2024年江蘇省蘇州市姑蘇區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024年江蘇省蘇州市姑蘇區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．（3分）2024的絕對(duì)值是（）A．﹣2024 B．2024 C． D．2．（3分）在第十四屆全國(guó)人大二次會(huì)議審議的政府工作報(bào)告中，國(guó)家亮出了2023年中國(guó)經(jīng)濟(jì)“成績(jī)單”．報(bào)告中顯示，2023年，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值超過(guò)1260000億元，增長(zhǎng)5.2%，其中數(shù)據(jù)1260000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A．0.126×107 B．1.26×106 C．12.6×105 D．126×1043．（3分）學(xué)校男子籃球隊(duì)的12位隊(duì)員的身高如表：身高（單位：cm）176178180181人數(shù)1542這12位隊(duì)員身高的中位數(shù)是（）A．176cm B．178cm C．179cm D．180cm4．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)?a＝2a B．（a+1）2＝a2+1 C．（2a）3＝6a3 D．a(chǎn)2?2a3＝2a55．（3分）不等式2x﹣3≥1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．6．（3分）如圖，直線AB∥CD，等腰直角三角尺（△EFG），邊EG與直線CD交于點(diǎn)H．若FH平分∠EFG，則∠AEH的度數(shù)為（）A．60° B．67.5° C．70° D．75°7．（3分）算經(jīng)之首《九章算術(shù)》中有這樣一題：“今有邑方不知大小，各中開(kāi)門(mén)，出北門(mén)二十步有木，折而西行一千七百七十五步見(jiàn)木．問(wèn)邑方幾何？”其大意為“今有正方形小城，不知其大小，出南城門(mén)14步，轉(zhuǎn)而西行1775步恰好能看見(jiàn)那棵樹(shù)．問(wèn)正方形小城的邊長(zhǎng)是多少？”若設(shè)正方形小城的邊長(zhǎng)為x步（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，⊙O與邊AD、對(duì)角線AC均相切，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線，則切線長(zhǎng)BP的最小值為（）A．6 B．7 C． D．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）9．（3分）若x＝2y（y≠0），則＝．10．（3分）因式分解：x2﹣9＝．11．（3分）方程組的解為．12．（3分）定義：底邊和底邊上的高相等的等腰三角形稱為“和諧”三角形．若“和諧”三角形的面積為2，則其腰長(zhǎng)為．13．（3分）如圖，圓形轉(zhuǎn)盤(pán)等分為5個(gè)扇形，5個(gè)扇形分別標(biāo)有數(shù)字“1”“2”“3”“5”“8”，指針指向奇數(shù)的概率為．14．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，扇形OBE的圓心O在邊AB上，點(diǎn)E在邊AD上，，切點(diǎn)為F，則的長(zhǎng)度為（結(jié)果保留π）．15．（3分）如圖，一次函數(shù)y＝x+3與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)．16．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，BD＝AD，若，則tan∠BCE的值為．三、解答題（本大題共11小題，共82分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（5分）計(jì)算：．18．（5分）解分式方程：．19．（6分）先化簡(jiǎn)、再求值：，其中．20．（6分）如圖，分別以△ABC的頂點(diǎn)B、C為圓心，邊AC、AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，連接BD、CD．（1）求證：△DCB≌△ABC；（2）若∠A＝70°，求∠ACD的度數(shù)．21．（6分）滄浪亭（C）、獅子林（S）、拙政園（Z）（L）被譽(yù)為蘇州四大園林．周末小明一家準(zhǔn)備到蘇州四大園林游玩．（1）若小明一家隨機(jī)選擇其中一個(gè)園林游玩，恰好選中獅子林（S）的概率是；（2）若小明一家隨機(jī)選擇其中兩個(gè)不同園林游玩，求恰好選中拙政園（Z）和留園（L）（用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求解）．22．（8分）為推進(jìn)“五育并舉”，某校課外活動(dòng)小組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，對(duì)本校八年級(jí)學(xué)生每周家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間（單位：h），并將所得數(shù)據(jù)整理后繪制出如下扇形統(tǒng)計(jì)圖．其中每周家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間在1～1.5h范圍內(nèi)的人數(shù)為4人（每組只含最小值，不含最大值）．（1）該課外活動(dòng)小組抽取的樣本容量是；（2）樣本中，每周家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間在哪個(gè)范圍內(nèi)的人數(shù)最多？這個(gè)范圍的人數(shù)是多少？（3）設(shè)該校有900名八年級(jí)學(xué)生，合理的每周家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間為不少于2h，求該校八年級(jí)生每周家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間不少于2h的人數(shù)．23．（8分）如圖，四邊形OABC為菱形，且點(diǎn)A在x軸正半軸上（3，4），反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1）求k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）判斷點(diǎn)D是否為邊AB的中點(diǎn)，并說(shuō)明理由．24．（8分）如圖，某架線構(gòu)件設(shè)計(jì)充分運(yùn)用了數(shù)學(xué)原理，主架構(gòu)利用了“三角形的穩(wěn)定性”，其中AB＝6m，AD＝2m，由長(zhǎng)度均為1.5m的連接桿EF、CG、架線桿FG組成，連接點(diǎn)E、F、G可在一定范圍內(nèi)移動(dòng)，且∠FEC的度數(shù)不超過(guò)90°．（1）求證：FG∥MN；（2）若架線桿FG到地面的距離為5m，求連接點(diǎn)E到點(diǎn)A的距離（結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈2.236）．25．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，與過(guò)點(diǎn)B的⊙O的切線交于點(diǎn)D，與⊙O交于點(diǎn)E（1）求證：點(diǎn)E為線段DF中點(diǎn)；（2）若，⊙O的半徑為，求弦AC的長(zhǎng)．26．（10分）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（其中m＞1）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），連接AC、BC，點(diǎn)D為△ABC的外心．（1）填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∠ABC＝°；（2）記△ACD的面積為S1，△ABD的面積為S2，試探究S1﹣S2是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；（3）若在第一象限內(nèi)的拋物線上存在一點(diǎn)E，使得以B、D、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則m＝．27．（10分）（1）如圖①，△ABC中，AB＝AC＝10，D為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)A繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使得∠ADA′＝∠B，過(guò)點(diǎn)C作AD的平行線，連接AE．①若BD＝2，求AD的長(zhǎng)度；②求AD?CE的最大值．（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，將點(diǎn)A繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使得∠ADA′＝∠B，過(guò)點(diǎn)C作AD的平行線，連接AE．記△ABD的面積為S1，△ADE的面積為S2，△CDE的面積為S3，若，求sin∠ADB的值．

2024年江蘇省蘇州市姑蘇區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．（3分）2024的絕對(duì)值是（）A．﹣2024 B．2024 C． D．【解答】解：由題意得，|2024|＝2024．故選：B．2．（3分）在第十四屆全國(guó)人大二次會(huì)議審議的政府工作報(bào)告中，國(guó)家亮出了2023年中國(guó)經(jīng)濟(jì)“成績(jī)單”．報(bào)告中顯示，2023年，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值超過(guò)1260000億元，增長(zhǎng)5.2%，其中數(shù)據(jù)1260000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A．0.126×107 B．1.26×106 C．12.6×105 D．126×104【解答】解：1260000＝1.26×106．故選：B．3．（3分）學(xué)校男子籃球隊(duì)的12位隊(duì)員的身高如表：身高（單位：cm）176178180181人數(shù)1542這12位隊(duì)員身高的中位數(shù)是（）A．176cm B．178cm C．179cm D．180cm【解答】解：12÷2＝6，第六，180cm，∴12位隊(duì)員身高的中位數(shù)是＝179（cm），故選：C．4．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)?a＝2a B．（a+1）2＝a2+1 C．（2a）3＝6a3 D．a(chǎn)2?2a3＝2a5【解答】解：A．a(chǎn)?a＝a2，故本選項(xiàng)不符合題意；B．（a+1）4＝a2+1+3a，故本選項(xiàng)不符合題意；C．（2a）3＝2a3，故本選項(xiàng)不符合題意；D．a(chǎn)2?7a3＝2a7，故本選項(xiàng)符合題意．故選D．5．（3分）不等式2x﹣3≥1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：移項(xiàng)得：2x≥1+8，合并同類項(xiàng)得：2x≥4，系數(shù)化成3得：x≥2，將解集在數(shù)軸上表示為：，故選：B．6．（3分）如圖，直線AB∥CD，等腰直角三角尺（△EFG），邊EG與直線CD交于點(diǎn)H．若FH平分∠EFG，則∠AEH的度數(shù)為（）A．60° B．67.5° C．70° D．75°【解答】解：∵△EFG是等腰直角三角形，∠G＝90°，∴∠EFG＝∠FEG＝45°，∵FH平分∠EFG，∴∠EFH＝∠EFG＝22.2°，∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠EFH＝22.5°，∴∠AEH＝∠AEF+∠FEH＝67.5°，故選：B．7．（3分）算經(jīng)之首《九章算術(shù)》中有這樣一題：“今有邑方不知大小，各中開(kāi)門(mén)，出北門(mén)二十步有木，折而西行一千七百七十五步見(jiàn)木．問(wèn)邑方幾何？”其大意為“今有正方形小城，不知其大小，出南城門(mén)14步，轉(zhuǎn)而西行1775步恰好能看見(jiàn)那棵樹(shù)．問(wèn)正方形小城的邊長(zhǎng)是多少？”若設(shè)正方形小城的邊長(zhǎng)為x步（）A． B． C． D．【解答】解：設(shè)小城的邊長(zhǎng)為x步，根據(jù)題意，得，故選：D．8．（3分）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，⊙O與邊AD、對(duì)角線AC均相切，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線，則切線長(zhǎng)BP的最小值為（）A．6 B．7 C． D．【解答】解：設(shè)⊙O與AD、AC分別相切于點(diǎn)G、H、OH、OB，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于F，過(guò)點(diǎn)O作OK⊥AB于K，則∠AGO＝∠AHO＝∠CFE＝∠AFE＝∠BKO＝∠AKO＝90°，OG＝OH＝OP，∵OG⊥AD，OH⊥AC，∴AO平分∠CAD，∴∠EAD＝∠EAF，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝6，∴AC＝＝＝10，∵AO平分∠CAD，ED⊥AD，∴EF＝ED，∵AE＝AE，∴Rt△AED≌Rt△AEF（HL），∴AF＝AD＝8，∴CF＝AC﹣AF＝10﹣6＝4，設(shè)ED＝EF＝a，則CE＝7﹣a，∵∠CFE＝∠CDA＝90°，∠ECF＝∠ACD，∴△CEF∽△CAD，∴＝＝，即＝，∴a＝3，∴DE＝EF＝3，CE＝5，∴AE＝＝＝3，設(shè)⊙O的半徑為r，則OG＝OH＝OP＝r，∵∠AGO＝∠ADE＝90°，∠OAG＝∠EAD，∴△AOG∽△AED，∴＝，即＝，∴AG＝2r，∵∠AGO＝∠GAK＝∠AKO＝90°，∴四邊形AGOK是矩形，∴OK＝AG＝5r，AK＝OG＝r，∴BK＝AB﹣AK＝8﹣r，∴OB2＝OK3+BK2＝（2r）5+（8﹣r）2＝7r2﹣16r+64，∵BP是⊙O的切線，∴∠BPO＝90°，∴BP＝＝＝2，∴當(dāng)r＝2時(shí)，BP最小值＝2＝8；故選：D．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）9．（3分）若x＝2y（y≠0），則＝2．【解答】解：∵x＝2y，∴＝2．故答案為：8．10．（3分）因式分解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），故答案為：（x+4）（x﹣3）．11．（3分）方程組的解為．【解答】解：，①﹣②得，3y＝3，解得y＝5，把y＝1代入①得，解得x＝2，故此方程組的解為．故答案為：．12．（3分）定義：底邊和底邊上的高相等的等腰三角形稱為“和諧”三角形．若“和諧”三角形的面積為2，則其腰長(zhǎng)為．【解答】解：如圖所示：∵AB＝AC，AD⊥BC，三角形的面積為2，∴AD＝BC＝2，∴BD＝5，∴AB＝．故答案為：．13．（3分）如圖，圓形轉(zhuǎn)盤(pán)等分為5個(gè)扇形，5個(gè)扇形分別標(biāo)有數(shù)字“1”“2”“3”“5”“8”，指針指向奇數(shù)的概率為．【解答】解：∵1，2，4，5，8中，2，3，∴任意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)1次，指針指向奇數(shù)的概率為：．故答案為：．14．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，扇形OBE的圓心O在邊AB上，點(diǎn)E在邊AD上，，切點(diǎn)為F，則的長(zhǎng)度為（結(jié)果保留π）．【解答】解：連接OF，則OE＝OF＝OB，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝3，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝3，∵⊙O與邊CD相切，切點(diǎn)為F，∴DC⊥OF，∴∠OFC＝90°，∴四邊形OBCF是正方形，∴OE＝OF＝OB＝BC＝3，∴OA＝AB﹣OB＝3﹣2＝2，∵cos∠AOE＝＝，∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，∴＝＝，故答案為：．15．（3分）如圖，一次函數(shù)y＝x+3與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)5．【解答】解：聯(lián)立方程組得，解得，∴A（，）∴AO＝＝5．故答案為：4．16．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，BD＝AD，若，則tan∠BCE的值為．【解答】解：過(guò)E作EH⊥CB交CB延長(zhǎng)線于H，∵BD＝AD，點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)，∴DE⊥AB，∵sinA＝＝，∴令DE＝6x，則AD＝5x，∴AE＝＝3x，∴BE＝AE＝3x，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝2x，BC∥AD，∴∠EBH＝∠A，∴sin∠EBH＝＝，∵BE＝5x，∴EH＝x，∴BH＝＝x，∴CH＝BC+BH＝x，∴tan∠BCE＝＝．故答案為：．三、解答題（本大題共11小題，共82分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（5分）計(jì)算：．【解答】解：＝2﹣﹣4＝．18．（5分）解分式方程：．【解答】解：原方程去分母得：1﹣2x＝3（x+3），整理得：1﹣4x＝5x+15，解得：x＝﹣2，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣3時(shí)，（x+3）（1﹣6x）≠0，故原方程的解為x＝﹣2．19．（6分）先化簡(jiǎn)、再求值：，其中．【解答】解：＝＝＝，當(dāng)．原式＝＝．20．（6分）如圖，分別以△ABC的頂點(diǎn)B、C為圓心，邊AC、AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，連接BD、CD．（1）求證：△DCB≌△ABC；（2）若∠A＝70°，求∠ACD的度數(shù)．【解答】（1）證明：由作圖得DB＝AC，DC＝AB，在△DCB和△ABC中，，∴△DCB≌△ABC（SSS）．（2）解：∵DB＝AC，DC＝AB，∴四邊形ABDC是平行四邊形，∴DC∥AB，∵∠A＝70°，∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°，∴∠ACD的度數(shù)是110°．21．（6分）滄浪亭（C）、獅子林（S）、拙政園（Z）（L）被譽(yù)為蘇州四大園林．周末小明一家準(zhǔn)備到蘇州四大園林游玩．（1）若小明一家隨機(jī)選擇其中一個(gè)園林游玩，恰好選中獅子林（S）的概率是；（2）若小明一家隨機(jī)選擇其中兩個(gè)不同園林游玩，求恰好選中拙政園（Z）和留園（L）（用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求解）．【解答】解：（1）由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，∴恰好選中獅子林（S）的概率是．故答案為：．（2）列表如下：CSZLC（C，S）（C，Z）（C，L）S（S，C）（S，Z）（S，L）Z（Z，C）（Z，S）（Z，L）L（L，C）（L，S）（L，Z）共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好選中拙政園（Z）和留園（L）的結(jié)果有：（Z，（L，共2種，∴恰好選中拙政園（Z）和留園（L）的概率為＝．22．（8分）為推進(jìn)“五育并舉”，某校課外活動(dòng)小組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，對(duì)本校八年級(jí)學(xué)生每周家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間（單位：h），并將所得數(shù)據(jù)整理后繪制出如下扇形統(tǒng)計(jì)圖．其中每周家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間在1～1.5h范圍內(nèi)的人數(shù)為4人（每組只含最小值，不含最大值）．（1）該課外活動(dòng)小組抽取的樣本容量是50；（2）樣本中，每周家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間在哪個(gè)范圍內(nèi)的人數(shù)最多？這個(gè)范圍的人數(shù)是多少？（3）設(shè)該校有900名八年級(jí)學(xué)生，合理的每周家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間為不少于2h，求該校八年級(jí)生每周家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間不少于2h的人數(shù)．【解答】解：（1）樣本容量為：4÷8%＝50，故答案為：50；（2）由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知睡眠時(shí)間在6～2.5h的人數(shù)最多，這個(gè)范圍內(nèi)的人數(shù)為50×28%＝14（人）；（3）∵每周家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間為不少于7h的所占比例為：28%+24%+12%＝64%，∴該校八年級(jí)生每周家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間不少于2h的人數(shù)有900×64%＝576（人）．23．（8分）如圖，四邊形OABC為菱形，且點(diǎn)A在x軸正半軸上（3，4），反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1）求k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）判斷點(diǎn)D是否為邊AB的中點(diǎn)，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，∴k＝12，OC＝5，∴B（8，3），0），（2）由（1）可知，反比例函數(shù)解析式為：y＝，∵A（5，5），4），∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，4），在反比例函數(shù)y＝中，當(dāng)x＝時(shí)＝≠7，∴點(diǎn)D不是邊AB的中點(diǎn)，24．（8分）如圖，某架線構(gòu)件設(shè)計(jì)充分運(yùn)用了數(shù)學(xué)原理，主架構(gòu)利用了“三角形的穩(wěn)定性”，其中AB＝6m，AD＝2m，由長(zhǎng)度均為1.5m的連接桿EF、CG、架線桿FG組成，連接點(diǎn)E、F、G可在一定范圍內(nèi)移動(dòng)，且∠FEC的度數(shù)不超過(guò)90°．（1）求證：FG∥MN；（2）若架線桿FG到地面的距離為5m，求連接點(diǎn)E到點(diǎn)A的距離（結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈2.236）．【解答】證明：延長(zhǎng)GF交AD于點(diǎn)Q，過(guò)F作FP⊥AC．由題意知：MN⊥AB、AB⊥AC．∴MN∥AC，∠A＝∠ABN＝90°．（1）∵EF＝CG＝1.5m，F(xiàn)G＝EC，∴四邊形CEFG是平行四邊形．∴EC∥FG，∵M(jìn)N∥AC，∴FG∥MN；（2）解：∵AB⊥AC，F(xiàn)P⊥AC，∴∠A＝∠AQF＝∠APF＝90°．∴四邊形AQFP是矩形．∴AP＝QF，AQ＝PF．在Rt△ACD中，∵AD＝4m，CD＝4m．∴∠ADC＝60°，∠ACD＝30°．∵FG到地面的距離為5m，即BQ＝8m，∴AQ＝PF＝1m．DQ＝1m．在Rt△DQF中，∵tan∠ADC＝tan60°＝＝，cos60°＝cos∠ADC＝＝，∴DF＝6m，F(xiàn)Q＝AP＝．在Rt△PEF中，PE＝＝＝≈1.118（m）．∴AE＝AP﹣PE≈2.732﹣1.118＝0.614≈2.61（m）答：點(diǎn)E到點(diǎn)A的距離為0.61m．25．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，與過(guò)點(diǎn)B的⊙O的切線交于點(diǎn)D，與⊙O交于點(diǎn)E（1）求證：點(diǎn)E為線段DF中點(diǎn)；（2）若，⊙O的半徑為，求弦AC的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接BE，∵AB為⊙O的直徑，BD與⊙O相切于點(diǎn)B，∴∠C＝∠AEB＝90°，BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴∠D+∠BAD＝90°，∠AFC+∠CAD＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠D＝∠AFC＝∠BFD，∴BF＝BD，∵BE⊥DF，∴DE是等腰三角形BDF的底邊DF上的中線，∴點(diǎn)E為線段DF的中點(diǎn)．（2）解：∵＝cos∠D＝，∴AD＝7BD，∵⊙O的半徑為3，AB為⊙O的直徑，∴AB＝＝＝2，∴BF＝BD＝3，∵∠D＝∠AFC，∴＝tan∠AFC＝tan∠D＝＝，∴AC＝2CF，∵AC8+BC2＝AB2，且BC＝CF+8，∴AC2+BC2＝AB6，∴（2CF）3+（CF+3）2＝（5）2，解得CF＝或CF＝﹣3（不符合題意，∴AC＝6×＝，∴弦AC的長(zhǎng)是．26．（10分）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（其中m＞1）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），連接AC、BC，點(diǎn)D為△ABC的外心．（1）填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），∠ABC＝45°；（2）記△ACD的面積為S1，△ABD的面積為S2，試探究S1﹣S2是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；（3）若在第一象限內(nèi)的拋物線上存在一點(diǎn)E，使得以B、D、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則m＝．【解答】解：（1）∵0＝﹣x2+（m﹣4）x+m，∴x1＝﹣1，x6＝m，∴點(diǎn)A（﹣1，0），7），∴OB＝m，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝m，∴點(diǎn)C（0，m），∴OB＝OC＝m，∴∠ABC＝∠OCB＝45°，故答案為（﹣6，0）；（2）S1﹣S6＝為定值∵點(diǎn)D為△ABC的外心，∠ABC＝45°，則∠ACD＝90°，則AD＝CD＝BD，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線交過(guò)點(diǎn)C和x軸的平行線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)D（x，y），則CM＝x，DN＝y(tǒng)，DM＝m﹣y，∵∠CDM+∠ADN＝90°，∠ADN+∠DAN＝90°，∴∠ADM＝∠DAN，∵∠AND＝∠DMC＝90°，DA＝DC，∴△AND≌△DMC（AA