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認(rèn)證信息

認(rèn)證類(lèi)型：個(gè)人認(rèn)證

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2016年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)I）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)設(shè)集合A={1,3,5,7},B={x|2WxW5},貝l]AnB=()

A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}

2.（5分）設(shè)（l+2i）（a+i）的實(shí)部與虛部相等，其中a為實(shí)數(shù)，則a等于（）

A.-3B.-2C.2D.3

3.（5分）為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)

花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇

的概率是（）

A.1B.LC.2.D.A

3236

4.(5分)4ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知a=泥，c=2,cosA=Z,

3

則b=()

A.V2B.V3C.2D.3

5.（5分）直線I經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到I的距離為其

短軸長(zhǎng)的工，則該橢圓的離心率為（）

4

A.1B.C.2D.3

3234

6.（5分）將函數(shù)y=2sin（2x+2L）的圖象向右平移1個(gè)周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)

64

的函數(shù)為（）

A.y=2sin(2x+_-_)B.y=2sin(2x+---)

43

C.y=2sin(2x--2L)D.y=2sin(2x-2L.)

4

7.（5分）如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂

直的半徑.若該幾何體的體積是迎，則它的表面積是（）

3

A.17nB.18nC.20nD.28Tl

8.(5分)若a>b>0,0<c<l,貝！J()

cc

A.logac<logbCB.Iogca<logcbC.a<b

9.（5分）函數(shù)y=2x2-e”在［-2,2］的圖象大致為（）

值滿足（)

|結(jié)束］

A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x

11.（5分）平面a過(guò)正方體ABCD-AiBiJDi的頂點(diǎn)A,a〃平面CBi%,aA平

面ABCD=m,an平面ABBiAkn,貝Im、n所成角的正弦值為（）

A.返B.返V3

CD.

2233

12.（5分）若函數(shù)f（x）=x-Xsin2x+asinx在（-8,+OO）單調(diào)遞增，則a的

3

取值范圍是（）

A.[-1,1]B.[-1,1]C.[--,J_1D.[-1,--]

3333

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分

13.（5分）設(shè)向量a=（x,x+1）,b=（1,2）,且a_Lb，貝Ux=.

14.（5分）已知e是第四象限角，且sin（e+2L）=3,則tan（0-2L）=.

454

15.（5分）設(shè)直線y=x+2a與圓C：x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點(diǎn)，若|AB|=2、后

則圓C的面積為.

16.（5分）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)

一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需

要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100

元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,

則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值

為元.

三.解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17.（12分）已知｛aj是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列｛bj滿足也=1,b2=l,

3

anbn+i+bn+i=nbn.

（I）求｛aj的通項(xiàng)公式;

（II）求｛bj的前n項(xiàng)和.

18.（12分）如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6,頂點(diǎn)P

在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連接PE并

延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.

（I）證明：G是AB的中點(diǎn)；

（II）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說(shuō)明作法及理由），并求四面

體PDEF的體積.

C

GD

B

19.（12分）某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有

一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件，每個(gè)200元.在

機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買(mǎi)，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器

時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用

期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：

記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)

易損零件上所需的費(fèi)用（單位：元），n表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù).

（I）若n=19,求y與x的函數(shù)解析式；

（II）若要求"需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5,求n的最小值;

（III）假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買(mǎi)19個(gè)易損零件，或每臺(tái)都購(gòu)

買(mǎi)20個(gè)易損零件，分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需費(fèi)用的平均

數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)19個(gè)還是20個(gè)易損零

件？

20.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線I：y=t(tNO)交y軸于點(diǎn)M,交拋物

線C：y2=2px(p>0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N,連結(jié)ON并延長(zhǎng)交

o

求HI

ONI

除

以

H外

直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)？說(shuō)明理由.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.

(I)討論f(x)的單調(diào)性；

(II)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

請(qǐng)考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.［選

修4-1：幾何證明選講］

22.(10分)如圖，△OAB是等腰三角形，ZAOB=120°.以。為圓心，LoA為

2

半徑作圓.

(I)證明：直線AB與。0相切；

(II)點(diǎn)C,D在。。上，且A,B,C,D四點(diǎn)共圓，證明：AB〃CD.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

23.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線J的參數(shù)方程為『'cos：(t為參數(shù)，a>0),在

［y=l+asint

以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：p=4cos0.

(I)說(shuō)明J是哪種曲線，并將J的方程化為極坐標(biāo)方程；

(II)直線C3的極坐標(biāo)方程為e=ao，其中a。滿足tanao=2,若曲線J與C2的公

共點(diǎn)都在C3上，求a.

［選修4-5：不等式選講］

24.已知函數(shù)f(x)=|x+11-|2x-3|.

(I)在圖中畫(huà)出y=f(x)的圖象；

(II)求不等式If(x)的解集.

2016年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)I）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）設(shè)集合A={1,3,5,7},B={x|2WxW5},則APB=（）

A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}

【考點(diǎn)】IE：交集及其運(yùn)算.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；29：規(guī)律型；5J：集合.

【分析】直接利用交集的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可.

【解答】解：集合A={1,3,5,7},B={x|2WxW5},

則APB={3,5}.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集的求法，考查計(jì)算能力.

2.（5分）設(shè)（l+2i）（a+i）的實(shí)部與虛部相等，其中a為實(shí)數(shù)，則a等于（）

A.-3B.-2C.2D.3

【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；29：規(guī)律型；35：轉(zhuǎn)化思想；5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，通過(guò)復(fù)數(shù)相等的充要條件求解即可.

【解答】解：（l+2i）（a+i）=a-2+（2a+l）i的實(shí)部與虛部相等,

可得:a-2=2a+l,

解得a=-3.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的相等的充要條件的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算法則，考查

計(jì)算能力.

3.(5分)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)

花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇

的概率是()

A.1.B.LC.2D.5

3236

【考點(diǎn)】CB：古典概型及其概率計(jì)算公式.

【專(zhuān)題】12：應(yīng)用題；34：方程思想；49：綜合法；51：概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】確定基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率公式，可得結(jié)論.

【解答】解：從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余

下的2種花種在另一個(gè)花壇中，有或=6種方法，紅色和紫色的花在同一花壇,

有2種方法，紅色和紫色的花不在同一花壇，有4種方法，所以所求的概率

為幺2.

63

另解：由列舉法可得，紅、黃、白、紫記為1,2,3,4,

即有(12,34),(13,24),(14,23),(23,14),(24,13),(34,12),

貝ijP=A=A.

63

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等可能事件的概率計(jì)算與分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)

算能力，比較基礎(chǔ).

4.(5分)AABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知a=西，c=2,cosA=Z,

3

則b=()

A.A/2B.C.2D.3

【考點(diǎn)】HR：余弦定理.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；58：解三角形.

【分析】由余弦定理可得cosA=b+c-a,利用己知整理可得3b2-8b-3=0,

2bc

從而解得b的值.

【解答】解：Va=^/5，c=2,COSA=A,

3

2222

???由余弦定理可得：cosA=Z=b+c-a=b*5_,整理可得：3b?-8b-3=0,

32bc2XbX2

解得：b=3或-工（舍去）.

3

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的應(yīng)用,

考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

5.（5分）直線I經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到I的距離為其

短軸長(zhǎng)的工，則該橢圓的離心率為（）

4

A.1.B.1.C.2D.3

3234

【考點(diǎn)】K4：橢圓的性質(zhì).

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；29：規(guī)律型；35：轉(zhuǎn)化思想；5D：圓錐曲線的定義、性

質(zhì)與方程.

【分析】設(shè)出橢圓的方程，求出直線的方程，利用已知條件列出方程，即可求解

橢圓的離心率.

22

【解答】解：設(shè)橢圓的方程為：￥+彳=1，直線?經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)

ab

隹占，

八、、八、、7

則直線方程為：三4=1，橢圓中心到?的距離為其短軸長(zhǎng)的2，

22

a-c

2~

c

?p-c_1

a2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查點(diǎn)到直線的距離公式，橢圓的離

心率的求法，考查計(jì)算能力.

6.（5分）將函數(shù)y=2sin⑵十)的圖象向右平移上個(gè)周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)

4

的函數(shù)為（）

A.y=2sin(2x+2L)B.y=2sin(2x+_--)

43

C.y=2sin(2x-_L)D.y=2sin(2x-—L)

4

【考點(diǎn)】HJ：函數(shù)y=Asin（3x+6）的圖象變換.

【專(zhuān)題】33：函數(shù)思想；48：分析法；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

【分析】求得函數(shù)y的最小正周期，即有所對(duì)的函數(shù)式為y=2sin[2（x-2L）+2L],

46

化簡(jiǎn)整理即可得到所求函數(shù)式.

【解答】解：函數(shù)y=2sin（2X+2L）的周期為T(mén)="L=TI,

62

由題意即為函數(shù)y=2sin（2x+看）的圖象向右平移個(gè)個(gè)單位，

可得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=2sin[2（x--2L）+2L],

46

即有y=2sin（2x-2—）.

3

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象平移變換，注意相位變換針對(duì)自變量x而言,

考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題.

7.（5分）如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂

直的半徑.若該幾何體的體積是笙L,則它的表面積是（）

3

A.17nB.18nC.20nD.28Tl

【考點(diǎn)】L!：由二視圖求面積、體積.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；29：規(guī)律型；31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；5F：空間位

置關(guān)系與距離.

【分析】判斷三視圖復(fù)原的幾何體的形狀，利用體積求出幾何體的半徑，然后求

解幾何體的表面積.

【解答】解：由題意可知三視圖復(fù)原的幾何體是一個(gè)球去掉L后的幾何體，如圖:

可得：—X—nR3=z'-|Jr>R=2.

833

它的表面積是：22=

—X4n*2+Ax,o17n.

84

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖求解幾何體的體積與表面積，考查計(jì)算能力以及空間想

象能力.

8.(5分)若a>b>0,0<c<l,則()

ccab

A.Iogac<logbcB.Iogca<logcbC.a<bD.c>c

【考點(diǎn)】4M：對(duì)數(shù)值大小的比較.

【專(zhuān)題】35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，募函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合換底公式，逐一分析四

個(gè)結(jié)論的真假，可得答案.

【解答】解：：a>b>0,0<c<l,

故正確；

.,.logca<logcb,B

.,.當(dāng)a>b>1時(shí)，

故錯(cuò)誤；

0>logac>logbc,A

ac>bc,故C錯(cuò)誤;

ca<cb,故D錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，募函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔.

9.(5分)函數(shù)y=2x?-e”在［-2,2］的圖象大致為()

【考點(diǎn)】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換.

【專(zhuān)題】27：圖表型；48：分析法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，分析函數(shù)的奇偶性，最大值及單調(diào)性，利用

排除法，可得答案.

【解答】解：；f(x)=y=2x?-e區(qū),

f(-x)=2(-x)2-exl=2x2-exl>

故函數(shù)為偶函數(shù)，

當(dāng)*=±2時(shí)，y=8-e2e(0,1),故排除A,B；

當(dāng)xG［O,2］時(shí)，f(x)=y=2x2-ex,

.*.f(x)=4x-ex=0有解，

故函數(shù)y=2x2-e”在［0,2］不是單調(diào)的,故排除C,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，對(duì)于超越函數(shù)的圖象，一般采用排除

法解答.

10.(5分)執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的x=0,y=l,n=l,則輸出x,y的

值滿足()

A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x

【考點(diǎn)】EF：程序框圖.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；28：操作型；5K：算法和程序框圖.

【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變

量x,y的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得

答案.

【解答】解：輸入x=0,y=l,n=l,

則x=0,y=l,不滿足x2+y2>36,故n=2,

則x=L,y=2,不滿足x2+y2》36,故n=3,

2

則x=S,y=6,滿足x?+y2236,

2

故y=4x,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時(shí)，常采

用模擬循環(huán)的方法解答.

11.（5分）平面a過(guò)正方體ABCD-AiBiJDi的頂點(diǎn)A,a〃平面CB】Di，aA平

面ABCD=m,an平面ABBiAkn,貝ljm、n所成角的正弦值為（）

A.亨B.亨D，3

【考點(diǎn)】LM：異面直線及其所成的角.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；29：規(guī)律型；31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；5G：空間

角.

【分析】畫(huà)出圖形，判斷出m、n所成角，求解即可.

【解答】解：如圖：a〃平面CBiDi，an平面ABCD=m,an平面ABA小kn,

可知：n〃CDi，?.'△CBiDi是正三角形.m、n所成角就是NCD隹i=60。.

貝Um、n所成角的正弦值為：立.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力.

12.（5分）若函數(shù)f（x）=x-A_sin2x+asinx在（-8,+8）單調(diào)遞增，則a的

3

取值范圍是（）

A.[~1,1]B.[-1,—]C.[--,—]D.[-1>-—]

3333

【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專(zhuān)題】35：轉(zhuǎn)化思想；4C：分類(lèi)法；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【分析】求出f(x)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得「(x)三0恒成立，設(shè)t=cosx(-lWt

W1),即有5-4t2+3at>0,對(duì)t討論，分t=0,0<t<l,-l<t<0,分離參

數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性可得最值，解不等式即可得到所求范圍.

【解答】解：函數(shù)f(x)=x-Xsin2x+asinx的導(dǎo)數(shù)為f(x)=1-2cos2x+acosx,

33

由題意可得f'(x)NO恒成立，

即為1-三cos2x+acosx》0,

3

即有旦-Acos2x+acosx^0,

33

設(shè)1=85*(-lWtWl),即有5-4t2+3at^0,

當(dāng)t=0時(shí)，不等式顯然成立；

當(dāng)OVtWl時(shí)，3a^4t-―,

t

由4t-i■在(0,1］遞增，可得t=l時(shí)，取得最大值-1,

t

可得3aN-l,即a》--；

3

當(dāng)-lWt<0時(shí)，3a<4t-且

t

由4t-互在［-1,0)遞增，可得t=-1時(shí)，取得最小值1,

t

可得3aWl,即aWL

3

綜上可得a的范圍是［-L,1］.

33

另解：設(shè)t=cosx(-iWtWl),BPW5-4t2+3at^0,

由題意可得5-4+3a>0,且5-4-3a》0,

解得a的范圍是[-L,1].

33

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意

運(yùn)用參數(shù)分離和換元法，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分

13.（5分）設(shè)向量aF（x,x+1）,b=（1,2）,且a_Lb，則x=上.

一工一

【考點(diǎn)】9T：數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；41：向量法；49：綜合法；5A：平面向量及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)向量垂直的充要條件便可得出Z?E=O,進(jìn)行向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

即可得出關(guān)于x的方程，解方程便可得出x的值.

【解答】解：：之1%

—?—?

a'b=O；

即x+2（x+1）=0；

?_2

??x-萬(wàn)，

故答案為：J-.

3

【點(diǎn)評(píng)】考查向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，清楚向量坐標(biāo)

的概念.

14.（5分）已知e是第四象限角，且sin（e+2L）=W，則tan（e-2L）=J-.

454一工一

【考點(diǎn)】GP：兩角和與差的三角函數(shù).

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；56：三角函數(shù)的求值.

【分析】由e得范圍求得e+2L的范圍，結(jié)合已知求得cos（e+2L）,再由誘導(dǎo)公

44

式求得sin（2L_0）及cos（2L_e）,進(jìn)一步由誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基

44

本關(guān)系式求得tan（e-2L）的值.

4

【解答】解：???e是第四象限角，

-y+2k^<0<2kK,則彳+2k冗<82k冗，k€z，

又sin(0+2L)=±,

45

.?.cosce+A)=J-si■(e曰口Y)2=*

cos(J—_g)=sin(0+2L)=J1,sin(2L_Q)=cos(0+2L)=A.

445445

sin(——0)

貝ijtan(0--)=-tan(2L_g)=-----------------------=

44cos(4-e)43

45

故答案為：-生

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩角和與差的正切，考查誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式

的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

15.（5分）設(shè)直線y=x+2a與圓C：x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點(diǎn)，若|AB|=2?后

則圓C的面積為4n.

【考點(diǎn)】J8：直線與圓相交的性質(zhì).

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；5B：直線與圓.

【分析】圓C：x?+y2-2ay-2=0的圓心坐標(biāo)為（0,a）,半徑為值最，利用圓

的弦長(zhǎng)公式，求出a值，進(jìn)而求出圓半徑，可得圓的面積.

【解答】解：圓C：x?+y2-2ay-2=0的圓心坐標(biāo)為（0,a）,半徑為式不，

?「直線y=x+2a與圓C：x?+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點(diǎn)，且|AB|=2j5,

二?圓心（0,a）到直線y=x+2a的距離d二號(hào)

2,

gpj_+3=a2+2,

2

解得：a2=2,

故圓的半徑r=2.

故圓的面積S=4n,

故答案為：4n

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，難度

中檔.

16.(5分)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)

一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需

要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100

元，生產(chǎn)?件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,

則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值

為216000元.

【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；29：規(guī)律型；31：數(shù)形結(jié)合；33：函數(shù)思想；35：轉(zhuǎn)化思

想.

【分析】設(shè)A、B兩種產(chǎn)品分別是x件和y件，根據(jù)題干的等量關(guān)系建立不等式

組以及目標(biāo)函數(shù)，利用線性規(guī)劃作出可行域，通過(guò)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求

出其最大值即可；

【解答】解：(1)設(shè)A、B兩種產(chǎn)品分別是x件和y件，獲利為z元.

'xEN,y€N

上./日1.5x+0.5y<^150

由題意，得<上,z=2100x+900y.

x+0.3y<90

5x+3yC600

不等式組表示的可行域如圖：由題意可得卜十°.§尸9°,解得：!'=60,A(60,

[5x+3y=6001y=100

100),

目標(biāo)函數(shù)z=2100x+900y.經(jīng)過(guò)A時(shí)，直線的截距最大，目標(biāo)函數(shù)取得最大值：

2100X60+900X100=216000元.

故答案為：216000.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列二元一次方程組解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，二元一次方程組的解

法的運(yùn)用，不等式組解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，不定方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，解答

時(shí)求出最優(yōu)解是解題的關(guān)鍵.

三.解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17.（12分）已知｛aj是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列｛bj滿足bi=l,b2=l,

3

anbn+i+bn+i=nbn.

（I）求｛an｝的通項(xiàng)公式；

（II）求｛bn｝的前n項(xiàng)和.

【考點(diǎn)】8H：數(shù)列遞推式.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；40：定義法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】（I）令n=l,可得a1=2,結(jié)合｛aj是公差為3的等差數(shù)列，可得｛aj

的通項(xiàng)公式；

（II）由（1）可得：數(shù)列｛6｝是以1為首項(xiàng)，以L為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可

3

得：｛bj的前n項(xiàng)和.

+

【解答】解：（I）Vanbn+ibn+i=nbn.

當(dāng)n=l時(shí),aib2+b2=bi.

Vbi=l?b2=—,

/.31=2,

又???{an}是公差為3的等差數(shù)列，

??91-1—3n—1,

由知：+

(II)(I)(3n-1)bn+ibn+i=nbn.

即

3bn+i=bn.

即數(shù)列{bj是以［為首項(xiàng)，以上為公比的等比數(shù)列，

3

1-(—)n

???{bj的前n項(xiàng)和S=——~@(1-3-n)=8--1——

nn-1

1-1222-3

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列的遞推式，數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的前n項(xiàng)和

公式，難度中檔.

18.(12分)如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6,頂點(diǎn)P

在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連接PE并

延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.

(I)證明：G是AB的中點(diǎn)；

(II)在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說(shuō)明作法及理由)，并求四面

體PDEF的體積.

【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；MK：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；5F：空間位置關(guān)系與距離.

【分析】(I)根據(jù)題意分析可得PD,平面ABC,進(jìn)而可得PDXAB,同理可得

DEXAB,結(jié)合兩者分析可得AB,平面PDE,進(jìn)而分析可得AB±PG,又由

PA=PB,由等腰三角形的性質(zhì)可得證明；

(II)由線面垂直的判定方法可得EF，平面PAC,可得F為E在平面PAC內(nèi)的正

投影.由棱錐的體積公式計(jì)算可得答案.

【解答】解：(I)證明：?.￥-ABC為正三棱錐，且D為頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)

的正投影，

，PD，平面ABC,則PD±AB,

又E為D在平面PAB內(nèi)的正投影，

...DE，面PAB,則DELAB,

VPDnDE=D,

.?.AB,平面PDE,連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G,

貝I]AB±PG,

又PA=PB,

??.G是AB的中點(diǎn)；

(II)在平面PAB內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F,F即為E在平面PAC

內(nèi)的正投影.

???正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，

APBXPA,PB±PC,

又EF〃PB,所以EFLPA,EF±PC,因此EF,平面PAC,

即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影.

連結(jié)CG,因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以D是正三角形ABC的中心.

由(I)知，G是AB的中點(diǎn)，所以D在CG上，故CD=ZCG.

3

由題設(shè)可得PC,平面PAB,DE,平面PAB,所以DE〃PC,因此PE=2PG,DE=1PC.

33

由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PG=3圾，PE=2&.

在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2.

所以四面體PDEF的體積V=LXDEXSAPEF=LX2XLX2X2=&.

3323

B

【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何體的體積計(jì)算以及線面垂直的性質(zhì)、應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是

正確分析幾何體的各種位置、距離關(guān)系.

19.（12分）某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有

一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件，每個(gè)200元.在

機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買(mǎi)，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器

時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用

期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：

頻數(shù).

24---------------------------r—|-q

20--------------------------------------------I—

16-----------------J—I

10-----------------------------------------------------T—

6---------q—1

o----------------------------------------------------------------?

161718192021更換的易損零件數(shù)

記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)

易損零件上所需的費(fèi)用（單位：元），n表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù).

（I）若n=19,求y與x的函數(shù)解析式；

（II）若要求"需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5,求n的最小值;

（III）假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買(mǎi)19個(gè)易損零件，或每臺(tái)都購(gòu)

買(mǎi)20個(gè)易損零件，分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需費(fèi)用的平均

數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)19個(gè)還是20個(gè)易損零

件？

【考點(diǎn)】3H：函數(shù)的最值及其幾何意義；5C：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型；B8：

頻率分布直方圖.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；51：概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】（I）若n=19,結(jié)合題意，可得y與x的分段函數(shù)解析式；

（II）由柱狀圖分別求出各組的頻率，結(jié)合"需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻

率不小于0.5,可得n的最小值；

（III）分別求出每臺(tái)都購(gòu)買(mǎi)19個(gè)易損零件，或每臺(tái)都購(gòu)買(mǎi)20個(gè)易損零件時(shí)的平

均費(fèi)用，比較后，可得答案.

【解答】解：（I）當(dāng)n=19時(shí)，

fl9X200,x<19f3800,x<19

y-[19X200+（X-19）X500,x>lf[500x-5700,x>19

（ID由柱狀圖知，更換的易損零件數(shù)為16個(gè)頻率為0.06,

更換的易損零件數(shù)為17個(gè)頻率為0.16,

更換的易損零件數(shù)為18個(gè)頻率為0.24,

更換的易損零件數(shù)為19個(gè)頻率為0.24

又???更換易損零件不大于n的頻率為不小于05

則n219

.*.n的最小值為19件；

（III）假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買(mǎi)19個(gè)易損零件，

所須費(fèi)用平均數(shù)為：（70X19X200+4300X20+4800X10）=4000（元）

100

假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買(mǎi)20個(gè)易損零件，

所須費(fèi)用平均數(shù)為（90X4000+10X4500）=4050（元）

100

V4000<4050

購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)19臺(tái)易損零件.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，頻率分布條形圖，方案選擇，難

度中檔.

20.（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線I：y=t（tWO）交y軸于點(diǎn)M,交拋物

線C：y2=2px（p>0）于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N,連結(jié)ON并延長(zhǎng)交

C于點(diǎn)H.

(I)求!。可；

IONI

（II）除H以外，直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)？說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】K8：拋物線的性質(zhì).

【專(zhuān)題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性

質(zhì)與方程.

【分析】（I）求出P,N,H的坐標(biāo)，利用㈣_=已4,求㈣_；

IONI|yN|IONI

（II）直線MH的方程為y=Hx+t,與拋物線方程聯(lián)立,消去x可得y2-4ty+4t2=0,

2t

利用判別式可得結(jié)論.

2

【解答】解：（I）將直線I與拋物線方程聯(lián)立，解得P（匚，t）,

2p

關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N,

?xN+xM_t2yN+yM_

?-------，-------Lt，

22p2

AN（Jt）,

P

/.ON的方程為y=￡x,

t

與拋物線方程聯(lián)立，解得H（2J,2t）

P

.?.IMU；

IONI|yN|

（n）由（i）知I<MH=2,

2t

...直線MH的方程為y=-2_x+t,與拋物線方程聯(lián)立，消去x可得y2-4ty+4t2=0,

2t

AA=16t2-4X4t2=0,

...直線MH與C除點(diǎn)H外沒(méi)有其它公共點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確聯(lián)立方

程是關(guān)鍵.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2

(I)討論f(x)的單調(diào)性；

(II)若f(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【考點(diǎn)】52：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專(zhuān)題】35：轉(zhuǎn)化思想；48：分析法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；53：導(dǎo)數(shù)的綜合

應(yīng)用.

【分析】(I)求出f(x)的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)a》0時(shí)，a<-且時(shí)，a=-且時(shí)，-且

222

<a<0,由導(dǎo)數(shù)大于0,可得增區(qū)間；由導(dǎo)數(shù)小于0,可得減區(qū)間；

(II)由(I)的單調(diào)區(qū)間，對(duì)a討論，結(jié)合單調(diào)性和函數(shù)值的變化特點(diǎn)，即可

得到所求范圍.

【解答】解：(I)由f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2,

可得f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a),

①當(dāng)aNO時(shí)，由「(x)>0,可得x>l；由「(x)<0,可得xVl,

即有f(X)在(-8,1)遞減；在(1,+8)遞增(如右上圖)；

②當(dāng)a<0時(shí)，(如右下圖)若a=-旦，則F(x)三0恒成立，即有f(x)在R

2

上遞增；

若a<一且時(shí)，由「(x)>0,可得x<l或x>ln(-2a)；

2

由f(x)<0,可得l<x<ln(-2a).

即有f(x)在(-8,i),(in(-2a),+8)遞增；

在(1,In(-2a))遞減;

若-A<a<0,由f(x)>0,可得x<ln(-2a)或x>l；

2

由f'(x)<0,可得In(-2a)<x<l.

即有f(x)在(-8,in(-2a)),(1,+8)遞增；

在(In(-2a),1)遞減；

(II)①由(I)可得當(dāng)a>0時(shí)，

f(X)在(-8,1)遞減；在(1,+OO)遞增，

且f(1)=-e<0,x玲+8,f(x)玲+8；

當(dāng)x玲-8時(shí)f(x)>0或找到一個(gè)x<l使得f(x)>0對(duì)于a>0恒成立,

f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)x=2；

③當(dāng)a<0時(shí)，

若a<-旦時(shí)，f(x)在(1,In(-2a))遞減，

2

在(-8,1),(in(-2a),+8)遞增，

又當(dāng)xWl時(shí)，f(x)<0,所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)aN一旦時(shí)，在(-8,in(-2a))單調(diào)增，在(1,+°°)單調(diào)增，

2

在(In(-2a),1)單調(diào)減，

只有f(In(-2a))等于0才有兩個(gè)零點(diǎn)，

而當(dāng)xWl時(shí)，f(x)<0,所以只有一個(gè)零點(diǎn)不符題意.

綜上可得，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為(0,+8).

jv...

【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷，注意運(yùn)用分

類(lèi)討論的思想方法和函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于

難題.

請(qǐng)考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.［選

修4-1：幾何證明選講］

22.(10分)如圖，△OAB是等腰三角形，ZAOB=120°.以。為圓心，1_OA為

2

半徑作圓.

(I)證明：直線AB與。0相切；

(II)點(diǎn)C,D在。。上，且A,B,C,D四點(diǎn)共圓，證明：AB〃CD.

【考點(diǎn)】N9：圓的切線的判定定理的證明.

【專(zhuān)題】14：證明題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5M：推理和證明.

【分析】(I)設(shè)K為AB中點(diǎn)，連結(jié)0K.根據(jù)等腰三角形AOB的性質(zhì)知OK,

AB,NA=30。，OK=OAsin30°=XoA