四川省專升本(高等數(shù)學(xué))模擬試卷10(題后含答案及解析)_第1頁
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文檔簡介

四川省專升本(高等數(shù)學(xué))模擬試卷10(題后含答案及解析)題型有:1.選擇題2.填空題4.解答題5.綜合題6.證明題選擇題在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合要求的。1.設(shè)函數(shù)f(x)=在x=0處連續(xù),則a的值為()A.一2B.2C.D.正確答案:A解析:∵f(x)在x=0處連續(xù),∴=-a,又∵f(0)=2,∴-a=2,a=-2.故選A.2.等于()A.2B.1C.D.0正確答案:D解析:本題考查的知識點(diǎn)為無窮小量的性質(zhì).由于x→∞時,為無窮小量,而sin2x為有界變量.由無窮小量與有界變量之積仍為無窮小量的性質(zhì)可知3.設(shè)函數(shù)f(x)=,則()A.x=0,x=1都是f(x)的第一類間斷點(diǎn)B.x=0,x=1都是f(x)的第二類間斷點(diǎn)C.x=0是f(x)的第一類間斷點(diǎn),x=1是f(x)的第二類間斷點(diǎn)D.x=0是f(x)的第二類間斷點(diǎn),x=1是f(x)的第一類間斷點(diǎn)正確答案:D解析:顯然x=0,x=1為間斷點(diǎn),其分類主要考慮左右極限.由于函數(shù)f(x)在x=0,x=1點(diǎn)處無定義,因此是間斷點(diǎn),且f(x)=∞,所以x=0為第二類間斷點(diǎn);f(x)=-1,所以x=1為第一類間斷點(diǎn),故應(yīng)選D.應(yīng)特別注意:4.已知導(dǎo)函數(shù)y=ktan2x的一個原函數(shù)為ln(cos2x),則k=()A.B.C.D.正確答案:D解析:由題意tan2x,所以有ktan2x=tan2x,則k=.故選D.5.設(shè)函數(shù)f(x)=e2x,則不定積分∫f()dx=()A.2ex+CB.ex+CC.2e2x+CD.e2x+C正確答案:B解析:f(x)=e2x,令t=,則dx=2dt,∫f()dx=∫f(t).2dt=2∫e2tdt=∫e2td(2t)=e2t+C=ex+C.故選B.6.在空間直角坐標(biāo)系中,表示圓柱面的方程是()A.x2+y2一z2=0B.x2+y2=4C.x=y2D.x2+y2+z2=1正確答案:B解析:方程F(x,y)=0表示母線平行于Oz軸的柱面,稱之為柱面方程.方程x2+y2-a2=0表示母線平行Oz軸的圓柱面方程.同理,F(xiàn)(y,z)=0及F(x,z)=0都表示柱面,它們的母線分別平行于Ox軸及Oy軸.故選B.7.設(shè)vn是正項級數(shù),且un<vn(n=1,2,…),則下列命題正確的是()A.若un收斂,則vn收斂B.若un發(fā)散,則vn發(fā)散C.若vn發(fā)散,則un發(fā)散D.若vn收斂,則un發(fā)散正確答案:B解析:由正項級數(shù)的比較判別法可以得到,若小的級數(shù)un發(fā)散,則大的級數(shù)vn必發(fā)散.故選B.8.設(shè)向量組α1,α2,…,αr是向量組α1,α2,…,αr,β的一個極大線性無關(guān)組,記n×r矩陣A=(α1α2…αr),則非齊次線性方程組AX=β()A.必?zé)o解B.必有解,且解唯一C.必有解,且有無窮多組解D.不能確定,可能有解,可能無解正確答案:B解析:r(Anr)=r(α1α2…αr)=r,由條件知β必可由α1,α2,…,αr線性表示得r(α1α2…αr)=r(α1α2…αr,β)=r即AnrXr1=β有唯一解.9.微分方程y′+y=0的通解為()A.y=exB.y=e-xC.y=CexD.y=Ce-x正確答案:D解析:本題考查的知識點(diǎn)為一階微分方程的求解.可以將方程認(rèn)作可分離變量方程;也可以將方程認(rèn)作一階線性微分方程;還可以仿二階線性常系數(shù)齊次微分方程,并作為特例求解.將方程認(rèn)作可分離變量方程.分離變量=-dx,兩端分別積分=-∫dx,lny=-x+C1,或y=Ce-x.10.A,B為n階方陣,A可逆,則下面運(yùn)算正確的是()A.|—A-1|=-|A|-1B.||A|B|=|A||B|C.(kA)*=kA*D.(A*)-1=(A-1)*正確答案:D解析:A,|-A-1|=(-1)n|A-1|=(-1)n=(-1)n|A|-1,故A錯誤;B,|A|B|=|A|n|B|,故B錯誤;C,由A-1=A*(d=|A|)知(kA)*=|kA|(kA)-1=kn-1|A|A-1,kA*=k|A|A-1,故C錯誤;D,由于A*(A-1)*=(|A|A-1)(|A-1|(A-1)-1)=|A||A-1|A-1A=E,故D正確.填空題11.設(shè)y=2x.x2+sin2,則y′=__________.正確答案:2xx2ln2+2x+1x解析:已知y=2x.x2+sin2,則y′=2xln2.x2+2x.2x=2xx2ln2+2x+1x.12.極限=__________.正確答案:1解析:13.過點(diǎn)(1,一1,0)且與直線平行的直線方程為__________.正確答案:解析:本題考查的知識點(diǎn)為直線的方程和直線與直線的關(guān)系.由于兩條直線平行的充分必要條件為它們的方向向量平行,因此可取所求直線的方向向量為(2,1,一1).由直線的點(diǎn)向式方程可知所求直線方程為14.定積分(|x|+x)e|x|dx=__________.正確答案:2e2+2解析:xexdx,又exdx=e2+1,所以(|x|+x)e|x|dx=2e2+2.15.已知行列式,則A11+A21+A31=___________.正確答案:0解析:∵A11=(-1)1+1=ac一bc,A21=(一1)2+1=0.A31=(一1)3+1=bc一ac,∴A11+A21+A31=0.解答題解答時應(yīng)寫出推理、演算步驟。16.若=5,求a與b.正確答案:若則當(dāng)x→2時,x2+ax+b與x-2為同階無窮小量,令x2+ax+b=(x-2)(x+k),(※)則(x+k)=5,此時k=3,代入(※)式得x2+ax+b=(x一2)(x+3),即x2+ax+b=x2+x一6,所以a=1,b=-6.解析:本題關(guān)鍵在于根據(jù)同階無窮小量的定義,將x2+ax+b寫成兩個一次式的乘積,使得兩個未知數(shù)a,b變?yōu)橐粋€k,解答就簡便了.17.已知平面π1:x+2y+z=1,π2:-2x+y+z=3.求過點(diǎn)M0(1,一1,1)且與平面π1,π2都垂直的平面的方程.正確答案:π1的法向量為n1={1,2,1},π2的法向量n2={-2,1,1},所求平面π與π1,π2都垂直,故π的法向量為n=n1×n2==i一3j+5k.又因?yàn)樗笃矫孢^點(diǎn)M0(1,一1,1),故其方程為1.(x一1)一3(y+1)+5(z一1)=0,即x一3y+5z一9=0.解析:本題考查平面方程的求解,據(jù)題意可求出平面的法向量,進(jìn)而求出平面的點(diǎn)法式方程.18.計算dx.正確答案:令x=tant,則dx=dt.當(dāng)x=0時,t=0;當(dāng)x=1時,t=注意到tan2t+1=,則有解析:本題考查的知識點(diǎn)是用換元法去根號計算定積分.三角代換x=asint和x=atant是大綱要求掌握的內(nèi)容.19.設(shè)函數(shù)z=exey,求正確答案:=ey.exey=ey.ey.exey=e2y+xey=ey.exey+ey.exey.xey=ey+xeydx.正確答案:解析:本題主要考查不定積分的分母有理化問題.21.求(x+y)dxdy,其中D是由曲線y=x3,y=-x3及y=1所圍成的區(qū)域.正確答案:如圖,因區(qū)域關(guān)于y軸對稱,而f(x)=x是奇函數(shù),所以xdxdy=0,所以解析:計算二重積分的基本思想是將其化為累次積分.可以將二重積分轉(zhuǎn)化為:先對y積分,后對x積分的累次積分.22.求y″+6y′+13y=0的通解.正確答案:特征方程為,r2+6r+13=0,故r=-3±2i為共軛復(fù)根,于是通解為y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x).解析:本題考查二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解.23.設(shè)線性方程組①且已知(1,一1,1,一1)T是該方程的一個解,試求(1)①的全部解;(2)①滿足x2=x3的全部解.正確答案:(1)將(1,一1,1,一1)T代入①得1一λ+μ一1=0,即λ=μ.將Aλ=μ代入①得對它的系數(shù)矩陣為A施行初等行變換:由此可知,當(dāng)λ≠時,所以,此時①的通解為x=(x1,x2,x3,x4)T=C1(一1,,1)T+(1,一1,1,一1)T=(一C1+1,C1+1,C1一1)T(C1是任意常數(shù)).當(dāng)λ=時,所以,此時①的通解為x=(x1,x2,x3,x4)T=C2(1,一3,1,0)T+C3(,一1,0,1)T+(1,一1,1,一1)T=(C2-C3+1,一3C2一C3—1,C2+1,C3—1)T(C2,C3是任意常數(shù)).(2)當(dāng)λ≠時,由x2=x3得C1+1,即C1=2,所以,此時①的滿足x2=x3的通解為x=(x1,x2,x3,x4)T=(一1,0,0,1)T.當(dāng)λ=時,由x2=x3得一3C2—C3—1=C2+1,即C3=-4C2—2,所以,此時①的滿足x2=x3的通解為x=(x1,x2,x3,x4)T=(3C2+2,C2+1,C2+1,一4C2—3)T(C2是任意常數(shù)).解析:本題考查的知識點(diǎn)是利用初等變換求線性方程組的通解.綜合題24.某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租,當(dāng)月租金定為2000元時,公寓會全部租出去,當(dāng)月租金每增加100元時,就會多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花費(fèi)200元的維修費(fèi),試問租金定為多少可獲得最大收入?最大收入是多少?正確答案:設(shè)租金定為x元時對應(yīng)的收入為y元,則y=(50一)(x一200),即y=+72x一14000,x≥2000,令y′=+72=0,得唯一駐點(diǎn)x=3600,結(jié)合實(shí)際問題知,當(dāng)租金定為3600元時,可獲得最大收入,最大收入為115600元.解析:根據(jù)題意,寫出收入函數(shù)y,然后用一元函數(shù)y=f(x)的求最值法,即可得解.25.設(shè)拋物線y=ax2+bx,當(dāng)0≤x≤1時,y≥0.已知它與直線y=0,x=1所圍成的圖形的面積為,求a,b的值,使此圖形繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最?。_答案:S=(ax2+bx)dx=即2a+3b=2,則b=要使此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小,則a=,把a(bǔ)=代入b=,所以b=,綜上所述a=解析:一般情況下,如果有兩條曲線y=f(z),y=g(x)(假設(shè)f(x)≥g(x))與x=a,x=b(a≤b)所圍成的平面繞x軸旋轉(zhuǎn)一周后所成的旋轉(zhuǎn)體的體積公式為:Vx=π[f2(x)一g2(x)]dx.證明題26.證明:1+xln(x+(一∞<x<+∞).正確答案:令f(x)=1+x.ln(x+于是令f′(x)=0,得駐點(diǎn):x=0;又>0,x∈(-∞,+∞);從而可知,f′(x)在(一∞,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù).因

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