廣東省深圳市深南中學(xué)高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析

廣東省深圳市深南中學(xué)高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知sinα=3cosα，則sin2α+3sinαcosα=（） A． B．2 C．3 D．4參考答案：A【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用． 【專題】三角函數(shù)的求值． 【分析】用cosα表示sinα，再運(yùn)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系，用tanα表示出cosα即可求值． 【解答】解：∵sinα=3cosα， ∴tanα=3 ∴sin2α+3sinαcosα=9cos2α+9cos2α=18cos2α===． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，屬于基本知識(shí)的考查． 2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（﹣∞，0）內(nèi)為增函數(shù)的是（）A．y=（）x B．y=x﹣2 C．y=x2+1 D．y=log3（﹣x）參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷．【分析】逐一分析給定四個(gè)函數(shù)的奇偶性，及在（﹣∞，0）內(nèi)的單調(diào)性，可得答案．【解答】解：函數(shù)y=（）x是非奇非偶函數(shù)，在（﹣∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，故A不滿足條件；函數(shù)y=x﹣2既是偶函數(shù)又在（﹣∞，0）內(nèi)為增函數(shù)，故B滿足條件；y=x2+1是偶函數(shù)，但在（﹣∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，故C不滿足條件；y=log3（﹣x）是非奇非偶函數(shù)，在（﹣∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，故D不滿足條件；故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性判斷與證明，函數(shù)的奇偶性，熟練掌握各種基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．3.設(shè)，則、、的大小關(guān)系是

（A）

（B）（C）

（D）參考答案：B4.是定義在上的偶函數(shù)，且，則下列各式一定成立的（

）A

B

C

D參考答案：C略5.（5分）將函數(shù)的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的最小值是（） A． B． C． D． 參考答案：B考點(diǎn)： 兩角和與差的正弦函數(shù)；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： 函數(shù)解析式提取2變形后，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用平移規(guī)律得到平移后的解析式，根據(jù)所得的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即可求出m的最小值．解答： y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=2sin=2sin（x+m+），∵所得的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴m+=kπ+（k∈Z），則m的最小值為．故選B點(diǎn)評(píng)： 此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．6.已知，，且，，則的值為（

）A．0

B．

C.

D．1參考答案：B，所以，所以即為方程的根因此.

7.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則的值為A.-1

B.-2

C.-3

D.-4參考答案：C8.已知函數(shù)對(duì)任意的有，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的大致圖像為（

）參考答案：D略9.已知{an}是等差數(shù)列，且a2+a3+a10+a11=48，則a6+a7=（）A．12B．16C．20D．24參考答案：D考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a2+a11=a3+a10=a6+a7．代入已知即可得出．解答：解：∵{an}是等差數(shù)列，∴a2+a11=a3+a10=a6+a7．又a2+a3+a10+a11=48，∴2（a6+a7）=48，解得a6+a7=24．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10.已知直線，互相平行，則的值是（）A．

B．

C．或

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.有下列四個(gè)命題：

①、命題“若，則，互為倒數(shù)”的逆命題；

②、命題“面積相等的三角形全等”的否命題；

③、命題“若，則有實(shí)根”的逆否命題；

④、命題“若，則”的逆否命題。

其中是真命題的是

（填上你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)）。參考答案：①，②，③

，應(yīng)該得出12.lg100=

．參考答案：2【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】直接利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求解即可．【解答】解：lg100=2．故答案為：2．13.已知圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)與底面的直徑相等，則該圓柱的體積為

．參考答案：14.已知集合A={x|x≤2}，B={x|x＞a}，如果A∪B=R，那么a的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，2]【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算．【專題】集合．【分析】利用并集的性質(zhì)求解．【解答】解：∵集合A={x|x≤2}，B={x|x＞a}，A∪B=R，∴a≤2．∴a的取值范圍是（﹣∞，2]．故答案為：（﹣∞，2]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意并集的性質(zhì)的合理運(yùn)用．15.下列說(shuō)法中正確的有：①若0＜α＜，則sinα＜α＜tanα②若α是第二象限角，則是第一或第三象限角；③與向量=（3，4）共線的單位向量只有=，）；④函數(shù)f（x）=2x﹣8的零點(diǎn)是（3，0）．參考答案：①②【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①，利用單位圓及三角函數(shù)線，可得可得0＜α＜時(shí)，則sinα＜α＜tanα，②，若α是第二象限角，則，，是第一或第三象限角；③，與向量=（3，4）共線的單位向量有=，），；④，函數(shù)f（x）=2x﹣8的零點(diǎn)3．【解答】解：對(duì)于①，如圖，利用單位圓及三角函數(shù)線，可得AT＞（劣?。綪M，可得若0＜α＜，則sinα＜α＜tanα，故①正確

對(duì)于②，若α是第二象限角，則，，∴是第一或第三象限角，故②正確；對(duì)于③，與向量=（3，4）共線的單位向量有=，），，故③錯(cuò)；對(duì)于④，函數(shù)f（x）=2x﹣8的零點(diǎn)為3．故④錯(cuò)．故答案為：①②16.若x，則___________.參考答案：略17.已知，函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若在冪函數(shù)的圖象上，則__________；參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分12分)

不用計(jì)算器求下列各式的值：

(1)；

(2)。參考答案：19.（12分）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物數(shù)量P（mg/L）與時(shí)間t（小時(shí)）間的關(guān)系為P=P0e﹣kt．如果在前5個(gè)小時(shí)消除了10%的污染物，試求：（1）10個(gè)小時(shí)后還剩百分之幾的污染物？（2）污染物減少50%所需要的時(shí)間．（參考數(shù)據(jù)：ln2=0.7，ln3=1.1，ln5=1.6）參考答案：考點(diǎn)： 函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．專題： 應(yīng)用題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （1）由5小時(shí)后剩留的污染物列等式求出P=P0e﹣kt中k的值，得到具體關(guān)系式后代t=10求得10個(gè)小時(shí)后還剩污染物的百分?jǐn)?shù)；（2）由污染物減少50%，即P=50%P0列等式求解污染物減少50%所需要的時(shí)間．解答： （1）由P=P0e﹣kt，可知，當(dāng)t=0時(shí)，P=P0；當(dāng)t=5時(shí)，P=（1﹣10%）P0．于是有，解得，那么，∴當(dāng)t=10時(shí)，=81%P0．∴10個(gè)小時(shí)后還剩81%的污染物；（2）當(dāng)P=50%P0時(shí)，有，解得=．∴污染物減少50%所需要的時(shí)間為35個(gè)小時(shí)．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，由題意正確列出相應(yīng)的等式，考查了計(jì)算能力，是中檔題．20.某出租車租賃公司收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起價(jià)費(fèi)10元（即里程不超過(guò)5公里，按10元收費(fèi)），超過(guò)5公里，但不超過(guò)20公里的部分，每公里按1.5元收費(fèi)，超過(guò)20公里的部分，每公里再加收0.3元．（1）請(qǐng)建立租賃綱總價(jià)y關(guān)于行駛里程x的函數(shù)關(guān)系式；（2）某人租車行駛了30公里，應(yīng)付多少錢？（寫出解答過(guò)程）參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)起價(jià)費(fèi)10元（即里程不超過(guò)5公里，按10元收費(fèi)），超過(guò)5公里，但不超過(guò)20公里的部分，每公里按1.5元收費(fèi)，超過(guò)20公里的部分，每公里再加收0.3元，可得分段函數(shù)；（2）x=30，代入，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）由題意，起價(jià)費(fèi)10元（即里程不超過(guò)5公里，按10元收費(fèi)），超過(guò)5公里，但不超過(guò)20公里的部分，每公里按1.5元收費(fèi)，超過(guò)20公里的部分，每公里再加收0.3元，∴x≤5，y=10；5＜x≤20，y=10+（x﹣5）×1.5=2.5+1.5x；x＞20，y=10+15×1.5+（x﹣20）×1.8=1.8x﹣3.5，∴；（2）x=30，y=54﹣3.5=50.5元，答：租車行駛了30公里，應(yīng)付50.5元．21.已知一四棱錐P﹣ABCD的三視圖如圖所示，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)．（Ⅰ）求四棱錐P﹣ABCD的體積．（Ⅱ）若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，AC∩BD=O，求證：EO∥平面PAD；（Ⅲ）是否不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）四棱錐的底面是一個(gè)邊長(zhǎng)是1的正方形，一條側(cè)棱與底面垂直，由這條側(cè)棱長(zhǎng)是2知四棱錐的高是2，求四棱錐的體積只要知道底面大小和高，就可以得到結(jié)果．（Ⅱ）利用三角形中位線的性質(zhì)證明OE∥PA，由線面平行的判定定理可證EO∥平面PAD；（Ⅲ）不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE，證明BD⊥平面PAC即可．【解答】（Ⅰ）解：由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．…∴VP﹣ABCD=S?ABCD?PC=．…（Ⅱ）證明：∵E、O分別為PC、BD中點(diǎn)∴EO∥PA，…又EO?平面PAD，PA?平面PAD．…∴EO∥平面PAD．…（Ⅲ）不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE，…證明如下：∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，…∵PC⊥底面ABCD且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC，…又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC，…∵不論點(diǎn)E在何位置，都有AE?平面PAC，∴不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE．…22.已知函數(shù)為偶函數(shù)，(Ⅰ)求實(shí)數(shù)t的值；(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)的值域?yàn)?？若存在?qǐng)求出實(shí)數(shù)a，b的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：（Ⅰ）函數(shù)為偶函數(shù)