2023新高考新教材版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)-7.1 等差數(shù)列

2023新高考新教材版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)

第七章數(shù)列

7.1等差數(shù)列

三年模擬

一、選擇題

1.（2022太原一模,3）設(shè)S”為等差數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和，若ai=2,a3+a5=10,則56=（）

A.26B.27C.28D.29

答案B設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因?yàn)閍i=2,a3+a5=10,所以ai+2d+ai+4d=1（）,解得d=l，所以

S6=6a“6x（jl）xd=27,故選B.

2.（2022銀川一模,6）設(shè)工是等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和，若$50川47=12,則S97X）

A.198B.388C.776D.2021

答案B由S50-S47=12得a48+a49+a5o=3a49=12,即29=4,所以$97=空竽必=97349=388.故選B.

3.（2022太原二模,6）等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S0,若碧-瑞=2則公差d=（）

A.lB.2

C.-lD.-2

答案D$“=必昌/4所以手=al+丹約所以署-學(xué)號,所以數(shù)列圖是首項(xiàng)為al,公差為g

的等差數(shù)列,所以碧-羽=2x殳-2,所以d=-2.故選D.

4.（2022安徽滁州二模,5）已知｛a”｝是公差不為零的等差數(shù)列，若a3+am=a4+ak,ai+a5=2ak,m,kGN*,!J!y

m+k=（）

A.7B.8C.9D.10

答案A由等差數(shù)列的性質(zhì)得,3+m=4+k,l+5=2k,所以k=3,m=4,故m+k=7,故選A.

5.（2022陜西咸陽一模,8）設(shè)S”是等差數(shù)列｛加｝的前n項(xiàng)和.若*=［則四等于（）

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答案A根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得S4,S8-S4,Si2-S8,SwSi2成等差數(shù)列...胃=數(shù)列S4,S8-S4,S12-

S8,S16-S12是以S4為首項(xiàng),S4為公差的等差數(shù)列，則S8=3S4,S16=10S4,/.普=之故選A.

解題關(guān)鍵若數(shù)列⑶｝為等差數(shù)列，則S4,S8SS2-S8,S&S|2也成等差數(shù)列根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，判斷數(shù)

列S8,S16與S4的關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵.

6.(2022安徽江淮十校三模』1)已知等差數(shù)列⑸｝的首項(xiàng)ak1,且2a4=a3+9,正項(xiàng)等比數(shù)列｛b0｝的首項(xiàng)bg，

且32必23,若數(shù)列⑶｝的前n項(xiàng)和為Sn,則數(shù)列｛bnSn｝的最大項(xiàng)的值為()

A.28B.lC.95D.2

98

答案c設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,由234刊+9,得2⑶+3d)f+2d+9,即2(l+3d)=l+2d+9,故d=2,則

2

an=ai+(n-1)d=2n-1,Sn=nai+—y-?d=n.

設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的公比為q(q>0),由32必沖3彳導(dǎo)32(bd)2=bd，所以32cXq37=解得q=|,

則bn=blqn-1=^7.

則設(shè)cn=5,則管=誓.

當(dāng)0<nW20d-,^±1>l,BPCi<C2<c;

cn3

當(dāng)n》3時，皿1<1,即c3>c4>c5>…，所以最大項(xiàng)為c3=b3S3==1

cn2'8

故選C.

7.(2022房山二模,9)已知數(shù)列⑶｝是公差為d的等差數(shù)列，且各項(xiàng)均為正整數(shù).如果ai=3,an=45,那么n+d的

最小值為()

A.13B.14C.17D.18

答案B在等差數(shù)列｛a”｝中,a1=3,an=45,/.3+d(n-1)=45,即

d(n-1)=42=1x42=2x21=3x14=6x7=7x6=14x3=21x2=42x1,故d=l,n=43或d=2,n=22或d=3,n=15或d=6,n=8

或d=7,n=7或d=14,n=4或d=21,n=3或d=42,n=2,所以n+d的最小值為14.

8.(2022通州期中,7)已知等差數(shù)列｛a0｝的前n項(xiàng)和為S”,若S3=9$6=63,則a7+a8+a9^()

A.63B.71C.99D.117

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答案C由等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和性質(zhì)，得S3,S6$,S9-S6也成等差數(shù)列，即2（S6-S3）=S3+S9',因?yàn)?/p>

S3=9,S6=63,所以S9=162,因此a7+ag+ag=5966=162?63=99.故選C.

9.（2022西安四模,6）等差數(shù)列｛如｝的公差為2,前n項(xiàng)和為工若a『5,則Sm的最大值為（）

A.3B.6C.9D.12

答案C二?公差d=2,am=5,/.ai+2（m-1）=5,/.ai=7-2m,/.

22

Sm=mai+^y-^x2=m（7-2m）+m（m-l）=-m+6m=-（m-3）+9.

，當(dāng)m=3時,Sm的最大值為9,故選C.

10.（2022河南平頂山月考,4）在等差數(shù)列⑶｝中,a3+a7=10,a8+a］（）=14,則SB=（）

A.60B.64C.78D.84

答案C*.*a3+a7=2a5=10,/.a5=5.

又as+aio=2a9=14,/.a9=7,

..53=1%詈應(yīng)=13（a；+ag）=78故選c

11.（多選）（2022石家莊二中開學(xué)考試,11）設(shè)數(shù)列出｝是等差數(shù)列,又是其前n項(xiàng)和問>0且$6=$9,則（）

A.d>0

B.as=0

C.S7或S8為Sn的最大值

D.SS>S6

答案BC；ai>0且S6=S9,二6ai好d=9al+等d,化簡得a"7d=0,可得a8=0,d<0..,.S7或Ss為S”的最

大值,S5Vs6.故選BC.

12.（多選）（2022江蘇蘇州調(diào)研,10）設(shè)S”是公差為d（d*0）的無窮等差數(shù)列⑶｝的前n項(xiàng)和，則下列命題正確

的是（）

A.若d<（）,則數(shù)列｛SJ有最大值

B.若數(shù)列｛SJ有最大項(xiàng)，則d<0

C.若對任意的nGN*,Sn+|>Sn恒成立，則Sn>0

D.若對任意的neN*,均有Sn>0則Sn+i>Sn恒成立

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答案ABD對于選項(xiàng)A,B,顯然Sn對應(yīng)的二次函數(shù)有最大值時d<().且若d<0,則｛S0｝有最大項(xiàng),故選項(xiàng)

A,B正確;對于選項(xiàng)C,令S產(chǎn)/2n廁數(shù)列⑸｝遞增，但Si=-l<0,故選項(xiàng)C錯誤:對于選項(xiàng)D,若對任意的

neN：均有SAO,則2]>0,<1>0,故0｝必為遞增數(shù)列,即Se>Sn恒成立，故選項(xiàng)D正確.故選ABD.

二、填空題

13.(2022太原模擬,15)已知正項(xiàng)數(shù)列｛%、｝中,ai=l,a2=2,2成=a2i+W+i(n-2),bn=；Y—，數(shù)列｛、｝的前n項(xiàng)

an~^an+l

和為Sn,則S33的值是.

答案3

解析因?yàn)?a4=a3+a"i(ne2),所以數(shù)列｛成｝是首項(xiàng)為I,公差為2?-1=3的等差數(shù)列,所以成=1+

3(n-1)=3n-2,所以an=V3n-2,所以bn=-—=g(V3n+1-V3n-2),

an+an+1V3n-24-V3n+l3

所以數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Sn=1[(V4-1)+(V7-V5)+…+(V3n+1-V3n-2)]=1(V3n+1-1),

則S33=$(1O-1)=3.

14.(2022陜西質(zhì)檢,16)已知等差數(shù)列｛4,｝的前n項(xiàng)和為S“，若S7<0,S8>0,則%的取值范圍是

a4

答案(-00,-1)

解析等差數(shù)列｛踴｝中,S7=X歿也=亨=7a4<0,則a4<0,又S8=超普=4(a4+a5)>0,

則a4+a5>0,即a5>—a4,所以巴<-1.

15.(2022延慶二模,14)已知向量序列:ai,a2,a3,…,a”,…和向量d滿足:|ai|=2,|d|=l,a1-d=-l.定義

am一尸d(n=2,3,4,…)廁|ad的最小值為.

答案V3

2

解析由an-an-i=d(n=2,3,4,…)，可得數(shù)列出｝為等差數(shù)列廁an=ai+(n-1)dJ!||an|=V[ai+(n-l)d]=

+(n-l)2?|d『+2al?(n-l)d=J4+(n-l)2-2(n-l)=J(n-2)2+31V5.當(dāng)且僅當(dāng)n=

2日增號成立，故|an|的最小值為倔

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16.（2022河南洛陽模擬,15）已知x>0,y>0,a,x,y,b成等差數(shù)列,c,x,y,d成等比數(shù)列，則曙的最小值

是-

答案4

解析由題意得a+b=x+y,cd=xy,從而喈=&=立笠=2+號，

因?yàn)閤>0,y>0,所以由基本不等式得等=2+亨"噂=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取等號.

三、解答題

17.（2022天津五十七中線上測試,19）在數(shù)列｛a,J中,ai=l,an+i=l-4，bn=:不其中nwN*.

4即ZCln-l

⑴證明數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，并寫出證明過程；

（2）設(shè)品=篇，數(shù)列｛Cn｝的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn；

⑶已知當(dāng)neN”且n-6時,（1-懸）”毛廠,其中m=i,2,…,n,求滿足等式3n+4。+…+（n+2）n=（b/3盧的所有

n的值之和.

解析(1)證明:bn+i-bn=5-工-7^7=~r占=1,.?.數(shù)列｛b“｝是公差為1的等差數(shù)列.

2azi+r12an-l2(1-喘-)

⑵：bi=y1-4=11,bn=1+(n-1)x1=n.

zai-1z-1

第=加(曠，

.*.Tn=2[lxg)+2xg)+3x6)+…+nx6)

112

齊=2[1x(I)'+2x(|)+3x⑶+...+nx(丁

兩式相減圖Tn=2[g)°+(3+(?+…+()]-2nx(￡)n,

故T?=4x^--4nxQ)n=8一(8+4n)x條

(3)由(2)得等式3n+4"+…+(n+2)n=(bn+3)%可化為3n+4n+-+(n+2)n=(n+3)n,

即島)”+(甘…(巖)2

)n+(l--)n+-+(l--)n=l.

\n+3/\n+3/\n+37

?..當(dāng)neN*且n>6時，。-急)<(1)，其中m=l,2,…,n,

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，(i-京)<G)，(i-總)<G)，……，

(心(T

???(1-舟n+QW)"+…(滬(滬…+()=1-(丁<1,

二當(dāng)B6時,3n+4'、+…+(n+2)n<(n+3)n.

當(dāng)n=1,2,3,4,5時，經(jīng)驗(yàn)算,n=2,3時等式成立.

...滿足等式3n+4'>+…+(n+2)n=(bn+3)如的所有n的值為2,3,其和為5.

思路分析(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明；

(2)根據(jù)bn可得Cn=2nxG)”;然后利用錯位相減法進(jìn)行求和；

(3)先把條件3"+4"…+(n+2)三(bn+3)%轉(zhuǎn)化為(]_缶丫+。_缶7+…京y=],結(jié)合題意及等比數(shù)歹I」

求和得出n>6時無解，驗(yàn)證前5項(xiàng)可得所有滿足題意的n值，進(jìn)而得到結(jié)果.

18.(2022天津南開中學(xué)二模,18)已知數(shù)列｛加｝的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等比

數(shù)列.數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足S3=a4,a3+a5=2+a4.

⑴求數(shù)列｛踴｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列n｝的前2k項(xiàng)和S2k;

(3)在數(shù)列｛an｝中.是否存在連續(xù)的三項(xiàng)am,am+i,am+2,按原來的順序成等差數(shù)列?若存在，求出所有滿足條件

的正整數(shù)m的值:若不存在，說明理由.

解析⑴設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,則a1=l,a2=2,a3=l+d,a4=2q,a5=l+2d.

；S3=a4,二1+2+(1+d)=2q,即4+d=2q①，

又a3+a5=2+a4,二l+d+l+2d=2+2q,即3d=2q②，

由①②解得d=2,q=3.

71TL2k.i

'n'keN*.

｛2?32-1,n=2k,

(2)S2k=(ai+a3+…+a2i)+(a2+a4+…+a2k)=[l+3+…+(2k-l)]+2(l+3+32+…+3*=處學(xué)達(dá)+巴容=1?-1+3上

Z1-5

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(3)在數(shù)列｛加｝中，僅存在連續(xù)的三項(xiàng)小處回,按原來的順序成等差數(shù)列，此時正整數(shù)m的值為1,下面說明

理由.

若am=a2k(keN*)廁由am+am+2=2am*i,得2x3i+2x3k=2(2k+l),化簡得4?3"=2k+l,此式左邊為偶數(shù),右邊為

奇數(shù),不可能成立.

若am=a2k-i(kwN*),貝U由am+am+2=2am+i,得(2k-l)+(2k+l)=2x2x3i,化簡得k=3R

令Tk備keN*),則Tk+I-Tk=^-券=噤

因此,1=「>T2>T3>…，故只有「=1,

此時,k=l,m=2xl-l=l.

綜上,在數(shù)列｛加｝中，僅存在連續(xù)的三項(xiàng)山處團(tuán),按原來的順序成等差數(shù)列，此時正整數(shù)m的值為1.

19.(2022天津十二區(qū)縣重點(diǎn)學(xué)校二模,19)已知數(shù)列｛加｝是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為人m=15,A?=63;數(shù)列｛bn｝

的前n項(xiàng)和為Bn,2Bn=3bn-3(neN*).

⑴求數(shù)列｛%｝,｛△｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛￡｝的前n項(xiàng)和Sn;

n-

⑶求證焉新2.

解析⑴數(shù)列｛a“｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d,

叫&=7al+7x(嚴(yán)=63,化簡T%+3d=9,

解得ai=3,d=2,:.an=2n+l,neN*.

V2Bn=3b?-3,

，當(dāng)n=l時,2Bi=3b「3,解得bi=3.

當(dāng)G2時,2B*3bn“-3,

.?.2Bn-2Bn.i=(3bn-3)-(3b?.i-3)=3bn-3bn.i,nGN\

整理得bn=3bn」,???數(shù)列｛bn｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列,J￡N*.

(2)由(1)可得An=三=號nj+2),MN*,.?卡=康=瑞貴).

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11111111

S=-------1---------1---------L...-|-------------1-------------------1------------=-I—?I????——4—^―

n1x32x43x5(n-2)n(n-l)(n+l)n(n+2)232435n-2nn-1

---1---4-,—1—11-/I.I-,4-1——1----------1--\I3——1—/I1-,|—---1--\I3——------2--n-+--3-------

n+lnn+2--------2\2n+1n+2/42\n+l--n+2/42(n+l)(n+2),

結(jié)果匡一T(左+￡)或:-2(,；嘉+2)都給分■

⑶證明:由⑴可得Bn=0p=罩Nn。*,

1-OZ

可峻-24+1_22n+l

西;一3。尸)-3*3"-r

iiE)￡—：,.,3n-l=3x3n-|-l=2x3nl+3n-'-l>2x3n-',

.Qn_22n+l,22n+l_2n4-l

?,WX7T=—.

令Tn=-+?+???++

3十32十十3n-l十3n'

貝心生出

Tn=3+3+…+—+-

人」332T33T3nI3n+1,

兩式相減可得|Tn=1+2xR+5+…+-篝J

=1+2x1^^—吧=1+3x0，)—吧”

3n+1\93n+173n+133n+1)

13

.F=2一噤，

?之Qk2/2+1,4+1,6+1,,2兀+1\1。n+2。

??區(qū)黃，x(TT+mr+西+…+H)W2一百<2.

證法二:當(dāng)n》20^.3n-l=(l+2)"-l=CS+C^x2+-+C?x2n-l>C°+Cix2+C2x22-l>2n+l,

根據(jù)“若a>b>0,m>0,則2<竽，，，可得猾<筆2

aa+m3n-l3n

九co

出+w…+吧W^x3,2x3,,2x(n+l)

?超房號x3-132-133-l3y32+—+-+―?r-

2x4

不丁=2|I+2x(n+D

―32十33+3n

則打=管+竽+???+竽+十誓,

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2,2x1,2x1,,2x12x(n+l)2,記(1刀互)

兩式相減可得|T=--------------L...-I---------------=L-_-一2L2x(7i+l)_72x(n-H)

33334T3n3n+131.13n+1-5-M3n+1

13

72n+5

9-3n+i'

z_廿.z

62X3….T1<6,

nQ2+14+16+12n+l28c

F=|x+++<|x=-x-<2.

TF3M3M…十3九-133

證法三:令c產(chǎn)黑，下面用分析法證明“2<；”.

n

3-lcn2

m；7r￡n+i/2.F?fl；正(2九+3)(3.-1)2.

要正"看「(7即正(3n+i-l)(2n+l)<2'

即證(4n+6)(3%1)<(2n+1)(3用-1),

即證-2n-5<(2n-3)3n①.

當(dāng)neN時①式顯然成立,.?.詈4,

3,31,,3/l\n-1

L2+2X2+，-+2X(2)2

?\tS=ix(cl+c2+-+cn)=ix(l+i++X=3X

|2x3x(l4)<2.

")=3

20.(2022南開中學(xué)學(xué)情調(diào)查四,18)設(shè)｛a0｝是等差數(shù)列,｛b0｝是等比數(shù)列.公比大于0,其前n項(xiàng)和為Sn(neN*).

已知bi=l,b3=b3+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.

⑴求｛即｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列｛(-1)而｝的前n項(xiàng)和為Tn.記cn=號ib2n-1+學(xué)M,求cn;

n-

⑶求z」一.

i=lcn+l-i

解析(1)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,等比數(shù)列｛bn｝的公比為q(q>0).

因?yàn)閎i=l,b3=b2+2,所以q2=q+2,解得q=2(舍負(fù))，

所以b產(chǎn)2nL

因?yàn)閎4=a3+a5,b5=a4+2a6,所以2a1+6d=8,3ai+l3d=16,解得a1=d=l,所以an=n.

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(2)由⑴知(-1尸"=(-1>,所以T2n=O,T2*-1.

n

所以cn=^^b2n-1+號b2n=b2n-1+|b2?=4.

⑶由⑴和⑵知氏=金,

n

iBPn=