經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)1.8-函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

19五月20241第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

第一章（ContinuityandDiscontinuityofFunction）三、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的連續(xù)性一、問(wèn)題的提出四、小結(jié)與思考題19五月20242一、問(wèn)題的提出（Introduction）0T(時(shí)間)溫度C41424一天的氣溫是連續(xù)地變化著，體現(xiàn)函數(shù)的連續(xù)性19五月20243二、函數(shù)的連續(xù)性（ContinuityofFunction）1.函數(shù)的增量19五月202442.連續(xù)的定義（DefinitionofContinuity）19五月20245在的某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)設(shè)函數(shù)且定義219五月202463.單側(cè)連續(xù)(One-sidedContinuity)左連續(xù)(LeftContinuity)

:當(dāng)時(shí),有右連續(xù)(RightContinuity):當(dāng)時(shí),有定理與單側(cè)極限相類似！19五月202474.連續(xù)函數(shù)(ContinuousFunction)若在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱它在該區(qū)間上連續(xù),或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

.如果此區(qū)間包含端點(diǎn)，那么（1）函數(shù)在左端點(diǎn)連續(xù)是指在左端點(diǎn)右連續(xù)，（2）函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是指在右端點(diǎn)左連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線．在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的集合記作19五月20248在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如,

有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).只要都有例如,19五月20249在內(nèi)連續(xù).證:即這說(shuō)明在內(nèi)連續(xù).同樣可證:函數(shù)在內(nèi)連續(xù).例1證明函數(shù)19五月202410例2

討論函數(shù)在處的連續(xù)性．解由于即左右極限不相等，所以該函數(shù)在但是，因?yàn)辄c(diǎn)不連續(xù)．，所以函數(shù)在處右連續(xù)．19五月202411三、函數(shù)的間斷點(diǎn)（DiscontinuityofFunction）定義3在在(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但

不連續(xù):設(shè)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,則這樣的點(diǎn)下列情形之一函數(shù)f(x)在點(diǎn)雖有定義

,但雖有定義

,且稱為間斷點(diǎn)

.在無(wú)定義

;19五月202412第一類間斷點(diǎn):及均存在,若稱若稱第二類間斷點(diǎn):及中至少一個(gè)不存在,稱若其中有一個(gè)為振蕩,稱若其中有一個(gè)為為可去間斷點(diǎn)

.為跳躍間斷點(diǎn)

.為無(wú)窮間斷點(diǎn)

.為振蕩間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)分類:19五月202413為其無(wú)窮間斷點(diǎn).為其振蕩間斷點(diǎn).為可去間斷點(diǎn).例如:19五月202414顯然為其可去間斷點(diǎn).(4)(5)為其跳躍間斷點(diǎn).19五月202415例3

當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)解因?yàn)橐梗瑒t需要．故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)．在處連續(xù)．19五月202416內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在第二類間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷的類型在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式19五月202417課前預(yù)習(xí)1、函數(shù)連續(xù)與函數(shù)極限的運(yùn)算法則的區(qū)別與聯(lián)系；2、初等函數(shù)在哪些點(diǎn)一定連續(xù)？19五月202418思考與練習(xí)1.

討論函數(shù)x=2是第二類無(wú)窮間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)的類型.答案:x=1是第一類可去間斷點(diǎn),19五月2024192.

討論函數(shù)在處的連續(xù)性。解：右連續(xù)但不左連續(xù),故函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)。19五月2024203.

討論下列函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，判斷其類別．習(xí)題