第03講 有理數(shù)的乘除法（5大考點(diǎn)）（原卷版）

第03講有理數(shù)的乘除法（5大考點(diǎn)）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一、有理數(shù)的乘法1.有理數(shù)的乘法法則：（1）兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；（2）任何數(shù)同0相乘，都得0．要點(diǎn)：(1)不為0的兩數(shù)相乘，先確定符號(hào)，再把絕對(duì)值相乘．（2）當(dāng)因數(shù)中有負(fù)號(hào)時(shí)，必須用括號(hào)括起來(lái)，如-2與-3的乘積，應(yīng)列為(-2)×(-3)，不應(yīng)該寫(xiě)成-2×-3．2.有理數(shù)的乘法法則的推廣：（1）幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定．當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；（2）幾個(gè)數(shù)相乘，如果有一個(gè)因數(shù)為0，那么積就等于0．要點(diǎn)：（1）在有理數(shù)的乘法中，每一個(gè)乘數(shù)都叫做一個(gè)因數(shù)．(2)幾個(gè)不等于0的有理數(shù)相乘，先根據(jù)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)確定積的符號(hào)，然后把各因數(shù)的絕對(duì)值相乘．(3)幾個(gè)數(shù)相乘，如果有一個(gè)因數(shù)為0，那么積就等于0．反之，如果積為0，那么至少有一個(gè)因數(shù)為0．3.有理數(shù)的乘法運(yùn)算律：（1）乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等，即：ab＝ba．（2）乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要點(diǎn)：（1）在交換因數(shù)的位置時(shí)，要連同符號(hào)一起交換．（2）乘法運(yùn)算律可推廣為：三個(gè)以上的有理數(shù)相乘，可以任意交換因數(shù)的位置，或者把其中的幾個(gè)因數(shù)相乘．如abcd＝d(ac)b．一個(gè)數(shù)同幾個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這幾個(gè)數(shù)相乘，再把積相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）運(yùn)用運(yùn)算律的目的是“簡(jiǎn)化運(yùn)算”，有時(shí)，根據(jù)需要可以把運(yùn)算律“順用”，也可以把運(yùn)算律“逆用”．二、有理數(shù)的除法1.倒數(shù)的意義：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．要點(diǎn)：(1)“互為倒數(shù)”的兩個(gè)數(shù)是互相依存的.如-2的倒數(shù)是，-2和是互相依存的；(2)0和任何數(shù)相乘都不等于1，因此0沒(méi)有倒數(shù)；(3)倒數(shù)的結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)形式，使分母中不含小數(shù)和分?jǐn)?shù)；(4)互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)必定同號(hào)(同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù))．2.有理數(shù)除法法則：法則一：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，即.法則二：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0.要點(diǎn)：（1）一般在不能整除的情況下應(yīng)用法則一，在能整除時(shí)應(yīng)用法則二方便些．（2）因?yàn)?沒(méi)有倒數(shù)，所以0不能當(dāng)除數(shù)．（3）法則二與有理數(shù)乘法法則相似，兩數(shù)相除時(shí)先確定商的符號(hào)，再確定商的絕對(duì)值．三、有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算由于乘除是同一級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左往右的順序計(jì)算，一般先將除法化成乘法，然后確定積的符號(hào)，最后算出結(jié)果．四、有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，如無(wú)括號(hào)，則按照“先乘除，后加減”的順序進(jìn)行，如有括號(hào)，則先算括號(hào)里面的．考點(diǎn)考點(diǎn)精講考點(diǎn)一：有理數(shù)的乘法運(yùn)算 1．計(jì)算：(1)；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．2.運(yùn)用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：25×﹣（﹣25）×+25×．3.用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)；(2)．考點(diǎn)二:有理數(shù)的除法運(yùn)算1．計(jì)算：2.計(jì)算：考點(diǎn)三：有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算1.計(jì)算：2.計(jì)算：考點(diǎn)四：有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算1.計(jì)算：2.觀(guān)察下列等式（式子中的“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)）1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，那么計(jì)算：=．考點(diǎn)五：含絕對(duì)值的化簡(jiǎn)1.已知a、b、c為不等于零的有理數(shù)，你能求出的值嗎?2.計(jì)算的取值.鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·全國(guó)七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算8÷（﹣2）的結(jié)果是（）A．﹣4 B．﹣16 C．﹣6 D．102．（2021·廣東七年級(jí)期末）計(jì)算：﹣×□＝1，則□內(nèi)應(yīng)填的數(shù)是（）A．﹣7 B．﹣1 C． D．73．（2021·陜西西安·交大附中分校七年級(jí)期末）的倒數(shù)是（）A． B． C． D．4．（2021·內(nèi)蒙古七年級(jí)期末）《莊子·天下篇》講到：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，意思是說(shuō)一尺長(zhǎng)的木棍，每天截去它的一半，千秋萬(wàn)代也截不完，一天之后“一尺之捶”剩尺，兩天之后剩尺，那么3天之后，這個(gè)“一尺之棰”還剩（）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺5．（2021·全國(guó)七年級(jí)課前預(yù)習(xí)）下列把除法轉(zhuǎn)換為乘法的過(guò)程中正確的是（）A． B．C． D．6．（2021·湖南七年級(jí)期末）若“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，并且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，則的值等于（）A．2021 B．2020 C．2021！ D．2020！7．（2020·浙江杭州·）若，且，則（）A． B．a(chǎn)，b異號(hào)且其中負(fù)數(shù)的絕對(duì)值較大C． D．a(chǎn)，b異號(hào)且其中正數(shù)的絕對(duì)值較大8．（2021·全國(guó)七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列運(yùn)算過(guò)程中，有錯(cuò)誤的是（）A．（3﹣4）×2＝3﹣4×2B．﹣4×（﹣7）×（﹣125）＝﹣（4×125×7）C．9×16＝（10﹣）×16＝160﹣D．[3×（﹣25）]×（﹣2）＝3×[（﹣25）×（﹣2）]二、填空題9．（2021·全國(guó)七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：3×（）＝____．10．（2021·全國(guó)七年級(jí)課前預(yù)習(xí)）計(jì)算：6×（－9）＝__________（－6）×0＝____________×＝________（）×＝_________（－2）×××＝_____（－6）×5××＝_______11．（2020·浙江杭州·七年級(jí)期末）在數(shù)，1，，5，中任兩個(gè)數(shù)相乘除，其中最大的積是_________，最小的商是_______．12．（2021·浙江七年級(jí)期中）在的“□”內(nèi)分別填入“”，“”，“”三個(gè)運(yùn)算符號(hào)（每個(gè)符號(hào)只能填1次），最大的運(yùn)算結(jié)果________．13．（2021·全國(guó)七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：?2÷×2＝______．14．（2021·陜西七年級(jí)期中）已知a、b都不為0，則的值為_(kāi)__________．15．（2018·山東七年級(jí)期中）定義一種新的運(yùn)算：x*y=，如：3*1==，則2*3=__________．16．（2021·全國(guó)七年級(jí)課前預(yù)習(xí)）根據(jù)“除法是乘法的逆運(yùn)算”探究：正數(shù)除以負(fù)數(shù)：8÷（－4）＝8×（______）負(fù)數(shù)除以負(fù)數(shù)：（－8）÷（－4）＝（－8）×（______）零除以負(fù)數(shù)：0÷（－4）＝0×（______）可知，除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的_____17．（2021·全國(guó)七年級(jí)課前預(yù)習(xí)）探究：規(guī)定一樓地面的高度為0，從一樓向上的方向?yàn)檎瑥囊粯窍蛳碌姆较驗(yàn)樨?fù)．小亮測(cè)量學(xué)校樓梯每一級(jí)臺(tái)階都是15cm．如果小亮從1樓向上走1、2、3級(jí)臺(tái)階時(shí)，他所在的高度分別是多少？如何用算式表示呢？15×1＝____15×2＝____15×3＝____小亮測(cè)量學(xué)校樓梯每一級(jí)臺(tái)階都是15cm．如果小亮從1樓向下走1、2、3級(jí)臺(tái)階時(shí)，他所在的高度分別是多少？如何用算式表示呢？（－15）×1＝____（－15）×2＝____（－15）×3＝_____觀(guān)察上面的式子，根據(jù)你對(duì)有理數(shù)乘法的思考，填空：正數(shù)乘以正數(shù)積為_(kāi)____數(shù)負(fù)數(shù)乘以正數(shù)積為_(kāi)_____數(shù)正數(shù)乘以負(fù)數(shù)積為_(kāi)_____數(shù)負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)積為_(kāi)_____數(shù)乘積的絕對(duì)值等于各乘數(shù)絕對(duì)值的_______三、解答題18．（2021·全國(guó)七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：（1）（﹣4）×1.25×（﹣8）；（2）（﹣2.4）；（3）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×0.01；（4）915．19．（2021·全國(guó)七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算下列各題：（1）；（2）；（3）．20．（2021·全國(guó)七年級(jí)課前預(yù)習(xí)）計(jì)算：（1）（2）21．（2021·江蘇南京一中七年級(jí)月考）定義運(yùn)算“”為：，求，．22．（2021·福建七年級(jí)期末）已知一些兩位數(shù)相乘的算式：62×11，18×22，34×11，15×55，63×39，54×11．（1）觀(guān)察上述算式，選出具有共同特征的3個(gè)算式，并說(shuō)出它們的共同特征；（2）分別計(jì)算你選出的算式．觀(guān)察計(jì)算的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)不經(jīng)過(guò)乘法運(yùn)算就可以快速、直接地寫(xiě)出積的規(guī)律嗎？請(qǐng)用文字描述這個(gè)規(guī)律；（3）在已知算式中，其他算式可以用上面的規(guī)律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算嗎？如何能，寫(xiě)出你的變形過(guò)程并直接寫(xiě)出最后結(jié)果．23．（2021·西安市鐵一中學(xué)七年級(jí)月考）已知x，y為有理數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新運(yùn)算“*”，滿(mǎn)足x*y＝xy﹣5例如：1*2＝1×2﹣5＝﹣3（1）請(qǐng)仿照上面的例題計(jì)算下列各題：①2*（﹣3）；②（4*5）*（﹣）；（2）任意選擇兩個(gè)有理數(shù)，分別填入下列□和〇中，并比較它們的運(yùn)算結(jié)果；多次重復(fù)以上過(guò)程，你發(fā)現(xiàn)：□*〇〇*□（用“＞”“＜”或“＝”填空）．24．（2021·重慶七年級(jí)期末）一個(gè)四位