2024屆湖南省永州市高三下學期三模數(shù)學試題及答案

永州市2024年高考第三次模擬考試數(shù)學命題人：審題人：（永州一中）（永州四中）（祁陽二中）（江華二中）（永州市教科院）注意事項：1．本試卷共150分，考試時量120分鐘．2．全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效．3．考試結(jié)束后，只交答題卡．本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合Axyln(x，A．4,2．樣本數(shù)據(jù)16，24，14，10，20，15，12，14的上四分位數(shù)為A．14B．15C．163．已知非零數(shù)列a}滿足2aBxNx2x12，則AB4B．6)C．345D3）D．18a2024a2021nn12n2an0，則=nA．8B．16C．32D．6461x4．xtan的展開式中第四項的系數(shù)為540，則cos2的值為35373537454A．B．C．D．55．為迎接2024年在永州舉行的中國龍舟公開賽，一位熱情好客的永州市民準備將9份一樣的永州特產(chǎn)分給甲、乙、丙三名幸運觀眾，若每人至少分得一份，且甲、乙兩人分得的份數(shù)不相同，則不同的分法總數(shù)為A．26．在ABCACB120，|AC3，|BC4,DCDB0則|ABAD|A．632B．2194C．331D．192B．25C．24D．237．已知函數(shù)f(x)exexsinxx2，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).若f(logt)f4，則實數(shù)t的取值范圍是永州市2024年高考第三次模擬考試·數(shù)學第1頁（共4頁）1A．0，81B．C0）D8）8x22y228．已知F，F(xiàn)分別是雙曲線a0,b0)的左、右焦點，點O為坐標原點，過12abF的直線分別交雙曲線左、右兩支于A,B兩點，點C在x軸上，CB3FA，BF平122分FBC，其中一條漸近線與線段AB交于點P,則sinPOF12414274372117A．B．C．D．7本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是A．已知隨機變量X~N(2,)2，若P(0X2)0.4，則P(X4)0.1B．設a0，b0，則“l(fā)og3log3”成立的充要條件是“ab1”ba133C．已知P(B|)，P(AB)，則P()2816111D．若PAB，P()，P(B)，則事件A與B相互獨立63410．已知拋物線C:x22y的焦點為F，過點F且傾斜角為銳角的直線l與拋物線C相交于A，B兩點（點AA作拋物線C的準線的垂線，垂足為M，直線l與拋物線C的準線相交于點N，則A．AFBF的最小值為2B．當直線l的斜率為3時，AB812C．設直線BM，MF的斜率分別為k，k，則112k2D．過點B作直線AM的垂線，垂足為Q，BQ交直線MF于點P，則BPPQ11．在平面四邊形ABCD中，ABAD2,ABAD,BCD為等邊三角形，將ABD沿BD折起，得到三棱錐ABCD，設二面角ABDC的大小為．則下列說法正11確的是21A150時，M，N分別為線段BD，CMN的最小值為1413B．當120時，三棱錐1BCD外接球的直徑為33C．當90時，以C為直徑的球面與底面BCD的交線長為D．當60時，AD繞D點旋轉(zhuǎn)至1D所形成的曲面面積為323三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．121m2(m25m，z210(mmzz（z為z122永州市2024年高考第三次模擬考試·數(shù)學第2頁（共4頁）則實數(shù)m的取值范圍為．13ABCA，B，Ca，b，cacosBbcosA2ccosC，7sin(2A)cos(AB)．68x14f(x)的定義域為R，f(x)fx)1，f(x)2f()0xx1，1271恒有f(x)f(x)，則f()．122024四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1513分）綠化祖國要擴綠、興綠、護綠并舉．某校植樹節(jié)分別在甲，乙兩塊不同的土地上栽種某品種樹苗各500株．甲地土質(zhì)含有M元素，乙地土質(zhì)不含有MM元50株作為樣本進行統(tǒng)計分析．經(jīng)統(tǒng)計，甲地成活45株，乙地成活40株．（122的獨立性檢驗，能否認為該品種樹苗成活與M元素含量有關(guān)聯(lián)？（23株，其中取自甲地的株數(shù)為X，求X的分布列及方差．bc2n參考公式：2abcd,nabcdacbd22列聯(lián)表參考數(shù)據(jù)：樹苗成活情況成活不成活0.100.050.0100.005類別合計2.7063.8416.6357.879含M元素不含M元素合計1615分）如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD為直角梯形，AB//CD，ABBC，EC平面ABCD，CD2BC4AB4．（1）證明：BDAE；E（2）若EC2BF，BF//EC，且多面體ABCDEF的11體積為，求直線AC與平面AEF所成角的正弦3值．FDCBA（第16題圖）永州市2024年高考第三次模擬考試·數(shù)學第3頁（共4頁）1715分）已知函數(shù)f（|3x1|b3lnx.1（1）當b1時，求f(x).3（2）若f(x)0恒成立，求b的取值范圍.18a}b}ab2,a8a,nn1185ab．48（1）求a}，b}的通項公式；nn12sin()1Sb（2（224b2的前n項和為Sn，集合An4nn2t,nNnnan2共有5個元素，求實數(shù)t的取值范圍；log2a4n21nc}cccccc112123（3）若數(shù)列中，11，cn(n2)，求證：ncccc2．123nx21917分）已知O為坐標原點，動點M在橢圓C:1y2上，動點N滿足2ON3OM，記點N的軌跡為E．（1）求軌跡E的方程；（2）在軌跡E上是否存在點T，使得過點T作橢圓C的兩條切線互相垂直？若存在，求點T的坐標；若不存在，請說明理由；（3M的直線ykxm(m0)交軌跡E于A，BOM交軌跡E于點P，射線MO交橢圓C于點Q，求四邊形APBQ面積的最大值．永州市2024年高考第三次模擬考試·數(shù)學第4頁（共4頁）永州市2024年高考第三次模擬考試數(shù)學參考答案及評分標準一、單項選擇題12345678ADDCCACB二、多項選擇題910AD三、填空題781．．．7.解析：f(x)eecosx12exexcosx11cosx0．xxf(x)在R上單調(diào)遞增．令g(x)f(x)2，g(x)為奇函數(shù)，g(x)在R上單調(diào)遞增，f(x)g(x)2．則ft)f4gt)2g24．12gt)ggt)g(t3．1212120t8．t(0,．8.解析：如圖3FA，F(xiàn)~F,|FF2c，|4c2121122設|t|t，|t11|||2C|F,2,21|BF1||FF|B12A|2|BF1t，F(xiàn)1O2C1|2|t,3由雙曲線定義可知|||t2a，21|||2a,|4a，1222永州市2024年高考第三次模擬考試·數(shù)學參考答案及評分標準第頁（共頁）{#{QQABSYKUogiAApBAARhCQQGACEOQkAAAACoGRBAEMAABCQNABAA=}#}2,在F中，由余弦定理知120|1B|2|2B|2|FF|2(6a)2(4a)2(2c)2F12122|FB||FB|26a4a12b7化簡得c7aa2b2c2得，cbbc2，sin2.a7.解析：當M為中點且C長度最短，由等面積法求得最小值為A對．A1E半徑為B3OD如圖，過A作AE，連接，11O1BC過球心O作1HF12則O為的中點，且，11又球半徑為1，球與的D3一交點為H，23O作OF，OF，1114C球與底面的交線如圖，233交線長為，H333B故C轉(zhuǎn)過的曲面為圓錐的一部分側(cè)面積，該圓錐母線長為2，底面圓半徑為1，132故面積為D3永州市2024年高考第三次模擬考試·數(shù)學參考答案及評分標準第頁（共頁）{#{QQABSYKUogiAApBAARhCQQGACEOQkAAAACoGRBAEMAABCQNABAA=}#}.解析：f(x)1fx)12f(1xx1xx12)2f()，f()f()777711f(0)f()，f(0)f1，7211111ff()，ff()2f()722771111111（，）72f()，當x(,)f(x)72722117111f()f()f()f().248四、解答題．（本題滿分131）依題意可得22列聯(lián)表如下：樹苗成活情況不成活含MM454085550501015100…2分…3分零假設為H0該品種樹苗成活與M元素含量無關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，2(4521.9612.706x0.10．…5分根據(jù)小概率值0.10H0H0成立，即認為該品種樹苗成活與M元素含量無關(guān)聯(lián)．…6分2）由題意知，不成活的樹苗共有株，甲地不成活的樹苗有5X的可能取值為0，，23…7分053CC故P(X0)3，C152CCP(X3，C永州市2024年高考第三次模擬考試·數(shù)學參考答案及評分標準第頁（共頁）{#{QQABSYKUogiAApBAARhCQQGACEOQkAAAACoGRBAEMAABCQNABAA=}#}251CCP(X2)P(X3，．C30CC253C故X的分布列為X01232P…分（一個概率1分）2E(X)012315（另解：易知X服從超幾何分布，則E(X)31）…12分24D(X)(022(222．7…13分16.（本題滿分11）在Rttan，，…1分21在Rttan，2…2分…3分90，∴，…4分又，，∴，又C，，，，…5分…6分又．……………72）設多面體的體積為V，22x．永州市2024年高考第三次模擬考試·數(shù)學參考答案及評分標準第頁（共頁）{#{QQABSYKUogiAApBAARhCQQGACEOQkAAAACoGRBAEMAABCQNABAA=}#}13131313則VVAEx1．四邊形S13x2x43…9分z如圖，以C為坐標原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，…………10分則,2,0)，E(0,0,2)，F(xiàn)(0,2,，C(0,0,0)E(0,2,，(1,0,，(1,2,0)…………分設平面的法向量n(x,y,z)，xFDxz0Cz2x2，y1，2yz0n0BA即n(2,1,2)…12分y設直線與平面所成角為，n445sin|AC,n．…15分53n．（本題滿分1511）當b1，xf(x)3x133lnx3x3lnx4…1分…2分33xf(x)3xx令f(x)0，解得x1，1令f(x)0，解得x1，…4分…7分31f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(,，單調(diào)遞增區(qū)間為,)3f(x)在x1處取得極小值f1，無極大值．2）依題意f(x)3x1b3lnx，對任意x(0,)，f(x)0恒成立，即b3x13lnx，令g(x)3x13lnx，…8分永州市2024年高考第三次模擬考試·數(shù)學參考答案及評分標準第頁（共頁）{#{QQABSYKUogiAApBAARhCQQGACEOQkAAAACoGRBAEMAABCQNABAA=}#}1當x(0,]g(x)13x3lnx，g(x)單調(diào)遞減．…9分，…10分…分3133x3當x(,，g(x)3x13lnx，g(x)33xx13令g(x)0，解得x1g(x)0，解得x1，綜上所述，g(x)在(0,上單調(diào)遞減，在,)上單調(diào)遞增…13分2g(x)g2，b2b32故b，]．…15分3．（本題滿分171）設數(shù)列a}公比的為q，數(shù)列b}公差的為dnna8a,q38q2，anaq1n12n，…2分85ab，即b27d16d2，b2(n2n．………………4分488n1n2)12d（224b2nn則dd4n1d4n2d4n3nn1b2b24n3128n………………6分4n4n2nn80)S4n(dddd)（dd4n2d4n1d412344n32n(64n…7分Sbnan264n162n）(32n8)(n2)4nn2…8分2n22n(32n8)(n2)令f(n)，2n(32n40)(n(32n8)(2n4)則f(nf(n)2n12n132n28n4(4n2n，2n1ff(2)ff(4)f(n)，2n永州市2024年高考第三次模擬考試·數(shù)學參考答案及評分標準第頁（共頁）{#{QQABSYKUogiAApBAARhCQQGACEOQkAAAACoGRBAEMAABCQNABAA=}#}n2f(n)最大.…分…12分且f，f，f(6)，4tt25，]．44nn2n3）由c1，c(n2)1nnn1(當n2ccc123nn12n1324(nn345n(n2n(nn11(n1122…14分n!(n當n111也滿足上式11ccc2nN）…15分12n!(ncccccccccc112123123n11111n221?。?！22223!((n故原不等式成立.．（本題滿分17…17分1M(x,y)，N（x,(,y),(x,y)．0000由3得(x,y)3(x,y)，00xy即0，y0，…2分332x又M(x,y)在橢圓C上，所以0y2.10002x2y2代入化簡得163x2y2所以點N的軌跡E的方程為1．…4分632）當兩條切線的斜率存在時，設過T(x,y)點的切線為y0kxx000永州市2024年高考第三次模擬考試·數(shù)學參考答案及評分標準第頁（共頁）{#{QQABSYKUogiAApBAARhCQQGACEOQkAAAACoGRBAEMAABCQNABAA=}#}yy0kx0x202，消去y得1k2kyx2y20x2000y122y20則由判別式81k2…6分00得x202k22xyky2010，00y202012設兩條切線的斜率分別為k，k，依題意得kk1，1212x即02023，…7分x02y032T在軌跡E上，16x=，y3,00）…8分…9分當兩條切