析1和3的位置求解概率與最大值即可.【小問1詳解】由題意第1格填1，第2格填2，3在第3格到99格中任意一個，所有可能的情況有種，故數(shù)字2填在第2個空格中的概率為.【小問2詳解】由題意可得，且，1填在第個空格的前格中1格，3填在第個空格的后格中1格.故.當時，取得最大值，最大值為18.已知雙曲線的離心率為，右焦點為．（1）求雙曲線的標準方程；（2）過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，在軸上是否存在點，使得為定值？若存在，求出該定值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在滿足【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出，即可得解；（2）設(shè)其方程為，，設(shè)，，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得出韋達定理，化簡，從而得到定點與定值.【小問1詳解】由題意可得，所以，所以雙曲線的標準方程為；【小問2詳解】依題意，直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，，代入得，設(shè)，，，則，，∴，若要上式為定值，則必須有，即，∴，故存在點滿足.

【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．19.已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線過點，求的值；（2）若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）求得，得到且，求得切線方程，將點代入切線方程，即可求解；（2）轉(zhuǎn)化為，令，求得，令，求得是增函數(shù)，得到，再令，求得是減函數(shù)，結(jié)合，得到存在，使得，再分和，兩種情況討論，得到，令，所以是增函數(shù)，進而結(jié)合，即可求解.【小問1詳解】解：由函數(shù)，可得，則且，曲線在點處的切線方程為.因為該直線過點，所以，解得.【小問2詳解】解：因為，所以，且，兩邊平方可得，令函數(shù)，可得，令函數(shù)，可得，所以是增函數(shù)，令，可得，下面比較與的大?。毫詈瘮?shù)，，減函數(shù)，因為，所以存在，使得當時，，即，若，可得，即.若，當時，，即；當時，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，令函數(shù)，所以是增函數(shù)，由