遼寧省大連市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

大連市2022～2023學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)第Ⅰ卷(選擇題)一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若直線l方向向量是，則直線l的傾斜角為()A. B. C. D.2.已知空間向量，，且，則()A.9 B. C.1 D.3.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為A，B，若四邊形為正方形，則橢圓C的離心率為()A. B. C. D.4.已知三棱錐中，點(diǎn)M，N分別為AB，OC的中點(diǎn)，且，，，則()A. B. C. D.5.已知圓的圓心在直線上，若圓與軸交于兩點(diǎn)，圓與軸交于兩點(diǎn)，則()A. B. C. D.6.已知一個(gè)動(dòng)圓P與兩圓和都外切，則動(dòng)圓P圓心的軌跡方程為()A. B.C. D.7.若四棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，且，則到平面的距離為()A. B. C. D.8.已知F為拋物線的焦點(diǎn)，直線與C交于A，B兩點(diǎn)(A在B的左邊)，則的最小值是()A.10 B.9 C.8 D.5二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知向量，，，則()A. B. C. D.向量，，共面10.如圖，下列各正方體中，O為下底面的中心，M，N為頂點(diǎn)，P為所在棱的中點(diǎn)，則滿足的是()A. B.C D.11.已知圓，直線，則()A.圓C的圓心為 B.點(diǎn)在l上C.l與圓C相交 D.l被圓C截得最短弦長(zhǎng)為412.在正三棱柱中，，點(diǎn)P滿足，其中，，則()A.當(dāng)時(shí)，的最小值為B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，存兩個(gè)點(diǎn)P，使得D.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得平面第II卷(非選擇題)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知平行六面體，，則m的值為______．14.已知雙曲線的一條漸近線為，那么雙曲線的離心率為______．15.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10和20，它的側(cè)面積為，則此圓臺(tái)的母線與下底面所成角的余弦值為______．16.拋物線的光學(xué)性質(zhì)是：位于拋物線焦點(diǎn)處的點(diǎn)光源發(fā)出的每一束光經(jīng)拋物線反射后的反射線都與拋物線的對(duì)稱軸平行．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線，點(diǎn)P，Q分別是C，l上的動(dòng)點(diǎn)，若Q在某個(gè)位置時(shí)，P僅存在唯一的位置使得，則滿足條件的所有的值為______．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.已知雙曲線．請(qǐng)從①②③中選取兩個(gè)作為條件補(bǔ)充到題中，并完成下列問(wèn)題．①；②離心率為2；③與橢圓的焦點(diǎn)相同．(1)求C的方程；(2)直線與C交于A，B兩點(diǎn)，求的值．18.如圖，四棱錐，底面為正方形，平面，為線段中點(diǎn)．(1)證明：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．19.已知點(diǎn)在拋物線上，直線與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．(1)求拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；(2)求面積的最小值．20.在某地舉辦的智能AI大賽中，主辦方設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形場(chǎng)地ABCD(如圖)，AB的長(zhǎng)為9米，AD的長(zhǎng)為18米．在AB邊上距離A點(diǎn)6米的F處有一只電子狗，在距離A點(diǎn)3米的E處放置一個(gè)機(jī)器人．電子狗的運(yùn)動(dòng)速度是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度的兩倍，如果同時(shí)出發(fā)，機(jī)器人比電子狗早到達(dá)或同時(shí)到達(dá)某點(diǎn)(電子狗和機(jī)器人沿各自的直線方向到達(dá)某點(diǎn))，那么電子狗將被機(jī)器人捕獲，電子狗失敗，這點(diǎn)叫失敗點(diǎn)．(1)判斷點(diǎn)A是否為失敗點(diǎn)(不用說(shuō)明理由)；(2)求在這個(gè)矩形場(chǎng)地內(nèi)電子狗失敗的區(qū)域面積S；(3)若P為矩形場(chǎng)地AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)電子狗在線段FP上都能逃脫時(shí)，求的取值范圍．21.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)．以DE為折痕將四邊形ABED折起，使A，B分別到達(dá)，，且平面平面CDE．設(shè)P為線段CE上一點(diǎn)，且，，P，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(1)證明：平面；(2)求CP的長(zhǎng)；(3)求平面與平面CDE所成角的余弦值．22.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,且．過(guò)的一條斜率存在且不為零的直線交于兩點(diǎn),的周長(zhǎng)為．(1)求的方程;(2)設(shè)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,直線交軸于點(diǎn),過(guò)作的一條切線,切點(diǎn)為,證明:．

大連市2022～2023學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)第Ⅰ卷(選擇題)一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若直線l的方向向量是，則直線l的傾斜角為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由斜率與傾斜角，方向向量的關(guān)系求解【詳解】由直線l的方向向量是得直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角是，故選：B.2.已知空間向量，，且，則()A.9 B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量共線的充要條件即可求解.【詳解】因?yàn)榭臻g向量，，且，所以，解得：，故選：.3.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為A，B，若四邊形為正方形，則橢圓C的離心率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得到，，然后根據(jù)四邊形為正方形得到，化簡(jiǎn)即可得到橢圓的離心率.【詳解】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，即，所?故選：B.4.已知三棱錐中，點(diǎn)M，N分別為AB，OC的中點(diǎn)，且，，，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量線性運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】.故選：D.5.已知圓的圓心在直線上，若圓與軸交于兩點(diǎn)，圓與軸交于兩點(diǎn)，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作軸，軸.分別利用垂徑定理表示出，即可得到答案.【詳解】設(shè)圓的圓心，半徑為.過(guò)點(diǎn)作軸，軸.所以.由垂徑定理得：.同理：.因?yàn)椋裕?，所?故選：A6.已知一個(gè)動(dòng)圓P與兩圓和都外切，則動(dòng)圓P圓心的軌跡方程為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】設(shè)動(dòng)圓半徑為，由于動(dòng)圓P與兩圓和都外切，所以，，即，可知?jiǎng)訄AP圓心的軌跡為以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的左支，即，，，所以動(dòng)圓P圓心的軌跡方程為，故選：A.7.若四棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，且，則到平面的距離為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)與交于點(diǎn)，連接，結(jié)合題意可證明平面，再過(guò)作，垂足為，則，進(jìn)而得到平面，則到平面的距離為，再根據(jù)題意求解即可.【詳解】如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，，，，，又為的中點(diǎn)，，四邊形為菱形，，又，平面，在平面中，過(guò)作，垂足為，則，又，平面，即到平面的距離為，由已知：，為等邊三角形，，.和均為等邊三角形，，，在中，由余弦定理，，，，在中，.故選：C.8.已知F為拋物線的焦點(diǎn)，直線與C交于A，B兩點(diǎn)(A在B的左邊)，則的最小值是()A.10 B.9 C.8 D.5【答案】B【解析】【分析】直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求得，利用定義可得，再根據(jù)基本不等式得結(jié)果【詳解】由題知的焦點(diǎn)，，準(zhǔn)線為，如圖，作準(zhǔn)線，準(zhǔn)線，過(guò)定點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立得即,,又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知向量，，，則()A B. C. D.向量，，共面【答案】ABD【解析】【分析】空間向量模的坐標(biāo)計(jì)算可以驗(yàn)證選項(xiàng)A，向量坐標(biāo)減法運(yùn)算驗(yàn)證選項(xiàng)B，兩向量數(shù)量積為0驗(yàn)證選項(xiàng)C，利用向量共面條件驗(yàn)證選項(xiàng)D【詳解】因?yàn)椋?，，所以A正確；，故B正確；，故C不正確；由，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.10.如圖，下列各正方體中，O為下底面的中心，M，N為頂點(diǎn)，P為所在棱的中點(diǎn)，則滿足的是()A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法逐個(gè)判斷即可求解【詳解】對(duì)于A：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則，故，所以，所以，故A正確；對(duì)于B：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則，故，所以，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則，故，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則，故，所以，所以，故D正確；故選：AD11.已知圓，直線，則()A.圓C的圓心為 B.點(diǎn)在l上C.l與圓C相交 D.l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)為4【答案】BCD【解析】【分析】一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷A；點(diǎn)代入直線方程可判斷B；根據(jù)點(diǎn)在圓內(nèi)判斷C；根據(jù)與圓心連線與直線垂直時(shí)，l被圓C截得的弦最短判斷D.【詳解】由，所以圓的圓心為，半徑，A不正確；因?yàn)闀r(shí)，所以點(diǎn)在l上，B正確；因?yàn)閳A心到的距離為，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，又點(diǎn)在l上，故l與圓C相交，C正確；與圓心連線與直線垂直時(shí)，l被圓C截得的弦最短，最短弦長(zhǎng)為，D正確.故選：BCD12.在正三棱柱中，，點(diǎn)P滿足，其中，，則()A.當(dāng)時(shí)，的最小值為B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)點(diǎn)P，使得D.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得平面【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，將矩形展開與在同一平面，再根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短判斷即可；對(duì)于B，將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對(duì)于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對(duì)于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部(含邊界)．對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線段，將矩形展開與在同一平面如圖，則的最小值為，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而到平面距離不為定值，所以其體積不為定值，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)椋?，，所以，此時(shí)與重合，故D正確．故選：ACD．第II卷(非選擇題)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知平行六面體，，則m的值為______．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)平行六面體的性質(zhì)和空間向量的線性運(yùn)算求即可.【詳解】，所以.故答案為：1.14.已知雙曲線的一條漸近線為，那么雙曲線的離心率為______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程求得的值，根據(jù)離心率的公式求得雙曲線的離心率.【詳解】由于雙曲線的一條漸近線為，故.所以雙曲線離心率.【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.15.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10和20，它的側(cè)面積為，則此圓臺(tái)的母線與下底面所成角的余弦值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積可求出圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，然后利用直角三角形即可求解.【詳解】作出圓臺(tái)的軸截面，如圖所示：設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為和，母線長(zhǎng)為，由題意可知：，，因?yàn)樗膫?cè)面積為，所以，解得：，設(shè)圓臺(tái)的母線與下底面所成角為，由圖可知：，則，故答案為.16.拋物線的光學(xué)性質(zhì)是：位于拋物線焦點(diǎn)處的點(diǎn)光源發(fā)出的每一束光經(jīng)拋物線反射后的反射線都與拋物線的對(duì)稱軸平行．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線，點(diǎn)P，Q分別是C，l上的動(dòng)點(diǎn)，若Q在某個(gè)位置時(shí)，P僅存在唯一的位置使得，則滿足條件的所有的值為______．【答案】或【解析】【分析】設(shè)，易知拋物線焦點(diǎn)為，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)結(jié)合距離公式，可得，根據(jù)方程有唯一解列方程求解即可.【詳解】設(shè)，易知拋物線焦點(diǎn)為，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，由，，即代入，，(1)當(dāng)時(shí)，，由得，此時(shí)方程只有一個(gè)解，滿足題意，(2)當(dāng)時(shí)，，解得，代入可得求得，可得的值為或故答案為：或.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.已知雙曲線．請(qǐng)從①②③中選取兩個(gè)作為條件補(bǔ)充到題中，并完成下列問(wèn)題．①；②離心率為2；③與橢圓的焦點(diǎn)相同．(1)求C的方程；(2)直線與C交于A，B兩點(diǎn)，求的值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)選①②，可得，解得即可；選①③，可得，解得即可；選②③，可得，解得，即可；(2)聯(lián)立，消掉y，整理得，利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式可得答案.【小問(wèn)1詳解】選①②，可得，，解得，所以C的方程為；選①③，可得，，解得，所以C的方程為；選②③，可得，，解得，，所以C的方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，聯(lián)立，消掉y，整理得，所以，因?yàn)椋裕?8.如圖，四棱錐，底面為正方形，平面，為線段的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)連接，設(shè)與交點(diǎn)為，連接，根據(jù)為正方形得到，再利用線面垂直得到，然后利用線面垂直的判定得出平面，進(jìn)而得到線線垂直；(2)根據(jù)為正方形和平面可知：，，兩兩垂直，則建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線的方向向量與平面的法向量的夾角公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】連接，設(shè)與交點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉檎叫?，所以，因?yàn)槠矫妫裕驗(yàn)?，BD,PB含于面PBD,所以平面，所以；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈酌鏋檎叫?，且平面，所以，，兩兩垂直，則建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．所以，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，由圖可知為銳角，則，即直線與平面所成角的正弦值為．19.已知點(diǎn)在拋物線上，直線與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．(1)求拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；(2)求面積的最小值．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)將點(diǎn)代入，直接求解；(2)利用“設(shè)而不求法”表示出，得到，表示出的面積，進(jìn)而求出最小值.【小問(wèn)1詳解】將點(diǎn)代入方程，解得：.所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立，消去y，整理得，所以.因?yàn)?，所以，即，即代入可得：，即?不符合題意，舍去).所以所以當(dāng)時(shí)，面積有最小值．20.在某地舉辦的智能AI大賽中，主辦方設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形場(chǎng)地ABCD(如圖)，AB的長(zhǎng)為9米，AD的長(zhǎng)為18米．在AB邊上距離A點(diǎn)6米的F處有一只電子狗，在距離A點(diǎn)3米的E處放置一個(gè)機(jī)器人．電子狗的運(yùn)動(dòng)速度是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度的兩倍，如果同時(shí)出發(fā)，機(jī)器人比電子狗早到達(dá)或同時(shí)到達(dá)某點(diǎn)(電子狗和機(jī)器人沿各自的直線方向到達(dá)某點(diǎn))，那么電子狗將被機(jī)器人捕獲，電子狗失敗，這點(diǎn)叫失敗點(diǎn)．(1)判斷點(diǎn)A是否為失敗點(diǎn)(不用說(shuō)明理由)；(2)求在這個(gè)矩形場(chǎng)地內(nèi)電子狗失敗的區(qū)域面積S；(3)若P為矩形場(chǎng)地AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)電子狗在線段FP上都能逃脫時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)A是失敗點(diǎn)(2)(米2)；(3)【解析】【分析】(1)直接根據(jù)失敗點(diǎn)的概念即可判斷；(2)建立直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的軌跡為圓，進(jìn)而得面積；(3)根據(jù)臨界位置為當(dāng)線段FP與(2)中圓相切時(shí)，即可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由于，，即機(jī)器人和電子狗同時(shí)到達(dá)點(diǎn)A，故A是失敗點(diǎn)【小問(wèn)2詳解】建立以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸的直角坐標(biāo)系，如圖，，設(shè)機(jī)器人的速度為v，則電子狗的速度為2v，電子狗失敗的區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)，可得，即，，即失敗點(diǎn)組成的區(qū)域?yàn)橐詾閳A心，2為半徑的半圓及其內(nèi)部，所以電子狗失敗的區(qū)域面積(米2)【小問(wèn)3詳解】當(dāng)線段FP與(2)中圓相切時(shí)，即，所以，因?yàn)殡娮庸吩诰€段FP上都能逃脫時(shí)，所以又因?yàn)?，所以的取值范圍是?1.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)．以DE為折痕將四邊形ABED折起，使A，B分別到達(dá)，，且平面平面CDE．設(shè)P為線段CE上一點(diǎn)，且，，P，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(1)證明：平面；(2)求CP的長(zhǎng)；(3)求平面與平面CDE所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)翻折前后的位置關(guān)系可知，，再結(jié)合線面平行的判斷定理，即可證明；(2)首先利用確定平面的依據(jù)，先作出點(diǎn)，再利用三角形相似，求的長(zhǎng)；(3)首先以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面與平面CDE的法向量，利用法向量公式求二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?，所以沿DE為折痕將四邊形ABED折起后，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．【小?wèn)2詳解】延長(zhǎng)AB，DE交于點(diǎn)G，沿DE為折痕將四邊形ABED折起的過(guò)程中，，，G三點(diǎn)共線，連接FG，設(shè)FG與CE的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，則這樣的點(diǎn)P滿足，，P，F(xiàn)四點(diǎn)共面．因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以B為AG的中點(diǎn)，即，設(shè)，則，由可得，，即，所以，即．【小問(wèn)3詳解】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線CD，CE為x軸，y軸正方向，以垂直于平面CDE且向上的方向?yàn)閦軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如