函數(shù)與導(dǎo)數(shù)-高考試題

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

理(3)設(shè)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xWO時(shí)，f(x)=2x-X,則/⑴=

(A)-3(B)-1(C)1(D)3

(3)A【命題意圖】本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)值的求法.屬容易題.

【解析】/(I)=-/(-D=42(-1)2-(-1)1=-3.故選A.

函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，考查函數(shù)圖像，考查思維的綜合能力.難度大.

【解析】代入驗(yàn)證，當(dāng)加=1,〃=2,/*)=641一為2=〃(1-2；12+%),則

/'(止a^2x-4x-,由/'(x)=“(次2一4x+l)=0可知，%=；,/=1，結(jié)合圖像可知

函數(shù)應(yīng)在遞增，在遞減，即在x=(取得最大值，由/(!)=ax;qi—()2=；,

知a存在.故選B.

(16)(本小題滿分12分)

設(shè)=其中。為正實(shí)數(shù)

1+ax

4

(I)當(dāng)時(shí)，求/。)的極值點(diǎn);

(D)若/(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值,圍。

(16)(本小題滿分12分)本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，極值點(diǎn)的判斷，導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)變化

之間的關(guān)系，求解二次不等式，考查運(yùn)算能力，綜合運(yùn)用知識(shí)分析和解決問題的能力.

12

I+QX-ax

解:對(duì)/(x)求導(dǎo)得:(x)=e*-2x2①

(zl+ar)-

431

(I)當(dāng)"q，若廣(X)二=0,則4必—品+3=0,解得再=二二■，用)——

2-2

綜合①，可知

/1、|(|,|)2([,8)

(-00-)

?222222

+0-0+

f'M

71極大值、極小值71

f(x)

31

所以,X|=G是極小值點(diǎn),％2是極大值點(diǎn).

2-2

(II)若/(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則尸(x)在R上不變號(hào)，結(jié)合①與條件a>0,知

ax2—lax+1>0

在R上恒成立，因此A=4a2-4“=4a(a-l)40,由此并結(jié)合。>0,知0<aWl.

文(5)若點(diǎn)(a,b)在y=lgx圖像上，awl,則下列點(diǎn)也在此圖像上的是

(A)(-,b)(BJ(lOa,l-b)(C)(―,b+l)?(D)(a2,2b)

aa

(5)D【命題意圖】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的基本運(yùn)算，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的關(guān)系.

【解析】由題意b=lg。，2/?=21g?=lg?2,即(/,2b)也在函數(shù)y=lgx圖像上.

(10)函數(shù)/(%片詭g?-2)在區(qū)間

〔0,1〕上的圖像如圖所示，則n可能是

(A)1(B)2

(C)3(D)4

(10)A【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函

數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，考查函數(shù)圖像，考查

思維的綜合能力.難度大.

【解析】代入驗(yàn)證，當(dāng)〃=1時(shí)，

/(x)=agrQ-2*=《x-2x則

ff(x)NZ(3T2-4X+1),

由/'(尤)=心2一4%+])=?？芍瑑?nèi)結(jié)合圖像可知函數(shù)應(yīng)在(0,；)遞增，在

遞減，即在X=!取得最大值，由/(!)=ax；qi—!)2=；,知a存在.故選A.

(13)函數(shù)^=-r=1=亍的定義域是_________.

\j6-x-x~

(13)(-3,2)【命題意圖】本題考查函數(shù)的定義域，考查一元二次不等式的解法.

【解析】由6-x—廠>0可得f+x—6<0,即(x+3)(x—2)v0,所以一3<x<2.

c

,x<A

理6.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位：分鐘)為/。)=五

C

,x>A

G4,。為常數(shù))。已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30分鐘，組裝第/件產(chǎn)品時(shí)用時(shí)15分鐘,

那么C和力的值分別是

A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16

【解析】由條件可知，1之A時(shí)所用時(shí)間為常數(shù)，所以組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)必然滿足第一個(gè)分

段函數(shù)，即/(4)=A=30nc=60,/(A)=瑞=15nA=16,選D。

一,x22

13.已知函數(shù)〃x)=x,若關(guān)于x的方程/(尤)=%有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)

(x-l)3,x<2

K的取值圍是.

2

【解析】/(x)=—(xN2)單調(diào)遞減且值域?yàn)?0,1],/(幻=。-1)心<2)單調(diào)遞增且值域?yàn)?/p>

x

(—8,1),/*)=左有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)々的取值圍是(0,1)。

18.已知函數(shù)/(x)=(x-&)2..

⑴求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)VxG(0,+8),都有/(尤)<，,求攵的取值圍。

e

I二

解：⑴—(x)=7,一&2)〃，令/"(x)=0得x=±左

當(dāng)左>0時(shí),/(X)在(-8,-外和伏,+8)上遞增，在(-&陽(yáng)上遞減;

當(dāng)左＜0時(shí)，/（X）在（-8，口和（—女,□）上遞減，在（左,-%）上遞增

A+1]所以不可能對(duì)Vxe（0,+8）都有/（外4」；

(2)當(dāng)2>0時(shí)，f(Z+l)=e氏>一;

e

2

當(dāng)左＜0時(shí)有（1）知/（X）在（0,+8）上的最大值為了（一口=1-,所以對(duì)Vxe（0,+8）都

＜/w＜-

e

4221111

即一（一=一一＜％＜0,故對(duì)Dxw（0,+8）都有/（x）W-時(shí)，攵的取值圍為［――,0）。

ee2e2

文（8）已知點(diǎn)A（0,2）,B（2,0）,若點(diǎn)C在函數(shù)y=f的圖象上，則使得AA6C的面積為2

的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為A

A.4B.3C.2D.1

（18）（本小題共13分）

已知函數(shù)〃力=。一1）/,（I）求/（x）的單調(diào)區(qū)間；

（II）求/（力在區(qū)間［0』上的最小值。

解：⑴f\x）=（x-k+V）ex,令r（x）=0=x="l；所以/（x）在（-8心-1）上遞減,

在（％-1,+8）上遞增；

（II）當(dāng)"1W0,即左＜1時(shí)，函數(shù)”力在區(qū)間［0,1］上遞增，所以/⑴而…/⑼二-左；

當(dāng)0＜左—1＜1即1＜心2時(shí)，由（I）知，函數(shù)/（同在區(qū)間［0,左—1］上遞減，（％—1,1］

上遞增，所以/（X）min=/（左一1）=一/\

當(dāng)人一1＞1,即后＞2時(shí)，函數(shù)〃力在區(qū)間［0,1］上遞減，所以/（x）mm=/⑴=（1一6e。

理5.Jo（/+2x）辦等于C

A.1B.e-1C.eD.e+\

9,對(duì)于函數(shù)/（x）=asinx+/?x+c（其中，a,beR,cwZ）,選取a,0,c的一組值計(jì)算了⑴

和所得出的正確結(jié)果一定不可能是D

A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2

10.已知函數(shù)/(x)=/+x,對(duì)于曲線y=/(x)上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個(gè)點(diǎn)A,B,C,

給出以下,判斷：B

①AABC一定是鈍角三角形

②4ABC可能是直角三角形

③4ABC可能是等腰三角形

?△ABC不可能是等腰三角形

其中，正確的判斷是

A.①③B.①④C.②③D.②④

18.體小題滿分13分)某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)

與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式丁==+10(*-6)2,其中3<x<6,a為

x-3

常數(shù)，已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克.

(I)求。的值；

(H)若該商品的成品為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值,使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲

得的利潤(rùn)最大.

解：⑴因?yàn)閤=5時(shí)y=ll,所以尹0=llna=2；

2

(口)由(I)知該商品每日的銷售量丁=--+10(x-6)2,所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的

x-3

利潤(rùn)：

2'

/(x)=(x-3)[----i-10(x-6)2]=2+10(X-3)(X-6)2,3<X<6；

x-3

f\x)=\0[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]-30(x-4)(x-6),令/(1)=0得x=4

函數(shù)/(x)在(3,4)上遞增，在(4,6)上遞減，所以當(dāng)x=4時(shí)函數(shù)/(九)取得最大值/(4)=42

答：當(dāng)銷售價(jià)格工=4時(shí),商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大，最大值為42.

文6.若關(guān)于x的方程系+〃賀+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)和的取值圍是

A.(—1,1)B.(—2,2)C.(—8,—2)U(2,+8)D.(—8,—1)U(1,4-

OO)

C

2*x>0

8.已知函數(shù)WC，若人a)+01)=。，則實(shí)數(shù)a的值等于

X~T~1,U

A.-3B.-1C.1D.3

A

10.若a>0,b>0,且函數(shù)4A2bx+2在x=l處有極值，則ab的最大值

等于

A.2B.3C.6D.9D

22.(本小題滿分14分)

已知a、b為常數(shù)，且a*0,函數(shù)4兄=-公+6+adnx,4a=2,(e=2.71828…是自

然對(duì)數(shù)的底數(shù))。

(I)數(shù)人的值；

(H)求函數(shù)扉聞的單調(diào)區(qū)間；

(DI)當(dāng)a=l時(shí)，是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和M(m<皿，使得對(duì)每1個(gè)M,直

1

線片1與曲線片(x€[-e])都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)m和最大的

e

實(shí)數(shù)〃；若不存在，說明理由。

22、(I)b=2;(R)a>0時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),a<0

時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+8)；(H)存在m,M;m的最小值為

1,M的最大值為2。

理4.設(shè)函數(shù)/(X)和g氏)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是

A./(x)+|g(x)|是偶函數(shù)B.7(x)-|g(x)|是奇函數(shù)

C.|/(%)|+g(x)是偶函數(shù)D.|/(x)I-g(x)是奇函數(shù)

解析:因?yàn)間(xj是R上的奇函數(shù)，所以|g(x)|是R上的偶函數(shù)，從而/(x)+|g(x)|是偶函數(shù)，

故選A.

12.函數(shù)/(x)=V-+1在％=處取得極小值.

解析：(x)=3x2-6x=3x(x—2),:./(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,0),(2,+oo),遞減區(qū)間為(0,2),

/(幻在x=2處取得極小值

21.(本小題滿分14分)

在平面直角坐標(biāo)系vQy上，給定拋物線L:y=92.實(shí)數(shù)pH滿足p2—4戶0,玉,々是方程

X2一p兀+4=0的兩根,記95，4)=11^；{|叩|,|42I}.

(1)過點(diǎn)4p°,:A)2)5。*0)作L的切線交y軸于點(diǎn)B.證明：對(duì)線段AB上的作一點(diǎn)QS，4),

有夕(p,q)=號(hào)1;

(2)設(shè)MG加是定點(diǎn)，其中a1滿足/一4)>0,。h0.過/31)作乙的兩條切線4,4,

切點(diǎn)分別為后5,(p：),牙)，//與y分別交于F,F'.線段EF上異于兩端點(diǎn)

的點(diǎn)集記為X證明：

(3)設(shè)。=<(x,y)yMx-l,”2(x+l)2_2>,當(dāng)點(diǎn)(p,q)取遍D時(shí)，求

44

(P(P，G的最小值(記為外)和最大值(記為夕).m

M(a,b)eXo園>|周o0(a,b)=?h

21.解：(1)kAB-y'|v=ft)=(―x)1^^=—p0,

1,111,

直線的方程為y-1%-=-p0(x-p0),即乎=耳。0%-1。0-,

：.q=；PoP_；Po2，方程無？-px+q=°的判別式△=/-4q=(p—Po)2,

加*口〃±I〃o一〃IPo十Po

兩根石,2=-----j-----=寸或〃一寸，

P-Po>o,.-.IP-^HIPI-I^II,又041Pl4|Pol,

.?.一|§區(qū)|。|一|§區(qū)|§|,得，|「一§|=||。|一|§|國(guó)§1,

乙乙乙乙乙乙

??.(P(P，M-yl.

(2)由后-48>0知點(diǎn)M(a,6)在拋物線乙的下方，

①當(dāng)。>0,820時(shí)，作圖可知，若M(a,b)wX,則Pi〉/??'。，得IPiASI；

若IPi1>1p2I,顯然有點(diǎn)M(a,。)€X；:.M(a,b)eXo|四|〉|p2\.

②當(dāng)a>0,8<0時(shí)，點(diǎn)M(a/)在第二象限,

作圖可知，若M(a,b)€X,則P|>0>P2,且Ip作>1p21；

若lp/>IP2l,顯然有點(diǎn)M(a,份eX；

M(a,b)GX。|Pi|>1P2I?

根據(jù)曲線的對(duì)稱性可知，當(dāng)。<0時(shí)，M(a,b)eX<^>\pt|>|p2\,

綜上所述，M(a,b)GX<=>|/?,|>|p2|(*)；

由(1)知點(diǎn)”在直線后尸上，方程d-6+人=0的兩根玉2=與或。―4，

同理點(diǎn)〃在直線E'/7'上，方程一一依+。=0的兩根玉2=今或。一?，

若濟(jì),與=作|,則苧不比|”?、牛、小半小,

.'.IPi1>1p21>又IPi1>1PiI=>M(a,b)eX,

(p{a,b)=|-y|=>M(a,b)eX；又由(1)知，M(a,b)&X=>(p{a,Z?)=|-^|；

：.<p(a,ft)=|yl^M(a,b)eX,綜合(*)式，得證.

「(3)聯(lián)立y=x-l,y=：(x+1)?得交點(diǎn)(0,-1),(2,1),可知0Wp<2,

44

12

17xo-qi

過點(diǎn)(p,<7)作拋物線L的切線，設(shè)切點(diǎn)為(入0，二/2)，則^-------=-x0,

4x0-p2

得與2+4q=0,解得％=p+Np2-4q,

1.5,

又<72一(〃+1)-,即p-_4q44_2p,

44

-

W〃+j4-2〃,設(shè)J4-2P=t,x0<+t+2=——(/—I)+,

5

Omax=1~Imax，又％，0max

4

2

q<p-\,：.xa>p+7P-4p+4=〃+|〃-21=2,

9|.=

%n=121min

文4.函數(shù)/(x)=」一+lg(x+l)的定義域是()C

1-x

A.(—8,—1)B.(l,+oo)C.(-1,1)(l,+oo)D.(-00,+00)

10.設(shè)/(x),g(x),〃(x)是R上的任意實(shí)值函數(shù).如下定義兩個(gè)函數(shù)(/ogXx)和(/?gXx)；

對(duì)任意％6凡(/。83)=/(8(?)；(/?8)(工)=/(1)8(幻?則下列等式恒成立的是()

A.((/。g)?秋%)=((7?M。(g?碗幻

B.((/?g)°h^x)=((/°//)?(g°/?))(x)

C.((/。g)?！ā?=((/?！?。(g?！?)(%)

D.((/?g"〃)(x)=((/?〃”(g?〃))(x)

B

12.設(shè)函數(shù)/(xh/cosx+l.若/(。)=11,貝1]/(一。)=.-9

19.(本小題滿分14分)

設(shè)a>0,討論函數(shù)/(x)=Inx+a(l-a)x12-*42(1-a)x的單調(diào)性.

解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+8)

2a(l-a)x2-2(]-a)x+1

JW=--------------------,

x

當(dāng)a*1時(shí)，方程2a(l-a)x2-2(1-a)x+1=0的判別式A=12(a-1)(。-g)

①當(dāng)時(shí)，A>0,尸(x)有2個(gè)零點(diǎn)

]J(a-l)(3a-1)1y](a-1)(3a-1)

x.----------------->u,X-,=---1-------------,

2a2a(1-a)~2a2a(i-a)

且卻<x<x或x>々時(shí)，/a)>°，/a)在(°，藥)與區(qū)，+00)內(nèi)為增函數(shù)；

當(dāng)％<X<W時(shí)，/(x)vOJ(x)在(再,X2)內(nèi)為減函數(shù)

②當(dāng)g4。<1時(shí)，△40,1(x)20J(x)在(0,+oo)內(nèi)為增函數(shù)；

③當(dāng)。=1時(shí)，/'(x)=工>0(x>0)J(x)在(0,+8)內(nèi)為增函數(shù)；

X

④當(dāng)。>1時(shí)，A>O,x,=--J(aT)(3"l)>0,%=_L+J(”[)(3"1)<°,所以Q)在定義域內(nèi)有唯一零點(diǎn)片;

2a2。(1一〃)-2a2a(i-a)

且當(dāng)0cx<4時(shí)，f\x)>0J(x)在(0,%)內(nèi)為增函數(shù);當(dāng)x>陽(yáng)時(shí)，f\x)<0J(x)在(芭,+8)內(nèi)為減函數(shù)；

綜上所述，f(x)的單調(diào)區(qū)間如下表:

0<a<-—<^<1a>l

33

(0,占)(々,+00)(0,+8)(0,x,)(Xp+oo)

1J(q_l)(3a_l)1

--------------------,Xj-----1----------------

2a2a(\-d)?2a2a(l-a)

理6.已知定義在R上的奇函數(shù)/(%)和偶函數(shù)g(x)滿足/(x)+g(x)=ax-a-x+2

(a>0,且awl),若g⑵=a,則/⑵=

A.2B.—C.—D.a2

44

【答案】B

22

解析：由條件/⑵+g⑵=/一。-2+2,f(_2)+g(-2)=a--a+2,即

-/（2）+g（2）=o-2-a2+2,由此解得g⑵=2,/⑵=。2_。-2,

所以。=2,/（2）=22-2一2=’,所以選B.

10.放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象成

為衰變，假設(shè)在放射性同位素鈍137的衰變過程中，其含量M（單位：太貝克）與時(shí)間f（單

t

位：年）滿足函數(shù)關(guān)系：M（r）=Mo2-3。，其中為，=0時(shí)鈍137的含量，已知，=30時(shí),

鈉137的含量的變化率是-101n2（太貝克/年），則M（60）=

A.5太貝克B.751n2太貝克C.1501n2太貝克D.150太貝克

【答案】D

1_1_1_30

30

解析；因?yàn)镸/（r）=-1ln2xA/o23。，則〃/（30）=---ln2xM02=-10In2,解

_J_60］

得A/。=600,所以M（f）=600x2-記，那么M（60）=600x2一證=600x=150（太

貝克），所以選D.

17.（本小題滿分12分）

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下，大橋上的車流速

度丫（單位：千米/小時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到

20。輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過2。輛/千米時(shí)，車流速度

為60千米/小時(shí).研究表明：當(dāng)20WXW200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).

（I）當(dāng)0WXW200時(shí)，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；

（D）當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小

時(shí)）/（x）=x-Mx）可以達(dá)到最大，并求出最大值.（精確到1輛/小時(shí)）

本題主要考查函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

解析：（I）由題意：當(dāng)0Wx420時(shí)，v（x）=60；當(dāng)20Wx4200時(shí)，設(shè)v（x）=ox+。，

（、僅00。+6=0

顯然心:）=依+匕在［20,200］是減函數(shù)，由已知得，”，解得＜

20。+。=60200

60,0<x<20,

故函數(shù)y(x)的表達(dá)式為v(x)=1]/“八\

-(200-x),20<x<200.

60x,0<x<20,

(U)依題意并由(I)可得/3=1(…、”

-^200-420<X<200.

當(dāng)0WxW20時(shí)，/(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x=20時(shí)，其最大值為60x20=1200；

當(dāng)20WXW200時(shí)，/(x)=；x(200—x)wg》+(2；。-6=1P299>

當(dāng)且僅當(dāng)x=200-x,即x=100時(shí)，等號(hào)成立.

所以，當(dāng)x=100時(shí)，/⑺在區(qū)間［20,200］上取得最大值岑29.

綜上，當(dāng)x=100時(shí)，/(九)在區(qū)間［0,200］上取得最大值弓詈”3333,

即當(dāng)車流密度為10。輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí).

21.(本小題滿分14分)

(I)已知函數(shù)/(x)=lnx-x+l,xe(0,+8),求函數(shù)/(x)的最大值；

(II)設(shè)4，4(女=1,2…，〃)均為正數(shù)，證明：

(1)若q仇+生仇+…。也<4+4+”也，則<1；

(2)若仇+4+…4=1,則沖碎b^<h2+b2-+b2。

n12M

解：(I)/(X)的定義域?yàn)?0,+8),令r(x)='-l=0nx=l,

X

/(幻在(0,1)上遞增，在(1,+8)上遞減，故函數(shù)/(X)在X=1處取得最大值/⑴=0

(U)⑴由(I)知當(dāng)xe(0,+oj)時(shí)有/*)〈/⑴=0即InxWx—1,

,：ak,bk>Q,hk-Inak4%(4-1),(%=1,2,“)n￡ln磅4￡%(4-1)

k=\hl

'/Z"也<.?Z也磴W0即/(。?磅d；)<0=>a?碎<1

￡=1A=1￡=1

(2)①先證沖好b^1>—,令％=(%=1,2,,〃)，則。也=，=>￡〃也=

nnbkn77

由(1)知(‘一)“(」一盧(―/"<1^^—_廠4薩他++h"=n

nh}nb2nbn沖碎b；；

b：眩婿>-；

n

②再證4修外+么2…+々2,記5=邙；,%=&.,(女=1,2,,〃)

k=\3

則于是由(1)得

A=13k=\A=1

(34(旨與(也盧41nb潛b：;<se+與++4=s

所以,婷蠟4々2+42…+/2。綜合①②，(2)得證

文15.里氏震級(jí)M的計(jì)算公式為：“第4拒4,其中A是測(cè)震儀記錄的地震曲線的最大

振幅睚

是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅，假設(shè)在一次地震中，測(cè)震儀記錄的最大振幅是1000,此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地

震的振幅為0.001,則此次地震的震級(jí)為級(jí)；9級(jí)地震的最大的振幅是5級(jí)地震

最大振幅的倍。6,10000;

20.(本小題滿分13分)

設(shè)函數(shù)3V42,其中xeH,a、b為常數(shù)，已知曲

線y=/(x)與y=g(x)在點(diǎn)(2,0)處有相同的切線/。

(I)求a、b的值，并寫出切線/的方程；

(H)若方程_芥刈七嚷但處有三個(gè)互不相同的實(shí)根0、?、！：，其中陽(yáng)<與,且對(duì)任意的

xe[jq,^],恒成立，數(shù)m的取值圍。

解：(1)/"。)=3—+4"+"g'(x)=2x-3,由于曲線曲線y=/(x)與y=g(x)在點(diǎn)(2,0)

處有相同的切線，故有/(2)=g(2)=0，r(2)=g'(2)=l,由此解得：a=-2力=5；

切線/的方程：x-y-2=0'

(H)由⑴得/(x)+g(x)=x3-3f+2x,依題意得：方程雙1一3尤+2-加)=0有三個(gè)互不相

等的根

0,尤1，%2,故為,工2是方程》2-3x+2-m的兩個(gè)相異實(shí)根，所以

=9—4(2—m)>0=>m>—；；

又對(duì)任意的％不，毛]，一人汨埋加力成立，特別地，?。?玉時(shí)，

/(%)+8(%)—加毛<-a成立，即0<-m=>m<0,由韋達(dá)定理知：

菁+6,玉々=2-，故0<玉<々，對(duì)任意的xe[jq,j^],有

x-x2<0,x-X]>0,x>0,則:

/(x)+g(x)-znr=x(x-xl)(x-x2)<0；Xf(x^+g^y-mx^=0

所以函數(shù)在%]上的最大值為。，于是當(dāng)機(jī)＜0時(shí)對(duì)任意的%],

人恒成立；綜上：”的取值圍是（一如）。

sinx17C

文7.曲線-----------G在點(diǎn)加（二，0）處的切線的斜率為（）

sinx+cos尤24

“11V2D立

A.一一B.-C.------

222,2

答案：B

cosx(sinx+cosx)-sinx(cosx-sinx)1

解析：y,所以

(sinx+cos(sinx+cos

]\_

訓(xùn).

X--/?乃乃\22

(sin—+cos-)

44

8.已知函數(shù)fix)=e'-l,g(x)=-x2+4尤一3,若有f(a)=g(b),則b的取值圍為

A.[2-V2,2+V2]B.(2-V2,2+V2)C.[1,3]D.(1,3)

答案：B

解析：由題可知/(x)=e*-l>-l,^(X)=-X2+4^-3=-U-2)2+1<1,若有

/(a)=g(匕則即―/+40_3〉_],解得2-也<b<2+0

12.已知/(x)為奇函數(shù)，g(x)=/(x)+9,g(—2)=3,則〃2)=.

答案：6

解析：g(—2)=/(—2)+9=3,5UJ/(—2)=—6,又/(幻為奇函數(shù)，所以/(2)=—/(—2)=6。

22.(本小題13分)

設(shè)函數(shù)/(x)=x-」-alnx(ae/?).

X

⑴討論/(X)的單調(diào)性；

（II）若/（X）有兩個(gè)極值點(diǎn)％和工2,記過點(diǎn)45,/（%））,5（%,/（々））的直線的斜率為左，

問：是否存在。，使得左=2—a?若存在，求出。的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

解析：⑴/（x）的定義域?yàn)椋?,+8）.

小)=1+:a—QX+1

x

令g(x)=x?-or+1,其判別式=a2-4.

(1)當(dāng)|。區(qū)20寸，<0,/'(幻20,故/。)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

⑵當(dāng)”—2時(shí)，>0,晨x)=0的兩根都小于0,在。+8上，尸(幻>0,故/(分由>w

上單調(diào)遞增.

(3)當(dāng)a>2H寸，>0,g(x)=0的兩根為S="一,一4；-4,

當(dāng)0<無<%時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)X|<x<々時(shí)，f\x)<0；當(dāng)x>/時(shí)，f\x)>0,

故/(%)分別在(0,玉),(々,+8)上單調(diào)遞增，在(%,乙)上單調(diào)遞減.

(II)由⑴知，a>2.

因?yàn)?(M)一/(々)=(玉一無，)+當(dāng)一^--aOnx,-lnx2),所以

A_/(XI)_/(X2)_1,13nxiTn%2

K——1HCl

X}-X2x]x2Xj-x2

又由(I)知，玉々=1.于是左=2一一見上

玉一々

若存在。，使得攵=2—a則見百~—%=].即In玉-Inx,=玉一々.亦即

x2---21nx2=0(x2>1)(*)

&-

再由(D知，函數(shù)力(f)=r-1-2hw在(0,+oo)上單調(diào)遞增，而々>1,所以

X,-----21n龍2>1----21nl=0.這與(*)式矛盾.故不存在a,使得左=2—a

x,1

7171

理6.由直線1=-9/=石,》=0與曲線^=以九》所圍成的封閉圖形的面積為()

I

A.—B.1C.--D.>/3

22

答案：D

3￡八八

解析：由定積分知識(shí)可得5=[cosx，a=sinx|*=一一(——)=6,故選D。

。-三22

3

8.設(shè)直線x=，與函數(shù)/(x)=Y,g(x)=Inx的圖像分別交于點(diǎn)M,N,則當(dāng)|MN|達(dá)到最小

時(shí)/的值為()

“1亞x/2

A.1B?-C.----D,----

222

答案：D

解析：由題IMN|=f-Inx,(x>0)不妨令〃(x)=f-Inx,則/f*2=x一,，令"打住

x

解得彳=等，因xeQ當(dāng)時(shí)，〃(x)<0,當(dāng)xe(**o)時(shí)，〃(%)>0,所以當(dāng)％=等

V2

時(shí)，|"N|達(dá)到最小。即/=2-。

20.如圖6,長(zhǎng)方形物體E在雨中沿面P(面積為S)的垂直方向作勻速移動(dòng),速度為v(v>0),

雨速沿E移動(dòng)方向的分速度為c(ce/?)。E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間的淋雨量包括兩部分：(1)P或

P的平行面(只有一個(gè)面淋雨)的淋雨量，假設(shè)其值與W-d'S成正比，比例系數(shù)為木；(2)

其它面的淋雨量之和，其值為g,記》為E移動(dòng)過程中的總淋雨量，當(dāng)移動(dòng)距離d=100,面

積S=一時(shí)。

2

(I)寫出y的表達(dá)式

(D)設(shè)OVV<1O,OVC<5,試根據(jù)c的不同取值圍，確定移動(dòng)速度V,使總淋雨量y最少。

31

解析：(D由題意知，E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間的淋雨量為三|y-c|+5，

,100,3,,1、5c，八

故丁=---(―v-c+-)=-(3v-c+10).

v202v

(II)由⑴知，當(dāng)0<vWc時(shí)，y=-(3c-3v+10)=+-15；

vv

當(dāng)c<y410時(shí)，y=-(3v-3c+10)=5(1°-36)+15.

VV

5(3c+10)

-15,0<v<c

v

故y='

5(10-3c)

+15,c<v<10

(1)當(dāng)0<cW?■時(shí)，y是關(guān)于u的減函數(shù).故當(dāng)u=l()時(shí)，x?i,>=20-y0

(2)當(dāng)g<cW5時(shí)，在(0,c］上，y是關(guān)于v的減函數(shù)；在(c,10］上，y是關(guān)于v的增函數(shù);

…150

故當(dāng)v=c時(shí),y=-o

mjnC

22.(本小題滿分13分)

已知函數(shù)/(x)=%3,g(x)=x+4xo

(I)求函數(shù)h(x)=/(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；

(H)設(shè)數(shù)列｛仆｝(〃€；7*)滿足4=。3>0),/(a“+i)=g(a“)，證明：存在常數(shù)M,使得

對(duì)于任意的〃eN*,都有

解析：(I)由h(x)=X3-X-y［x知，xe［0-t,而〃(0=),且

h(1=:<仍住，-?2>),則x=0為〃*)的一個(gè)零點(diǎn)，且〃(x)在(1,2)有零點(diǎn)，因此

〃(x)至少有兩個(gè)零點(diǎn)

1_1?_11-3

解法1：歸)=31一y2,記心)=341丁2,則夕，⑴增+廣。

當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，0(幻>0,因此以幻在(0,+8)上單調(diào)遞增，則e(x)在(0,+8)至多只有

一個(gè)零點(diǎn)。又因?yàn)閑⑴>o,M弓)<0,則例幻在df』)有零點(diǎn)，所以在(0,+8)有

且只有一個(gè)零點(diǎn)。記此零點(diǎn)為X一則當(dāng)xe(0,X1)時(shí)，夕0)<夕'(工］)=0；當(dāng)xe(x，+8)時(shí),

8(x)>(p\x｝)=0；

所以，

當(dāng)xe(0,%)時(shí)，當(dāng)x)單調(diào)遞減,而〃(0)=0,則力(%)在(0,xJ無零點(diǎn);

當(dāng)XG(F，+OO)時(shí),當(dāng)X)單調(diào)遞增,則〃(X)在(%,+=。)至多只有一個(gè)零點(diǎn);

從而//(X)在(0,+°。)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。綜上所述，%(x)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。

」_1I3

解法2：h(x)=x(x2-,記夕(x)=d-1—x2,則研工)=2%+萬(wàn)兀3。

當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，<p\x)>0,因此e(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，則e(x)在(0,+8)至多只有

一個(gè)零點(diǎn)。因此飄幻在(0,+oo)也至多只有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上所述，力(x)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。

3

(II)記A(x)的正零點(diǎn)為4,即x0=x0+A。

(1)當(dāng)。<玉)時(shí)，由％=a,即q</.而43=4+，*<與+J與=/3,因此生<與，

由此猜測(cè)：an<x{)o下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

①當(dāng)〃=1時(shí)，q</顯然成立；

②假設(shè)當(dāng)”=以左21)時(shí)，有氏</成立，則當(dāng)〃=%+1時(shí)，由

a*+]=%.+Ja*<x()+J々)=知，4+i<X。，因此，當(dāng)〃=左+1時(shí)，4+i<x()成乂°

故對(duì)任意的〃GN*,an<X。成立。

(2)當(dāng)aNx°時(shí)，由(1)知，/z(x)在(％),+8)上單調(diào)遞增。則//3)2/7(玉))=0,即

3

a>a+4ao從而。2^=4+“"=。+JZw。',即生<4，由此猜測(cè)：an<ao下面用數(shù)

學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)〃=1時(shí)，44a顯然成立；

②假設(shè)當(dāng)〃=口々21)時(shí)，有心成立，則當(dāng)〃=k+1時(shí)，由

%+丁=4+G知，《+]<”，因此，當(dāng)"=&+1時(shí)，％+]<。成立。

故對(duì)任意的〃eN*,an<a成立。

綜上所述，存在常數(shù)陽(yáng)=0^^{%,。},使得對(duì)于任意的〃eN*,都有44M.

2.函數(shù)/(x)=log5(2x+l)的單調(diào)增區(qū)間是

答案：(一；‘+8)

解析：丫=1085”在(0,+°0)."=2x+l在X€(—3,+8),大于零，且增.

本題主要考查函數(shù)的概念，基本性質(zhì)，指數(shù)與對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)，容易題

2

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)/(幻=一的圖象交于P、Q兩點(diǎn),

x

則線段PQ長(zhǎng)的最小值是.

答案：4.

解析：設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)的直線與函數(shù)的交點(diǎn)為(x,2),(-%,--),則PQ=、(2x)2+(3)224.

xxVx

本題主要考查騫函數(shù)，函數(shù)圖象與性質(zhì)，函數(shù)與方程，函數(shù)模型及其應(yīng)用，兩點(diǎn)間距離公式以

及基本不等式，中檔題.

2x+a,x<\

1L已知實(shí)數(shù)函數(shù)/(x)=汽，，若/(I—。)=/(1+幻，則a的值為

—X-2a,x>1

3

答案：。=—:

4

解析：aH0.

33

a>0,2—2a+a=-1-a—2a,ci——,不符合'；。<0,-1+a—2a=2+2a+a,a=—.