2022-2023學(xué)年陜西省西安市周至重點(diǎn)中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（含解析）

2022-2023學(xué)年陜西省西安市周至重點(diǎn)中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)

試卷（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合4={-1,0,1,2},B={x\x2<1},則4nB=（）

A.[-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.[0,1,2}

2.若z(l+i)=2i,貝ijz=()

A.-1-iB.-1+iC.1—iD.1+i

3.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{冊(cè)}的前4項(xiàng)和為15,且as=3a3+4%,

A.16B.8C.4D.2

4.（1+2/）（1+%）4的展開(kāi)式中久3的系數(shù)為（）

A.12B.16C.20D.24

5.已知曲線丫=ae*+%仇%在點(diǎn)（l,ae）處的切線方程為y=2%+仇則（）

A.a=e,b=—1B.a=e,b=1

1

C.a=?T,b=1D.a=e~,b=—1

6.已知非零向量落方滿足|為|=2|另|，且（五一方）_1至，則4與另的夾角為（

A.%B.?C生n—

J356

7.若cos(a+￡)=sinQS.J)=a,/?6(0,2),則cos(a+令=()

A33R33

A?一花B.-JC—65D5--65

8.如圖，點(diǎn)N為正方形ABC。的中心，4ECD為正三角形,平面LA

ECD平面ABC。，M是線段ED的中點(diǎn)，貝1（）

A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線

B.BM手EN,且直線BM,EN是相交直線

DA

C.8M=EN,且直線BM,EN是異面直線

D.BMKEN,且直線BM,EN是異面直線

9.已知奇函數(shù)/（x）在R上是增函數(shù).若a=—/（log2§，b08

=/(log24.1),c=y(2-),則a,

b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

10.已知三棱錐D-4BC的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，AB=BC=2,AC=2。，若三棱

錐D-ABC體積的最大值為2,則球。的表面積為()

A.8兀B.971C.竽D.空

11.已知％?2是橢圓C：務(wù)'=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，4是橢圓C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在

過(guò)4且斜率為《的直線上，aPFiF2為等腰三角形，4居尸2P=120。，則橢圓C的離心率為

6

A.|B.lC.lD.1

12.已知函數(shù)/(x)=sin[cosx]+cos[sinx],其中[%]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)%的最大整數(shù)，關(guān)于/(x)

有下述四個(gè)結(jié)論：

①f(x)的一個(gè)周期是2兀；②/(%)是非奇非偶函數(shù)；

③/(x)在(0,兀)單調(diào)遞減；④f(x)的最大值大于，臣.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()

A.①②④B.②④C.①③D.①②

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表

示抽到的二等品件數(shù)，則o(x)=.

X—2y—2W0

14.若x,y滿足約束條件x—y+120,則z=3x+2y的最大值為.

,y<0

15.已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=2an-l(n€N*),設(shè)匕=1+logza”，則數(shù)列｛彳J—｝的

°n°n+l

前n項(xiàng)和〃=.

16.己知函數(shù)/'(%)=2sinx+s譏2x,則/(x)的最小值是.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且(2a-c)(a2一產(chǎn)+?2)=2abecosC.

(1)求角8的大??；

(□)若a=l,b=V-3>求△ABC的面積.

18.(本小題12.0分)

某制造企業(yè)根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布N(〃R2),并

把質(zhì)量指標(biāo)值在(〃-<7,M+。)內(nèi)的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，質(zhì)量指標(biāo)值在(〃+<7,〃+2(7)內(nèi)的產(chǎn)品稱

為一等品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理.優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品，現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)

的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1000件，測(cè)得產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)I

(2)根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測(cè)數(shù)據(jù)，得出樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100,用樣本平均數(shù)工作為〃的

近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為。的估計(jì)值，求該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率；參考數(shù)據(jù)：若隨

機(jī)變量f服從正態(tài)分布N(〃,CJ2),則P(〃—W〃+C)B0.6827,P(ji-2a<^<H+

2(T)士0.9545,-3<r<<</z+3<T)?0.9973.

(3)假如企業(yè)包裝時(shí)要求把3件優(yōu)等品件一等品裝在同一個(gè)箱子甲，質(zhì)檢員每次從箱子中隨機(jī)

取出3件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，記取出3件產(chǎn)品中優(yōu)等品的件數(shù)為X,求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.

0.020

0.010

0.005

465666768696質(zhì)唬指標(biāo)值

19.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-4BCD中，底而ABCD是菱形，且24=40=2,APAD=ABAD=120°,

E,F分別為P。，BD的中點(diǎn)，且EF=?.

(1)求證：平面PADJ?平面ABCD；

(2)求銳二面角E-AC-。的余弦值.

20.(本小題12.0分)

已知拋物線y2=2Pxe>0)的焦點(diǎn)為尸，拋物線上的點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離等于|MF|-1.

(1)求拋物線方程；

(2)設(shè)點(diǎn)7(3,0),過(guò)點(diǎn)F作直線I與拋物線交于4B兩點(diǎn)，且方=AFB,若；I6[-5,-1],求|方+

方|的最小值.

21.(本小題12.0分)

己知函數(shù)/'(x)=Inx+ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)x2

(1)求a的取值范圍；

(2)記/(x)的極值點(diǎn)為Xo，求證:xt+x2>2ef(x0).

22.(本小題10.0分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線[的參數(shù)方程為<12?為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn),

3=尹

以x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=4cos6.

(1)求直線1的普通方程及曲線C的直角坐標(biāo)方程：

(2)若直線，與曲線C交于A,8兩點(diǎn)，求線段48的中點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離.

23.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(%)=\2x+1|—|x—m\(mER).

(1)當(dāng)m=1時(shí),解不等式f(%)>2；

(2)若關(guān)于％的不等式((%)>|x-3|的解集包含[3,4],求m的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：???B=又4={-1,0,1,2},

AdB={-1,0,1)>

故選：A.

先化簡(jiǎn)，再運(yùn)算即可得解.

本題考查集合的基本運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法法則，屬于基礎(chǔ)題.

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可.

【解答】

解：由z(l+i)=2i,得

2i_

=1+i.

故選O.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題.

設(shè)等比數(shù)列5}的公比為q(q>0),根據(jù)條件可得『1r巴+口產(chǎn)：。?='解方程即可.

gq=3aiq+4al

【解答】

解：設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為式q>0),

則由前4項(xiàng)和為15,且劭=3。3+4。1，

有ph+%q+%q2+aiq3=15.,%=1

42

k^q=3aTq+4al，IQ=2

?*?。3=22=4,

故選C.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查二項(xiàng)式定理，以及二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)直接求解即可.

【解答】

解：(1+x)4的展開(kāi)式的通項(xiàng)為4+1=C;xr,

則(1+2/)(1+x)4的展開(kāi)式中的系數(shù)為：

1XCI+2XCI=12.

故選：A.

5.【答案】D

【解析】解：y'=aex+Inx+1,

k—y'|x=i=ae+1=2,a=e-1

將(1,1)代入y=2x+b,得2+b=l,b=-1.

故選：D.

通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達(dá)式，求得a,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程，求得從

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了平面向量的數(shù)量積和向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.

由0—尤)工孔可得G-b)-b=O,進(jìn)一步得到國(guó)間cos<a,b>-b2=0'然后求出夾角即可.

【解答】

解：,?,(萬(wàn)一Wi.a

(a-b)-b=a-b-b

_2

=|a||/?|cos<a,b>—b=0,

P21

??.cos<a,b>=麗=2，

v<a,b>G[0,7r]，

??<a,b>=基

故選員

7.【答案】C

【解析】解：???a+*=a+/?—(/?一9,

:.cos(a+；)=cos[a+S—G?-1)]=cos(a+/?)cosQ?—^)+sin(a+￡)sin(0—》，

'''a,/?e(0,J),：.a+￡e(0,兀)，則sin(a+0)=g,

乙□

7T廠,7T7T、

a-ZG

sin(/?_$=得，.?.cos(/?_；)=M

I.I.I/,〃、312,5456

則cos(a+i)=gx百+百xq=在'

故選：C.

根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解，結(jié)合兩角和差的余弦公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算，結(jié)合兩角和差的余弦公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.難度中

等.

8.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，如圖所示，連接BD,點(diǎn)N為正方形4BCD

的中心，則N在BC上，

故EN、BM都在平面BED上，

結(jié)合圖形易得，直線BM,EN是相交直線，

D

再作EO_LCC于0,連接ON,過(guò)M作MFI。。于F,連接BF,

由于平面CCE1,平面4BCD.E。1CD,E。u平面CDE,

則E。_L平面4BCD,MF_L平面4BCD,△MFB與△EON均為直角三角形.

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,易知E。=G,0N=1EN=2,MF=號(hào),BF=|，；.BM=1.：.BM豐EN,

故選：B.

根據(jù)題意，連接BD,分析有B、M、E、N四點(diǎn)共面，易得直線BM,EN是相交直線，再作E。，CD

于。，連接ON,過(guò)M作MFJ_OC于F,連接8F,求出BM、EN的長(zhǎng)，即可得答案.

本題考查空間直線與直線的位置關(guān)系，涉及異面直線的定義，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用問(wèn)題.

根據(jù)奇函數(shù)/'(X)在R上是增函數(shù)，化簡(jiǎn)a、b、c,進(jìn)而可得出a,b,c的大小.

【解答】

解：奇函數(shù)/(%)在R上是增函數(shù)，

二a=-/(/。92》=/。%5)，=/(log24.1),c=/(2°-8),

08

又1<2<2<log24.1<log25,

8

.?./(2°-)</(log24.1)</(log25),

即c<b<a.

故選：C.

10.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了棱錐與球的結(jié)構(gòu)特征，常見(jiàn)幾何體的體積與表面積計(jì)算，屬于中檔題.

根據(jù)棱錐的最大高度和勾股定理計(jì)算球的半徑，從而得出外接球的表面積.

【解答】

解：AB=BC=2,4c=2/7，

+BC2=AC2,

由勾股定理的逆定理得4B1BC,

過(guò)4c的中點(diǎn)M作平面ABC的垂線MN,

則球心。在直線MN上，

設(shè)OM=/i,球的半徑為R,則棱錐的高的最大值為R+h,

YD-ABC=|xix2x2x(/?+/!)=2,

???R+九=3,

由勾股定理得：R2=(3-/?)2+2,

解得R=號(hào)，

???球。的表面積為S=4兀x展=竽.

故選。.

11.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查橢圓的性質(zhì)，直線方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

求得直線AP的方程，根據(jù)題意求得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程，即可求得橢圓的離心率.

【解答】

解：由題意可知:A{—a,0),F1(—c,0),/*2(c,0),

直線4P的方程為：y=?(%+a),

由NF/2P=120。，|PF2|=|&F2|=2c,

則P(2GCC),

代入直線4尸的方程得，3c=?(2c+a),整理得：a=4c,

???離心率e=d

故答案選：D.

12.【答案】A

【解析】解：①vf(x+2zr)=sin[cos(x+2TT)]+cos[sin(x+2n)]=sin[cos%]+cos[sinx]=

/(%)，

???f(%)的一個(gè)周期是2江，故①正確；

②f(一力=sin[cos(-§]+cos[sin(-^)]=sin[?]+cos[-^]=sinO+cos(-l)=cosl，

/(》=sin[cos^]+cos[sin^]=sin[浮]+cos[?]=sinO+cosO=1,

.??/(—》w/6)，/(—力?—/(》，.?./?(%)是非奇非偶函數(shù)，故②正確；

當(dāng)工€(0,1)時(shí)，0<sinx<1,0<cosx<1,A[sinx]=[cosx]=0,

???/(%)=sin[cosx]+cos[sinx]=sinO+cosO=1,故③錯(cuò)誤；

v/(0)=sin[cosO]+cos[sinO]=sinl+cosO=sinl4-1>?+1>y/~21故④正確.

???正確結(jié)論的序號(hào)是①②④.

故選：A.

由三角函數(shù)的概念判斷①：由〃一》*啰)，/(一力力—6)判斷②；求出當(dāng)XG(0,今時(shí)/0)為

定值判斷③；求出/(0)的值判斷④.

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查邏輯思維能力與運(yùn)算求解能力，是中檔題.

13.【答案】1.96

【解析】

【分析】

本題考查離散性隨機(jī)變量的期望與方差的求法，屬于基礎(chǔ)題.

判斷概率類型滿足二項(xiàng)分布是解題的關(guān)鍵.判斷概率滿足的類型，然后利用公式求方差即可.

【解答】

解：由題意可知，該事件滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是二項(xiàng)分布模型，

其中，p=0.02.n=100,

則D(X)=np(l-p)=100x0.02x0.98=1.96.

故答案為：1.96

14.【答案】6

【解析】

【分析】

本題考查線性規(guī)劃中的最值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.

【解答】

X—2y—2<0

解：作出不等式組x—y+lN0對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖：

,y<0

由z=3x+2y,得y=-|x+；z,

平移直線y=—|x+gz,由圖象知當(dāng)直線y=—?x+az經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(2,0)時(shí),

直線y=—|%+；z的縱截距最大，此時(shí)z最大，

則Znuur=3X2=6，

故答案為：6.

15.【答案】言

【解析】

【分析】

本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和，考查計(jì)算能力，屬于較易題目.

1

令n=1,=1；n>2時(shí)，c1=S-S九推出0=2a_然后求解通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)數(shù)列出。一｝

nnnnlf°nDn+l

的通項(xiàng)公式，求解數(shù)列的和即可.

【解答】

解：令九=1,Qi=1；

n>2時(shí),。九=Sn-Sn-i=2an—2azi一「

整理得：an=2an_lt

nn

所以an=2t,bn=1+log22t=n,

Tn=-^―+dp---=------F-———=1———=-2-

n1x22x3n(n+l)223nn+1n+1n+1*

故答案為：言

16.【答案】—亨

【解析】

【分析】

本題考查二倍角公式及其應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)在區(qū)間的最值，屬于中檔題.

由題意可得7=2兀是/■(>)的一個(gè)周期，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f(x)在［0,2兀)上的最小值，進(jìn)行求解即可.

【解答】

解：由題意，可得T=27T是fO)=2s勿％+s譏2%的一個(gè)周期，

故只需考慮/(%)=2s比x+s譏2%在［0,2兀)上的值域，

求導(dǎo)數(shù)可得/'(%)=2cosx+2cos2x

=2cosx+2(2cos2x—1)=2(2cosx—l)(cosx+1),

令/'(%)=0,可解得cos%=g或cosx=-1,

可得：X=1,或X=7T或)=等;

??,f(x)=2sinx+s譏2x的最小值只能在％=/，或％=九或%=苧或％=0中取到，

計(jì)算可得/■居)=浮，/(兀)=0,/(：)=—學(xué)，/(0)=0，

???函數(shù)f(x)的最小值為一容，

故答案為：一亨.

17.【答案】解：(1)v(2a-C)(Q2-爐+。2)=2abccosC.

???(2a—c)2accosB=2abccosC.

???(2a—c)cosB=bcosC；

由正弦定理可得：

???2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC,

:.2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(8+C)=sinA,

vsinA*0,

1

:.cosBn=

???B6(0°480°),

???B=60°；

(2)由正弦定理可得：

因?yàn)閍<b；

???4=30°,

故C=180°-30°-60°=90°.

???S=gabsinC=1x1xV~~3xsin90°=號(hào).

【解析】（1）由已知利用余弦定理，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得cosB=結(jié)合

范圍B6（0。,180。）,可求B的值；

（2）先由正弦定理求得4進(jìn)而得到C,即可求得其面積.

本題主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查

了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

18.【答案】解：（1）由頻率分布直方圖可知，

x=0.010x10x+0.020x10x+0.045x10x+0.020x10x+

(2)由題意可知，樣本方差s2=100,故=10，

所以質(zhì)量指標(biāo)值y?N(70,102)，

該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率P=P(60<y<90)=P(60<y<80)+P(80<r<90)=

其0.6827+0.9545)=0.8186.

(3)X的可能取值為0,1,2,3,

則P(x=o)=^=條

P(X=1)=警=輸

(JoZO

P(X=2)=萼=g,

所以X的分布列為

X0123

515151

p

28285656

數(shù)學(xué)期望%)=0x^+lx!|+2x||+3x表/

【解析】(1)根據(jù)平均數(shù)的運(yùn)算公式，代入數(shù)值計(jì)算即可；

(2)由己知可得，質(zhì)量指標(biāo)值y?N(70,102),該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率P=P(70—10<Y<

70+10)+P(70+80<y<70+20)=P(60<V<80)+P(80</<90)=1(0.6827+

0.9545)=0.8186：

(3)根據(jù)求離散型隨機(jī)變量分布列的步驟，確定X取不同值時(shí)的概率，列表對(duì)應(yīng)，列出X的分布列，

根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式，代入數(shù)值求解即可.

本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，正態(tài)分布等概率統(tǒng)計(jì)類基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中檔

題.

19.【答案】證明：(1)過(guò)P作P。_L4D,垂足為。，連結(jié)4。，B0,

由4PAD=120°,得NPZ0=60°,

.,.在RtAPA。中，P0=PAsin^PAO=2s譏60°=2x三=C，

y

X

V^BAO=120°,???々840=60。,4。=40,

??.△PAO=LBAO,:.BO=PO=7~3,

???E,尸分別是24,BC的中點(diǎn)，EF=?，

???E尸是△PBD的中位線，PB=2EF=2X[=口,

：.PB2=PO2+FO2,PO1BO,

ADdBO=0,-??PO_L平面力BCD,

又POu平面PAD,.?.平面PAD_L平面ABCD.

解：(2)以。為原點(diǎn)，OB為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

4(0,1,0),P(0,0,C),B(C,0,0),￡>(0,3,0),

33

以

(O,2-FC2-,0)，

荏=(0,；,?)，/=(梟,0),

平面4BCD的一個(gè)法向量五=(0,0,1),

設(shè)平面ACE的法向量記=(%,y,z),

m-'AE-\y卒z=0

則(一JI，?。?1,得沅=(1,一門(mén),1),

m-AF=—x4--y=0

22/

設(shè)銳二面角的平面角的大小為0,

則cos?！獆cos<m,n>|=?匕：；[=

???銳二面角E-AC-。的余弦值為?.

【解析】(1)過(guò)P作P。，AD,垂足為。，連結(jié)4。,8。,推導(dǎo)出PO=PAsin^PAO=C，乙BAO=60°,

AO=AO,從而△P40三ABA。，進(jìn)而B(niǎo)0=P0=V3，推導(dǎo)出P。B。，從而P01平面4BCD,

由此能證明平面PADJ■平面4BCD.

(2)以。為原點(diǎn)，OB為x軸，。。為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出銳二

面角E-AC-D的余弦值.

本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置

關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理推論證能力、運(yùn)算求解能力，是中檔題.

20.【答案】解：(1)拋物線V=2Px(p>0)的焦點(diǎn)為F,

拋物線上的點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離等于|MF|-1,

可得§=1,所以p=2,

拋物線方程為y2=4x.

(2)由題意知A?2,2t),t>0,

FA=AFB=>2t=A^=>t=V—A,t6[1,V-5]，

則|方+而|=|(t2-3+^-3,2t-|)|

=J_3+M1_3)2+(2t_-2)2

=JKt-**4(7)2,

令S=(t-7)2-Se[0,y],

\TA+TB\=V[s-4]2+4s

=Vs2—4s+16

=V(s-2)2+12>當(dāng)s=2時(shí)取等號(hào).

故|元？+用|的最小值為2，藺，

【解析】(1)利用已知條件求出P，得到拋物線方程.

(2)求出4(尸,2￡),8(十,1)，t>0,轉(zhuǎn)化推出|普+而|的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最

小值即可.

本題考查拋物線方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是

中檔題.

21.【答案】解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),令f(x)=0,則。=一號(hào)口，

依題意，函數(shù)F(x)=-厘Q>0)的圖象與直線y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，

由F(x)=-與工(％>0)得尸'(%)=-1-尊+1)=整,

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，F(xiàn)'(x)<0,F(x)單減，當(dāng)x6(1,+8)時(shí)，F(xiàn)'(X)>0,尸(x)單增，

且F(l)=-1,當(dāng)XT0時(shí)，F(xiàn)(%)T+8,當(dāng)％->+8時(shí)，F(xiàn)(%)T0,如下圖所示，

11

(2)由(1)知，—1<a<0,且由/'(%)=-4-a=0得%o=-

,?,函數(shù)/(%)=Inx+ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)％i，%2,

(lnxx+axr+1=0

[lnx2+ax2+1=0'

???In就+a?—x2)=0,

不妨設(shè)％1>%2，則Q=.%-,

令函數(shù)九(%)="％一：則九

當(dāng)0<x<e時(shí),九'(%)>0,當(dāng)%>e時(shí),hr(x)<0,

?,?函數(shù)九(%)在(0,e)上單增，在?+8)上單減，

???力(%)max=h(。)=0,

Y

:./i(x)<0,即仇％<

??"3))=f(1-：)=ln(1-》1-i>l，

11

/.Inf-一)<——，

'aea

???2e仇（一，）<即2e/（%o）<-^

???要證/+%2N2e/Qo），即證%1+%22一馬即證/+%2N號(hào)旨力,即證半守，即證

QX2*2xi*x2

x,2合1）

出久2若—，

%2」+1

x2

令再令亡=孑（1>1），即證仇tN2￡1），

“2c+l

2

令咐…一管?>1）,則九,⑷=?六=鼎>。,

???h(t)在(l,+oo)上單調(diào)遞增,

A/i(t)>h(l)=0,即伍tN2)；；)，即得證.

【解析】(1)問(wèn)