數(shù)學(xué)（人教版選修22）課件14生活中的優(yōu)化問題舉例

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.4生活中的優(yōu)化問題舉例1．體會導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用．2．能利用導(dǎo)數(shù)解決簡單的實際問題．(重點、難點)導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用1．優(yōu)化問題生活中經(jīng)常遇到求_________、________、_________等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．2．用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路利潤最大用料最省效率最高1．以長為10的線段AB為直徑作半圓，則它的內(nèi)接矩形的面積的最大值為(

)A．10

B．25

C．15

D．50解析：如圖所示，矩形長為10cosθ，寬為5sinθ，則矩形的面積S＝50sinθcosθ＝25sin2θ≤25，∴當(dāng)θ＝45°時，矩形的面積有最大值25.答案：B2．某工廠要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料場的長和寬應(yīng)分別為(單位：米)(

)A．32,16 B．30,15C．40,20 D．36,18答案：A3．周長為20的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個圓柱，則圓柱體積的最大值為______．4．某商品一件的成本為30元，在某段時間內(nèi)，若以每件x元出售，可賣出(200－x)件，當(dāng)每件商品的定價為______元時，利潤最大．解析：利潤為S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0得x＝115，這時利潤達到最大．答案：115利用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)函數(shù)的最大值、最小值的實際問題，體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)與幾何有關(guān)的最值問題(求幾何圖形或幾何體的面積與體積的最值)；(2)與物理學(xué)有關(guān)的最值問題；(3)與利潤及其成本有關(guān)的最值問題．導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用(1)審題：閱讀理解文字表達的題意，分清問題和結(jié)論，找出問題的主要關(guān)系．(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，主要是函數(shù)模型：引入恰當(dāng)?shù)淖兞?，把待求最值的對象表示為該變量的函?shù)．(3)解模：把數(shù)學(xué)問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解．此處主要是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值．(4)結(jié)合實際問題的實際意義，對結(jié)果進行驗證評估，定性定量分析，作出正確的判斷，并確定其答案．解決優(yōu)化問題的一般步驟【想一想】現(xiàn)有一根長為18m的鋼條，想將其圍成一個長與寬之比為2∶1的長方體形狀的框架，問如何設(shè)計才能使該長方體的體積最大？

如圖，在二次函數(shù)f(x)＝4x－x2的圖象與x軸所圍成的圖形中有一個內(nèi)接矩形，求這個矩形的最大面積．面積、容積的最值問題[思路探究]

A和B點，C和D點的橫坐標(biāo)相同，A和D點，B和C點關(guān)于直線x＝2對稱且縱坐標(biāo)相同．1．這類問題一般用面積公式，體積公式等作等量關(guān)系，求解時應(yīng)選取合理的邊長x作自變量，并利用題目中量與量之間的關(guān)系表示出其它有關(guān)邊長，這樣函數(shù)關(guān)系式就列出來了．2．這類問題中，函數(shù)的定義域一般是保證各邊(或線段)為正，建立x的不等式(組)求定義域．1．若把本例中的函數(shù)改為y＝4－x2，求這個矩形的最大面積．用料最省、成本(費用)最低問題1．用料最省、成本最低問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象．正確書寫函數(shù)表達式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，結(jié)合實際作答．2．利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實際問題，當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個點使f′(x)＝0時，如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道在這個點取得最大(小)值．2．設(shè)一個容積為V的有鋁合金蓋的圓柱形鐵桶，高為h，底面半徑為r，已知單位面積鋁合金的價格是鐵的3倍，需使造價最低，應(yīng)如何確定h∶r?

某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元(3≤a≤5)的管理費，預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為x元(9≤x≤11)時，一年的銷售量為(12－x)2萬件．(1)求分公司一年的利潤L(萬元)與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大？并求出利潤L的最大值Q(a)．利潤最大問題1．利潤最大問題是生活中常見的一類問題，一般根據(jù)“利潤＝收入－成本”建立函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求最大值．求解時要注意：①價格要大于成本，否則就會虧本；②銷量要大于0，否則不會獲利．2．用導(dǎo)數(shù)解最值應(yīng)用題，一般應(yīng)分為五個步驟：(1)建立函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)；(2)求導(dǎo)函數(shù)y′；(3)令y′＝0，求出相應(yīng)的x0；(4)指出x＝x0處是最值點的理由；(5)對題目所問作出回答，求實際問題中的最值問題時，可以根據(jù)實際意義確定取得最值時變量的取值．3．某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件．如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低額x(單位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品單價降低2元時，每星期多賣出24件．(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？解：(1)設(shè)商品降價x元，則多賣的商品數(shù)為kx2，若記商品在一個星期的獲利為f(x)，則有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．由已知條件，得24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．1．利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟：(1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)；(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f′(x)＝0