二次函數(shù)綜合題2021年一模（解析版）

二次函數(shù)綜合題2021年一模1．某電子科技公司研發(fā)生產(chǎn)一種兒童智力玩具，每件成本為65元，零售商到公司一次性批發(fā)x件時，批發(fā)單價為y元，y與x之間滿足如圖所示的函數(shù)關系，其中批發(fā)件數(shù)x為10的正整數(shù)倍．（1）當時，求y與x的函數(shù)關系式．（2）某零售商一次性批發(fā)180件，需要支付多少元？（3）零售商廠一次性批發(fā)件，該公司的利潤為w元，問：x為何值時，w最大？最大值是多少？【答案】（1）；（2）16560元；（3），w的值最大，最大值為5250元．【分析】（1）設y與x的函數(shù)關系式為，根據(jù)圖象利用待定系數(shù)法求解析式即可．（2）根據(jù)（1）求出此時的批發(fā)單價，再乘以批發(fā)數(shù)量即可．（3）分類討論①當時和②當時，結合利潤=銷售量×（售價-成本）列出w與x的函數(shù)關系即可得出答案．【詳解】（1）當時，設y與x的函數(shù)關系式為，根據(jù)圖象可知該一次函數(shù)過點(100，100)和點(300，80)．∴，解得：．故當時，y與x的函數(shù)關系式為．（2）根據(jù)題意可知一次性批發(fā)180件時，批發(fā)單價為元．故共需支付元．（3）①當時，根據(jù)題意可列等式：，∵x為10的整數(shù)倍．∴當x取220或230時，w有最大值，且最大值為元．②當時，可列等式：，即當x=350時，w有最大值，且最大值為元，綜上，當x=350時，w最大，且為5250．【點睛】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的實際應用．掌握利用待定系數(shù)法求解析式以及理解題意利用利潤=銷售量×（售價-成本）列出w與x的函數(shù)關系式是解答本題的關鍵．2．長豐草莓已經(jīng)到了收獲季節(jié)，已知草莓的成本價為10元/千克，投入市場銷售時，調查市場行情，發(fā)現(xiàn)該草莓銷售不會虧本，且每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的函數(shù)關系如圖所示．（1）求y與x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；（2）若產(chǎn)量足夠，當該品種的草莓定價為多少時，每天銷售獲得的利潤最大？最大利潤是多少？（3）由于種植不當，某草莓種植戶的一個大棚今年共采摘草莓1200千克，該品種草莓的保質期為15天，請問如何定價該農(nóng)戶可獲得最大利潤，并求出該批全部售出的最大利潤．【答案】（1）y＝﹣10x+300，10≤x≤30；（2）該品種的草莓定價為20元/千克時，每天銷售獲得的利潤最大，最大利潤為1000元；（3）定銷售價為22元時，能獲得最大利潤14400元【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解可得；（2）根據(jù)“總利潤＝單件利潤×銷售量”列出函數(shù)解析式，并配方成頂點式即可得出最大值；（3）求出每天銷售獲得的利潤最大時的銷售量，可得在保質期內能銷售完這批草莓，可得如何定價，根據(jù)定價可得最大利潤．【詳解】解：（1）設y與x的函數(shù)關系式為y＝kx+b，將（10，200）、（15，150）代入，得：，解得：，∴y與x的函數(shù)關系式為y＝﹣10x+300，由﹣10x+300≥0得x≤30，所以x的取值范圍為10≤x≤30；（2）設每天銷售獲得的利潤為w，則w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣10x+300）＝﹣10（x﹣20）2+1000，∵10≤x≤30，a＝﹣10＜0，∴當x＝20時，w取得最大值，最大值為1000；答：該品種的草莓定價為20元/千克時，每天銷售獲得的利潤最大，最大利潤為1000元；（3）由（2）知，當獲得最大利潤時，定價為20元/千克，則每天的銷售量為千克，保質期為15天，總銷售量為，又，可調高定價解得答：定價22元時利潤最高，最大利潤為元．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及找到題目蘊含的相等關系，據(jù)此列出二次函數(shù)的解析式，并熟練掌握二次函數(shù)的性質．3．如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，拋物線經(jīng)過點A，B，拋物線的對稱軸與x軸交于點D，與直線交于點N，頂點為C．（1）求拋物線的解析式；（2）點M在線段上運動，過點M作線段平行于y軸，分別交拋物線于點F，交x軸于點E，作于點G．①若設，試用含t的式子表示的長度；②當四邊形周長取得最大值時，求的面積．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）①求出點D坐標，即可表示出DE的長度；②用含t的式子表示四邊形周長，得到，則當時，周長取得最大值，求出AE，EM的長度即可計算出的面積．【詳解】解：（1）∵直線，令得，令得∴，∵將，代入，得，∴∴（2）①∵，∴∵，∴②∵，∴，，∴，，∵，，∴當時，周長取得最大值，此時，點M在直線AB上，得到：，∴．【點睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合，根據(jù)圖像正確表示出各點的坐標是解決本題的關鍵．4．已知二次函數(shù)c和一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A（-3，0），且二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點B（0，3），一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點C（0，-1）．（1）分別求m、n和b、c的值；（2）點P是二次函數(shù)的圖象上一動點，且點P在x軸上方，寫出△ACP的面積S關于點P的橫坐標x的函數(shù)表達式，并求S的最大值．【答案】（1），，，；（2）．【分析】（1）將將A（-3，0），B（0，3），代入二次函數(shù)，將A（-3，0），C（0，-1）代入一次函數(shù)，分別求解即可；（2）分兩種情況：當時，過點P作軸交軸于點，根據(jù)點P在x軸上方，設點P的坐標是（，）得到△ACP的面積S關于點P的橫坐標x的函數(shù)表達式是；當時，過點C作軸，過點P作交于點，過點A作交于點，根據(jù)點P在x軸上方，設點P的坐標是（，）得到△ACP的面積S關于點P的橫坐標x的函數(shù)表達式是；則可知△ACP的面積S關于點P的橫坐標x的函數(shù)表達式，在利用配方法得到，可以得出面積的最大值．【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A（-3，0），且二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點B（0，3），一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點C（0，-1）．∴將A（-3，0），B（0，3），代入二次函數(shù)得：，解之得：，將A（-3，0），C（0，-1）代入一次函數(shù)得：，解之得：，（2）由（1）可知，二次函數(shù)的關系式是，當時，有，則有：，∴二次函數(shù)與x軸的交點坐標是：（-3，0），（1，0），∴當時，圖像如下圖所示，過點P作軸交軸于點，∵點P在x軸上方，設點P的坐標是（，）則由圖像可知，，，，∴∵點P是二次函數(shù)的圖象上，∴∴當時，圖像如下圖所示，過點C作軸，過點P作交于點，過點A作交于點，∵點P在x軸上方，設點P的坐標是（，）則由圖像可知，，，，∴∵點P是二次函數(shù)的圖象上，∴綜上所述，△ACP的面積S關于點P的橫坐標x的函數(shù)表達式是，∵∴△ACP的面積最大值是．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質、三角形的面積，最值等知識點，熟悉相關性質是解題的關鍵．5．在平面直角坐標系中，關于的二次函數(shù)的圖象過點，．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）求當時，的最大值與最小值的差；（3）一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交點的橫坐標分別是和，且，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用待定系數(shù)法將點，代入解析式中解方程組即可；（2）根據(jù)（1）中函數(shù)關系式得到對稱軸，從而知在中，當x=-2時，y有最大值，當時，y有最小值，求之相減即可；（3）根據(jù)兩函數(shù)相交可得出x與m的函數(shù)關系式，根據(jù)有兩個交點可得出>0，根據(jù)根與系數(shù)的關系可得出a，b的值，然后根據(jù)，整理得出m的取值范圍．【詳解】解：（1）∵的圖象過點，，∴解得∴（2）由（1）得，二次函數(shù)對稱軸為∴當時，y的最大值為(-2)2-(-2)-2=4,y的最小值為∴的最大值與最小值的差為；（3）由題意及（1）得整理得即∵一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交點的橫坐標分別是和，∴化簡得即解得m≠5∴a，b為方程的兩個解又∵∴a=-1，b=4-m即4-m>3∴m<1綜上所述，m的取值范圍為．【點睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的性質，根與系數(shù)的關系等知識．解題的關鍵是熟記二次函數(shù)圖象的性質．6．如圖，拋物線y＝﹣（x﹣m）2+3的頂點A在第一象限，點B(m﹣3，0)在x軸的負半軸上，直線AB與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點P(h，n)也在第一象限內．（1）若交點P(h，n)是AC的中點，且h＝1，求n的值；（2）連接OP，令OCP面積為S，求關于m的函數(shù)表達式（要求寫出m的取值范圍），并求出S的最大值．【答案】（1）2；（2）（＜＜），S取最大值【分析】（1）由題意可知頂點A的橫坐標為2，即可求得m＝2，得到解析式，把P（1，n）代入即可求得n；（2）過點P作PD⊥x軸，垂足為點D（h，0），由y＝﹣（x﹣m）2+3知A（m，3），且B（m﹣3，0），可知∠ABO＝45°，PD＝BD，即可得出﹣（h﹣m）2+3＝h﹣m+3，解得h＝m（舍去）或h＝m﹣1，然后根據(jù)三角形面積公式得到（1＜m＜3），根據(jù)二次函數(shù)的性質求得S的最大值．【詳解】解：（1）∵點C的橫坐標為0，點P（1，n）是AC的中點，∴m＝2，∴n＝﹣（1﹣2）2+3＝2；（2）過點P作PD⊥x軸，垂足為點D（h，0），過作于由y＝﹣（x﹣m）2+3知A（m，3），且B（m﹣3，0），∠ABO＝45°，PD＝BD，∵PD＝n＝﹣（h﹣m）2+3，BD＝h﹣（m﹣3）＝h﹣m+3，∴﹣（h﹣m）2+3＝h﹣m+3，∴（h﹣m）（h﹣m+1）＝0，∴h＝m（舍去）或h＝m﹣1，∵OC＝OB＝3﹣m，∴，∵3﹣m＞0，h＝m﹣1＞0，∴1＜m＜3，∴當m＝2時，S取最大值．【點睛】本題考查的是圖形與坐標，線段中點坐標特點，等腰直角三角形的性質，圖形面積與二次函數(shù)的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．7．對于二次函數(shù)和一次函數(shù)，我們把稱為這兩個函數(shù)的“再生二次函數(shù)”，其中t是不為零的實數(shù)，其圖象記作拋物線E.現(xiàn)有點A(1,0)和拋物線E上的點B(2,n)，請完成下列任務：【嘗試】（1）當t=2時，拋物線的頂點坐標為.（2）判斷點A是否在拋物線E上；（3）求n的值.【發(fā)現(xiàn)】通過（2）和（3）的演算可知，對于t取任何不為零的實數(shù)，拋物線E總過定點，定點的坐標.【應用】二次函數(shù)是二次函數(shù)和一次函數(shù)的一個“再生二次函數(shù)”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由.【答案】嘗試：（1）（，-）．（2）點A（1，0）在拋物線l上．（3）n＝-1．發(fā)現(xiàn)：（1，0）、（2，-1）．應用：不是,理由見解析【分析】嘗試：（1）將t的值代入“再生二次函數(shù)”中，通過配方可得到頂點的坐標；（2）將點A的坐標代入拋物線E上直接進行驗證即可；（3）已知點B在拋物線E上，將該點坐標代入拋物線E的解析式中直接求解，即可得到n的值．發(fā)現(xiàn)：將拋物線l展開，然后將含t值的式子整合到一起，令該式子為0（此時無論t取何值都不會對函數(shù)值產(chǎn)生影響），即可求出這個定點的坐標．應用：將發(fā)現(xiàn)中得到的兩個定點坐標代入二次函數(shù)中進行驗證即可．【詳解】解：嘗試：（1）∵將t＝2代入拋物線l中，得：＝2x2?7x+5＝2（x?）2?，∴此時拋物線的頂點坐標為：（，-）．（2）∵將x＝1代入y=2x2?7x+5，得y＝0，∴點A（1，0）在拋物線l上．（3）將x＝2代入拋物線y=2x2?7x+5的解析式中，得：n＝-1．發(fā)現(xiàn)：∵將拋物線E的解析式展