2020年新高考數學多選題與熱點解答題組合練（解析版）

基礎套餐練01

一、多選題

1.在某次高中學科競賽中，4000名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖所示，60分以下視為不及格，若同一組中的

數據用該組區(qū)間中點值為代表，則下列說法中正確的是()

A.成績在［70,80)分的考生人數最多

B.不及格的考生人數為1000

C.考生競賽成績的平均分約為70.5分

D.考生競賽成績的中位數為75分

【詳解】

解：由頻率分布直方圖可得，成績在［70,80)內的頻率最高，因此考生人數最多，故4正確；由頻率分布

直方圖可得，成績在［40,60)的頻率為0.25,因此，不及格的人數為4000x0.25=1000,故B正確；由頻

率分布直方圖可得，平均分為45x0.1+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.15+95x0.1=70.5,故C正

確;因為成績在［40,70)內的頻率為0.45,［70,80)的頻率為0.3,所以中位數為70+10x^^71.67,

故O錯誤，故選：ABC.

2.若函數/Cx)=2sin(x+2e)-cosx(0<e<5］的圖象過點(0,2),則結論不成立的是()

A.點(?,()］是y=/(x)的一個對稱中心B.直線x=q是y=/(x)的一條對稱軸

C.函數y=/(x)的最小正周期是2"D.函數y=/(x)的值域是［0,2］

【詳解】由函數/(%)=2sin(x+2。)?cosx0<6<U的圖象過點(0,2),

7171

可得2sin26=2,即sin2夕=1,0<2。<"，.二2夕=一,「.夕=一,

24

故/(工)=2sin(x+26)?cosx=2cos2x=cos2x+l,

71

當工=一時,/(%)=［故A、B都不正確;

4

2乃

/(X)的最小正周期為一=%,故C不正確;

2

顯然,f(x)=cos2x+le[0,2],故D正確，故選:ABC

，2

3.已知雙曲線'■-￡=l（a>0/>0）的左、右焦點分別為耳，工，P為雙曲線上一點，且歸國=2|PR|,

若sinN6P6=孚，則對雙曲線中。，4&e的有關結論可能正確的是（）

A.e=>/6B.e=2C.b=\[5aD.b-yf^a

【詳解】由雙曲線的定義有歸耳|一歸周二2斯乂|尸盟=2|尸周，故仍周=2么|尸制=如

乂sin/^P瑪=萼,所以85/6尸6=±J1-

在焦點三角形△耳中，F、F；=P耳2+PF；—2PF?.PF2-cos/耳P6,即

4c~=16a-+4a~-2-4a?2a{±[[,化簡得c?=6,/或c?=41,即e=瓜或e=2.

當c2=6。2時a?+=6a2nb、5a2即b=45a-

當c?=4a2時/+/=4a2=白=3a2即人=.綜匕ABCD均可能正確.

4.如圖，正方體ABCD—A4C；R的棱長為1,動點E在線段AG上，F,M分別是40、。的中點,

則下列結論中正確的是（）

A.FM/g

B.反以，平面CC/

C.存在點E,使得平面跳下〃平面CG

D.三棱錐8-CE尸的體積為定值

【詳解】在A中，因為分別是AZ）,CO的中點，所以FMHAC/g，故A正確;

BCCD

在B中，因為tanNBMC=——=2.tanZCFD=——=2,故ZBMC=ZCFD,

CMFD

TT

故ZBMC+NDCF=NCFD+NDCF=耳.故_Lb,又有6M，G。，

所以，平面CG尸，故B正確；

在C中,BE與平面CG2。有交點，所以不存在點E，使得平面BEF〃平面CGRD,故C錯誤.

在D中,三棱錐B-CEF以面BCF為底，則高是定值，所以三棱錐B-CEF的體積為定值，故D正確.

故選：ABD.

二、解答題

5.正項數列｛4｝的前n項和Sn滿足：Sj-(n2+H-l)S?-(n2+H)=0

(1)求數列｛為｝的通項公式/；

,?+15

(2)令2=7~不「"，數列｛bn｝的前n項和為Tn,證明：對于任意的n￡N*,都有TnV).

(〃+2)an64

【詳解】(1)因為數列｛明,｝的前〃項和S”滿足：Si一(M+n-l)5?一(M+n)=0,

22

所以當〃=1時，S?-(l4-l-1)5J-(I+1)=0,BPS?-S]-2=0解得S1=2或Si=-1,

因為數列｛廝｝都是正項，所以g=2,

22

因為度—(n+n—l)Sn—(n+n)=0，所以|S”一(7/+n)](Sw+1)=0，

解得Sn=/+〃或5"=一1,因為數列｛冊｝都是正項，所以Sn=M+。，

J

當〃》2時，有n”=S1f—Sn_p所以=M+〃—[(〃—1)4-(n—1)],解得=2/n

當n=l時，m=5i—2,符合-=2n所以數列｛QQ的通項公式an=2m〃WN';

/八"+1,,,n+1n+1111,

(2)因為力〃=Z2，Hrrli以力〃=3，~To~\2=1~2/.n\2=771r—2.7.

所以數列｛鼠｝的前n項和T”為：

I.?1111,1I,11,

.=而°r一短+7一?+*-市+…-戶+得一不肖]

111151r11

=而口+22-(n+I)2-(n+2戶上而一?l(n+l)2+(n+2)2^

當“€N,時，有初-訪h+1戶+(熊+2)水而，所以K?＜小

所以對于任意nWN,,數列｛鼠｝的前n項和乙＜總

6.在ABC中，角A氏C所對的分別為4,〃,。，向量機=(2a-，向量〃=(cos8,cosC),

且m//n-

(1)求角。的大小；

(2)求》=5m4+6411(8—搟)的最大值.

【詳解】(I)因為加//〃，所以24cosc-百bcosC-百ccos3=0

由正弦定理知：2sinAcosC-V3(sinBcosC+sinCcos8)=0,2sinAcosC-＞/3sin(B+C)=0

2sinAcosC—6sin(萬一A)=0,2sinAcosC-V3sinA=0，

又A為三角形內角，故sinA>0,

所以，2cosc-6=0,即cosC=@，C為三角形內角，故。=[；

26

（2）由（1）知:4+8=萬一0=且，則3—[=￡-A,Ae（0,所以

632I6）

y=sinA+V3sin（5-y）=sinA+百sin6-4）=sinA+6cosA=2sin（A+g）,Ae（0,即），

苧],則A+故A+^=匹，即4=工時，V取最大值2.

I6J3[36）326

7.如圖，矩形ABC。所在的平面垂直于平面AE5,。為AB的中點，NAEB=90°,NE48=30°,

AB=2。AD=3.

（1）求異面直線。。與所成角的余弦值；

（2）求二面角A-OE-C的正弦值.

【詳解】矩形A8CD所在的平面垂直于平面A即，。為A5的中點，在平面AEB內過。作AB的垂線交

AE于M，根據面面垂直的性質可得MO_L平面ABCD，

同理在平而ABCD內面。作的垂線交CD:N，根據面面垂直的性質可得NO_L平面A￡3,所以

OMQBQN兩兩互相垂直，

如圖所示，建立空間直角坐標系，DNC

因為NAEB=9G/EAB=30°，所以BE=；AB3-

易得C(0,G,3),D(0,—g,3),Ej，*，0M(0,-

的）'

/

(1)由上述點坐標可知，OC=(0,G,3),OE=二妥,一3,所以也線。C與所成角的余弦值

22J

12-9廣

0\OCDE\\2V6

-\0C\.\DE\^^^-8：

^33/3、

(2)因為4。=(0,0,3),。石=大，+，-3,DC二二（0,26,0）,設平面ADE1的法向量為加=（%,y,zj,

(22J

AD?機=3Z[=0

石=-3二取一=1,可得加=（一百J,。）,

則〈33\/3解得＜

DE?=—%H----y.-3z.=04=0

21211

DC-n-2V=0

設平面DEC的法向量為〃=（々,%，22），則,。艮〃=|馬+孚％-3Z2=0

x7=2Z7

解得《~八：取z=l，可得力=(2,0,1),

1%=0

\m-n\2V3

設二面角A—。E—C的平面角為a，則|cosa|=6

ImI-InIV3+1-A/4+1忑‘

8.追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質量，某城市

環(huán)保局隨機抽取了一年內100天的空氣質量指數CAQD的檢測數據，結果統(tǒng)計如表：

AQI[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]

空氣質量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染

天數61418272510

（1）從空氣質量指數屬于［0,50J,（50,100］的天數中任取3天，求這3天中空氣質量至少有2天為優(yōu)的

概率；

（2）已知某企業(yè)每天因空氣質量造成的經濟損失y（單位：元）與空氣質量指數x的關系式為

0,9<x<100

y=p20,100<x<250,假設該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、

1480,250<x<300

重度污染、嚴重污染的概率分別為9月每天的空氣質量對應的概率以表中io。天的空氣

63612126

質量的頻率代替.

（/）記該企業(yè)9月每天因空氣質量造成的經濟損失為X元，求X的分布列；

（?）試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個月因空氣質量造成的經濟損失總額的數學期望是否會超過2.88萬

元？說明你的理由.

【詳解】（1）設^為選取的3天中空氣質量為優(yōu)的天數，

C31

則P(4=2)

CJ57’

71?3

則這3天中空氣質量至少有2天為優(yōu)的概率為」-+—=；

3857114

20

(2)(i)尸(X=0)=P(04x<100)=前

5

525。)=強7

P(X=220)=P(100

10

1

P(X=1480)=P(250<x<300)=—

)10010

X的分布列如下:

X02201480

271

p

5io-10

171

(")由⑺可得：E(X)=0x-+220x—+1480X—=302(元),

51010

故該企業(yè)9月的經濟損失的數學期望為30E(X),即30E(X)=9060元,

設7月、8月每天因空氣質量造成的經濟損失為y元，可得：p(y=0)=-+---,

632

P(y=220)=-+—+—尸(y=1480)=，,E(D=0x-+220x-+1480xi=320(元),

,7612123\)6636

所以該企業(yè)7月、8月這兩個月因空氣質量造成經濟損失總額的數學期望為320x(31+31)=19840(元),

由19840+9060=28900>28800,即7月、8月、9月這三個月因空氣質量造成

經濟損失總額的數學期望會超過2.88萬元.

9.如圖，己知點尸為拋物線C：/=2px(p>0)的焦點，過點F的動直線/與拋物線C交于M,N

兩點，且當直線/的傾斜角為45。時，|MN|=16.

(1)求拋物線C的方程.

(2)試確定在x軸上是否存在點P,使得直線PM,PN關于x軸對稱？若存在，求出點尸的坐標；若不存

在，請說明理由.

【詳解】解：(1)當直線/的傾斜角為45。，則/的斜率為1,

F(日,o),；./的方程為y=》一春.

P

…不得/

由VN(W，%),則%+工2=3，，

=2px,

.?.|"兇=與+9+〃=4〃=16,。=4,.?.拋物線C的方程為>2=8》.

（2）假設滿足條件的點尸存在,設尸（a,0）,由⑴知尸（2,0）,

①當直線/不與x軸垂直時，設/的方程為y=A（x—2）（左。0）,

<—2'得(4〃+8卜+4-=°，A=(4A:2+8)2-4.A:2.4A:2=64A:2+64>0,

由

4*24區(qū)

西十%二—=，=4;?直線PM,PN關于X軸對稱,

k

?k+k-0k-"(?~~2)卜-M%-2)

??人PMT、PN_u9RpM~，凡PN~

xx-ax2-a

Mx_2)(/_〃)+%(工2—2)(工］_Q)=攵［2內工2—(〃+2)(工1+9)+4〃］二—一〃+2)二0,

，a=-2時，此時尸（一2,0）.

②當直線/與X軸垂直時，由拋物線的對稱性，易知尸M,PN關于X軸對稱，此時只需P與焦點F不重合

即可.綜上，存在唯一的點P（-2,0）,使立線PM,PN關于x軸對稱.

10.已知函數=一號產x—141nx的圖象在點。，/⑴）處的切線方程為10x+y+0=0.

（1）求〃，b的值;

（2）若加對xe（O,a）恒成立，求"?的取值范圍.

【詳解】解：（1）f'（x）=3ajc2-^-^--—

、）10x

因為/（X）在（1,/。））處的切線方程為10x+y+b=0,即y=-10x-6此時切線斜率％=—10.

則/'(1)=3。一^^-14=火=—10,解得〃=

v7103

所以/(x)=-x3-^^^x-141nx=-x3+3x-141nx,

v73103

所以/"(i)=J_xF+3xl—+—

v,33333

(2)由(1)知/(力=；X3+3尤一141n%,/'(%)=X2+3-3=__—,

設函數g(x)=V+3x—14(x>0),則<(%)=3%2+3>0,所以g(x)在(0,+8)為增函數，因為g⑵=0.

令g(x)<0,得0cx<2；令g(x)>0,得x>2,

所以當0<x<2吐/'(x)<0；當x>2時J'(x)>0,

所以/(x)min=/(2)=1x23+3x2-141n2=y-141n2,

126

從而一根<----141n2,即根<26—421n2

33

基礎套餐練02

一、多選題

1.空氣質量指數4Q/是反映空氣質量狀況的指數，AQ/指數值越小，表明空氣質量越好，其對應關系如表:

AQI指數值0~5051^100101~150151~200201^300>300

空氣質量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染

如圖是某市12月1日-20日AQ/指數變化趨勢:

下列敘述正確的是（）

A.這20天中AQI指數值的中位數略高于100

B.這20天中的中度污染及以上的天數占L

4

C.該市12月的前半個月的空氣質量越來越好

D.總體來說，該市12月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據折線圖和AQ/指數與空氣質量對照表，結合選項，進行逐一分析即可.

【詳解】

對4將這20天的數據從小到大排序后，第10個數據略小于100,第11個數據約為120,

因為中位數是這兩個數據的平均數，故中位數略高于100是正確的，故A正確：

對8：這20天中，AQ/指數大于150的有5天，故中度污染及以上的天數占!是正確的，

4

故B正確；

對C：由折線圖可知，前5天空氣質量越來越好，從6日開始至15日越來越差，

故C錯誤；

對D：由折線圖可知，上旬大部分AQ/指數在100以下，中旬AQ/指數大部分在100以上,

故上旬空氣質量比中旬的要好.故D正確.

故選:ABD.

【點睛】

本題考查統(tǒng)計圖表的觀察，屬基礎題；需要認真看圖，并理解題意.

2.已知Q<c<b<\,下列不等式成立的是（）

bc

A.a>aB.C.logfta<log（.aD.—^―

bb+ab+ac+a

【答案】ACD

【解析】

【分析】

1

由指數函數的單調性可判斷A；由作差法和不等式的性質可判斷5；可根據換底公式，取log〃a=-----

log"b

1

log,a=;——，運用對數函數單調性，可判斷C；運用作差法和不等式的性質，可判斷。.

log“c

【詳解】

illa>1.0<c<b<l,可得故A正確;

￡,￡±￡可得="+M—反一為=—,cc+a

山a>1,0<c<Z?<l.一<----故3錯誤;

bb+ab^b+a)b(b+a)bb+a

,1,111

a

由a>l,0<c<Z?<l,logfc?=------>>og,=------，則也〃c也><，則^一-<---<o,

log“hlog?clog”hlog.c

可得log,,a<log?a,故C正確;

bbc-^-ba-cb-ca_hc

>。可得----->-，--故---。

由a>lf0<c<b<l?

b+ac+a(/7+Q)(C+Q)(b+Q)(c+〃)b+ac+a

正確.

故選:ACD

【點睛】

本題考查不等式基本性質和利用指數函數、對數函數單調性比較大小，屬于基礎題.

-----x>2

3.已知定義域為R的奇函數/（X）,滿足/（耳=彳2%—3，，下列敘述正確的是（）

x2-2x+2,Q<x<2

A.存在實數k,使關于x的方程/（力=質有7個不相等的實數根

B.當一1cxi<々<1時，恒有/（七）〉/^%）

C.若當％e（O,a］時，/（x）的最小值為1,貝ijae1,1

33

D.若關于X的方程1和/（力=加的所有實數根之和為零，則加=一持

【答案】AC

【解析】

【分析】

根據函數是奇函數，寫出其解析式，畫出該函數的圖像，再結合選項，數形結合解決問題.

【詳解】

因為該函數是奇函數，故/（X）在R上的解析式為:

-^―,(x<-2)

2x+3

—x^—2x—2,(-2<x<0)

/(》)=,0,(x=l)

x2-2x+2,(0<x<2)

2,(x>2)

2x—3

繪制該函數的圖像如下所示:

對4如圖所示直線4與該函數有7個交點，故A正確：

對氏當-1＜玉＜々＜1時，函數不是減函數，故8錯誤；

對C：如圖直線4：y=i，與函數圖交于（1,1）,（：』），

故當/（X）的最小值為1時，ae1,1,故C正確；

對。：/（X）=：時，若使得其與/（%）=加的所有零點之和為o,

33

則根=—耳，或機=一萬，如圖直線"，故D錯誤.

故選：AC.

【點睛】

本題考查由函數的奇偶性求函數解析式，以及判斷方程的根的個數，以及函數零點的問題，涉及函數單調

性，屬綜合性基礎題；另，本題中的數形結合是解決此類問題的重要手段，值得總結.

4.如圖，矩形ABC。，M為的中點，將△，出W沿直線AM翻折成,連接用。，N為四。

的中點，則在翻折過程中，下列說法中所有正確的是（）

BM

A.存在某個位置，使得CNLAg;B.翻折過程中，CN的長是定值:

C.若A6=BM，則D.若AB=8W=1，當三棱錐與-AM。的體積最大時,

三棱錐B,-AMD的外接球的表面積是4萬.

【答案】BD

【解析】

【分析】

對于A取的中點為E，連接CE交M￡＞于點/，則NEABt,NFMB,

由CNJ_AB|,則ENJ_CN,從而判斷A,對于B,由判斷A的圖以及余弦定理可判斷B：對于C由線面

垂直的性質定理即可判斷；對于D根據題意知，只有當平面&AM_L平面4WO時，

?棱錐用一AM。的體積最大，取AD的中點為E，

連接OE,B{E,ME,再由線面垂直的性質定理即可判斷；

【詳解】

對于A,取4）的中點為E，連接CE交于點F，如圖1

圖】

則NEAB,,NFMB1

如果CN_LA4，則ENLCN,

由于Ag±MB1,則ENINF,

由于三線NE,NF,NC共面且共點，

故這是不可能的，故不正確；

對于B,如圖1，由NNEC=NMAg,

且==EC,

2

???在ACEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC?cosNNEC，也是定值,

故NC是定值，故正確；

對于C,如圖2

AB=BM，即AB]=B]M，則AM_L40

若由于4。BQ=B1,

且平面。。片，

.?.AMJ_平面。。4，0。匚平面。。4，

.?.OD_LAM，則AD=ME>,

由于ADwMD，故AM，耳。不成立，故不正確；

對于D,根據題意知，只有當平面用AM_L平面凡做。時,

三棱錐耳-AMD的體積最大，取A￡>的中點為E，

連接如圖2

AB=BM=1，則A4=6|M=1,

且AB,,平面用AMc平面AMD=AM

610_LAM.4。i平面B]AM

???旦。，平面AMD，OEu平面AMD

:.BQ上OE,

1r

則=

B]O=-AM

易知E4=￡D=EM=1

A￡＞的中點E就是三棱錐用-AMD的外接球的球心，球的半徑為1,

表面積是4萬，故D正確；

故選：BD

【點睛】

本題主要考查了立體幾何中的翻折問題，考查了學生的空間想象能力以及立體幾何中的垂直性質定理，余

弦定理，綜合性比較強，屬于難題.

二、解答題

5.AABC的內角A6,C的對邊分別為a,4c,已知2a+）=2ccosB,c=JL

（1）求角C；

（2）延長線段AC到點D,使CD=CB,求八旬。周長的取值范圍.

27r

【答案】⑴—（2）（26,3百）

【解析】

【分析】

⑴利用余弦定理cosB=巴士——化簡整理再川角C的余弦定理即可.也可以用正弦定理先邊化角，再利

2ac

用和差角公式求解.

（2）易得AABD的周長等于2a+6+G，再利用正弦定理將用角A8表示,再利用三角函數的值域方法

求解即可.

【詳解】

解法一：（1）根據余弦定理得

整理得a2+b2—c2=—ab>

a2+h2-c2

cosC=

2ab2

/、2

Ce（0,^）:.C=—7i

（2）依題意得ABC。為等邊三角形，所以八鉆。的周長等于2Q+〃+G

a_b_c_5/3_

由正弦定理sinAsinBsinCJ]，

T

所以〃=2sinA,Z?=2sinB,

2a+/?=4sinA+2sin3

=4sinA+2sin(y-A)

=2V3sin(A+—)

Ac0卷,,A+會蜀鄉(xiāng),

JIi

/.sin(A+—)e(—,1),

\2a+b?(瓜2#))，

所以八46。的周長的取值范圍是(26,36).

解法二：(1)根據正弦定理得

2sinA+sin3=2sinCeosB

sinA=sin[萬一(8+C)]=sin(B+Q=sinBcosC+cosBsinC,

.*.2sinBcosC=-sin

sin3w0,

cosC=—，

2

C《(0㈤,

.0_2

..C——71

3

(2)同解法一

【點睛】

本題主要考查了正余弦定理求解三角形的問題，同時也考查了邊角互化求解邊長的取值范圍問題等.屬于中

等題型.

6.已知等差數列｛4｝中，S,,為其前〃項和,4?4=8,55=15；等比數列｛hlt｝的前n項和T?=2"-1

⑴求數列｛%｝,也｝的通項公式；

⑵當｛4｝各項為正時，設c“=an-2,求數列｛q｝的前n項和.

【答案】⑴?！?〃或4=6-〃，〃=2"T(2)7；,=(n-l)-2n+l

【解析】

【分析】

(1)根據等差數列的通項公式與求和公式即可求知；由7,與力的關系可求久.

(2)利用錯位相減法即可求和.

【詳解】

解：(1)設等差數列｛%｝的首項為4，公差為d

[q+d)(q+3d)=8f(3—d)(3+d)=82一

則八?八?)o八八)n"2=ind=]或Q=_]

5a1+10d=15[q=3—2d

..d=l，4—-1,..~〃

d=—1,4=5,.*.an=6—n

當”之2時—，-i

當〃=1時，4=工=1也滿足上式

所以為=2"i

l

（2）由題可知,an=n,cn=an\hf=n2"~

n

Tn=22、32?-1）*+n2-'

21=厘「622?+至23+?+（〃一）n-'+n"

一1=1+2+???+2"T-〃2"=（1-〃）2"-1

故＜=（“一1）2"+1

【點睛】

本題考查了等差數列的通項公式、求和公式，已知S“求凡以及錯位相減法，需熟記公式，屬于基礎題.

7.在A5c中（圖1）,AB=5,AC=7,。為線段AC上的點，且8。=8=4.以8。為折線，把

3OC翻折，得到如圖2所示的圖形，M為8c的中點，且AA/L3C，連接AC.

（1）求證：AB±CD；

（2）求二面角B—AC—。的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）之叵

34

【解析】

【分析】

⑴根據條件先證明CO_L平面說，然后結論可證.

（2）以。為原點，BD、A。、CD所在的直線分別為％、V、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，利

用向量法求二面角的余弦值.

【詳解】

（1）證明：在圖1中有：AC=7,BD=CD=4,所以AD=3

..在AABD中，AB=5,AD=3,BD=4

r.AD?+BO?=AB?,所以8。，CQ

在圖2中有：在A4BC中，AM±BC，M為BC的中點

AB-AC—5?在AABD中，AC=5，CD=4,AD=3

AC2=CD2+AD2.所以COLAD

翻折后仍有6。_L8

又AD、BDu平面ABD，ADBD=D,

\CD八平面

ABu平面AfiD，

所以CDLAB

(2)解：由(1)可知CO、BD、A￡＞兩兩互相垂直.

以。為原點，BD、A。、CO所在的直線分別為X、V、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

則A(0,3,0),5(4,0,0),C(0,0,4)

/.AB=(4,-3,0),AC=(0,-3,4)

設平面ABC的法向量為m=(x,y,z),則

4x-3y=0

..八，令x=3,則y=4,z-3.

―3y+4z=0

m=(3,4,3)

平面AC。的法向量為；t=(1,0,0)

/\mn3>/34

cos(m,n)=,；—n-r=-----

'/U\n\34

???二面角5-AC—。的余弦值為豆豆

34

【點睛】

本題考查線面垂直，線線垂直，二面角，立體幾何中求角或距離常用向量法，屬于中檔題.

8.某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸

奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫(單

位：C)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25),需求量為

300瓶；如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各

天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；

(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為丫(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，

寫出y的所有可能值，并估計丫大于零的概率.

34

【答案】(1)(2)

【解析】

【分析】

(1)由前三年六月份各天的最高氣溫數據，求出最高氣溫位于區(qū)間［20,25)和最高氣溫低于20的天數，

由此能求出六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率.

(2)當溫度大于等于25℃時，需求量為500,求出丫=900元；當溫度在［20,25)℃時，需求量為300,

求出丫=300元；當溫度低于20℃時，需求量為200,求出y=-100元，從而當溫度大于等于2。時，丫

>0,由此能估計估計丫大于零的概率.

【詳解】

解：(1)由前三年六月份各天的最高氣溫數據，

得到最高氣溫位于區(qū)間［20,25)和最高氣溫低于20的天數為2+16+36=54,

根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：C)有關.

如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶，

如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25),需求量為300瓶，

如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶，

543

二六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率p=—=

905

(2)當溫度大于等于25c時，需求量為500,

丫=450x2=900元,

當溫度在［20,25)℃時，需求量為300,

丫=300x2-(450-300)x2=300元，

當溫度低于20℃時，需求量為200,

丫=400-(450-200)x2=-100%,

當溫度大于等于20時，y>0,

由前三年六月份各天的最高氣溫數據，得當溫度大于等于20℃的天數有：

90-(2+16)=72,

724

,估計Y大于零的概率,

【點睛】

本題考查概率的求法，考查利潤的所有可能取值的求法，考查函數、古典概型等基礎知識，考查推理論

證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，是中檔題.

9.已知過拋物線=2px(〃>0)的焦點，斜率為28的直線交拋物線于4(%,，,),3(盯必乂玉<馬)

兩點，且|明=9.

(1)求拋物線的方程；

(2)0為坐標原點，C為拋物線上一點，若OC=04+408,求4的值.

【答案】(1)y2=8x.(2)A=0,或入=2.

【解析】

【詳解】

試題分析：第一問求拋物線的焦點弦長問題可直接利用焦半徑公式，先寫出直線的方程，再與拋物線的方

程聯(lián)立方程組，設而不求，利用根與系數關系得出玉+馬，然后利用焦半徑公式得出焦點弦長公式

|AB|=%+%+「，求出弦長，第二問根據聯(lián)立方程組解出的A、B兩點坐標，和向量的坐標關系表示出

點C的坐標，由于點C在拋物線上滿足拋物線方程，求出參數值.

試題解析：

⑴直線AB的方程是y=20),與y2=2px聯(lián)立，消去y得8x2-10px+2P2=0,

由根與系數的關系得x1+x2=2p.由拋物線定義得|A8|=2p+p=9,故p=4

44

(2)由(1)得X2-5X+4=0,得xi=l,X2=4,從而A(L—2夜)，8(4,472).

設OC=(X3,月)=(1,-272)+A(4,472)=(4A+1,472A-272)?

又y；=8x3,即［20(2A—1)］2=8(4A+1),BP(2A-1)2=4A+1,

解得入=0或4=2.

【點睛】

求弦長問題，一般采用設而不求聯(lián)立方程組，借助根與系數關系，利用弦長公式去求；但是遇到拋物線的

焦點弦長問題時，可直接利用焦半徑公式，使用焦點弦長公式|4邳=芭+%+〃，求出弦長.遇到與向量有

關的問題，一般采用坐標法去解決，根據聯(lián)立方程組解出的A、B兩點坐標，和向量的坐標關系表示出點C

的坐標，由于點C在拋物線上滿足拋物線方程，求出參數值.

10.已知函數/(x)=(x+2)lnx+ar2-4x+7a(aeR).

(1)若。=,，求函數/0)的所有零點；

2

(2)若證明函數f(x)不存在的極值.

2

【答案】(1)x=l⑵見證明

【解析】

【分析】

(1)首先將a=g代入函數解析式，求出函數的定義域，之后對函數求導，再對導函數求導，得到了'("之0

(當且僅當x=l時取等號)，從而得到函數/(%)在(0,+e)單調遞增，至多有一個零點，因為/(1)=0,

x=l是函數/(x)唯一的零點，從而求得結果；

(2)根據函數不存在極值的條件為函數在定義域上是單調函數，結合題中所給的參數的取值范圍，得到

"工)在(0,+。)上單調遞增，從而證得結果.

【詳解】

117

(1)解：='時，/(x)=(x+2)IIIY+萬元？—4x+—?

函數/(X)的定義域為(0,+8)，

2

且/'(X)=Inxd---FX-3.

2

設g(x)-+—+X-3,

則g，(x)+1=+：-2=(x+2〃x—l)?！?)

XXXX"

當0<x<K寸，g'(x)<0；當］>1時，，(力〉0,

即函數g(x)在(0,1)上單調遞減，在。,內)上單調遞增，

所以當X>0時、g(x)2g⑴=0(當且僅當X=1時取等號).

即當x>0時，r(x)>0(當且僅當X=1時取等號).

所以函數/(x)在(0,+。)單調遞增，至多有一個零點.

因為"1)=0,x=l是函數/(力唯一的零點.

所以若a=g,則函數/(x)的所有零點只有x=1.

(2)證法1:因為/'(%)=(%+2)111￥+儂2-4%+74,

函數/(X)的定義域為(0,+8),且/'(x)=lnx+*+2ac-4.

1/2

當a2］時，Fx_3>

2

由(1)知Inv4---Fx—320.

X

即當x>o時/(力“，

所以“X)在(0,+8)上單調遞增.

所以/(X)不存在極值.

證法2：因為/(x)=(x+2)lnx+G；2-