2019-2020學(xué)年人教A版高一年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷 含解析

2019-2020學(xué)年高一第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1.如圖所示，觀察四個(gè)幾何體，其中判斷正確的是（）

A.①是棱臺(tái)B.②是圓臺(tái)C.③是四面體D.④不是棱柱

2.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（愿，-1）和點(diǎn)8（0,2）,則直線48的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.圓（x-1）2+/=1與直線/應(yīng)丫的位置關(guān)系是（）

3

A.相交B.相切C.相離D.直線過(guò)圓心

4.已知點(diǎn)4（1,2）,B（3,1）,則線段48的垂直平分線的方程是（）

A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=5

5.下列敘述中，正確的是（）

A.因?yàn)镻Ga,0Ga,所以PQGa

B.因?yàn)镻ea,OGB,所以aD|3=%

C.因?yàn)?比a,CGAB,D&AB,所以辦Ga

D.因?yàn)?fita,4比B,所以/G（aCB）且8G（aD|3）

6.在正方體/483-48G4中，異面直線48與所成角的余弦值是（）

A.0B.1C.叵D.—

22

7.過(guò)點(diǎn)（1,2）,且與原點(diǎn)距離最大的直線方程是（）

A.A+2y-5=0B.2^+y-4=0C.A+3y-7=0D.x-2JH-3=0

8.長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為a,2a,2a它的頂點(diǎn)都在球面上，則這個(gè)球的體積是（）

A27na?B27冗a，C.呼D.中

,-S-,-2-

9.一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（）

A1+2兀-1+4冗門(mén)1+2兀c1+4冗

2兀4兀n2冗

10.直線X-2”3=0與圓（x-2）2+（y+3）?=9交于丘尸兩點(diǎn)，則是原點(diǎn)）

的面積是（）

A.2a

11.兩圓/+/=4和(妙2)2+(y-a)?=25相切，則實(shí)數(shù)a的值為(

A.土芯B.±375C.&或3點(diǎn)D.土西或±3、而

12.如圖直三棱柱45c-48G的體積為V,點(diǎn)P、。分別在側(cè)棱44和%上，AP=&Q,則

四棱錐夕-4例C的體積為()

A'C

二、填空題(本題共4個(gè)小題)

13.已知/(-2,3),B(0,1),則以線段45為直徑的圓的方程為.

14.一個(gè)圓錐的底面半徑為3c叫側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，則圓錐■的側(cè)面積是cm.

15.若直線x+y=1與直線2(/1)x+my-4=0平行，則這兩條平行線之間的距離是.

16.設(shè)久"是兩條不同的直線，a,B,丫是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：

(1)若ml.a,n//a,則ml.n,(2)若m//n,no.a,則m//a

(3)若加〃a,"〃a，則"〃"(4)若a_L丫，B_L丫，則a〃/3

(5)m//a,/wzP,aPI0=n,則m//n(6)若a〃B,B〃丫，ml.a,則m±丫

其中正確命題的序號(hào)是

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)

17.已知三個(gè)頂點(diǎn)/(-1,4),8(-2,-1),C(2,3).

(1)求8c邊中線4〃所在的直線方程

(2)求的面積.

18.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示.

(1)求此幾何體的表面積；

(2)如果點(diǎn)尺。在正視圖中所示位置，P為所在線段中點(diǎn)，。為頂點(diǎn)，求在幾何體側(cè)面

的表面上，從夕點(diǎn)到0點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng).

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

19.在三棱錐。中，和△陽(yáng)C都是邊長(zhǎng)為質(zhì)的等邊三角形，AB=2,0,〃分別

是AB,用的中點(diǎn).

(1)求證：①〃平面以C;

(2)求證：P0工平面ABC;

20.已知圓C-.寸+/-2x-4y-20=0及直線/:(2M1)A+(mH)y=7/4(〃GR).

(1)證明：不論加取什么實(shí)數(shù)，直線/與圓C總相交；

(2)求直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值及此時(shí)的直線方程.

21.如圖，在直四棱柱48m-4864中，點(diǎn)E為/區(qū)的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為4。的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃①函ABCD,,

(2)求證：AA,rEF.

22.在平面直角坐標(biāo)系中，△48,頂點(diǎn)的坐標(biāo)為/(-1,2),B(1,4),C(3,2).

(1)求仇?外接圓￡的方程；

(2)若直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,4),且與圓￡相交所得的弦長(zhǎng)為2?,求直線/的方程.

參考答案

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.）

1.如圖所示，觀察四個(gè)幾何體，其中判斷正確的是（）

①②③④

A.①是棱臺(tái)B.②是圓臺(tái)C.③是四面體D.④不是棱柱

【分析】利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析判斷，能夠求出結(jié)果

解：圖（1）不是由棱錐截來(lái)的，所以（1）不是棱臺(tái)；

圖（2）上、下兩個(gè)面不平行，所以（2）不是圓臺(tái)；

圖（3）是四面體.

圖（4）前、后兩個(gè)面平行，其他面是平行四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊平行，

所以（4）是棱柱.

故選：C.

2.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)/（日，-1）和點(diǎn)8（0,2）,則直線48的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150"

【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線48的傾斜角為e,求出直線的斜率，由直線的斜率與傾斜角

的關(guān)系可得tane=M=-?,據(jù)此分析可得答案.

解：根據(jù)題意，設(shè)直線/夕的傾斜角為e,

直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（遮，-1）和點(diǎn)8（0,2）,則用3=彳三＞=-e，

貝有tan0=kAB=-貝"0=120°;

故選：C.

3.圓（x-1）與直線丫正乂的位置關(guān)系是（）

3

A.相交B.相切C.相離D.直線過(guò)圓心

【分析】要判斷圓與直線的位置關(guān)系，方法是利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到此直

線的距離d,和圓的半徑r比較大小，即可得到此圓與直線的位置關(guān)系.

解：由圓的方程得到圓心坐標(biāo)為（1,0）,半徑r=1,

所以（1,0）到直線尸乂3=r,則圓與直線的位置

3

關(guān)系為相交.

故選：A.

4.已知點(diǎn)4（1,2）,B（3,1）,則線段48的垂直平分線的方程是（）

A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=5

【分析】先求出中點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出垂直平分線的斜率，點(diǎn)斜式寫(xiě)出線段46的垂直平分

線的方程，再化為一般式.

解：線段的中點(diǎn)為（2,日），〃產(chǎn)署=二，

23-12

線段的垂直平分線的方程是y-4=2（x-2）=>4x-2y-5=0,

故選：B.

5.下列敘述中，正確的是（）

A.因?yàn)槭琫a,a,所以PQea

B.因?yàn)镻Ga,0GB,所以allB=

C.因?yàn)?比a,CGAB,AB,所以CDRa

D.因?yàn)閍,B,所以4G（aDB）且8G（aD3）

【分析】因?yàn)镻Ga,a,所以用ca；因?yàn)橄a,0GB,所以an0=戶0或a

//P;因?yàn)?5ba,CGAB,D^AB,所以CDaa；因?yàn)閍,ABa0,所以4G（a

nB）且8G（ad。）.

解：因?yàn)镻Ga,0Ga,所以PKa,故/錯(cuò)誤；

因?yàn)镻Ga,0G0,所以。（~）0=%或?！ǎ?,故8錯(cuò)誤；

因?yàn)閍,CGAB,D&AB,所以Qfca,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)?比a,/比B,所以4G（aD0）且BG（aD0）,故〃正確.

故選：D.

6.在正方體/腦-4SG〃中，異面直線48與4J!所成角的余弦值是（）

A.0B.1C.叵D.—

22

【分析】由題意畫(huà)出圖形，連接能，則4〃〃8凡則N4能為異面直線48與44所成

角，可得N48G=60°,由此可得異面直線48與所成角的余弦值.

解：如圖，

連接8G,則/〃〃制，則N4制為異面直線48與所成角，

連接4G,可得△4的為等邊三角形，則N48G=60°,

則異面直線48與44所成角的余弦值是寺.

故選：D.

7.過(guò)點(diǎn)（1,2）,且與原點(diǎn)距離最大的直線方程是（）

A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.x-2jH-3=0

【分析】數(shù)形結(jié)合得到所求直線與。1垂直，再用點(diǎn)斜式方程求解.

解：根據(jù)題意得，當(dāng)與直線04垂直時(shí)距離最大，

因直線）的斜率為2,所以所求直線斜率為-4，

所以由點(diǎn)斜式方程得：y-2=（%-1）,

化簡(jiǎn)得：x+2y-5=0,

故選：A.

8.長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為a,2a,2a它的頂點(diǎn)都在球面上，則這個(gè)球的體積是（）

A27兀.B27冗a?c9兀a，D9兀a，

'-8~-2--2~~S-

【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的外接球直徑等于體對(duì)角線可先求出球的半徑，進(jìn)而求得該球的體

積即可.

解：設(shè)這個(gè)求得半徑為凡根據(jù)條件可知，

222=3a

外接球直徑2R=7a+（2a）+（2a）>則-

所以該球的體積為#=9TTa,

32

故選：C.

9.一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（）

1+2兀?1+4兀c1+2兀n1+4兀

AA.--------D.----------v.----------U.----------

2冗4兀n2冗

【分析】設(shè)圓柱底面積半徑為廣，求出圓柱的高，然后求圓柱的全面積與側(cè)面積的比.

解：設(shè)圓柱底面積半徑為々則高為2nr,

全面積：側(cè)面積=[（2nr）2+2nr2]:（2nr）2

_2-+1

--2兀?

故選：A.

10.直線x-2y-3=0與圓（x-2）2+（尸3）?=9交于反尸兩點(diǎn)，則△￡OF（0是原點(diǎn)）

的面積是（）

A.2旄B.|C.|D.等

【分析】先求出圓心坐標(biāo)，再由點(diǎn)到直線的距離公式和勾股定理求出弦長(zhǎng)|￡F|,再由原

點(diǎn)到直線之間的距離求出三角形的高，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式求得答案.

解：圓（x-2）2+（八3）的圓心為（2,-3）

二（2,-3）到直線x-2y-3=0的距離d=忸義＞?\-3）甸=巡

弦長(zhǎng)|明=2,北石=4

原點(diǎn)到直線的距離占位義「合0-3」-=3

7s

的面積為S==X4X-^=^Y5

2遍5

故選：D.

11.兩圓/+/=4和（妙2）2+（y-a）?=25相切，則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.土在B.±375C.、卮3、歷D.土后或土3后

【分析】根據(jù)題意，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析兩圓的圓心與半徑，分兩圓外切與內(nèi)切兩種情

況討論，求出a的值，綜合即可得答案.

解：根據(jù)題意：/+/=4的圓心為（0,0）,半徑為2,圓（葉2）2+（y-a）?=25的圓

心為（-2,a）,半徑為5,

若兩圓相切，分2種情況討論：

當(dāng)兩圓外切時(shí)，有（-2）2+a2=（2+5））解可得a=±3、后，

當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，有（-2）2+a2=（2-5）2,解可得且=±遙，

綜合可得：實(shí)數(shù)a的值為土遙或±3依；

故選：D.

12.如圖直三棱柱48C-48G的體積為V,點(diǎn)夕、。分別在側(cè)棱心和GG上，AP=GQ,則

四棱錐8-彳夕加的體積為()

DV

A.2D，5

【分析】把問(wèn)題給理想化，認(rèn)為三棱柱是正三棱柱，設(shè)底面邊長(zhǎng)a和側(cè)棱長(zhǎng)，均為1,凡

。分別為側(cè)棱/M',CC上的中點(diǎn)

求出底面面積高，即可求出四棱錐6-的體積.

解：不妨設(shè)三棱柱是正三棱柱，設(shè)底面邊長(zhǎng)a和側(cè)棱長(zhǎng)力均為1

則V=S?h=—'1?1*乂1=1認(rèn)為P、。分別為側(cè)棱4'，CC上的中點(diǎn)

224

則返(其中返表示的是三角形/8C邊4c上的高)

32342

所以VB-APDC=-^V

故選：B.

二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分)

13.已知4(-2,3),B(0,1),則以線段48為直徑的圓的方程為(/1)?+(y-2)

【分析】設(shè)圓上任意一點(diǎn)P(x,y),由還.誣=時(shí)簡(jiǎn)即可.

解：設(shè)圓上任意一點(diǎn)"(x,y),

由寇?而=0，(妙2,y-3)(x,y-1)=0,

即x+2j(+y-4y+3=0,

所以圓的方程為(>+1)2+(y-2)2=2,

故答案為：O1)2+(y-2)z=2.

14.一個(gè)圓錐的底面半徑為3c叫側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，則圓錐的側(cè)面積是

【分析】由圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓可得圓弧為底面圓的周長(zhǎng)，求出弧長(zhǎng)，進(jìn)而求出展

開(kāi)圖的半徑，進(jìn)而求出展開(kāi)圖的面積，由題意知側(cè)面展開(kāi)圖即為圓錐的側(cè)面，所以面積

相等.

解：由題意知側(cè)面展開(kāi)圖即為圓錐的側(cè)面，

設(shè)側(cè)面展開(kāi)圖的半徑為尺弧長(zhǎng)為/=2n?3=6n,

因?yàn)閭?cè)面展開(kāi)圖是半圓，

所以6n="尺解得：R=6,

所以半圓的面積S=—/R=—,6n,6=18n,

22

15.若直線妙y=1與直線2（府1）*■處-4=0平行，則這兩條平行線之間的距離是—當(dāng)2_.

【分析】利用兩條平行直線平行的性質(zhì)求得加的值，再根據(jù)兩條平行直線間的距離公式,

求得這兩條平行線之間的距離.

解：:,直線x+y=1與直線2（加1）>（+如-4=0平行，.?.山史工-=典手^支，求得m=

11-1

-2,

故直線A+_K=1與直線2（加■>!）x^my-4=0,即直線A+y=1與直線/廠2=0,

則這兩條平行線之間的距離為巨豆=色巨，

V22

故答案為：口返.

2

16.設(shè)小"是兩條不同的直線，a,B,丫是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題:

(1)若ml.a,n//a,則ml.n,(2)若m//n,nc.a,則m//a

(3)若加〃a,n//a,則m//n(4)若a_L丫，B_L丫，則a〃B

(5)m//a,g0,aD0=n,則m//n(6)若a〃0,B〃丫，ml.a,則ml.丫

其中正確命題的序號(hào)是(1)(5)(6)

【分析】根據(jù)線面平行性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的定義，可得①是真命題；根據(jù)面面平

行的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的性質(zhì)，可得②是真命題；在正方體中舉出反例，可得平行于同

一個(gè)平面的兩條直線不一定平行，垂直于同一個(gè)平面和兩個(gè)平面也不一定平行，可得③

④不正確.由此可得本題的答案.

解：對(duì)于(1),因?yàn)椤ā╝,所以經(jīng)過(guò)"作平面B,使BDa=/,可得"〃/,又因?yàn)?/p>

ml.a,/ua,所以ml./,結(jié)合n〃/得ml.n.由此可得(1)是正確;

對(duì)于(2),若m//n,naa,則a或ga,故(2)是錯(cuò)誤；

對(duì)于(3),設(shè)直線久〃是位于正方體上底面所在平面內(nèi)的相交直線，而平面a是正方

體下底面所在的平面，

則有〃〃a且〃〃a成立，但不能推出〃〃〃，故(3)錯(cuò)誤；

對(duì)于(4),設(shè)平面a、丫是位于正方體經(jīng)過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面，則有a_LY且B

±Y,但是a_LB,推不出a〃B,故(4)不正確；

對(duì)于(5),根據(jù)線面平行性質(zhì)定理，當(dāng)m//a,歸B,aA0="時(shí)必有m//n,故(5)

正確；

對(duì)于(6)因?yàn)閍〃B且B〃丫，所以a〃丫，結(jié)合加_La,可得m_L丫，故(6)是正確；

綜上所述，正確的是(1)(5)(6),

故答案為：(1)(5)(6).

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)

17.已知三個(gè)頂點(diǎn)/(-1,4),8(-2,-1),C(,2,3).

(1)求8c邊中線47所在的直線方程

(2)求的面積.

【分析】(1)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得此中點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求得外邊的中線47所在

的直線方程；

(2)首先求得頂點(diǎn)C到直線47的距離，中線4?的長(zhǎng)度，然后由三角形的面積求法進(jìn)行

解答.

解：(1),:B(-2,-1),C(2,3).

二%中點(diǎn)D(0,1),

/?k*t)=-3

二4)直線方程為3x+y-1=0;

(2)頂點(diǎn)C到AD所在直線3x號(hào)-1=0的距離d絲貝，

0

巾線AD長(zhǎng)|皿|沂，

所以S2UBC=2X^|AD|d=8.

18.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示.

(1)求此幾何體的表面積；

(2)如果點(diǎn)?。在正視圖中所示位置，P為所在線段中點(diǎn)，。為頂點(diǎn)，求在幾何體側(cè)面

的表面上，從P點(diǎn)到。點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng).

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

【分析】(1)首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，進(jìn)一步求出幾何體的表面積.

(2)利用展開(kāi)面的關(guān)系，利用勾股定理的應(yīng)用求出結(jié)果.

解：(1)根據(jù)幾何體的三視圖，轉(zhuǎn)換為幾何體，是由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組成.

該幾何體的表面積是由圓錐的側(cè)面積和圓柱的側(cè)面積及圓柱的底面積組成.

所以s圓錐的側(cè)面租=/,2兀a?收a婭兀a2.

S圓柱的側(cè)面積=2兀a?2a=4兀a?.

S圓柱底面積=冗&.

S表面積&+5)兀a*.

(2)沿點(diǎn)夕與點(diǎn)。所在的母線剪開(kāi)圓柱的側(cè)面，

如圖所示：

所以PQ=7AP2+AQ2=H1+兀，即最短路徑.

19.在三棱錐P-46C中，和△陽(yáng)C都是邊長(zhǎng)為、歷的等邊三角形，AB=2,0,〃分別

是AB,用的中點(diǎn).

(1)求證：0D〃平茴PAC;

(2)求證：P0工平面ABC;

【分析】(1)由三角形中位線定理，得出必〃以，結(jié)合線面平行的判定定理，可得00

〃平面PAC;

(2)等腰△以8和等腰夕中，證出P0=0C=1,曲PC=M，由勾股定理的逆定理，

得POLOC,結(jié)合POLAB,可得P0工平面ABC;

(3)由(2)易知陽(yáng)是三棱錐P-48C的高，算出等腰△48C的面積，再結(jié)合錐體體積

公式，可得三棱錐"-48C的體積.

解：(1)'：0,〃分別為46,陽(yáng)的中點(diǎn)，：.OD//PA

又PAci平面PAG,ODi平面PAC

：.QD〃牛&PAC.…

(2)如圖，連接0C

VAC=CB=V2?0為中點(diǎn)，＞45=2,

OCLAB,且舊JAC2GAs)2=1.

同理，POLAB,P0=\.???

又；PC=我，

:.pe=2=oe+p。,得NPOC=90°.

:.poroc.

?：oc、住平面ABC,ABQOC=O,

:.P01平面ABC.???

(3).:P01平面ABC,：?OP為三棱褲P-ABC的高,

結(jié)合陣1,得棱錐f8C的體積為4ABe寺△妞IXl=y.-

20.已知圓C:/+/-2x-4y-20=0及直線/:（2M1）A+（Wl）y=7研4（〃GR）.

（1）證明：不論〃取什么實(shí)數(shù)，直線/與圓C總相交；

（2）求直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值及此時(shí)的直線方程.

【分析】（1）求出直線/過(guò)定點(diǎn)（3,1）,圓C的圓心為（1,2）,半徑為5.定點(diǎn)（3,

1）到圓心（1,2）的距離小于半徑，從而得到點(diǎn)（3,1）在圓內(nèi)，由此能證明不論m

取什么實(shí)數(shù)，直線/與圓C總相交.

（2）設(shè)直線/與圓交于4、8兩點(diǎn).當(dāng)直線/過(guò)定點(diǎn)"（3,1）且垂直于過(guò)點(diǎn)照的圓C

的半徑時(shí)，/被截得的弦長(zhǎng)最短.

【解答】證明：（1）把直線/的方程改寫(xiě)成（/>-4）+m（2/y-7）=0,

由方程組『切*。，解得（x=3,

I2x+y-7=0[y=l

所以直線/總過(guò)定點(diǎn)（3,1）.

圓C的方程可寫(xiě)成（x-1）2+（y-2）2=25,

所以圓C的圓心為（1,2）,半徑為5.

定點(diǎn)（3,1）到圓心（1,2）的距離為｛g-I）2+（卜2）2=代<5,

即點(diǎn)（3,1）在圓內(nèi).

所以過(guò)點(diǎn)（3,1）的直線總與圓相交，即不論加取什么實(shí)數(shù)，直線/與圓C總相交.

解：（2）設(shè)直線/與圓交于4、8兩點(diǎn).當(dāng)直線/過(guò)定點(diǎn)附（3,1）且垂直于過(guò)點(diǎn)照的

圓C的半徑時(shí),

/被截得的弦長(zhǎng)|48|最短.

因?yàn)閨/5|=2四|BC|2-|CHI2=2,25-(3-1)2+(1-2)2=2倔=4旄,

此時(shí)總=-"-=2,所以直線的方程為y-1=2(x-3),即2x-y-5=0.

kCM

故直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)最小值為4灰，此時(shí)直線/的方程為2x-y-5=0.

21.如圖，在直四棱柱m-48C4中，點(diǎn)￡為/區(qū)的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為4。的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面ABCD；