D7-2一階微分方程

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一可別離變量方程三一階線性微分方程二齊次方程7.2一階微分方程一階微分方程的一般形式是一階微分方程的顯式形式是或一階微分方程的對稱形式是機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一可別離變量方程或通過恒等變形可變?yōu)榧僭O(shè)一階微分方程有如下形式那么稱其為可分變量的微分方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束〔一〕可別離變量方程的形式〔二〕別離變量方程的解法設(shè)y＝

(x)

是方程①的解,兩邊積分,得①那么有②那么有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束即②稱②為方程①的隱式通解,或通積分.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束反之假設(shè)有當(dāng)與均可微且那么由隱函數(shù)理論知方程②可確定以x為自變量隱函數(shù)設(shè)為y＝

(x)，微分②兩邊得即②確定的隱函數(shù)是微分方程的解。類似地當(dāng)與均可微且時(shí)，方程②確定以y為自變量隱函數(shù)設(shè)為是微分方程的解。例1求微分方程的通解.別離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))或(此式含別離變量時(shí)喪失的解y=0)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:

例2解初值問題別離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:練習(xí):解法1別離變量機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束方程的通解即(C<0)解法2那么故有積分所求通解:(C

為任意常數(shù))例3子的含量

M

成正比,求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時(shí)間t

的變化規(guī)律.根據(jù)題意,有(初始條件)對方程別離變量,然后積分:t=0時(shí)鈾的含量為放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變原機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:即利用初始條件,得故所求鈾的變化規(guī)律為例4成正比,求根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對方程別離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡,得特解并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)(t=0)速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.t

足夠大時(shí)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:例5求下述微分方程的通解:令機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:那么故有即解得(C為任意常數(shù))所求通解:思考與練習(xí)求以下方程的通解:提示:(1)別離變量(2)

方程變形為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束形如的方程叫做齊次方程

.令解法二齊次方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束〔一〕齊次方程那么故代入原方程得別離變量:兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.例6解微分方程解:代入原方程得別離變量兩邊積分得故原方程的通解為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(

當(dāng)C=0時(shí),y=0也是方程的解)(C

為任意常數(shù))例7解微分方程解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束方程變形為令那么有別離變量即積分得即(C

為任意常數(shù))代回原變量得通解注:

顯然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但在求解過程中喪失了.例8解微分方程解:那么有別離變量積分得即積分得即當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)那么有別離變量〔二〕可化為齊次方程的方程作變換機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1當(dāng)時(shí)，(h,k

為待定常數(shù)),

那么原方程化為令解出h,k

原方程化為作變換機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1當(dāng)時(shí)，選擇適當(dāng)h,k

原方程化為進(jìn)一步化為是齊次方程，求出其解后將代入。原方程可化為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2當(dāng)時(shí)，令那么原方程可化為(可別離變量方程)注:

上述方法可適用于下述更一般的方程例9求解解:令機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束那么原方程化為令得故令方程變?yōu)榧戳罴碮＝X

u,得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束令方程變?yōu)?，令別離變量得積分后得故再由得C=1,方程解為例10:求解解第四節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束令那么那么原方程化為別離變量得即積分得整理后其中故原方程有通解一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:假設(shè)Q(x)0,若Q(x)

0,稱為非齊次方程

.稱為齊次方程

;機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束三一階線性微分方程〔一〕解齊次方程別離變量兩邊積分得故通解為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束〔二〕解非齊次方程常數(shù)變易法:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束注意到非齊次方程對應(yīng)齊次方程通解為自然也是齊次方程的解。設(shè)是非齊次方程的解，計(jì)算，這當(dāng)然是個(gè)函數(shù)設(shè)為即即非齊次方程有解形如接下來任務(wù)是求那么即設(shè)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束是的解，兩端積分得故原方程的通解齊次方程通解非齊次方程特解即例11解方程解:即積分得即用常數(shù)變易法求特解.令那么代入非齊次方程得解得故原方程通解為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束練習(xí):利用公式計(jì)算先解例12有一電路如下圖,電阻

R

和電感～解:經(jīng)過電阻R的電壓降為Ri經(jīng)過L的電壓降為因此有即初始條件:其中電源求電流L

都是常量,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束電動勢為由閉合回路中,所有支路上的電壓降為0，且～利用一階線性方程解的公式可得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束由初始條件:得暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流～因此所求電流函數(shù)為解的意義:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例13求方程的通解.分析方程對y

言是非線性的,但對x而言卻是線性的。方程可變?yōu)闄C(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解那么例14求方程的通解.注意x,y

同號,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:當(dāng)時(shí)，有故方程也為變形為即這是以y為自變量，為函數(shù)的一階線性方程,其中例14求方程的通解.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)時(shí)，方程為這是以y為自變量，為函數(shù)的一階線性方程,其中故即當(dāng)時(shí)，方程通解為類似可解情形。例15求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)使其滿足以下方程:解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束令得求導(dǎo)得即利用公式可求出注此類方程稱為積分方程,可以通過求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為微分方程;需注意的是這類問題是一個(gè)定解問題〔三〕伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:除方程兩邊,得解法:伯努利目錄上頁下頁返回結(jié)束以即令(線性方程)求出此方程通解后,換回原變量即得伯努利方程的通解.例16

求方程的通解.方程兩邊除以其通解為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:得：即即令那么方程變?yōu)樵匠掏ń?一階微分方程求解1※可分離變量方程解法(1)分離變量(2)積分

齊次方程某些一階方程換元常系數(shù)變易齊次2※全微分方程注:當(dāng)方程視y為函數(shù)時(shí)不是線性的,可考察視x為函數(shù)時(shí)是否線性思考題.設(shè)有微分方程其中試求此方程滿足初始條件的連續(xù)解.解:1)先解定解問題利用通解公式,得利用得故有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2)再解定解問題此齊次線性方程的通解為利用銜接條件得因此有3)原問題的解為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束速度大小為2v,方向指向A,提示:設(shè)t時(shí)刻B位于(x,y),如下圖,那么有去分母后兩邊對

x

求導(dǎo),得又由于設(shè)物體

A

從點(diǎn)(0,1)出發(fā),以大小為常數(shù)v備用題的速度沿y軸正向運(yùn)動,物體B

從(–1,0)出發(fā),試建立物體B

的運(yùn)動軌跡應(yīng)滿足的微分方程及初始條件.①機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束代入①式得所求微分方程:其初始條件為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(雅各布第一·伯努利)