2022-2023學年吉林省通化市梅河口五中高一（下）期末數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年吉林省通化市梅河口五中高一(下)期末數(shù)學試

卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知圓錐軸截面為正三角形，母線長為2,則該圓錐的體積等于()

A.JiB.-\Z~3TTC.D.27r

2.若P(AB)=g,P(A)=|,P(8)=J則事件4與B的關系是()

A.事件4與B互斥B.事件4與B對立

C.事件4與B相互獨立D.事件4與8既互斥又相互獨立

3.在下列判斷兩個平面a與B平行的4個命題中，真命題的個數(shù)是()

(l)a、￡都垂直于平面r,那么a〃仇

(2)a、。都平行于平面r,那么a〃。.

(3)a、0都垂直于直線I,那么a〃八

(4)如果hm是兩條異面直線,且〃/a,m//a,////?,m///?,那么a〃/?.

A.0B.1C.2D.3

4.甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若從甲校和乙校報名

的教師中各任選1名，則選出的2名教師性別相同的概率是()

2452

CD

A----

9993

5.已知向量為=(5,12),b=(2,0).c=a+tb>若=〈b,。，則t=()

A.-yB.-yC.yD.y

6.如圖1,在高為八的直三棱柱容器ABC-中，現(xiàn)往該容器內灌進一些水，水深為2,

然后固定容器底面的一邊4B于地面上，再將容器傾斜，當傾斜到某一位置時，水面恰好為

&B1C(如圖2),則容器的高九為()

圖1

A.B.3C.4D.6

7.在正四棱錐P-ABCD中，PA=AB=2,"為棱PC的中點，則異面直線AC,BM所成角

的余弦值為()

A.CB.白C.jD.U

2356

8.已知△ABC中，AB=2,AC=3,&=60°,BJBM=^BC,AN=NB,則前?麗=(

A.|B.|C.8D.9

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.為深入學習宣傳黨的二十大精神，某校開展了“奮進新征程，強國伴我行”二十大主題

知識競賽,其中高一年級選派了10名同學參賽，且該10同學的成績依次是：85,77,92,88,

95,88,93,92,96,84.則下列針對該組數(shù)據(jù)說法正確的是()

A.平均數(shù)為89,方差為3.06B.中位數(shù)為90,眾數(shù)為88和92

C.每個數(shù)都加5后平均數(shù)和方差均無變化D.75%分位數(shù)為93,極差為19

10.已知向量五是在平面直角坐標系中的位置如圖所示,若網(wǎng)格

中每個小正方形的邊長均為1,則下列選項中正確的是()

A.a-b=6

B.向量石在向量2方向上的投影向量為?行

C.(a+b)1(a-K)

D.益=(-1,2),^\c//(a-b)

11.甲、乙兩位射擊愛好者，各射擊10次，甲的環(huán)數(shù)從小到大排列為4,5,5,6,6,7,7,8,

8,9,乙的環(huán)數(shù)小到大排列為2,5,6,6,7,7,7,8,9,10.則()

A.甲的環(huán)數(shù)的70%分位數(shù)是7B,甲的平均環(huán)數(shù)比乙的平均環(huán)數(shù)小

C.這20個數(shù)據(jù)的平均值為6.6D.甲的成績比乙的成績更穩(wěn)定

12.某圓柱的側面展開圖是長為4cm、寬為2cm的矩形，則該圓柱的體積可能為()

3333

A.-ncmB.-ncmC.-ncmD.—ncm

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.在復平面內，復數(shù)z對應點的坐標為(2,-1),則(l+i)-z=.

14.若一組數(shù)據(jù)修，%2,?..>Xn的方差為2，則數(shù)據(jù)3/一2,3x2-2,…，一2的方差為

15.在AABC中，點M,N滿足：AM=2MC，麗=3配，若而=x荏+y芯則：=

16.已知向量五=(1,2),3=(2,-2),弓不=,五在石方向上的投影向量是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知平面向量落b滿足|方|=4,|b|=3"a-h=6-

(1)求五與石的夾角；

(2)求|3百一4方|.

18.(本小題12.0分)

如圖，在棱長為2的正方體ABC。-A/iGCi中，E為。劣中點，。為4C與2。的交點.

(1)求三棱錐E-4DC的體積；

(2)證明：BD]〃平面4EC；

(3)證明：當。_1平面/^^

19.（本小題12.0分）

4月23日是世界讀書日，樹人中學為了解本校學生課外閱讀情況，按性別進行分層，用分層

隨機抽樣的方法從全校學生中抽出一個容量為100的樣本，其中男生40名，女生60名經(jīng)調查

統(tǒng)計，分別得到40名男生一周課外閱讀時間（單位，小時）的頻數(shù)分布表和60名女生一周課外

閱讀時間（單位：小時）的頻率分布直方圖（以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值）

男生一周閱讀時間頻數(shù)分布表

小時頻數(shù)

[0,2)9

[2,4)25

[4,6)3

叵8)3

（1）從一周課外閱讀時間為［4,6）的學生中按比例分配抽取6人，則男生，女生各抽出多少人?

（2）分別估計男生和女生一周課外閱讀時間的平均數(shù)五介

（3）估計總樣本的平均數(shù)5和方差s2.

參考數(shù)據(jù)和公式；男生和女生一周課外閱讀時間方差的估計值分別為sj=2.4和s2=3.

s2=會[求式々—-+鵬以-分2+￡幽-y)2+鵡(亍-z)2]，啾0<i<40)和

%（0<i<60）分別表示男生和女生一周閱讀時間的樣本，其中iGZ.

女生一周自讀時間頻率分布宜方圖

20.(本小題12.0分)

如圖，在正三棱臺力BC-A/iG中，43=1,AB=3,過棱41cl的截面a與棱ZB,BC分

別交于E、F.

(1)記幾何體EBF—4B1G和正三棱臺ABC-&B1G的體積分別為匕，彩，若引=看，求E尸的

長度；

(2)若BBi=2，？，求直線與平面ACC1&所成角的正弦值.

21.(本小題12.0分)

如圖，在棱長為1的正方體4BCD-&B1CD1中，E,F,G分別是。久，BD,8當?shù)闹悬c.

(1)求EF與CG所成角的余弦值；

(2)求點G到平面CEF的距離.

22.(本小題12.0分)

三棱錐卜-4BC中，平面IMB1平面ABC,△1MB為等邊三角形，AC1BC且AC=BC=

。、M分別為48、V4的中點.

(1)求證：VB〃平面MOC；

(2)求證：平面MOC，平面憶48；

(3)求三棱錐廠-4BC的體積.

(要求此題使用定理證明)

V

M

B

c

答案和解析

I.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了圓錐的體積計算問題，是基礎題.

根據(jù)題意求出圓錐的母線、底面半徑和高，再計算圓錐的體積.

【解答】

解：如圖所示，

圓錐的母線為1=2,底面半徑為r=l,

所以圓錐的高為h=VI2—r2=

所以圓錐的體積為V=ixnr2xft=X7Tx

故選：A.

2.【答案】C

【解析】解：???「(?!)=l-P口)=1一：=：,

P(AB)=P(A)P(B)=!羊0，

???事件4與B相互獨立、事件4與B不互斥，故不對立.

故選：C.

結合互斥事件、對立事件、相互獨立事件的知識求得正確答案.

本題主要考查相互獨立事件的概率公式，屬于基礎題.

3.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析4個命題：

對于(1),a、￡都垂直于平面r,則a與0可以平行和可能相交，錯誤：

對于(2),平行與同一個平面的兩個平面平行，正確；

對于(3),垂直于同一直線的兩個平面平行，正確；

對于(4),Z,TH是兩條異面直線，1//a,m//a,1//P，rn.///3,

則存在直線使得加〃血，且相交，

設，，M確定的平面y,

由面面平行的判定可知y〃a,同理可得y〃氏貝布〃/?,故(4)正確.

正確的有3個；

故選：D.

根據(jù)題意，依次分析4個命題是否正確，即可得答案.

本題考查直線與平面的位置關系，涉及命題真假的判斷，屬于基礎題.

4.【答案】B

【解析】解：甲校的3名教師記為A,B,1,乙校的3名教師記為C,2,3,其中A,B,C表示男

教師，1,2,3表示女教師，

若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，所有可能的結果有：

AC,A2,A3,BC,B2,B3,1C,12,13,共計9個，

選出的2名教師性別相同的結果有4C,BC,12,13,共計4個；

則選出的2名教師性別的概率為P=5.

故選：B.

用列舉法求出基本事件數(shù)，計算所求的概率值.

本題考查了列舉法求古典概型的概率問題，屬于基礎題.

5.【答案】C

【解析】解:c=(2t+5,12),

——?

v<a,c>=<b,c>，

：■cos<a,c>=cos<b,c>y

.ac_be

"|a||c|-|5||?r

...10t+；；+144=寫￡,解得t=竽.

故選：C.

可求出E=(2t+5,12),根據(jù)<n,c>=<b,c>得出cos<a,c>=cos<b,c>，然后即可得出關

于t的方程，解出t的值即可.

本題考查了向量坐標的加法、數(shù)乘和數(shù)量積的運算，根據(jù)向量的坐標求向量的長度的方法，考查

了計算能力，屬于基礎題.

6.【答案】B

【解析】解：在圖1中曝=S底9-2,

12

水=

在圖2中，VVABC_A1B1Ci-VC_A1B1C1=AA1-AAt=AAr,

2

底面，底面.

"S2=qSAA1，AAr=3.

故選:B.

利用兩個圖形裝水的體積相等即可求解.

本題主要考查等體積法的應用，空間想象能力，屬于基礎題.

7.【答案】D

【解析】解：如圖，為PC的中點，.??麗=麗一麗=2同一而，且前=正一方，乙BPC=

Z.APB=60°,Z.APC=90°,|西=|而|=|南=2,

：.~BM-AC=(^PC-PBy(PC-PA)=1PC2-^PA-PC-'PB-PC+PA^B=2,

又|麗?|=O,\AC\=2，7，

??9＜麗刀＞=黯=方"=9

故選：D.

可畫出圖形，根據(jù)條件得出兩=：正-麗，AC^PC-PA，然后進行數(shù)量積的運算可求出麗?

就=2，并求出|而|=C,|正|=2/7，然后根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求出cos<

而，前〉的值，然后即可得出異面直線AC,BM所成角的余弦值.

本題考查了通過向量求異面直線所成角的余弦值的方法，向量夾角的余弦公式，向量減法和數(shù)乘

的幾何意義，向量數(shù)量積的運算，考查了計算能力，屬于基礎題.

8.【答案】B

【解析】解：己知AHBC中，AB=2,AC=3,乙4=60。，

又麗AN='NB,

則前-NM=AC-(BM-前)=AC■(^BC+=AC-(^AC+=|^4?2+^AC-AB=

<34OOOO

ix^+lx2x3xl=Z.

故選：B.

由平面向量的線性運算，結合平面向量的數(shù)量積運算求解即可.

本題考查了平面向量的線性運算，重點考查了平面向量的數(shù)量積運算，屬基礎題.

9.【答案】BD

85+77+92+88+95+88+93+92+96+84

【解析】解：對于4平均數(shù)為=89,

10

89)2+(96-89)2+(84-89)2]=30.6,

故選項A錯誤；

對于8,中位數(shù)為西羅=90,眾數(shù)為88和92,故選項B正確;

對于C,根據(jù)平均數(shù)和方差的性質可得，每個數(shù)都加5后平均數(shù)對應的加上5,

方差不發(fā)生改變，故選項C錯誤;

對于。，因為10x75%=7.5,所以77,84,85,88,88,92,92,93,95,96的第75%分位

數(shù)為93,

極差為96-77=19,選項。正確.

故選：BD.

根據(jù)平均數(shù)、方差、中位數(shù)、眾數(shù)和極差的概念，逐項進行計算驗證即可求解.

本題考查數(shù)據(jù)的特征，屬于基礎題.

10.【答案】ABD

【解析】解：由圖可得習=(3,0)5=(2,2)，

對于4,'.'a-/j=3x2=6＞正確；

對于B,?向量石在向量方方向上的投影向量為：

㈤cos＜落方＞喝=需畝=(2,0)=匏，正確；

對于C,1=(5,2)五一方=(1,一2)，

(a+6)-(a—b)=5x14-2x(—2)=1力0，錯誤；

對于?茨=(-1,2),a-b=(1,-2).

：.c=-(a-b)＞故不//何一石)，正確.

故選：ABD.

利用數(shù)量積運算，投影向量和向量平行公式即可判斷每個選項.

本題考查向量的數(shù)量積的運算，投影向量的概念，向量共線定理的應用，屬中檔題.

11.【答案】BCD

【解析】解：對于4因為10x70%=7,所以甲的環(huán)數(shù)的70%分位數(shù)是竽=7.5,故A錯誤;

4+5+5+6+6+7+7+8+8+9

對于B,“甲=6.5,

10

2+5+6+6+7+7+7+8+9+10「_

X乙=---------W---------------=6.7,

所以x甲＜x乙,故8正確;

對于C,這20個數(shù)據(jù)的平均值土=絲筆產(chǎn)丑=6.6,故C正確；

對于。，sg=告x[(4-6.5)2+2x(5-6.5)2+2x(6-6.5)2+2x(7-6.5)2+2x(8-

6.5)2+(9—6.5產(chǎn)]=2.25,

sj=±x[(2-6.7)2+(5-6.7)2+2x(6-6.7)2+3x(7-6.7)2+(8-6.7)2+(9-6.7)2+

(10-6.7)2]=4.41,

所以，＜s*故O正確.

故選：BCD.

根據(jù)百分位數(shù)的定義可求解4選項；根據(jù)平均數(shù)的公式可求解8、C選項；根據(jù)方差的公式可求解。

選項.

本題主要考查了百分位數(shù)、平均數(shù)和方差的計算，屬于基礎題.

12.【答案】AC

【解析】解：???側面展開圖是長4cm,寬2cm的矩形，

若圓柱的底面周長為4cm,則底面半徑R=-ncm,h—2cm,

23

此時圓柱的體積V=nRh=-TCcm

若圓柱的底面周長為2cm,則底面半徑R=」cm,h=4cm,

it

23

此時圓柱的體積V=7iRh=-ncm.

故選：AC.

已知圓柱的側面展開圖是長4cm,寬2cm的矩形，我們可以分圓柱的底面周長為4sH，高為2sn的

和圓柱的底面周長為2cm,高為4cm,兩種情況分別由體積公式即可求解.

本題主要考查圓柱的體積公式，圓柱的結構特征，考查運算求解能力，屬于基礎題.

13.【答案】3+1

【解析】解：復數(shù)z對應點的坐標為(2,-1),

z=2,-i,(1+i),z=(1+i)*(2—i)=2+2i—i—F=3+i.

故答案為：3+i.

由對應點的坐標求出復數(shù)z,代入算式中化簡.

本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.

14.【答案】18

【解析】解：因為一組數(shù)據(jù)與，x2，…，X”的方差為2,

所以數(shù)據(jù)3/-2,3次一2,…，3與一2的方差為32x2=18.

故答案為：18.

利用方差的性質求解即可.

本題主要考查了方差的性質，屬于基礎題.

15.【答案埒

【解析】解：因為而7=2祝，前=3近，

111111

旅

一

而

而

荏

所以麗=祝+麗=：近+---+-S+--+-

43444

12

MN=x^B+yX?,

根據(jù)平面向量基本定理得x=；,y=2,2V.

4J12x3

故答案為：i

由已知結合向量線性表示及平面向量基本定理可求，y,進而可求.

本題主要考查了平面向量基本定理及向量的線性表示，屬于基礎題.

16.【答案】-2（-另）

【解析】解：日?方=1x2+2x（-2）=-2，

/—T、一21

cos<a，b>=7^n=-n'

五在方方向上的投影向量是曷x（-忐）3=（一另），

故答案為：—2；（-：,；）?

利用向量的數(shù)量積、向量的夾角公式、投影向量的公式即可求解.

本題考查向量的模，向量共線定理坐標運算，向量夾角公式，投影向量的定義，方程思想，屬基

礎題.

17.【答案】解：（1）設弓與石的夾角為0,

因為伍|=4,|匕|=3,a-b=6>

所以cosO--區(qū)-

|a||b|4x32

又0W。式兀，

所以。=或

即為與加夾角為親

⑵由題意得，|3五一43|=J(3五一4年)2=J9片-24心。+16產(chǎn)=

V9x16-24x6+16x9=12.

【解析】(1)根據(jù)定義法直接求解即可；

(2)根據(jù)平方關系的轉化求解向量的模即可.

本題考查平面向量的線性運算，考查運算求解能力，屬于基礎題.

18.【答案】⑴解:因為正方體48CD-4B1C15的棱長為2,

所以三棱錐E-ACC的體積為/voc=j-S^ADC-DE=jXiX

2

2x2x1=j；

(2)證明：因為。為AC與BD的交點，所以。為BO的中點，

又E為。名的中點，所以0E//8A，

又OEu平面ZEC,BDiC平面4EC,

所以BDi〃平面4EC；

(3)證明：因為DBJ.BB1，DB1XC,BB^CBD=B,

所以4C，平面

又J。u平面8180。1，所以名。：。.

在矩形8道。。1中，tanNBB]O=苧，

tanZ-EOD=?，所以4口為。=Z.EOD,

所以3。8+/.EOD=90。.所以當。10E.

又因為0En4C=。，所以為。J_平面4EC.

【解析】(1)利用三棱錐的體積公式計算即可；

⑵證明OE〃BD「即可證明BE)”/平面4EC；

(3)利用線面垂直的判定定理證明AC1平面BiBDCi，得B1OJ.AC,再證明當。10E,從而證明

當。1平面力CE.

本題考查了證明直線和平面平行與垂直的應用問題，也考查了三棱錐體積的計算問題，是中檔題.

19.【答案】解：(1)一周課外閱讀時間為［4,6)的學生中男生有3人，女生有〈X2x60=15人，

O

若從中按比例分配抽取6人，則男生有6x寡=1人，女生有6X孤=5人.

(2)估計男生一周課外閱讀時間平均數(shù)工=1X9+3X2：：5X3+7X3=3；

估計女生一周課外閱讀時間的平均數(shù)歹=：^x2xl+:x2x3+；x2x5+±x2x7=4.

Z44o1Z

(3)估計總樣本的平均數(shù)W=3X4需X60=36,

4摩式々-x)2=sj=2.4,^Sf=i(yi-y)2=4=3,

???Sf=i(Xi-%)2=sQ40=2.4x40=96,￡陷—y)2=s%?60=3x60=180,

Sf=i(x-z)2=40x(3-3.6)2=14.4，￡圖(亍一=60x(4-3.6)2=9.6,

2

As=擊［96+14.4+9.6+180］=3,

.??估計總樣本的平均數(shù)W=3.6,方差s2=3.

【解析】(1)首先求出［4,6)中女生的人數(shù)，再利用分層抽樣計算規(guī)則計算可得；

(2)根據(jù)平均數(shù)公式計算可得；

(3)首先求出總體的平均數(shù)，再根據(jù)所給公式及數(shù)據(jù)求出總體的方差.

本題主要考查頻率分布直方圖，平均數(shù)和方差公式的應用，需要學生熟練掌握公式，屬于中檔題.

20.【答案】解：⑴??,三棱臺ABC—4出口是正三棱臺，&G〃平面4BC,

???&Gu平面a,平面aD平面ABC=EF,：.A^f/EF,

若BE=44B,則8E=&Bi，幾何體EBF-a8心是三棱柱，

記SAA/CI=S'，S?BEF-S「SMBC—S2=9S'，

/_3S'_3,7

此時弓=77聲荔=百百’不滿足題意'舍去；

因此BE>g4B,設Ea與BBi交于點。，E&與FG交于點名,

則舞=整，筌=普，因為&Bi=&G，BE=FE,

二第=筆，。=。1，即E4，F(xiàn)C,BBi交于同一點，

幾何體E8F-ABC是三棱臺,

/1_S，+癖;+51_7.c…

-

?p-I--一TV..Si—4S，???EF=2A1B1=2；

々s'+JS'S2+S213

(2)如圖，延長力久,BB],CCi交于點G,作4c中點H,連接HB,HG,

"AC1HB,AC1HG,HGCHB=H,HG,u平面HBG,

???ACJL平面HBG,過B作BM_LHG交"G于M,貝U4C1BM,

???HGCAC=H,HG,ACu平面4CQ4],BM_L平面4CG4i，

NHGB為直線BBi與平面4CCi4所成的角，

?/—x..3V_3_,,3V11

vGBn=3oV3,BnH=-y-，GH=——,

.?.在△GHB中，由余弦定理可得，

HG2+BG2-BH2(守)2+(3U)2一(亨心5K

cos乙/UHGrBB=----=—乙-----r-f==--------------=F—，

2HGBG2X5￡HX3AT333

二直線BBi與平面4CG4所成角的正弦值為要.

【解