2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 壓軸題 專項培優(yōu)練習(xí)10（含答案）

2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題專項培優(yōu)練習(xí)10LISTNUMOutlineDefault\l3已知拋物線L：y＝﹣x2＋4x＋a(a≠0)．(1)拋物線L的對稱軸為直線．(2)當(dāng)拋物線L上到x軸的距離為3的點只有兩個時，求a的取值范圍．(3)當(dāng)a＜0時，直線x＝a、x＝﹣3a與拋物線L分別交于點A、C，以線段AC為對角線作矩形ABCD，且AB⊥y軸．若拋物線L在矩形ABCD內(nèi)部(包含邊界)最高點的縱坐標(biāo)等于2，求矩形ABCD的周長．(4)點M的坐標(biāo)為(4，﹣1)，點N的坐標(biāo)為(﹣1，﹣1)，當(dāng)拋物線L與線段MN有且只有一個公共點，直接寫出a的取值范圍．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點A(﹣1，0)，B(2，0)，與y軸相交于點C.(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)若點E是第一象限的拋物線上的一個動點，當(dāng)四邊形ABEC的面積最大時，求點E的坐標(biāo)，并求出四邊形ABEC的最大面積；(3)若點M在拋物線上，且在y軸的右側(cè).⊙M與y軸相切，切點為D.以C，D，M為頂點的三角形與△AOC相似，請直接寫出點M的坐標(biāo).LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其對稱軸與x軸相交于點M． (1)求拋物線的解析式和對稱軸； (2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△PAB的周長最?。咳舸嬖?，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)連接AC，在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點N，使△NAC的面積最大？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． LISTNUMOutlineDefault\l3已知拋物線y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）與y軸相交于A點,頂點為M，直線y=eq\f(1,2)x﹣a分別與x軸、y軸相交于B，C兩點，并且與直線MA相交于N點．（1）若直線BC和拋物線有兩個不同交點，求a的取值范圍，并用a表示交點M,A的坐標(biāo)；（2）將△NAC沿著y軸翻轉(zhuǎn),若點N的對稱點P恰好落在拋物線上,AP與拋物線的對稱軸相交于點D,連接CD,求a的值及△PCD的面積；（3）在拋物線y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在點P,使得以P,A,C,N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2＋bx＋3與x軸交于點A(﹣4，0)，B(﹣1，0)兩點．(1)求拋物線的解析式；(2)在y軸左側(cè)的拋物線上有一動點D．①如圖(a)，直線y=x＋3與拋物線交于點Q、C兩點，過點D作直線DF⊥x軸，交QC于點F，請問是否存在這樣的點D，使點D到直線CQ的距離與點C到直線DF的距離之比為：1？若存在，請求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．②如圖(b)，若四邊形ODAE是以O(shè)A為對角線的平行四邊形，當(dāng)?ODAE的面積S為何值時，滿足條件的點D恰好有3個？請直接寫出此時S的值以及相應(yīng)的D點坐標(biāo)．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過經(jīng)過點A(2，0)，點B(3，3)，BC⊥x軸于點C，連接OB，等腰直角三角形DEF的斜邊EF在x軸上，點E的坐標(biāo)為(﹣4，0)，點F與原點重合．(1)求拋物線的解析式；(2)△DEF以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向移動，運動時間為t秒，當(dāng)點D落在BC邊上時停止運動，①求點D落在拋物線上時點D的坐標(biāo)；②設(shè)△DEF與△OBC的重疊部分的面積為S，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，已知拋物線y＝x2﹣x﹣2交x軸于A、B兩點，將該拋物線位于x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象W”，圖象W交y軸于點C．(1)寫出圖象W位于線段AB上方部分對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)若直線y＝﹣x＋b與圖象W有三個交點，請結(jié)合圖象，直接寫出b的值；(3)P為x軸正半軸上一動點，過點P作PM∥y軸交直線BC于點M，交圖象W于點N，是否存在這樣的點P，使△CMN與△OBC相似？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，已知直線y=﹣eq\f(3,2)x+eq\f(9,2)與x軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線y＝ax2＋3x＋c經(jīng)過B、C兩點，與x軸的另一個交點為A，點E的坐標(biāo)為(0,eq\r(3))．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)點E，F(xiàn)關(guān)于拋物線的對稱軸直線l對稱，Q點是對稱軸上一動點，在拋物線上是否存在點P，使得以E、F、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵y＝﹣x2＋4x＋a＝﹣(x﹣2)2＋4＋a，∴拋物線的對稱軸為直線x＝2，故答案為：x＝2；(2)∵拋物線開口向下，∴y＝﹣3與拋物線有兩個不同的交點，∵拋物線L上到x軸的距離為3的點只有兩個，∴﹣3＜4＋a＜3，即﹣7＜a＜﹣1；(3)由題意可知A(a，﹣a2＋5a)，B(﹣3a，﹣a2＋5a)，C(﹣3a，﹣9a2﹣11a)，D(a，﹣9a2﹣11a)，由題意可得﹣9a2﹣11a＝2，解得a＝﹣1或a＝﹣eq\f(2,9)，當(dāng)a＝﹣eq\f(2,9)時，AB＝﹣4a＝eq\f(8,9)，AD＝﹣9a2﹣11a＋a2﹣5a＝﹣8a2﹣16a＝，∴矩形ABCD的周長＝2×(＋)＝；當(dāng)a＝﹣1時，AB＝4，AD＝8，∴矩形ABCD的周長＝2×(4＋8)＝24；綜上所述：矩形ABCD的周長為24或；(4)當(dāng)a＞0時，界點(﹣1，﹣5＋a)在點N處或下方滿足條件，此時﹣5＋a≤﹣1，所以0＜a≤4當(dāng)a＜0時，若界點(4，a)在x軸下方，MN上方，且界點(﹣1，﹣5＋a)在點N處或其下方滿足條件，解得﹣1＜a＜0，若頂點(2，4＋a)與MN相切，滿足條件，此時4＋a＝﹣1，解得a＝﹣5．綜上，﹣1＜a≤4且a≠0或a＝﹣5．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸相交于點A(﹣1，0)，B(2，0)，∴，∴，∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+x+2.(2)如圖1.∵二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+x+2與y軸相交于點C，∴C(0，2).設(shè)E(a，b)，且a＞0，b＞0.∵A(﹣1，0)，B(2，0)，∴OA=1，OB=2，OC=2.則S四邊形ABEC=eq\f(1,2)×1×2+eq\f(1,2)(2+b)×a+eq\f(1,2)(2﹣a)×b=1+a+b，∵點E(a，b)是第一象限的拋物線上的一個動點，∴b=﹣a2+a+2，∴S四邊形ABEC=﹣a2+2a+3=﹣(a﹣1)2+4，當(dāng)a=1時，b=2，∴當(dāng)四邊形ABEC的面積最大時，點E的坐標(biāo)為(1，2)，且四邊形ABEC的最大面積為4.(3)點M的坐標(biāo)為(eq\f(1,2)，eq\f(9,4))，(eq\f(3,2)，eq\f(5,4))，(3，﹣4)，理由如下：如圖2設(shè)M(m，n)，且m＞0.∵點M在二次函數(shù)的圖象上，∴n=﹣m2+m+2.∵⊙M與y軸相切，切點為D，∴∠MDC=90°.∵以C，D，M為頂點的三角形與△AOC相似，∴==，或==2.①當(dāng)n＞2時，=eq\f(1,2)或=2，解得m1=0(舍去)，m2=eq\f(1,2)，或m3=0(舍去)，m4=﹣1(舍去).②同理可得，當(dāng)n＜2時，m1=0(舍去)，m2=eq\f(3,2)，或m3=0(舍去)，m4=3.綜上，滿足條件的點M的坐標(biāo)為(eq\f(1,2)，eq\f(9,4))，(eq\f(3,2)，eq\f(5,4))，(3，﹣4).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣1)(x﹣5)，把點A(0，4)代入上式得：a=0.8，∴y=0.8(x﹣1)(x﹣5)=0.8x2﹣4.8x+4=0.8(x﹣3)2﹣4.8，∴拋物線的對稱軸是：x=3；(2)P點坐標(biāo)為(3，1.6)．理由如下：∵點A(0，4)，拋物線的對稱軸是x=3，∴點A關(guān)于對稱軸的對稱點A′的坐標(biāo)為(6，4)如圖1，連接BA′交對稱軸于點P，連接AP，此時△PAB的周長最?。O(shè)直線BA′的解析式為y=kx+b，把A′(6，4)，B(1，0)代入得6k+b=4,k+b=0，解得k=0.8,b=﹣0.8，∴y=0.8x﹣0.8，∵點P的橫坐標(biāo)為3，∴y=0.8×3﹣0.8=1.6，∴P(3，1.6)．(3)在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．設(shè)N點的橫坐標(biāo)為t，此時點N(t，0.8t2﹣4.8t+4)(0＜t＜5)，如圖2，過點N作NG∥y軸交AC于G；作AD⊥NG于D，由點A(0，4)和點C(5，0)可求出直線AC的解析式為：y=﹣0.8x+4，把x=t代入得：y=﹣0.8t+4，則G(t，﹣eq\f(4,5)t+4)，此時：NG=﹣eq\f(4,5)t+4﹣(eq\f(4,5)t2﹣4.8t+4)=﹣eq\f(4,5)t2+4t，∵AD+CF=CO=5，∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=eq\f(1,2)AM×NG+eq\f(1,2)NG×CF=eq\f(1,2)NG×OC=eq\f(1,2)×(﹣eq\f(4,5)t2+4t)×5=﹣2t2+10t=﹣2(t﹣2.5)2+12.5，∴當(dāng)t=2.5時，△CAN面積的最大值為12.5，由t=2.5，得：y=0.8t2﹣4.8t+4=﹣3，∴N(2.5，﹣3)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：（1）由題意得，，整理得2x2+5x﹣4a=0．∵△=25+32a＞0，解得a＞﹣．∵a≠0，∴a＞﹣且a≠0．令x=0，得y=a，∴A（0，a）．由y=﹣（x+1）2+1+a得，M（﹣1，1+a）．（2）設(shè)直線MA的解析式為y=kx+b（k≠0），∵A（0，a），M（﹣1，1+a），∴，解得，∴直線MA的解析式為y=﹣x+a，聯(lián)立得，，解得，∴N（eq\f(4,3)a，﹣eq\f(1,3)a）．∵點P是點N關(guān)于y軸的對稱點，∴P（﹣eq\f(4,3)a，﹣eq\f(1,3)a）．代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣eq\f(1,3)a=﹣eq\f(16,9)a2+eq\f(8,3)a+a，解得a=eq\f(9,4)或a=0（舍去）．∴A（0，eq\f(9,4)），C（0，﹣eq\f(9,4)），M（﹣1，eq\f(13,4)），|AC|=eq\f(9,2)，∴S△PCD=S△PAC﹣S△ADC=eq\f(1,2)|AC|?|xp|﹣eq\f(1,2)|AC|?|x0|=eq\f(1,2)?eq\f(9,2)?（3﹣1）=eq\f(9,2)；（3）①當(dāng)點P在y軸左側(cè)時，∵四邊形APCN是平行四邊形，∴AC與PN互相平分，N（eq\f(4,3)a，﹣eq\f(1,3)a），∴P（﹣eq\f(4,3)a，eq\f(1,3)a）；代入y=﹣x2﹣2x+a得，eq\f(1,3)a=﹣eq\f(16,9)a2+eq\f(8,3)a+a，解得a=eq\f(15,8)，∴P1（﹣eq\f(5,2)，eq\f(5,8)）．②當(dāng)點P在y軸右側(cè)時，∵四邊形ACPN是平行四邊形，∴NP∥AC且NP=AC，∵N（eq\f(4,3)a，﹣eq\f(1,3)a），A（0，a），C（0，﹣a），∴P（eq\f(4,3)a，﹣eq\f(7,3)a）．代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣eq\f(7,3)a=﹣eq\f(16,9)a2﹣eq\f(8,3)a+a，解得a=eq\f(3,8)，∴P2（eq\f(1,2)，﹣eq\f(7,8)）．綜上所述，當(dāng)點P1（﹣eq\f(5,2)，eq\f(5,8)）和P2（eq\f(1,2)，﹣eq\f(7,8)）時，A、C、P、N能構(gòu)成平行四邊形．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)將點A(﹣4，0)、B(﹣1，0)代入拋物線y=ax2＋bx＋3中，得：，解得：．∴拋物線的解析式為y=eq\f(3,4)x2＋eq\f(15,4)x＋3．(2)①假設(shè)存在，設(shè)點D的坐標(biāo)為(m，eq\f(3,4)m2＋eq\f(15,4)m＋3)(m＜0)．聯(lián)立，解得：或．∴點C的坐標(biāo)為(0，3)．直線CQ的解析式為y=x＋3可變形為x﹣y＋3=0，直線DF的解析式為x=m，點D到直線CQ的距離d1==；點C到直線DF的距離d2=|0﹣m|=﹣m．∵d1：d2=eq\r(2)：1，∴=﹣eq\r(2)m，解得：m1=﹣6eq\f(1,3)，m2=0(舍去)，m3=﹣1，即點D的坐標(biāo)為(﹣6eq\f(1,3)，9eq\f(1,3))或(﹣1，0)．∴存在這樣的點D，使點D到直線CQ的距離與點C到直線DF的距離之比為eq\r(2)：1，此時點D的坐標(biāo)為(﹣6eq\f(1,3)，9eq\f(1,3))或(﹣1，0)．②∵拋物線的解析式為y=eq\f(3,4)x2＋eq\f(15,4)x＋3=eq\f(3,4)(x＋eq\f(5,2))2﹣，∴該拋物線的頂點坐標(biāo)為(﹣eq\f(5,2)，﹣)．設(shè)點D到x軸的距離為h，又∵點C的坐標(biāo)為(0，3)，＜3，∴當(dāng)0＜h＜時，滿足題意的點D有4個；當(dāng)h=時，滿足題意的點D有3個；當(dāng)＜h＜3時，滿足題意的點D有2個；當(dāng)h≥3時，滿足題意的點D有1個．∴h=，此時S=AO?h=4×=．(i)將y=﹣代入y==eq\f(3,4)x2＋eq\f(15,4)x＋3中得：eq\f(3,4)x2＋eq\f(15,4)x＋3=﹣，解得：x=﹣eq\f(5,2)，此時點D的坐標(biāo)為(﹣eq\f(5,2)，﹣)；(ii)將y=代入y=eq\f(3,4)x2＋eq\f(15,4)x＋3中得：eq\f(3,4)x2＋eq\f(15,4)x＋3=，解得：x1=﹣，x2=﹣，此時點D的坐標(biāo)為(﹣，)或(﹣，)．綜上可知：當(dāng)?ODAE的面積S為時，滿足條件的點D恰好有3個，此時點D的坐標(biāo)為(﹣eq\f(5,2)，﹣)、(﹣，)和(﹣，)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)根據(jù)題意得：，解得a=1，b=﹣2，故拋物線解析式是y=x2﹣2x；(2)①∵點E的坐標(biāo)為(﹣4，0)，∴EF=4，∵△DEF是等腰直角三角形，∴點D的縱坐標(biāo)為2，當(dāng)點D在拋物線上時：x2﹣2x=2，解得：x1=1+eq\r(3)，x2=1﹣eq\r(3)，∴點D落在拋物線上時點D的坐標(biāo)為：(1+eq\r(3)，2)或(1﹣eq\r(3)，2)；②有3種情況：(Ⅰ)當(dāng)0≤t≤3時，△DEF與△OBC重疊部分為等腰直角三角形，如圖1：S=eq\f(1,4)t2；(Ⅱ)當(dāng)3＜t≤4時，△DEF與△OBC重疊部分是四邊形，如圖2：S=﹣eq\f(1,4)t2+3t﹣eq\f(9,2)；(Ⅲ)當(dāng)4＜t≤5時，△DEF與△OBC重疊部分是四邊形，如圖3：S=﹣eq\f(1,2)t2+3t﹣eq\f(1,2)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)當(dāng)x＝0時，y＝﹣2，∴C(0，2)，當(dāng)y＝0時，x2﹣x﹣2＝0，(x﹣2)(x＋1)＝0，∴x1＝2，x2＝﹣1，∴A(﹣1，0)，B(2，0)，設(shè)圖象W的解析式為：y＝a(x＋1)(x﹣2)，把C(0，2)代入得：﹣2a＝2，∴a＝﹣1，∴y＝﹣(x＋1)(x﹣2)＝﹣x2＋x＋2，∴圖象W位于線段AB上方部分對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣x2＋x＋2(﹣1＜x＜2)；(2)由圖象得直線y＝﹣x＋b與圖象W有三個交點時，存在兩種情況：①當(dāng)直線y＝﹣x＋b過點C時，與圖象W有三個交點，此時b＝2；②當(dāng)直線y＝﹣x＋b與圖象W位于線段AB上方部分對應(yīng)的函數(shù)圖象相切時，如圖1，﹣x＋b＝﹣x2＋x＋2，x2﹣2x＋b﹣2＝0，Δ＝(﹣2)2﹣4×1×(b﹣2)＝0，∴b＝3，綜上，b的值是2或3；(3)∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，如圖2，CN∥OB，△CNM∽△BOC，∵PN∥y軸，∴P(1，0)；如圖3，CN∥OB，△CNM∽△BOC，當(dāng)y＝2時，x2﹣x﹣2＝2，x2﹣x﹣4＝0，∴x1＝，x2＝，∴P(，0)；如圖4，當(dāng)∠MCN＝90°時，△OBC∽△CMN，∴CN的解析式為：y＝x＋2，∴x＋2＝x2﹣x﹣2，∴x1＝1＋eq\r(5)