2020-2021學(xué)年麗水市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年麗水市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.直線3x-V3=。的傾斜角是（）

A.30°B.60°C.90°D.不存在

2.已知點B（2,t,t）,則4、B兩點距離的最小值為（）

A更B.退C.述D.2

555

X+2y—2<0

3.若曲線/+y2=「2經(jīng)過不等式組3x+y-320表示的平面區(qū)域，貝懺的取值范圍是（）

,y>0

A?舄，旬B.2]C.[1,2]D.[1,4]

4.如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，貝M）

A.球的體積等于圓柱體積的右球的表面積等于等于圓柱的側(cè)面積

B.球的體積等于圓柱體積的|,球的表面積等于等于圓柱的表面積

C.球的體積等于圓柱體積的|,球的表面積等于等于圓柱的測面積

D.球的體積等于圓柱體積的球的表面積等子等于圓柱的表面積

5.已知函數(shù)/。）=M05（3》+9）04>0,3>0,06/?）,則“/0）是奇函數(shù)”是“0=匹”的（）

喔

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.與圓C：/+3+5）2=3相切、且縱截距和橫截距相等的直線共有（）

A.2條B.3條C.4條D.6條

7.下列四個結(jié)論：①若矛>0,則x>sinx恒成立；②命題“若x-sinx=0,貝卜=0"的逆命

題為“若X。0,則x-sinX。0”；③“命題P或4為真”是“命題P且0為真”的充分不必

要條件；④命題”的否定是“土?！攴捕淮硕?其中正確結(jié)論的

個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

8.正方體4BCD—&B1GD1中，BBi與平面AC%所成角的余弦值為()

A.也B.立C.ID.在

3333

9.不論取任何實數(shù)，直線/：(活-l)x-y+2陽+1=0恒過一定點，則該定點的坐標是()

A.(2,3)B.(-2.3)C.(-2,0)D.(1-1)

10.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為凡準線為1與X軸的交點為P,點4在拋物線C上,

過點4作441_U,垂足為4,若四邊形44'PF的面積為14,

且則拋物線C的方程為()

5

A.y2=%B,y2=2%C.y2=4%D.y2=8x

11.設(shè)"=｛正四棱柱｝,N=｛直四棱柱｝,P=｛長方體｝,Q=｛直平行六面體｝,則四個集合的關(guān)系

為()

A.MJP冬N與QB.McpcQcw

C.PcMc/vcQD.PCMCQc/v

12.已知橢圓2+?=1的焦點在x軸上，B],為是橢圓短軸的兩個端點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，且

乙B/B2=120°,則m=()

A.2V3B.6C.12D.16

二、單空題(本大題共6小題，共28.0分)

13.已知直線?經(jīng)過坐標原點，直線m與1平行，且直線m在心y軸上的截距相等，則直線/的方程是

14.如圖，點。為正方體的中心，點E為面B'BCC'的中心，點F為B'C'的中點，則

15.已知a,b為異面直線，且a,b所成角為40。，直線c與a,b均異面，且所成角均為仇若這樣的c共

有四條，貝碼的范圍為.

16.已知空間向量為=(1,3,2),3=(1,0,1).p=ka-2b，q=3a+4b，^p//q，則實數(shù)A=.

17.設(shè)橢圓捻+'=l(a>b>0)的左、右焦點分別為Fi、F2,其焦距為2c,點Q(c()在橢圓的內(nèi)部,

點P是橢圓C上的動點，且|PFi|+|PQ|<5|&F2l恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是.

18.圓C：x2+y2-2x-2y-7=0,設(shè)P是該圓的過點(3,3)的弦的中點，則動點P的軌跡方程是

三、多空題(本大題共1小題，共6.0分)

19.已知曲線C的方程為哈+￡=1,則當(dāng)C為雙曲線時，k的取值范圍是___；當(dāng)C為焦點在y軸

四1-K

上的橢圓時，k的取值范圍是.

四、解答題(本大題共4小題，共56.0分)

20.如圖所示，在四棱錐E-?力BCD中，平面4BCD1平面BCE,四邊

形4BCD為矩形，BC=CE,點?為CE的中點.

(1)證明：AE〃平面BDF；

(2)若點P為線段4E的中點，求證：BE_L平面PCD.

21.已知圓C以點(一1,0)為圓心，且被直線y=x-1截得弦長為2夜.

(1)求圓C的方程；

(2)點M是圓C上任意一點，問是否存在不同于原點。的定點力使耦=4恒成立。為常數(shù)，，>0)?若

存在，試求出滿足條件的點4的坐標及4的值；若不存在，請說明理由.

22.如圖，PA1平面4BCD,四邊形4BCD是矩形，PA=AB=1,PD

與平面4BCD所成角是30。，點尸是PB的中點，點E在邊BC上移

動.

(1)點6為3。的中點時，試判斷E尸與平面PAC的位置關(guān)系，并說明

理由；

(n)證明：無論點E在邊BC的何處，都有PEJ.4F；

(DI)當(dāng)BE等于何值時，二面角P-DE-4的大小為45。.

23.已知函數(shù)/(x+2)為偶函數(shù)，拋物線/(x)與x軸交于兩點4,B,\AB\=2,與y軸交于點(0,3),

(1)求/Q)的解析式：

(2)過拋物線f(x)上任意一點P作與直線/：2x+y+3=0夾角為30。的直線，交［于點4求］P川的最

小值.

參考答案及解析

1.答案：C

解析：解：由已知直線3x-遍=0的斜率不存在，所以其傾斜角是90。；

故選C.

根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系解答.

本題考查了直線的傾斜角；如果直線的傾斜角為a(a#90。)，則它的斜率為tana；當(dāng)a=90。時，斜

率不存在.

2.答案：C

解析：

本題給出兩點含有字母參數(shù)t的坐標，求兩點間的最短距離，著重考查了兩點間的距離公式和二次函

數(shù)的性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題.

由兩點的距離公式，算出|4B|2關(guān)于t的式子，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得t=：時，|48|2有最小值，相

應(yīng)地小B兩點距離也取得最小值.

解：??,點4(1-t,1-t,t),B(2ft,t),

?，.=(c+1)2,|_(2￡—1)2+(c—t)2=5/—2t+2,

???t=：時，\AB\2=5t2_2t+2=5(t-1)2+3取得最小值

???當(dāng)”謝，的最小值為公

55

故選：C.

3.答案：B

解析:

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,利用N的幾何意義進

行求解即可.

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決

本題的關(guān)鍵.

解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

x2+y2=N的幾何意義，為區(qū)域內(nèi)的點到原點的距

離的平方，

由圖象知，C(2,0)到原點的距離最大，此時N=4,

圓心到直線4B：3x+y—3=0的距離最小，

此時日=晟=高則產(chǎn)=總，

則白Sr2s4,得型<r<2

io10

故選:B.

4.答案：C

解析：解：設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R,高為2R；

；?球的體積為晞=岸/?3,表面積為S球=4TTR2；

圓柱的體積是明住=兀氏2.2R=2TTR3,

側(cè)面積為S窗柱網(wǎng)=2nR-2R=4TT/?2.

:?丫球=圓柱，s球=s圓柱側(cè).

故選：C.

根據(jù)球與圓柱的體積和表面積公式，計算即可得出結(jié)論.

本題考查了球與圓柱的體積與表面積計算問題，是基礎(chǔ)題.

5.答案：B

解析：若/'(x)是奇函數(shù)，則w=%+卜兀(16Z),且當(dāng)s=%時，f(x)為奇函數(shù).

6.答案：C

解析：

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線的截距和斜率問題，是中檔題.

先求己知圓的圓心和半徑，原點和圓心的距離大于半徑，判定原點在圓外，則存在過原點的兩條線

與圓C：/+(y+5)2=3相切；有2條斜率為一1的切線，即可得答案.

解：已知圓的圓心(0,-5),半徑是國，顯然原點在圓外，

所以，與圓C：/+3+5)2=3相切、且縱截距和橫截距相等的直線，

過原點的有兩條，斜率為-1的有兩條，共4條.

故選C.

7.答案：B

解析：解析：本題考查逆命題，充分必要條件，全稱命題的否定。

①正確；②逆命題應(yīng)為：若％=0,則％-sinx=O；③命題少或夕為真，則p,q至少有一個為

真，所以為

必要不充分條件；④正確，故選艮

8.答案：D

解析：

本題考查利用空間向量求直線和平面所成角.

確定空間點的坐標，根據(jù)點的坐標求向量的坐標，熟記向量夾角余弦的坐標公式，要弄清直線和平

面所成角和直線方向向量和平面法向量夾角的關(guān)系.

不妨設(shè)正方體的棱長為1,如圖建立空間直角坐標系，則。建,0,0),B(L1,O)，BKLLI).

平面的一個法向量為西=(1,1,1)，

又西=(0,0,1)-

設(shè)BBi與平面AC%所成角為仇

項;?斯［

???sin6=|cos（DBi，BB［）\=_i_V3

|DBT||BB7|-V3X1-3

???BB1與平面4CD1所成角的余弦值為

故選D

9.答案：B

解析：略

10.答案：C

解析：分析：

本題主要考查了拋物線的定義標準方程及其性質(zhì)、四邊形面積計算公式，考查了推理能力與計算能

力，屬于中檔題.

過點尸作FF'144',垂足為設(shè)|小叫=3x,根據(jù)cos/F44'=|,可得|AF|=5x,|尸'F|=4元由拋物

線定義可得：\AF\=|A4'|=5x.\A'F'\=2x=p,解得尤利用四邊形A4'PF的面積S=（歿皿叱M

即可得出.

解：過點尸作FF'1/M',垂足為F'.設(shè)|AF'|=3x,

vcosZ-FAAr=/.\AF\=5x,|尸'用=4%,

由拋物線定義可得：\AF\=\AAf\=5x,

則|AF|=2x=p,解得*=今

四邊形44'P尸的面積s=（IPFI+DIPA'I=3+初2P

22

=14,解得p=2.

二拋物線C的方程為y=4x.

故選：C.

11.答案：B

解析：解：M=｛正四棱柱｝;底面是正方形的直棱柱；

N=｛直四棱柱｝:是側(cè)棱與底面垂直的四棱柱，底面是四邊形即可;

P=｛長方體卜底面是矩形側(cè)棱垂直底面的四棱柱；

Q=｛直平行六面體｝:是側(cè)棱垂直底面的四棱柱；

故選：B.

明確正四棱柱、直四棱柱、長方體、直平行六面體間的概念的內(nèi)涵，四個定義中底面的形狀的要求,

側(cè)棱和底面的關(guān)系，容易得到答案.

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，對概念的理解，概念間的關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

12.答案：C

解析：

本題主要考查橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，結(jié)合三角形邊角關(guān)系建立方程是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

根據(jù)橢圓的方程表示出a,b,c,結(jié)合三角形的夾角關(guān)系建立方程進行求解即可.

解：???橢圓￥+日=1的焦點在x軸上，

m9

???a2=m,b2=9,c2=m—9,

則b=3,c=Vm-9,(m>9),

乙B/B?=120°,???4BiFO=60°,

'TO\/FJ

則tanNB[F。=微=^===遮，

即1=3,則上=3,

c2m-9

得m—9=3,得TH=12,

故選：c.

13.答案：x+y=0

解析：解：直線m在x,y軸上的截距相等，一是經(jīng)過坐標原點，一是直線的斜率為-1,

二直線I的方程是：x+y=0.

故答案為：x+y=0.

直線在坐標軸上的截距相等，如果直線不經(jīng)過原點，則直線的斜率為-1,求出直線，的方程即可.

本題考查直線方程的求法，基本知識的考查.

14.答案：①②③

解析：

本題考查平行投影及平行投影的作圖法，考查正方體的性質(zhì)，本題是一個基礎(chǔ)題，是為后面學(xué)習(xí)三

視圖做準備，告訴我們從三個不同的角度觀察圖形結(jié)果不同，根據(jù)平行投影的特點和正方體的性質(zhì)，

得到分別從正方體三個不同的角度來觀察正方體，得到三個不同的投影圖，逐個檢驗，得到結(jié)果，

屬于基礎(chǔ)題.

解：由題意知光線從上向下照射，得到③，

光線從前向后照射，得到①，

光線從左向右照射得到②，

故答案為①②③.

15.答案：(70°,90°)

解析：解：設(shè)平面a上兩條直線九分別滿足?n〃a,n//b

則m,n相交，且夾角為40。，

若直線c與a,b均異面，且所成角均為0,

則直線c與m,ri所成角均為仇

當(dāng)0。W0＜20。時，不存在這樣的直線c,

當(dāng)。=20。時，這樣的c只有一條，

當(dāng)20。＜6＜70。時，這樣的c有兩條，

當(dāng)。=70。時，這樣的c有三條，

當(dāng)70。＜。＜90。時，這樣的c有四條，

當(dāng)。=90。時，這樣的c只有一條，

故答案為：(70°,90°)

由已知中a,b所成角為40。，平面a上兩條直線m,n分別滿足m〃a,n//b,則m,n相交，且夾角為

40°,且直線c與m,ri所成角均為仇分類討論。取不同值時，直線c的條數(shù)，最后根據(jù)討論結(jié)果，可

得答案.

本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，熟練掌握空間直線與直線夾角的定義及幾何特征是解

答的關(guān)鍵.

16.答案：—|

解析：解：?.?空間向量五=(132),3=(101)，

??p=ka-2b=(k—2,3k,2k—2),

q=33+46=(7,9,10)，

—>./—k—23k2k—2

:、——=——=----

,:p1qV,7910

3

解得實數(shù)k

2*

故答案為：-|

利用向量坐標運算法則求出萬=k五一2石=(fc-2,3k,2k-2')，q=3a+4b=(7,9,10),再由萬〃于,

能求出實數(shù)k的值.

本題考查實數(shù)值的求法，考查向量坐標運算法則、向量平行的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力,

是基礎(chǔ)題.

17.答案：(消)

解析：解：■:點Q(C^)在橢圓的內(nèi)部，???尤＞：,貝IJ2b2＞。2,即

na2

a2>2c2.

..一<g^\PF1\+\PQ\=2a-\PF2\+\PQ\,

a2

又因為一IQF2I+\PQ\<\PQ\-\PF2\<IQF2I，且IQBI=p

要|PF1|+|PQ|<5|F/2l恒成立，即2a-|PF2l+|PQIW2a+?<5x2c,羊<10,則

則橢圓離心率的取值范圍是G，￥),

故答案為：?凈.

點Q(c，》在橢圓的內(nèi)部，則《>三，\PF1\+\PQ\^2a-\PF2\+\PQ\,由一IQF2I+|PQIS|PQI-

4a2

\PF2\<IQF2I，且IQF2I=p要IPF/+|PQ|<5尸抵|恒成立，即2a-\PF2\+\PQ\<2a+^<5x2c,

即可求得橢圓的離心率的取值范圍.

本題考查了橢圓的方程、性質(zhì)，橢圓的離心率，轉(zhuǎn)化思想是解題關(guān)鍵，屬于難題.

18.答案:(%-2)2+0-2)2=2

解析：解：???圓C:/+y2一2%-2y_7=0,化成標準方程得(X-1)

(y1)2=9,

二圓心為半徑r=3.

設(shè)4(3,3),連結(jié)PC

???P是該圓的過點(3,3)的弦的中點，

???PC1AP,可得點P在以4c為直徑的圓上運動.

v\AC\=’(3—1)2+(3-1)2=2V2,AC的中點為B(2,2)

.??以4c為直徑的圓的圓心為8(2,2),半徑R=^力(?|=魚，

其方程為(X-2)2+(y_2)2=2,即為動點P的軌跡方程.

故答案為：(x-2)2+(y-2)2=2

由題意求出圓C的圓心為設(shè)4(3,3),由垂徑定理得PC_LAP,可得點P在以AC為直徑的圓上

運動.根據(jù)兩點間的距離公式與中點坐標公式，求出以4C為直徑的圓的圓心為8(2,2)、半徑R=V2,

得到其方程為(x-2尸+(y—2/=2,即為動點P的軌跡方程.

本題給出經(jīng)過定點的直線與已知圓相交，求截得弦的中點軌跡方程.著重考查了垂徑定理、兩點間

的距離公式和中點坐標公式等知識，考查了軌跡方程的求法，屬于中檔題.

19.答案：(1,+8)；

1

(-8,0)u(0,-)

解析：

本題還考查了雙曲線的標準方程，橢圓的標準方程.屬較易題.

根據(jù)曲線是雙曲線時，方程中含y2項和含/的項異號，列出不等式，求出k的范圍；要使曲線為焦點

在y軸上的橢圓，方程中產(chǎn)的分母i-k大于/分母因，且都大于o,列出不等式組，求出k的范圍.

解：曲線為雙曲線o|同(1一￡)<0,

戶(1-fc)<0或尸(1-fc)<o

Ifc>0&<0

Qk>1,即々的取值范圍是(1,+8).

曲線為焦點在y軸上的橢圓"瑞紫—

代V(1-k)或廠k<l-k

Ik>0U<0

<=>k<0或。<kV*

故答案為：(1,+8),(_8,0)u(0,).

20.答案：證明：(1)連結(jié)AC,交BD于。，連結(jié)0凡

???四邊形4BCD為矩形，二。是AC中點，

???點尸為CE的中點，??.4E〃0F,

vOFu平面BDF,AEC平面BDF,

???AE〃平面BDF.

(2)取BE中點G連結(jié)CG、PG,

???四邊形4BCD為矩形，點P為線段4E的中點，PG//AB//CD,

.,?平面PCD與平面PCDG是同一個平面，

??,四邊形4BCC為矩形，AB1BC,

???平面4BCD_L平面BCE,二AB1平面BCE,

vPG//AB,：.PGI5?ffiBCF,PG1BE,

"BC=CE,點尸為CE的中點，???CGJ.BE,

?:PGCCG=G,?.BE_L平面PCD.

解析：(1)連結(jié)AC,交BD于0,連結(jié)。F,推導(dǎo)出4E〃0F,由此能證明4E〃平面8?？?/p>

(2)取8E中點G,連結(jié)CG、PG,則PG〃AB〃CD,由AB1BC,得1平面BCE,從而PG，平面BCE,

進而PGJ.BE,再由BC=CE,點產(chǎn)為CE的中點，得CGJ.BE,由此能證明BE_L平面PCD.

本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考

查運算求解能力，是中檔題.

21.答案：解：(1)根據(jù)題意，設(shè)圓C的方程為(x+l)2+y2=M(r>。)

則由條件得2夜=2b_(哥,解得Z=4,

所求圓的方程為(x+I)2+y2=4；

(2)假設(shè)存在滿足條件的點4(m,n)(m,n不同時為零)，

設(shè)=4>0.則/”—

\〃\MA\J(%_?n)2+(y-n)2

化簡得(1—A2)(x2+y2)+2mX2x+2nA2y—A2(m2+n2)=0①

又M(x,y)滿足(％+l)2+y2=4(2)

聯(lián)立①②，消去直得2Km+1)A2—l]x+2大22y+3—A2(?n24-n2+3)=0③

由M的任意性知方程③有無窮多解，

(2mA2+2A2-2=0

???|2nA2=0,

(.3—A2(m2+M+3)=0

解得九=0,m=3,A=-f

解得A(3,0),A=1.

解析：本題考查直線與圓的方程的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是利用直線與圓的位置關(guān)系求出圓的方程，屬于

中檔題.

(1)根據(jù)題意，設(shè)圓(?的方程為(>+1)2+丫2=「20>0),由直線與圓的位置關(guān)系可得2&=

2卜_(哥,解得r的值，結(jié)合圓的標準方程即可得答案；

(2)假設(shè)存在滿足條件的點設(shè)M(x,y),則有‘屋熏一序=九變形可得化簡得(1-

2*2)(x2+y2)+2mA2x+2nA2y-A2(m2+n2)=0,結(jié)合圓的方程可得(x+l)2+y2=4,聯(lián)立兩個

式子可得2[(m+1)22—l]x+2nA.2y+3—A2(m2+n2+3)=0,由M的任意性可得該方程有無窮多

解，據(jù)此分析可得答案.

22.答案：(I)解：連接PC,EF,當(dāng)點E為BC的中點時，EF與平面P4C平行.

?.?在APBC中，E、F分別為BC、PB的中點，

???EF//PC.

又EFC平面R4C,PCu平面P4C,

EF〃平面P4C;

(II)證明：???P41平面ABCD,BEu平面/BCD,

???BE1PA,

???四邊形4BCD是矩形，

???BE1AB,

又ABCMP=A,AP,4Bu平面PAB,

BE_L平面PAB,

又4Fu平面P4B,

???AF±BE.

又R4=AB=1,且點尸是PB的中點，

???PBLAF,

又?；PBCBE=B,PB、BEu平面PBE,

AF，平面PBE,

vPEu平面PBE,

■?■AFIPE,

故無論點E在邊BC的何處，都有PE1AF;

(HI)解：當(dāng)BE=百一迎時，二面角P—CE-4的大小為45。.

過A作AG1DE于G,連接PG,

???P4平面4BCD,OEu平面4BCD,

DE1PA,

X---PA,AGu平面PAG,PACtAG=A,

DE1,平面PAG,vPGu平面PAG,

???DE1PG,

則4PG4是二面角P-DE—A的平面角，:4PG4=45°,

vPAL平面ABC。，

???4PDA就是PD與平面ABC。所成的角，即4PD2=30°,

又PA=AB=1,AD=V3AG=1，DG=V2,

設(shè)BE=x,貝!]GE=x,CE=V3—x>

在Rt△力CE中,(V2+x)2=(V3-x)2+l.

解得x=V3—&或x=y/3+&(舍去)，

故當(dāng)BE=8一迎時，二面角P-DE-4的大小為45。.

解析：本題考查線面平行的判定，線面垂直的判定及性質(zhì)，二面角等知識點，屬于中檔題.

(/)當(dāng)點E為BC的中點時，由三角形中位線定理可得EF〃PC,進而由線面平行的判定定理可得EF〃平

面P4C.

(〃)由題意可得此題是