2020-2021高中人教版數(shù)學(xué)4學(xué)案：I. 5 函 數(shù) y = Asin cox + （p）的圖象

Io5函數(shù)y=Asin（cox+（p）的圖象

考試標(biāo)準(zhǔn)

學(xué)考高考

課標(biāo)要點、

要求要求

9，co,A對法教y=Asin（Gx+夕）的

bC

圖象的影響

簡諧運動》=Asin(cox+(p)fO,

aa

+oo)(co>0,A>0)有關(guān)物理量

知識導(dǎo)圖

}-=sinx

士右|平移

―]y=sin(x+w)

篇向|伸縮

—Iy=sin(wx+(p)I

家向[伸縮

—|y=Asin(a)x+(p)|

學(xué)法指導(dǎo)

1.注意所有的變換是圖象上的點左移動，是X或y版變化，

而非COX,故若X前面有條數(shù)要先提取出來.

2,用整體代換的思想，cox+（p=tf借助y=sin%的圖象及

性質(zhì)求解應(yīng)用.

3,繼續(xù)加深理解五點法的應(yīng)用，特別是非正常周期的特殊點：

端點和對應(yīng)五點.

中川“川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川h即EH舀ci?叵住匡叵川川川I川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川h

1.A,co,夕對法教y=Asin（④r+夕）圖象的影響

⑴夕對函教y=sin（x+夕）圖象的影響

w〉o

時向左

(2)g對函數(shù)y=sin((wx+夕)圖象的影響

y=Asin(ohr+g)的圖象

錯誤！

A越大，函教圖象的最大值越大，最大值與A是正比

例關(guān)系.

(2)3越大，法教圖象的周期越小,3越小，周期越大，周期

與3為反比例關(guān)系.

(3)(p大于。時，法教圖象向左平移，(P小于0時，法教圖象

向右平移，即“左加右減

(4)由y=sinxy=sinfx+cpJ的圖象變換稱為相核變換；

由y=sinx到y(tǒng)=sinsx的圖象變換稱為周期變換;由y=sinx到y(tǒng)

=Asinx的圖象變換稱為振幅變換.

2.函教y=Asin(cox+(p)fA>0,。>0中各參教的物理意義

3.舀教y=Asin(cox+e),A>0,co>0的有關(guān)性質(zhì)

(1)定義域：R.

(2)值域:「-44入

C3J周期性：T二錯誤!.

(4)對稱性:對稱中心錯誤!，對稱軸是直線工二錯誤!+錯誤！(keZ)、

(5)奇偶性：當(dāng)9=0時是奇法教.

(6J單調(diào)性：通過整體代換可求出其單調(diào)區(qū)間.

錯誤！研究法教y二Asz力(3x+中)性質(zhì)的基本策略

(1)借助周期性：研究法教的單調(diào)區(qū)間、對稱性等問題時，

可以先研究在一個周期內(nèi)的單調(diào)區(qū)間、對稱性，再利用周期性

推廣到全體實教.

(2)整體思想:研究當(dāng)x￡fa,pj時的函數(shù)的值域時，應(yīng)將cox

+(p看作一個整體仇利用x￡fa,pj求出夕的范囹，再結(jié)合丫=

sin6的圖象求值域.

［小試身手］

1.判新下列命題是否正確。r正確的打‘7”,錯誤的打“X”)

(1)法數(shù)＞=sin錯誤!的圖象向左平移錯誤!個單住得到法教y=sin

x的圖象.()

(2)函數(shù)y=sin錯誤!的圖象上點的橫生林伸長到原來的2僖，

得到法教y=sin錯誤!的圖象、()

(3)由法教y=sin錯誤!的圖象到函數(shù)y=2sin錯誤!的圖象，需要將

圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2售.()

答嗓：(1)x(2Jx(3)7

2、利用“五點法”作函數(shù)y=sin錯誤\x,x￡［0,2兀］的圖象時，

所取的五點的橫生林為()

A.0,錯誤!，兀，錯誤!,2兀B.0,錯誤！，錯誤！，錯誤！，兀

C,0,兀,2兀,3兀，4兀D.0,錯誤！，錯誤！，錯誤!，錯誤！

解析：令錯誤!％=0,錯誤！，兀，錯誤！，2兀得，x=0,兀，2兀，3兀，4兀。

答嗓：C

3.函教/（x）=sin錯誤!圖象的一條對稱軸方程為（）

A,x=-錯誤！B.X=錯誤！

C.x二錯誤！D.%二兀

解析：對于法教/（X）=sin錯誤！,

兀7兀7n

令x+W=左兀+/，k^Z,

求得％=左兀+錯誤!，左金Z,

可得它的圖象的~條對稱軸為％=錯誤!，故選B。

答案：B

4,將函數(shù)y=sin3x的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的

錯誤!售（紈坐標(biāo)不變）可得到舀教的圖象、

解折：將函數(shù)y=sin3x的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來

的錯誤!僖（縱生標(biāo)不變）可得，舀教y=sin（3x3x）=sin9%的圖象.

答去：y=sin9x

W/川川川川川川"川川川川川川川川川川川I川"川川川川川川i國圜陶困?匿至圜刑I川川川川川川川川川川”川川川川川川川川川川川川“川川I

類型一“五點法"作函數(shù)y=Asin（cox+（p）的圖象

例1用“五點法"同函數(shù)y=2sin錯誤!的簡圖.

兀

【解析】先同法教在一個周期內(nèi)的圖象.令X=3x+d,則

%=錯誤!錯誤!，列表：

錯誤！

錯誤!兀兀

X07T2

54錯誤！

X錯誤!

錯誤！18幾9兀兀

0200

y2

描點作圖，再將圖象左右延伸即可.

利用五點法作圖，先換元再列舉、描點,最后用平渭的曲線連

線.

方法歸納

五點法作法教y=4sin(cox+(/))(x^RJ圖象的步驟、

⑴列表，令s+夕=0,錯誤!，兀,錯誤!,2兀，依次得出相應(yīng)的(x,y)

值.

(2)描點.

(3)連線得法教左一個周期內(nèi)的圖象.

(4J左右平移得到y(tǒng)=Asm(cox+(p),x￡R的圖象。

跟蹤訓(xùn)練1已知改教y=2sin錯誤!.

(1)試用“五點法”畫出它的圖象；

(2J求它的振幅、周期和初相.

解析：(1)令才=錯誤！+錯誤!，列表如下：

2兀5兀

錯誤！錯誤！

錯誤！TT

t0錯誤！71錯誤！2兀

0200

y2

描點連線并向左右兩邊分別獷展，得到如圖所示的法教圖象:

(2)振幅A=2,周期T=4兀，初相為錯誤!.

換元一錯誤!一錯誤！

類型二三角法數(shù)的圖象變換

例2由舀數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換，可以得到收

教y二一2sin錯誤！+1的圖象.

【解析】方法一y=sinx的圖象

錯誤！

C?ZA向￡關(guān)于才軸作對稱變換c.ZA向4

y=2sinx的圖象----------------->y=-2sinx的圖象

所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的;倍

縱坐標(biāo)不變y=-2sin2%的圖象

向右平移令個單位長度

-y=-2sin錯誤！的圖象錯誤!y=-2sin錯誤！+1的

圖象.

向右平移個個單位長度

方法二y=sinx的圖象-----------------------=sin錯誤!的

所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的J倍

--------------------------------------->

圖象縱坐標(biāo)不變y=sin錯誤！的圖象錯誤!y=-

sin2x-錯誤！的圖象錯誤!y=-2sin錯誤！的圖象錯誤!y=-2sin錯誤！+1的

圖象。

本題考查三角函數(shù)的圖象變換問題，可以從先“平移變換”或

先“伸縮變換”兩種不同變換順序的角度去考慮，得到答去.

方法歸納

解決三角函教圖象變換問題的關(guān)鍵是明確左右平移的方向

和平移量以及橫紈生林伸縮的量，在變換中平移變換與伸縮變

換的順序不同得到解析式也不同，這點應(yīng)特別注意，否則就會出

錯.

跟蹤訓(xùn)練2由舀教y=cosx的圖象如何得到法教y=-

兀

2cos2x+4+2的圖象.

解析:y二-2cos錯誤！+2

=2cos錯誤！+2

=2cos錯誤！+2o

向左平移《幾個單位

方法一y=cosx------------------->

各點橫坐標(biāo)縮短為原來的;倍

y=cosx+錯誤!?？v坐標(biāo)不變

7]

y=cosI2x+4兀錯誤！

C向上平移2個單位

y=2cos錯誤!--------------->

y=2cos錯誤！+2.

各點橫坐標(biāo)縮短為原來的J倍

-------------------------------乙--->

方法二y=cosX縱坐標(biāo)不變y=cos

7

向左平移記冗個單位

lx------------------------>y=cos錯誤！

錯誤!y=2cos2x+錯誤!兀

向上平移2個單位。

---------------------->y=2cos錯誤！+2o

一種方法是先平移，后伸縮；另一種方法是先伸縮，后平

移、兩種變換方法中向右平移的單住長度是不同的錯誤!，但得到

的結(jié)梟是一致的.

類型三三角法教解析式

例3如圖所示，它是的數(shù)y=Asin(cox+(p)(A>0,co)0,

一?！?＜7lJ的圖象，則該函數(shù)的解析式為

【解析】解法一（單調(diào)性法）由圖象可知：

A=2,T=錯誤！-錯誤！=3兀=錯誤!，處1co=錯誤!.

VA（Ji,0）在遺減的那段圖象上，

???錯誤！+夕晝錯誤?。ㄖ筞）,

則由sin錯誤！=0,得錯誤！+夕=（2k+1）兀（左&Z）.

-兀＜夕＜兀,?二夕二錯誤！。

二?該函數(shù)的解析式為y=2sin錯誤!。

解法二（最值點法）由圖象可得7=3兀，A=2,則。二錯誤!,

將最高點坐標(biāo)錯誤!代入y=2sin錯誤!，得2sin錯誤！=2,

???錯誤！+夕=2E+錯誤!（k￡Z）,?,?夕=2防i+錯誤?。╧RZ）、

又-兀＜夕＜兀,:?夕二錯誤！。

二?該函教的解析式為y=2sin錯誤!。

2

解法三（起始點法）由題圖得T=3兀，A=2,故（o=~,

法教y=Asin（cox+夕）的圖象~般由"五點法''作出，而起始點的橫

坐標(biāo)配正是由GXO+夕=0解得的，故只要找出起始點的橫坐標(biāo)

XQ,就可以迅速求得角（P。由圖象求得69二錯誤!,%0二一錯誤!，（p=

-69%0=一錯誤!x錯誤！二錯誤!。,該函數(shù)的解析式為y=2sin錯誤!。

解法四（圖象平移法）由圖象知，將法教y=2sin錯誤!%的圖

象沿％軸向左平移錯誤!個單枚長度，就得到本題的圖象，故所求

函教的解析式為y=2sin錯誤!，即y=2sin錯誤!.

【答案】y=2sin錯誤！

觀察圖象，求出A、①、cp,解法一單調(diào)性法，解法二最值點

法，解法三起始點法,解法四圖象平移法、

方法歸納

根據(jù)三角函數(shù)的圖象求函數(shù)式￡）=Asin（cox+夕）的解析式j(luò),

一般先結(jié)合圖形求得振幅和周期，從而求得A。；再利用特殊

點、、零點或最值點列出關(guān)于夕的方程求出夕值，舀教y=Asin（69x

+9）（A〉00>0）的零點有上升零點和下降零點，一般取最靠近原

點的上升零點XQ,令69X0+（p=2防I；下降零點X0,使69X0+夕=兀

+2防I,再根據(jù)夕的范圍確定9的值.特別注意，求e值時最值

點法優(yōu)先.

跟蹤訓(xùn)練3函教/（%）=Asin（cox+9）A〉0M>0,一錯誤!<夕<錯誤!,

x￡R的部分圖象如圖所示，則改數(shù)y=/（%）的解析式為（）

A.f（x）=sin錯誤！B.f（x）=sin錯誤！

C.f（x）=COS錯誤！D.f（x）=COS錯誤！

解析：由圖象得A=1,錯誤！二錯誤！一錯誤！二錯誤!，所以7=2兀，

則69=lo將點錯誤!代入法教，X）解析式得sin錯誤！=1,又一錯誤!<?<

錯誤!，所以9二錯誤!，因此困教=sin錯誤!.

答嗓：B

由圖可知A=l,由周期可求①，代人最值點可求中。

類型四函數(shù)y=Asin（GX+夕）性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例4函教y=Asin（（wx+9）錯誤!的部分圖象如圖所示，則（）

Akf（x）的一個對稱中心為錯誤！

B、力>）的圖象關(guān)于直線X=一錯誤!兀對稱

C/（X）在錯誤!上是增法教

D.f（X）的周期為錯誤！

【解析】根據(jù)函數(shù)y=Asin（cox+夕）4>0,CO>0,|?|<錯誤!的

部分圖象.

可得A=3,錯誤！二錯誤！二錯誤！一錯誤!，所以刃=2,再根據(jù)五點法

作圖可得2x錯誤！+夕=兀，所以夕二錯誤!，

所以y=3sin錯誤!，顯然，它的周期為錯誤！=兀，故排除D；

當(dāng)％=錯誤!時，舀教y=/(x)=3sin錯誤!=0,故法數(shù)的圖象關(guān)于點

錯誤!對稱，故A正確.

當(dāng)X二一錯誤!兀時，fix)=錯誤!,不是最值，故式X)的圖象不關(guān)

于直線X=-錯誤!兀對稱,故排除B；

左錯誤!上，2%+錯誤！金錯誤!，y=3sin2x+錯誤!不是增法教，故排

除C。

【答案】A

求出舀教的解析式j(luò),分別利用法教的對稱中心、對稱軸、單

調(diào)性，周期的公式到新.

方法歸納

L與正弦、余弦府教有關(guān)的單調(diào)區(qū)間的求解技巧

(U結(jié)合正弦、余弦改教的圖象，熟記它們的單調(diào)區(qū)間.

(2)確定法教y=Asin(s:+夕)(A>0,co>0J單調(diào)區(qū)間的方法:

采用“換元”法整體代換，將GX+夕看作一個整體，可令“Z=GX

十礦,即通過求y=Asinz的單調(diào)區(qū)間而求出改數(shù)的單調(diào)區(qū)間,若

0)<0,則可利用誘導(dǎo)公式先將工的條數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎?，再求單調(diào)

區(qū)間、

2、求三角函教值域的常用方法

flJ求解形如y=asmx+。(或y=acosx+A)的函數(shù)的最值

或值域問題時，利用正、余弦法教的有界性(-iSsinx(或cosx)

<U求解.求三角法教取最值時相應(yīng)自變量x的集合時，要注

意考慮三角函數(shù)的周期性.

(2)求解形如y=<2sin2x+Z?sinx+c(或y=<2cos2x+bcosx+c),

了￡。的函教的值域或最值時，通過換元，令『=sinx（或cosx）,

將原函教轉(zhuǎn)化為關(guān)于力的二次函教，利用配方法求值域、最值即

可.求解過程中要注意『=sinx（或cos%）的有界性.

跟蹤訓(xùn)練4本例中，試求函數(shù)左錯誤!上的值域、

解析：因為y=3sin錯誤!，

工金錯誤！，所以2%+錯誤！￡錯誤!，所以sin錯誤！￡錯誤！，

所以函教的值域為錯誤!.

由X的范囹求出3X+（p的范圍，最后求法教的值域.

1.5

“川川川川勿川冏川川川川川川川川川川川川川川川川川川小E3Qin3E3?學(xué)業(yè)造星,勿川川川川川山川1川川川川川川川I川川川川川川川川川小

r基礎(chǔ)鞏固1（25分鐘，60分）

一、選擇題（每小題5分，共25分）

1.法教y=2sin錯誤!的周期、振幅依次是（）

A.471,-2B,4兀，2

C.兀,2D.兀,一2

解析：在y=Asin（cox+（p）（A>0,co>0）中,T二錯誤!,A叫提

幅（A〉0）,故y=2sin錯誤!的周期T=錯誤！=4兀，振幅為2.

答嗓：B

2,將函數(shù)y=sin2x的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2

售，縱生標(biāo)不變，得到法教y=/G）的圖象，則（）

A、y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=錯誤!對稱

B.f（x）的最小正周期為錯誤！

C、y=?x）的圖象關(guān)于點錯誤!對稱

D.f（X）在錯誤!上單調(diào)的增

解析:函教y=sin2x的圖象上各點的橫生標(biāo)伸長到原來的2

僖，可得:y=sinx,即=sinxo

根據(jù)正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì),可知：對稱軸x=錯誤!+kit,kRZ,

所以A不對.

周期7=2兀，所以B不對.

對稱中心坐標(biāo)為(ku,0J,左￡Z,所以C不對.

單調(diào)的增區(qū)間為錯誤!，左&Z,所以“X)在錯誤!上單調(diào)的增、

答嗓：D

3.將改教y=sinx的圖象向左平移錯誤!個單伉，得到改教y

=f(x)的圖象，則下列說法正確的是()

A、y=?x)是奇函教

B.y=f(x)的周期為兀

C、y=/(x)的圖象關(guān)于直線％=錯誤!對稱

D.y=f(x)的圖象關(guān)于點錯誤!對稱

解析：法教y=sin%的圖象向左平移錯誤!個單位長度后，得到

法教?x)=sin錯誤！=cosx的圖象,f(x)=cosx為偶法教，周期為2兀;

又因為用誤！=cos錯誤！=0,所以f(x)=cos%的圖象不關(guān)于直線工

二錯誤!對稱;又由用誤！=cos錯誤！=0,知/(x)=cos%的圖象關(guān)于

點錯誤!對稱,故選D。

答案：D

4.已次口69＞0,0＜夕＜兀,直線x二錯誤!才口x二錯誤！是法教/fx)=sin(cox

+夕)圖象的兩條相鄰的對稱軸，則夕二()

人兀

Ao4Bo錯誤！

Co錯誤！D.錯誤！

解析：由題意得周期T=2錯誤!二2兀，

「?2兀二錯誤！，co=1,.*./(x)=sin(x+cp),

???詹誤！=sin錯誤！=±lo

°：b＜(P〈R,???錯誤！〈夕+錯誤!＜錯誤！,「?9+錯誤！=錯誤！,二?9二錯誤！.

答去:A

5、杷函教=sin錯誤!的周期獷大為原來的2僖，再將其

圖象向右平移錯誤!個單住長度，則所得圖象的解析式為()

A.y=sin錯誤！B.y=cos錯誤！

C.y=sin錯誤！D.y=sin錯誤！

解析：y=sin錯誤!錯誤!y=sin錯誤!錯誤!y=sin錯誤！=sin錯誤！。

答嗓：A

二、填空題(每小題5分，共15分)

6.將改教y=sinx的圖象向左平移錯誤!個單住，再向上平移

2個單枝，得到的圖象的解析式為、

解析:將函教y=sinx的圖象向左平移錯誤!個單住，得到的圖

象的解析式為y=sin錯誤!，再向上平移2個單位，得到的圖象的解

折式為y=sin錯誤！+2.

答案：y=sin錯誤！+2

7、在函數(shù)y=2sin(69X+(p)(co>0)的一個周期上，當(dāng)了=錯誤!時，

有最大值2,當(dāng)x二錯誤!時，有最小值一2,則刃二.

解析：依題意知錯誤！=錯誤！一錯誤！=錯誤!，所以T=兀，又7=錯誤！=

兀，得CD=2.

答嗓：2

8.如圖所示的曲線是y=Asin(a)x+(p)(A>0,co>OJ的圖

象的一部分，則這個法教的解析式是__________.

解析：由函教圖象可知A=2,T=錯誤!錯誤！一錯誤！=兀，即錯誤！二

兀，故69二2。

又點錯誤!是五點法作圖的最大值點，即2x錯誤！+夕=錯誤！+

2防1,左￡Z,則夕=錯誤!+2防I,k￡Z.故所求函數(shù)的解析式為y=2sin

錯誤！。

答案:y=2sin錯誤！

三、解答題（每小題10分，共20分）

9.已知/行）=2sin錯誤！。

（1J在給定的專林系內(nèi)，用“五點法”作出函數(shù)?￥）在一個周

期內(nèi)的圖象；

FTT

（2J寫出的單調(diào)的增區(qū)間.

解析：（U列表:

錯誤！+

0錯誤!兀錯誤！2兀

錯誤！

71

-錯誤！錯誤！錯誤！錯誤！

3

府）020-20

作圖如圖、

（2J由2防I-錯誤!0錯誤！+錯誤!02防I+錯誤！,

得4左兀一錯誤!S爛4防i+錯誤!，左￡Z.

所以法教/（X）的單調(diào)的增區(qū)間為錯誤!，左WZ.

10.法教y=5sin錯誤!+1的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣

的平移和伸縮變換得到？

解析：方法一將法教y=sinx的圖象依次進行如下變換：

C1J把函數(shù)y二sin%的圖象向左平移錯誤!個單傳長度，得到

函數(shù)y=sin錯誤!的圖象；

（2J把得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的錯誤!售（紈坐

標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=sin錯誤!的圖象；

C3J把得到的圖象上各點的紈生林伸長到原來的5僖(橫

生標(biāo)不變),得到法教y=5sin錯誤!的圖象；

(4)把得到的圖象向上平移1個單枝長度，得到函數(shù)y=5sin

錯誤！+1的圖象.

經(jīng)過上述變換，就得到的教y=5sin錯誤！+1的圖象.

方法二將法教y=sinx的圖象依次進行如下變換：

(1)把法教y=sinx的圖象上各點的橫生林縮短到原來的錯誤!

僖(紈生標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=sin2x的圖象；

(2)把得到的圖象向左平移錯誤!個單住長度，

得到函數(shù)y=sin錯誤!的圖象；

(3)把得到的圖象上各點的縱坐標(biāo)伸長到原來的5僖(橫坐

標(biāo)不變)，得到法教y=5sin錯誤!的圖象；

(4J把得到的圖象向上平移1個單住長度，

得到函教y=5sin錯誤！+1的圖象.

經(jīng)過上述變換，就得到的教y=5sin錯誤!+1的圖象.

［能力提升］(20分鐘，40分)

1L禁法教部分圖象如圖所示，它的法教的解析式可能是

()V

A\t7

;|AL

A.y=sin錯誤！B.y=sin錯誤！

C.y=sin錯誤！D.y=一cos錯誤！

解析：錯誤！=錯誤！一錯誤！=錯誤！，于是錯誤！=錯誤!，即CO=錯誤！，/非除A,

D,

不妨令該法教解析式為y=Asin(s:+夕)，由題圖知A=l,最

小值點，為錯誤!，

于是錯誤!?錯誤！+（p=2防I+錯誤!（左￡Z）,

所以9=2E+錯誤!（左金Z）,所以夕可以是錯誤!，故選C.

答案：C

12.已知收教/（%）=sin3（刃＞0）的圖象關(guān)于點錯誤!對稱，

且在區(qū)間