2022年廣東省梅州市長潭中學(xué)高一數(shù)學(xué)文測試題含解析

2022年廣東省梅州市長潭中學(xué)高一數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若滿足約束條件，則的最大值是（

）A．8

B．7

C.

4

D．0參考答案：A2.判斷下列各命題的真假：（1）向量的長度與向量的長度相等；（2）向量與向量平行，則與的方向相同或相反；（3）兩個有共同起點的而且相等的向量，其終點必相同；（4）兩個有共同終點的向量，一定是共線向量；（5）向量和向量是共線向量，則點A、B、C、D必在同一條直線上；(6）有向線段就是向量，向量就是有向線段.其中假命題的個數(shù)為（）A、2個B、3個C、4個D、5個

參考答案：C3.已知，若，則等于（

）A．3

B．5

C．7

D．9參考答案：C4.函數(shù)的圖象大致為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】可用排除法選擇，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，當(dāng)x＜0時f（x）＞1且為減函數(shù)，當(dāng)x＞0時由指數(shù)函數(shù)的圖象可排除D．【解答】解：當(dāng)x＜0時f（x）＞1且為減函數(shù)可排除B，C當(dāng)x＞0時由指數(shù)函數(shù)的圖象可排除D故選A5.函數(shù)f（x）=的圖象如圖所示，則a+b+c等于（）A．6 B．7 C．﹣2 D．﹣1參考答案：B【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】方程思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)系建立方程組進(jìn)行求解即可．【解答】解：當(dāng)x≥﹣1時，函數(shù)過（﹣1，0），即ln（﹣1+c）=0，即c﹣1=1，則c=2，函數(shù)f（x）過（﹣2，﹣1）和（﹣，0），則得a=2，b=3，則a+b+c=2+3+2=7，故選：B．【點評】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合已知條件，建立方程組是解決本題的關(guān)鍵．6.與角-終邊相同的角是（）A．

B.

C.

D.參考答案：C7.已知，那么的值為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B8.設(shè)函數(shù)f（x）=logax（a＞0且a≠1），若f（x1x2…x2017）=8，則f（x12）+f（x22）+…+f（x20172）的值等于（）A．2loga8 B．16 C．8 D．4參考答案：B【考點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，f（x1x2…x2017）=8，可得，f（x12）+f（x22）+…+f（x20172）=f[（x1x2…x2017）]2可得答案．【解答】解：函數(shù)f（x）=logax（a＞0且a≠1），∵f（x1x2…x2017）=8，即f（x1）+f（x2）+…+f（x2017）=logax1+logax22+…+logax2017=8∵f（x2）=logax2=2logax那么：f（x12）+f（x22）+…+f（x20172）=2[f（x1）+f（x2）+…+f（x2017）]=2×8=16．故選：B9.在△ABC中，C=90°，，則A．

B．

C．1

D．參考答案：C10.函數(shù)的定義域是（

）

A.

B.

C.

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點，線段AB的中點坐標(biāo)為

參考答案：12.一組數(shù)據(jù)按從小到大順序排列,得到-1,0,4,x,7,14中位數(shù)為5,求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差______________，______________參考答案：

5

，

13.（5分）已知O是△ABC所在平面上一點，若（+）?=（+）?=（）?=0，則O點是三角形的

心．參考答案：外考點： 平面向量數(shù)量積的運算．專題： 計算題；平面向量及應(yīng)用．分析： 運用向量的三角形法則和向量的平方即為模的平方，結(jié)合三角形的外心的概念，即可得到．解答： 由（+）?=0，即（+）?（﹣）=0，即﹣=0，即有||=||，由（+）?=0，即（+）?（﹣）=0，即有﹣=0，即有||=||．則有||=||=||．則O為三角形ABC的外心．故答案為：外點評： 本題考查平面向量的三角形法則和向量的平方即為模的平方的性質(zhì)，考查三角形的外心的概念，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．14.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則的通項＝

.參考答案：略15.函數(shù)的對稱中心為：

；參考答案：令所以函數(shù)的對稱中心為.

16.設(shè)函數(shù)，若用表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，則函數(shù)的值域為_____________.參考答案：17.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=7：8：13，則C=

度．參考答案：120【考點】HP：正弦定理．【分析】利用正弦定理可將sinA：sinB：sinC轉(zhuǎn)化為三邊之比，進(jìn)而利用余弦定理求得cosC，故∠C可求．【解答】解：∵由正弦定理可得sinA：sinB：sinC=a：b：c，∴a：b：c=7：8：13，令a=7k，b=8k，c=13k（k＞0），利用余弦定理有cosC===，∵0°＜C＜180°，∴C=120°．故答案為120．【點評】此題在求解過程中，先用正弦定理求邊，再用余弦定理求角，體現(xiàn)了正、余弦定理的綜合運用．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣m在區(qū)間上有兩個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】H1：三角函數(shù)的周期性及其求法；H5：正弦函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）利用查三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．（2）由題意利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的值域，根據(jù)f（x）的圖象和直線y=m在區(qū)間上有兩個不同的交點，結(jié)合f（x）的圖象求得m的范圍．【解答】解：（Ⅰ）依題意得，=，故函數(shù)f（x）的最小正周期為；由，求得，∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為．（Ⅱ）∵，∴，∴，∴1≤f（x）≤3，由函數(shù)g（x）=f（x）﹣m在區(qū)間上有兩個不同的零點，可知f（x）=m在區(qū)間內(nèi)有兩個相異的實根，即y=f（x）圖象與y=m的圖象有兩個不同的交點．在區(qū)間上，2x+∈[，π]，sin（2x+）∈[0，1]，f（x）=2sin（2x+）+1∈[1，3]，結(jié)合圖象可知，當(dāng)時，兩圖象有兩個不同的交點，∴實數(shù)m的取值范圍是．19.某市某年一個月中30天對空氣質(zhì)量指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)如下：61

76

70

56

81

91

55

91

75

8188

67

101

103

57

91

77

86

81

8382

82

64

79

86

85

75

71

49

45（Ⅰ）完成下面的頻率分布表；（Ⅱ）完成下面的頻率分布直方圖，并寫出頻率分布直方圖中a的值；（Ⅲ）在本月空氣質(zhì)量指數(shù)大于等于91的這些天中隨機選取兩天，求這兩天中至少有一天空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[101，111）內(nèi)的概率．分組頻數(shù)頻率[41，51）2[51，61）3[61，71）4[71，81）6[81，91）

[91，101）

[101，111）2參考答案：【考點】BD：用樣本的頻率分布估計總體分布；B8：頻率分布直方圖．【分析】（I）先將數(shù)據(jù)從小到大排序，然后進(jìn)行分組，找出頻數(shù)，求出頻率，立出表格即可．（II）先建立直角坐標(biāo)系，按頻率分布表求出頻率/組距，得到縱坐標(biāo)，畫出直方圖即可；利用空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[71，81）的頻率，即可求出a值．（III）樣本中空氣質(zhì)量質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[91，101）內(nèi)的有3天，記這三天分別為a，b，c，質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[101，111）內(nèi)的有2天，記這兩天分別為d，e，列舉出基本事件及符合條件的事件，根據(jù)概率公式求出相應(yīng)的概率即可．【解答】解：（Ⅰ）如下圖所示．

…（Ⅱ）如下圖所示．…由己知，空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[71，81）的頻率為，所以a=0.02．…分組頻數(shù)頻率………[81，91）10[91，101）3………（Ⅲ）設(shè)A表示事件“在本月空氣質(zhì)量指數(shù)大于等于91的這些天中隨機選取兩天，這兩天中至少有一天空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[101，111）內(nèi)”，由己知，質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[91，101）內(nèi)的有3天，記這三天分別為a，b，c，質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[101，111）內(nèi)的有2天，記這兩天分別為d，e，則選取的所有可能結(jié)果為：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）．基本事件數(shù)為10．…事件“至少有一天空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[101，111）內(nèi)”的可能結(jié)果為：（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）．基本事件數(shù)為7，…所以P（A）=．…20.（本小題滿分12分）已知，其中，如果A∩B=B，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：∵

∴又∵是奇函數(shù)

∴

………………4分

又∵在定義域上單調(diào)遞減∴

………………4分∴的取值范圍是………………12分21.已知函數(shù)．（1）求f（x）的值域和最小正周期；（2）方程f（x）=m在內(nèi)有解，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；H2：正弦函數(shù)的圖象．【分析】（1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）內(nèi)有時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得f（x）的值域．即得實數(shù)m的取值范圍．【解答】解：函數(shù)．化簡可得：f（x）=2cos（x+）?sin（x+）﹣×2cos2（x+）=sin（2x+）cos（2x+）=2sin（2x+）﹣（1）∵﹣1≤sin（2x）≤1．∴﹣2﹣≤2sin（2x）﹣≤2﹣，最小正周期T==π，即f（x）的值域為，最小正周期為π．（2）當(dāng)x∈時，∴2x+∈[]，故sin（2x+）∈[]，即實數(shù)m的取值范圍是[]．【點評】本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．22.已知函數(shù)f（x），g（x）滿足關(guān)系g（x）=f（x）?f（x+α），其中α是常數(shù)．（1）設(shè)f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；（2）設(shè)計一個函數(shù)f（x）及一個α的值，使得；（3）當(dāng)f（x）=|sinx|+cosx，時，存在x1，x2∈R，對任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1-x2|的最小值．參考答案：（1）（2）f（x）=2cosx，α=-（3）【分析】（1）求出f（x+α），代入g（x）=f（x）?f（x+α）化簡得出．（2）對g（x）化簡得=4cosx?cos（x-），故f（x）=2cosx，α=-．（3）求出g（x）的解析式，由題意得g（x1）為最小值，g（x2）為最大值，求出x1，x2，從而得到|x1-x2|的最小值.【詳解】（1）∵f（x）=cosx+sinx，∴f（x+α）=cos（x+）+sin（x+）=cosx-sinx；∴g（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）=cos2x-s