2021屆跳出題海之高中數(shù)學(xué)必做100題67立體幾何中的最值問題 （解析版）

2021屆跳出題海之高中數(shù)學(xué)必做100題

第67題立體幾何中的最值問題

題源探究?黃金母題

如圖，圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為0.0、E、尸為圓。上的

點,4DBC,AECA,AE4B分別是以8C,CA,A8為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以8C,

CA,A3為折痕折起△Q3C,hECA,4FAB,使得。、E、尸重合，得到三棱錐.當(dāng)A48C的邊長變化時,

所得三棱錐體積（單位：cn?）的最大值為.

【答案】4汨【試題來源】2017課標(biāo)全國高考卷1理16

【解析】如下圖，設(shè)正三角形的邊長為X,【母題評析】對于三棱錐最值問題，肯定

需要用到函數(shù)的思想進行解

貝!|OG='x且FG=SG=5-—x,

3266決，本題解決的關(guān)鍵是設(shè)好未

知量，利用圖形特征表示出三

2

5旦2

22

SO=h=^SG-GO=棱錐體積.當(dāng)體積中的變量最

6XT

高次是

.??三棱錐的體積

?！?令

X4M5.qL在【思路方法】立體幾何是的最值問題通常

V=-35由WBC-/2=-34—

312

有三種思考方向：（1）根據(jù)幾何體的結(jié)

"(x)=5x4-^-x5

構(gòu)特征，變動態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在

什么情況下取得最值；（2）將幾何體平

面化，如利用展開圖，在平面幾何圖中

則〃'(尢)=20x3__，令〃'(x)=0，4/一金=0,x=4y[3,

直觀求解；（3）建立函數(shù)，通過求函數(shù)

匕「備x48xg=4#?的最值來求解.

考場精彩?真題回放

[202()年全國HI卷】已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為

【答案】立萬【命題意圖】考察空間想象能力及推理論

3

證和計算能力，函數(shù)思想和轉(zhuǎn)化思想。

【解析】易知半徑最大球為圓錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時

【考試方向】這類試題在考查題型上，通

的軸截面如圖所示，

?；疽赃x擇填題為主，難度中等偏難.

其中且點仞為邊上的中點，

8c=2,A8=AC=3,8c【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運算、直觀想象

設(shè)內(nèi)切圓的圓心為。，【難點中心】解題時，通常應(yīng)注意分析題

目中所有的條件，首先應(yīng)該在充分理解題

意的基礎(chǔ)上，分析是否能用公理與定義直

接解決題中問題；如果不能，再看是否可

將問題條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)，若能寫出確定的

表意函數(shù)，則可用建立函數(shù)法求解；再不

能，則要考慮其中是否存在不等關(guān)系，看

是否能運用解等不式法求解；還不行則應(yīng)

考慮是否可將其體圖展開成平面，這樣依

次從本文所標(biāo)定的方法順序思考，必能找

到解題的途徑。

由于AM—\/32—I2=2-\/2,故S/XABC=萬x2x2夜='

設(shè)內(nèi)切圓半徑為乙貝!I：

S&ABC=XAOB+SgOC+^AAOC

=—xABxr+—xBCx/-+—xACxr

222

=gx(3+3+2)xr=2VI,

解得：r=^->其體積：V-—itr'-n-

233

故答案為：事.

3

三.理論基礎(chǔ)?解題原理

考點一與空間圖形有關(guān)的線段、角、距離、面積、體積等最值問題

在解決此類問題時，通常應(yīng)注意分析題目中所有的條件，首先應(yīng)該在充分理解題意的基礎(chǔ)上，分

析是否能用公理與定義直接解決題中問題;如果不能，再看是否可將問題條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)，若能寫出確

定的表意函數(shù)，則可用建立函數(shù)法求解;再不能，則要考慮其中是否存在不等關(guān)系.，看是否能運用解等

不式法求解;還不行則應(yīng)考慮是否可將其體圖展開成平面，這樣依次順序思考，基本可以找到解題的途

徑.

四.題型攻略?深度挖掘

【考試方向】這類試題在考查題型上，通?；疽赃x填題或解答題的形式出現(xiàn)，偏難。

考向1求線段與周長的最值

正方體ABCZ)-A4GR的棱長為LM、N分別在線段4G與上，求【溫馨提醒】

的最小值.

空間中兩點距離的最

值，最基本的方法就是

利用距離公式建立目標(biāo)

函數(shù)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)解

析式的結(jié)構(gòu)特征求解最

值.對于分別在兩個不

同對象上的點之間距離

的最值，可以根據(jù)這兩

個元素之間的關(guān)系，借

助立體幾何中相關(guān)的性

質(zhì)、定理等判斷并求解

相應(yīng)的最值.

【答案】1

【解析】

【解析】方法一（定義轉(zhuǎn)化法）因為直線4G與8。是異面直線，所以當(dāng)是兩f

取得最小值.

取4G的中點產(chǎn),BD的中點。.則線段PQ就是兩異面直線4G與BD的共垂線

在矩形8DA4中，PQ為中位線，所以PQ//BB],又因為平面ABCD,

所以PQ_L平面4BCD,又因為三平面所以PQ_L8。.

同理可證PQ,40,而PQBD=Q,PQA￡=P,

所以線段PQ就是兩異面直線AG與BD的共垂線段，且PQ=1.

由異面直線公垂線段的定義可得MN>PQ=l,故MN的最小值為1.

方法二：（參數(shù)法）如圖，取4G的中點尸，3。的中點。貝J線段PQ就是兩異國

線段.由正方體的棱長為1可得產(chǎn)。=L

連結(jié)dC,則KC〃4G，所以NB0C為兩異面直線4G與8。所成角.

在正方形ABCD中，AC±BD,所以ABQC=90°.

過點Af作垂足為E,連結(jié)AH,^WfHUPQ,且R*PQ=1

設(shè)尸M=m,QV=f，貝|」叫=冽.

在Rt^QNH中，HN1=QN1+QH1=n1+m1,

在RtSMHN中，MN2=MH】+HN2=l2+n2+w2.

顯然，當(dāng)"="=0時，MA'取得最小值1,即A/N的最小值為1.

方法三：（向量法）如圖，以D為坐標(biāo)原點，分別以射線D4、DC、DR為x、

標(biāo)系.設(shè)DN=m,/AT=n.

/T/T

=?

則N（mcos4S;wsin45s0）,即N（^~見見0）;

3/（1-ncos45\nsin45\l）,即M（l-—n,—n.T）.

22

222

所以AfV，=[2LlWj-（i-2^w）]W-^LZ.W）+1*=（疝+n）-及（m+H,

2222

=（m-坐），+（〃+1，

故當(dāng)機=〃="時，MN?取得最小值1,即MN的最小值為1.

2

考向2求表面積與體積的最值

【溫馨提醒】對立體幾

如圖所示，四邊形ABC。是邊長為2的菱形，且NBA。=60°,四邊形ABEF是

何的最值問題，一般

正方形，平面ABCDI平面ABEF，點G,”分別為邊CD,ZM的中點，點M是

可以從兩方面著手：

線段8E上一動點.

一是從問題的幾何特

征入手，充分利用其

幾何性質(zhì)去解決；二

是找出問題中的代數(shù)

關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù),

利用代數(shù)方法求目標(biāo)

(1)求證：GH1DM.函數(shù)的最值.解題途

徑很多，在函數(shù)建成

(2)求三棱錐。-MG”的體積的最大值.

后，可用一次函數(shù)的

【答案】見解析端點法、二次數(shù)的配

方法、公式法、有界

【解析】

函數(shù)界值法(如三角

解析：(D連接，C3D交于點。，在正方形且BE5中，BE-且3,又因為平函數(shù)等)及高階函數(shù)

且平面JBCDD平面ABEF=AB,則BE，平面,4BCD，又NCu平面的拐點導(dǎo)數(shù)法等?

菱形,45c。中，AC±BD,又BDC\BE=B,于是MCL平面ADE,又DM

AC±DM,又點分別為邊CO,0幺的中點，所以XC//GH,故GHLL

(2)在菱形ABCO中，ZBAD=60°,于是N4Z)C=120°,所以

1/?

=-xDGxDHxsinZADC=—,由(1)知BEL平面ABCO,于是

24

VD-MGH=VM_0GH=1"0cHxBM$BM,要求三棱錐D-MGH的體積的

最大值，只需求出線段的最大值，又點M是線段8E上一動點，所以線段

BM的最大值為.2,此時點M與點E重合，故三棱錐。一例G”的體積的最大值

考向3求角的最值

如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線【溫馨提醒】

段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點。設(shè)異面直線EM與AF所成的角為。，則cos6

的最大值為一.解本題要注意，空間兩

直線所成的角是不超過

90度的.幾何問題還可

結(jié)合圖形分析何時取得

最大值.當(dāng)點M在P處

時，EM與AF所成角為

2直角，此時余弦值為0

【答案】y

（最?。?，當(dāng)M點向左

【解析】

,,移動時，EM與AF所成

建立坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)/=1,則，*=（《,0）上邑0,0）.設(shè)1X0”W,…ri...

22角逐漸變小，點M到達

由于異面直線所成角的范圍為（。，三］,所以Q點時，角最小，從而

余弦值最大.

二+L

22'r2(1-y),8y+l、

cos6=[-r===]12=1-7^—令8oy+

J4/+54爐+5

8y+l16之（，當(dāng)r=l時取等號.所以

4/+5,+冬一2

2(1-v),1-2-

-----,-----X"r—：,當(dāng)＞'=0時，取得看

#------+5##

五.限時訓(xùn)練*提升素養(yǎng)

1.（2020?浙江）已知四棱錐P-A8。,底面是邊長為2的正方形，△PAO是以AD為斜邊的等腰直角三

角形，AB_L平面P4。，點E是線段上的動點（不含端點），若線A3段上存在點產(chǎn)（不含端點），使得

異面直線PA與￡尸成30。的角，則線段PE長的取值范圍是（）

【答案】B

【詳解】

由△PAD是以AO為斜邊的等腰直角三角形，48，平面尸4。，取AO中點G,建立如圖空間直角坐標(biāo)

系，

依題意G(0,0,0),A(l,0,0),￡>(—l,0,0),8(l,2,0),P(0,0,l),設(shè)尸(l,y,O),,設(shè)

DE=x￡)P=x(l,0,l)=(x,0,x),0<x<l,故￡"(x—l,0,x),EF=(2-x,y.—x)

又口4=。,0,—1）,異面直線PA與EF成30。的角，t^\PA-EF卜網(wǎng)網(wǎng)cos30。,

即2=板＞42_力2+丁+晨孚即丁一（if22?

+—,0<x<1,故0,-I,又。vyv2,

3

故y旬o,

故選：B.

2.（2020?浙江）在三棱錐A—BCD中，0是邊長為行的等邊三角形，ZBAC=\二面角

4一8。一。的大小為6,且cos6=述，則三棱錐A—BCD體積的最大值為（）

3

RGD.正

D,--------c

8-i6

【答案】B

【詳解】

設(shè)AB=x,AC=y,NBAC=。，

由余弦定理得：BC2=xl+y2-2xycos^-=x2+y2-xy..2xy-xy=xy,

當(dāng)且僅當(dāng)*=y時取等號，

,CBC=5/3>,,,孫”3,

過A作AO,平面BCO,作AELBC,連接OE,

X—BCAE--xysin—,/.AE=—xy,

2232

易知，NAEO為二面角A-BC-。的平面角，大小為。，

AO=AEsin6=g^l-(^-)2xy=［初,g'

.v1c，n1^3.1_y/3

一VA-BCD=~SBCDXA0?qX-yX3x；=-y.

3J4Zo

即三棱錐A-BCD體積的最大值為且.

8

故選：B

A

B

E

3.(2020?重慶市)如圖在正方體ABC。一中，點。為線段6。的中點.設(shè)點尸在線段CG上，直

線OP與平面A3。所成的角為。，則sina的取值范圍是（）

B.?！籡

【答案】B

【詳解】

設(shè)正方體的棱長為1,則AG=J2，AC=J^，AO=OG=，I+；=J|,OC=J；，所以

33c31。

—'-----215—+——3巧F7

cos/A0C}=——與—=—,sinNA0C1=------,cosOC=------尸-=---—,sin/AOC=—.

2x|332x西33

22

又直線與平面所成的角小于等于90，而幺0。為鈍角，所以sina的范圍為[乎,1],選B.

4.（2020?北京期中）在正方體ABC。一A4GA中，點P是側(cè)面4GCB內(nèi)（不包含邊界）的一個動點,

且APLD]B,點、H在棱RD上運動，則二面角H-AC-P的余弦值的取值范圍是

r里安i&1

【答案】一~—

33

【詳解】

連接AC,8。交于點。，連接Ag,CBt,如圖,

在正方體ABC。一44GA中，ACJ■平面所以同理

所以8。，平面ABC，所以點尸在線段耳。上（不含端點）,

所以平面AC尸即為平面AB。,

連接80,HO,HA,HC,

則用。_LAC,HOLAC,所以NB0”即為二面角H—AC—尸的平面角,

當(dāng)H與點。重合時，NBQH最小,連接

設(shè)正方體ABCD-ABCR的棱長為1,則R4=0,DQ=B0=與,

所以.。展叫瑞浮

3

當(dāng)”與點。重:合時，NBQH最大,

也

RC

cosZB^OD--cos/BQB=------2

OB13

2

_V|「

所以：面角H-AC-P的余弦值的取值范圍是

_71[

故答案為:一'

5.（2020?江西二模）設(shè)點M是棱長為2的正方體A88—44GA的棱4。的中點，點P在面所

在的平面內(nèi)，若平面RPM分別與平面ABCO和平面所成的銳二面角相等，則點P與點G間的

距離的最小值為

【答案］竽.

【詳解】

解：設(shè)P在平面ABCD上的射影為P',M在平面BB￡C上的射影為M',平面與平面ABCD和

平面BCCE成的銳二面角分別為a,p,

則cosa=2^jcos/?=^^

S△隊PMS^D]PM

?「COSOC=COSB,/.S^DPM=S八PMQ，

設(shè)P到GM'距離為d,則LxGxd=』xlx2,d=-

225

即點尸在與直線GM'平行且與直線距離為2叵的直線上，/＞到G的最短距離為d=2叵.

55

故答案為：竽.

6.（2020.安徽）已知三棱錐產(chǎn)一ABC的頂點P在底面的射影。為ABC的垂心，若S△他c?S^osc=S^mc,

且三棱錐P-A3C的外接球半徑為3,則52他+5“蛇+5”4。的最大值為.

【答案】18

【詳解】

連4。交BC于。，頂點尸在底面的射影。為ABC的垂心，

ADLBC,乂PO_L平面ABC,r.

POAQ=O,平面如O,BC_LPA8C_LP。，

同理可證PC±AB,PBLAC,

Anpn

由54而.S.=S*BC，得AZ).°。=尸7Z>,—=—,

Z_s/ioCZ_X(ZDCZAr75CPDOD

ZPDO=/PDA,：./\PODAAPD,ZAPD=APOD=90°,

..小，尸￡>,又PA,6cBePO=￡>,.?.PA_L平面PBC,

PAVPB,PALPC,乂PCJ.AB,PAAB=A,；.PC1?平面PA8,

PC_LPB,PA,PA,PC兩兩互相垂直，

???三棱錐P-ABC的外接球為PA,PB,PC為棱的長方體的外接球，

又三棱錐P-ABC的外接球半徑為3,

PA2+PB2+PC2=(2x3)2=36,

S

/.Lsrnn+Sw+^LPAC^^r-2PAPB+-2PBPC+-2PCPA

,(PA2+PB2)+(PB2+PC2)+(PC2+PA2),。

<---------------------------------------------------=18，

4

當(dāng)且僅當(dāng)Q4=PB=PC=2石時，等號成立.

故答案為：18.

7.[2016高考浙江】如圖，已知平面四邊形ABCD,AB=BC=3,CD=l,AO=逐，ZADC=90°.沿直線

AC將△ACO翻折成△ACD’,直線ac與BD'所成角的余弦的最大值是.

【解析】分析：設(shè)直線AC與8。'所成角為e.

設(shè)。是AC中點，由已知得AC=",如圖，以。8為X軸，OA為y軸，過。與平面ABC垂直的直線

A(0,^^,0),

為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由,0,0),C(0,--,0),作O”_LAC于”，翻

2

折過程中，始終與AC垂直,CH=空二=也

C4V66

則?！钡人浜?

因此可設(shè)。'（叵cosa,-如，叵sina）,

636

制吃,回回卡國.、

貝=(-----coscr--------,------,-----sina),

6236

Ull1

與CA平行的單位向量為n=(0,1,0),

uuurr

IuuirrIBD'n

所以cos6=cos<BD\n>\=

町uuir〃||口

3

-z所以cosa=l時,

V9-5cosa

cos。取最大值直

9

8.12014課標(biāo)I理12］如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多

面體的各條棱中，最長的棱的長度為（）

(A)6夜(B)6.(C)672(D)4

【答案】B

【解析】由正視圖、側(cè)視圖、俯視圖形狀，可判斷該幾何體為四面體，且四面體的長、寬、高均為4個單

位，故可考慮置于棱長為4個單位的正方體中研究，如圖所示，該四面體為。-ABC,且A5=8C=4,

,DB=DC=20。4=〃4夜）2+4=6,故最長的棱長為6,選B.

9.（2020?浙江西）在四棱錐P—ABC。中，AD//BC,BC1CD,ZABC=120°,AD=4，BC=3,

AB=2,CD=6CE，AP±ED.

(1)求證：PEA；

(2)已知點F為A8中點，點P在底面ABC。上的射影為點Q,直線AP與平面ABC。所成角的余弦值

為且，當(dāng)三棱錐P-QOE的體積最大時，求異面直線PB與Q77所成角的余弦值.

3

【答案】(1)證明見解析；(2)立.

14

【詳解】

(1)證明：AD//BC,BCVCD,NABC=120。，旬=4,BC=3,AB=2,

CD=722-(4-3)2=A/3.又CD=6CE，：.CE=l,CD=5BE=2,

由余弦定理得AE=y/BE2+AB2-2BEBCOS1200=,2?+2?-2x2x2x(=2舊,

又DE=y/CD2+CE2=J(揚2+]2=2,

：.DE2+AE2=AD2，/?AD±DE,

?：APYDE,又APAE=A,AP,AEu平面APE,

:.￡>E_L平面APE.

(2)由(1)DEJL平面APE.DEu平面ABC。，

平面ABCD±平面PAE,Q點在AE上，ZPAQ為直線AP與平面ABCD所成的角,

cos/PAQ=^=走，

AP3

設(shè)AQ=x(0<x<2>/3)>則PQ=VIr，QE=26-x，

S&QDE=2*2x(2,^3-x)=25/3—x,

丫9=*。S跡=-序》后=一日「加+屋"當(dāng)口僅J石時等號成立,

則當(dāng)/々DE最大時，AQ=G，，Q為AE中點，

,.?/為A3中點，.\園//BC,

；.4BE為異面直線PB