第13章軸對(duì)稱（基礎(chǔ)?？家族e(cuò)壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）

第13章軸對(duì)稱（基礎(chǔ)、常考、易錯(cuò)、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練

【基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2022?黑龍江哈爾濱?八年級(jí)期末）下列圖形中，不是軸對(duì)稱的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，

這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：選項(xiàng)A、B、D能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條宜線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重

合，所以是軸對(duì)稱圖形.

選項(xiàng)C不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)

稱圖形.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

2.（2022?福建泉州?八年級(jí)期末）點(diǎn)Q（3,4）與點(diǎn)0（3,-4）的對(duì)稱軸是（）

A.直線y=xB.x軸C.y軸D.原點(diǎn)

【答案】B

【分析】利用已知兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：???點(diǎn)Q（3,4）與點(diǎn)。（3,-4）,

:.P,。關(guān)于x軸對(duì)稱.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于x軸對(duì)

稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

3.（2022?湖南永州?八年級(jí)期末）下列命題是真命題的是（）.

A.若a>b,貝1]℃2>歷2B.Ji7的平方根是±4

C.相等的角是對(duì)頂角D.到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.

【答案】D

【分析】根據(jù)不等號(hào)方向不變的條件、平方根的概念、相等角概念與種類、線段的垂直平分線的性質(zhì)即可

得出答案

【詳解】A：若C為0,則農(nóng)2=歷2,故錯(cuò)誤，不符合題意

B：J話的平方根是土2,故錯(cuò)誤，不符合題意

C：相等的角是對(duì)頂角，也可以是同位角、內(nèi)錯(cuò)角，故錯(cuò)誤，不符合題意

D：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，故正確，符合題意

故選D

【點(diǎn)睛】此題考查不等式成立的條件，平方根的概念，相相等角概念與種類，線段的垂直平分線的性質(zhì)，

屬于基礎(chǔ)題.

4.（2022?河北廊坊?八年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（l,-5）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)。位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征為：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)；確定好對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再確定

所在象限即可解答.

【詳解】解：?.?點(diǎn)尸（1,-5）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)。的坐標(biāo)為：（1,5）,

???點(diǎn)。位于第一象限；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征，做題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)坐標(biāo)的變化規(guī)律.

5.（2021?山東莉澤?八年級(jí)期中）如圖，在AABC中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B和C為圓心，以大于

的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N；②作直線交AC于點(diǎn)。，連接8D若AC=6,AD=2,

則BD的長(zhǎng)為（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】c

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】由作圖知，是線段8c的垂直平分線，

：.BD=CD,

"：AC=6,AD=2,

:.BD=CD=4,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖：作已知線段的垂直平分線；并掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是關(guān)鍵.

6.（2022?四川瀘州?八年級(jí)階段練習(xí)）在△ABC中，6c=90。,ZB=30°AB=6,則AC的長(zhǎng)是（）

A.B.3C.6D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)在直角三角形中，30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可解答.

【詳解】解:：NC=90°,ZB=30°,AB=6,

.*.AC=yAB=yX6=3,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形，熟練掌握在直角三角形中，30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的-

半是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?陜西?無(wú)八年級(jí)期末）如圖，43c中，A3=于點(diǎn)。，DELAB于點(diǎn)、E,8FJ_AC于

點(diǎn)凡BF=8,則OE的長(zhǎng)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得從而得至8c=25".0,從而得至=

即可求解.

【詳解】解：??,A8=AC,AO,8C,

:.CABD,

,?SMBC=2smBD，

?:DE1.AB,BF±AC9

：.SAtH..=2-ACBF~,SA.tKilIJ）=2-ABDE,

：.-ACBF=2x-ABDE,

22

,/BF=8,

：.DE=4.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.（2022.廣東.深圳市龍崗區(qū)龍城初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）下列命題中，假命題的個(gè)數(shù)為（）

①有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形

②斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等.

③如果那么。>0,b>0

④如果@<1,那么"0.

b

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】①根據(jù)等邊三角形判斷即可判斷.

②根據(jù)HL即可判斷宜角三角形全等.

③同號(hào)相乘的法則即可判斷.

④根據(jù)不等式性質(zhì)即可判斷.

【詳解】解：①有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形，正確，為真命題，不符合題意；

②斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等，正確，是真命題，不符合題意.

③如果必>0,那么。>0,6>0或a<0,b<0,故錯(cuò)誤，是假命題，符合題意.

④如果￡<1，那么a<6,錯(cuò)誤，是假命題，符合題意，

b

假命題有2個(gè)，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)較多，等邊三角形判定、全等三角形判定、乘法法則、不等式的性質(zhì)等，關(guān)鍵

在于掌握基礎(chǔ)知識(shí)。屬于基礎(chǔ)題.

9.（2022.陜西師大附中八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)。是ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足。4=O8=OC,則點(diǎn)。是（）

4人

BC

A.一ABC三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)B.一/WC三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)

C.AfiC三條高的交點(diǎn)D..ABC三條中線的交點(diǎn)

【答案】A

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出即可.

【詳解】解：；OA=OB,

??.0在AB的垂直平分線上，

OB=OC,

O在線段BC的垂直平分線上，

OA=OC,

...O在線段AC的垂直平分線上，

即0是4ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的角平分線、中線、高，線段垂直平分線的性質(zhì)，能熟記到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離

相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上是解此題的關(guān)鍵.

10.（2022?河北?圍場(chǎng)滿族蒙古族自治縣中小學(xué)教研室八年級(jí)期末）如圖，在中，AB=AC,ZA=30°,

DE垂直平分AC,則/&X?的度數(shù)為（）

D,

BC

A.80°B.75°C.60°D.45°

【答案】C

【分析】由題意易得AO=CQ,則有NA=NQC4,然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【詳解】解：???￡）《垂直平分4C,

：.AD=CD,

：.ZA=ZDCA,

'：ZA=30°,

ZBZX?=2ZA=60°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握垂直平

分線的性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.（2022?河北承德?八年級(jí)期末）如圖，ZABC=60°,AB=3,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度

的速度沿射線8c運(yùn)動(dòng)，嘉琪在研究過程中發(fā)現(xiàn)，隨著點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)，AABP形狀在發(fā)生變化，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為/秒.

（2）當(dāng)AABP是鈍角三角形時(shí)，r滿足的條件是

【答案】三3和60<f<3±或f>6

22

【分析】（1）分兩種情況討論：當(dāng)NAP8=90°時(shí)；當(dāng)N8AP=90。時(shí)，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，即可求解;

3

（2）由（1）得，當(dāng)0<fv-時(shí)，NAP8>90。；當(dāng)r>6時(shí)，/B4P>90。,即可求解.

2

【詳解】解：（1）如圖,當(dāng)NAP8=90°時(shí),

??ZABC=60°,

???ZBAP=30°f

：.AB=2BPf

;AB=3f

3

???BP=一,

3

此時(shí)z=7；

2

如圖，當(dāng)N8AP=90。時(shí),

*/ZABC=60°,

JNB弘二30。,

，BP=2AB=6,

此時(shí)t=6；

3

綜上所述，/的值為］和6；

3

故答案為：5和6；

（2）由（1）得，當(dāng)0<，<2時(shí)，ZAPB>90°；

2

當(dāng)，>6時(shí)，ZBAP>90°；

3

，當(dāng)"3P是鈍角三角形時(shí)，/滿足的條件是0<1<5或，>6.

3

故答案為：0<，</或，>6

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一

半是解題的關(guān)鍵.

12.（2022?陜西西安?八年級(jí)期中）如圖，在"BC中，AB=AC,AC的垂直平分線/交8c于點(diǎn)O.若AO_LAB,

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N2=/C,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=OC,根據(jù)三角形外角

的性質(zhì)得到NAC8=/D4C+/C=2/C,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列方程即可得到結(jié)論.

【詳解】解：：AB=AC,

,NB=NC,

：AC的垂直平分線I交BC于點(diǎn)D,

：.AD=DC,

：.NDAC=NC,

"：ZADB=ZDAC+ZC=2ZC,

：.ZADB=2ZB,

'：ADIAB,

"：ZBAD^90°,

ZB+ZADB+ZBAD=ZB+2Z8+90。=180°,

/.ZB=30°,

故答案為：30°.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性

質(zhì)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)證得是解題的關(guān)鍵.

13.（2022?河北保定?八年級(jí)期末）如圖，已知AB=AC,ZA=36°,A8的垂直平分線交AC于點(diǎn)。，交A8

于點(diǎn)E,則下列結(jié)論:①/C=72。；②8。是乙4BC的平分線;③△ABO是等腰三角形.其中正確的是

A

ED

BC

【答案】①②③

【分析】根據(jù)題中條件求出圖中所有角度，再對(duì)各結(jié)論逐一判斷即可.

【詳解】AB=AC,NA=36。，

ZABC=ZC=-(180°-ZA)=-(180o-36°)=72°

22

故①正確；

又OE是A8的垂直平分線

:.DB^DA

...△A8￡＞是等腰三角形

故③正確；

,:DB=DA

.?.ZABD=ZA=36°

7.ZDBC=ZABC-ZABD=72°-36°=36°=ZABD

是/ABC的平分線

故②正確.

故答案為：①②③.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和判定、線段垂直平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)各性質(zhì).

14.(2022?河北保定?八年級(jí)期末)如圖所示，△AOO關(guān)于直線/進(jìn)行軸對(duì)稱變換后得到△BOC,則以下結(jié)

論中，不一定正確的是(填字母序號(hào))

A.Z1=Z2B.N3=N4C./垂直平分AB,且/垂直平分CDD.AC與互相平分

【答案】D

【分析】由軸對(duì)稱的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：:△A。。關(guān)于直線/進(jìn)行軸對(duì)稱變換后得到△BOC,

二/1=/2,/3=/4,/垂直平分A8,且/垂直平分C。，故選項(xiàng)A、B、C正確；

,/四邊形ABCD不一定是平行四邊形，

.?.4C與BD不一定互相平分，故選項(xiàng)D不一定正確；

故答案為：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)

和軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

15.（2022?甘肅蘭州?八年級(jí)期末）如圖，在即AA8C中，ZACB=90°,△C”和△CB0都是等邊三角形,

8Q和CP交于點(diǎn)”，求證：BQVCP.

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得出NC4P=NC8Q=60。，求出/8CP=30。，由三角形內(nèi)角和定理得出

ZBWC=90°,則可得出結(jié)論.

【詳解】證明：：C4P和△CBQ都是等邊三角形，

ZACP=ZCBQ=6O°,

,：ZACB=90°,

：.ABCP=ZACB-ZACP=30°,

在.BCH中，4BHC=180?！猌BCH-ZCBH=180。一30°-60°=90°,

BQ1CP.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.（2022?陜西西安?八年級(jí)期中）如圖，在五邊形A8CCE中，ZB=ZE=90°,AB=AE,連接AC,AD,且

ZACD=ZADC.求證：BC=ED.

R

CD

【分析】根據(jù)等角對(duì)等邊得到AD=AC,結(jié)合題意利用HL證明即△ABC絲放△4ED即可.

【詳解】證明：*/ZACD^ZADC,

：.AC=AD,

在R"8C和Rt^AED^P,

[AC=AD

[AB^AE'

:.Rt&ABC出Rt^AED(HL),

：.BC=DE.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是證明兩個(gè)三

角形全等.

17.(2022?陜西西安?八年級(jí)期中)如圖，ZAO8=40。，點(diǎn)。在。4邊上，點(diǎn)C,E在08邊上，連接CO,

DE.若OC=OD=DE,求NCDEt的度數(shù).

【答案】ZCDE=30°

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理分別求出NODC,N。。區(qū)再根據(jù)角的和差關(guān)系即可

求出NCDE的度數(shù).

【詳解】解：：OC=8，

...ZOCD=ZODC.

■:ZAOB=AO0,

二NODC=1(180°-ZAOB)=1x(180°-40°)=70°,

OD=DE,

：.NOED=Z4OB=40。，

，ZODE=180°-40°x2=100°.

，NCDE=ZODE-NODC=100。一70。=30°.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是求出/OQC,NOQE的度數(shù).

18.（2022?廣東?深圳市鹽田區(qū)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，在“ABC中，3c=8cm,AB=10cm.

（1）作AC的垂直平分線E>E,交AC于點(diǎn)￡）,交A8于點(diǎn)E；（用黑色水筆描出作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）連接CE,求,3CE的周長(zhǎng).

【答案】（1）見解析；（2）18cm

【分析】（1）利用基本作圖作AC的垂直平分線；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EC,然后利用等線段代換得到ABCE的周長(zhǎng)=A8+BC.

（1）解：如圖，DE即為所求；

（2）垂直平分AC,

；.EA=EC,

二△BCE的周長(zhǎng)=8E+BC+C￡=BE+EA+BC=A8+BC=10+8=18cm.

【點(diǎn)睛】本題考查/作圖-基本作圖和線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的作法是解決問題

的關(guān)鍵.

【?？肌?/p>

一、單選題

1.（2022?山西呂梁?八年級(jí)期末）若等腰三角形一腰上的中垂線與另一腰所在直線相交，且交角為50。，則

它的底角為（）

A.50°B.70°C.80°D.20。或70°

【答案】D

【分析】分三角形是銳角三角形或者鈍角三角形兩種情況進(jìn)行討論即可.

【詳解】解：如圖1,三角形是銳角三角形時(shí)，NA=90°-50"=40°,底角為gx(180'-40")=70"

如圖2,二角形是鈍角三角形時(shí)，NBAC=90°+50°=140°,底角為gx(180"—140")=20"

綜上所述，它的底角為20?；?0.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出圖形分情況進(jìn)行討

論.

2.(2022?內(nèi)蒙古赤峰?八年級(jí)期末)點(diǎn)P(-1,2)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(1,2)B.(1,-2)

C.(—1?2)D.(—1,—2)

【答案】D

【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；

【詳解】解：???點(diǎn)P(-1,2)且與另一點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，

,另一點(diǎn)為(-1,-2)

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)于x軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

3.(2022?陜西?交大附中分校八年級(jí)期中)如圖，在△ABC中，AB=AC,ZA=42°,DE垂直平分AC,則

/BCD的度數(shù)為()

A

BC

A.23°B.25°C.27°D.29°

【答案】C

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出NABC=NACB,利用線段垂直平分線的性質(zhì)求出NA=NDCA,

即可求出NBCD的度數(shù).

【詳解】解：VAB=AC,ZA=42°,

AZABC=ZACB=69°,

〈DE垂直平分AC,

???AD=CD,

,ZA=ZACD=42°,

，ZBCD=ZACB-ZACD=27°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟記垂直平分線的定理內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

4.(2022?陜西寶雞?八年級(jí)期末)如圖，在3ABe中，48C=3NC,Z1=Z2,BE±AEfAB=5,BE=3,

則AC=()

A.10B.11C.13D.15

【答案】B

【分析】如圖，延長(zhǎng)旗交AC于M,利用三角形內(nèi)角和定理，得出N3=N4,AB=AM=5,BM=2BE=6M

利用N4是△BCM的外角，利用等腰三角形判定得到CM=8M,利用等量代換即可求證.

【詳解】證明：延長(zhǎng)8E交AC于M,

BELAE,

：.ZAEB=ZAEM=90°

AZ3=90°-Zl,Z4=90°-Z2,

VZ1=Z2,

???N3=N4,

：.AB=AM=5,

，BM=2BE=69

???/4是48cM的外角

.??Z4=Z5+ZC

■:ZABC=3ZC9

：.ZABC=N3+N5=/4+N5

.\3ZC=Z4+Z5=2Z5+ZC

：.Z5=ZC

:?CM=BM=6,

???AC,=AM+CM=AB+2BE=11.

A

【點(diǎn)睛】此題考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，此題的關(guān)鍵是作好輔助線，延長(zhǎng)3七交

AC于M,利用三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，考查的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng).

5.（2022.廣東.高州市第一中學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2,2）,若點(diǎn)P在x軸或y軸上

且AAPO是等腰三角形，這樣的點(diǎn)P共有（）個(gè)

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，要使△AOP是等腰三角形，可以分兩種情況考慮：當(dāng)OA是底邊時(shí)，作

OA的垂直平分線，和坐標(biāo)軸出現(xiàn)2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)OA是腰時(shí)，則分別以點(diǎn)0、點(diǎn)A為圓心，OA為半徑畫弧,

和坐標(biāo)軸出現(xiàn)6個(gè)交點(diǎn)，這樣的點(diǎn)P共8個(gè).

當(dāng)0A是底邊時(shí)，作OA的垂直平分線，和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有2個(gè)；

當(dāng)OA是腰時(shí)，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑畫弧，和坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn)：以點(diǎn)A為圓心，OA為半徑畫弧,

和坐標(biāo)軸出現(xiàn)2個(gè)交點(diǎn)；

.??滿足條件的點(diǎn)P共有8個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)OA為腰或底兩種情況分

類討論，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解決.

6.（2022?江蘇?八年級(jí)）如圖，在AABC中，AB=AC,AE平分N8AC,QE垂直平分A3,連接CE,NB=

70°.則NBCE的度數(shù)為（）

【答案】B

【分析】連接BE,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出EB=EC,根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出AE=BE,根據(jù)等邊

對(duì)等角求出NBAE=/EBA、ZBCE=ZEBC,即可求出答案.

'：AB=AC,A￡平分/8AC,

：.EB=EC,

：.NEBC=ZECB,

；NA8c=70°,AC=A8,

NACB=/ABC=70。，

.,.ZBAC=180°-AABC-ZACB=40°,

,.?AE平分NBAC,

，N8AE=20°,

垂直平分AB，

:.AE=EB,

：.NA8E=/BAE=20。，

二NBCE=NEBC=ZABC-ZABE=10°-20°=50°,

故選艮

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出

ZBAE=ZEBA和NBCE=/EBC是解此題的關(guān)鍵.

7.（2022?廣西桂林?八年級(jí)期中）如圖，RtAABC中，NC=90。，ZB=30°,AD是NBAC的平分線，AD=10,

則點(diǎn)D到AB的距離是（）

A.8B.5C.6D.4

【答案】B

【分析】作DELAB于E,根據(jù)角平分線的定義得到NDAB=30。，根據(jù)等角對(duì)等邊得到BD=AD=10,然

后利用30。所對(duì)直角邊是斜邊的一般求解.

【詳解】解：作DELAB于E,

VZC=90°,NB=30°,

AZCAB=60°,

???AD是/BAC的平分線，

NCAD=NDAB=30°,

，/B=NDAB,

.\BD=AD=10,

.?.在RtADEB中，DE=1BD=5,

即點(diǎn)D到AB的距離是5,

故選B.

E

【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、等角對(duì)等邊，含30。直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中30。所

對(duì)直角邊是斜邊的一般是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

8.（2022.湖南株洲?八年級(jí)期末）如圖，已知：NMQN=30。，點(diǎn)4、4、A3……在射線ON上，點(diǎn)用、與、

層……在射線。例上，△4耳4、△人與人、……均為等邊三角形，若。4=1，則AA&&的邊長(zhǎng)為

【答案】16

【分析】根據(jù)題目條件NMON=30。，ZBIAIA2=60°,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得NOBIA尸30。，等腰三角

形的性質(zhì)可得AQ=BIAI=1,然后證得A2O=AQ+AIA2=2,按照此規(guī)律證得邊長(zhǎng)為16.

,/ZMON=30°ZBIAIA2=60°

：.ZOBIAI=ZBIAIA2-NMON=30°

：.ZMON=ZOB1A1

：.AiO=BlAl=\

?\A2O=AIO+4*2=2

同理可得A?O=上比二？

以此類推A()3=AJB3=4

A40=4祝=8

A5O-A5B5G6

△A5B5A6的邊長(zhǎng)是16.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.（2022.湖南婁底.八年級(jí)期末）如圖，C是線段AB上的一點(diǎn)，△AS和08CE都是等邊三角形，AE交

C。于例，BD交CE于N,交AE于O,則①DB=他；②ZAMC=NDNC：③ZAO8=60。：④DN=AM；

⑤△CW是等邊三角形.其中，正確的有.

D

【答案】①②④⑤

【分析】證明△ACE且△OCB,可得①正確；即可求得NAOB=120。，可得③錯(cuò)誤；再證明△ACM組△OCN,

可得②④正確和CM=CM進(jìn)而可證明⑤正確，問題得解.

【詳解】解：VZACD=ZBCE=60°,

；.NOCE=60。，NACE=NBCD=120。，

在△4(7￡：和4￡>CB中，

AC=DC

<NACE=NDCB,

CB=CE

：.AACE^ADCB(SAS),

:.NBDC=NEAC,DB=AE,①正確；

NCBD=NAEC,

"：NAOB=180°-NOAB-NDBC,

：.ZAOB=180°-ZAEC-NO48=120°,③錯(cuò)誤；

在^ACA/和^DCN中，

Z.BDC=ZEAC

■DCAC,

ZACD=NDCN=60°

.?.△ACMZZXOCN(ASA),

：.AM=DN,④正確；

NAMC=NDNC,②正確；

CM=CN,

,/ZMCN=60°,

...△CMN是等邊三角形，⑤正確；

故答案為：①②④⑤

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定等知識(shí)，本題中證明AACE絲△QC8和

△ACM絲△OCN是解題的關(guān)鍵.

10.（2022?廣東?高州市第一中學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）若等腰三角形的周長(zhǎng)為30cm,一邊長(zhǎng)為6cm,

則腰長(zhǎng)為.

【答案】12cm

【分析】分兩種情況：6cm為底時(shí)和6cm為腰時(shí)分情況計(jì)算，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系驗(yàn)證，即可得到結(jié)論.

【詳解】解：當(dāng)6cm為底時(shí)，

???等腰三角形的周長(zhǎng)為30cm,

；?腰長(zhǎng)為（30-6）+2=12cm,

此時(shí)三邊長(zhǎng)為12cm,12cm,6cm符合三角形三邊關(guān)系，

.??此時(shí)腰長(zhǎng)為12cm；

當(dāng)6cm為腰時(shí)，

腰長(zhǎng)為6cm，底邊18cm；

此時(shí)三邊長(zhǎng)為6cm,6cm,18cm,

V6+6=12<18不符合三角形的三邊關(guān)系，

.??綜上所述，腰長(zhǎng)為12cm；

故答案為：12cm.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)與三角形的三邊關(guān)系，注意要分類討論以及驗(yàn)證三角形的三邊關(guān)系看

是否符合題意.

11.（2022.重慶長(zhǎng)壽.八年級(jí)期末）如圖，AABC中，AB=AC=14cm,D是AB的中點(diǎn)，DELAB于D交AC

于E,AEBC的周長(zhǎng)是24cm,則BC=.

【答案】10cm

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求出AE等于BE,再根據(jù)已知條件可知BE與EC的和，再用周長(zhǎng)減去BE

與EC的和即可得出BC的長(zhǎng).

【詳解】解：在△ABE中，

是AB的中點(diǎn)，且DEJ_AB,

；.AE=BE,

在△ABC中，AB=AC=14cm,AC=AE+EC,

BE+EC=AE+EC=AC=14cm,

又：BE+EC+BC=24cm,

二BC=24-14=10cm.

故答案為：10cm.

【點(diǎn)睛】本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，熟記相關(guān)性質(zhì)并能靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，切記答案帶單位.

三、解答題

12.(2022.湖北武漢.八年級(jí)期末)如圖，在等邊中，D,E分別為A8,8C邊上的點(diǎn)，DE=EF,

ZDEF=60°.

(1)如圖1,若點(diǎn)尸在AC邊上，求證：AD=CF；

(2)如圖2,連CF.若NFCB=30。，求證：AD=2BE；

⑶如圖3,。是8C的中點(diǎn)，點(diǎn)”在.ABC內(nèi)，N3”C=120。，點(diǎn)〃，N分別在CH,BH上,MO1NO,

若=直接寫出/瓦W的度數(shù)(用含有a的式子表示).

【答案】⑴見解析；⑵見解析(3)Zfl4N=30。-。

【分析】(1)連接。凡根據(jù)“有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形”可判斷尸是等邊三角形，則

DF=EF,又A48C是等邊三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得出，NAFD=NFEC,所以△名(A4S),

貝ijAD=CF；

(2)過點(diǎn)尸作JK〃AC交AB于點(diǎn)J,交BC于點(diǎn)K,過點(diǎn)F作尸〃/AB交AC于尸，交BC于點(diǎn)、I,連接QF,

則△8/K和△CP/是等邊三角形，4BDE咨AJFD學(xué)KEF,所以DJ=BE=FK,因?yàn)锳8〃P/,FK//AC,所以

四邊形A/FP是平行四邊形，則A/=PF,易得△CP/為等邊三角形，由NFC8=30?？傻肅F平分NPC7,則

FI=FP,所以尸F(xiàn)K=BE=DJ,F1=FK,所以41/=DJ=BE,B|1AD=AJ+DJ=2BE,

(3)延長(zhǎng)M。到點(diǎn)G,使OG=OW,連接NG,BG,NM,作NACQ=N48N,且使CQ=BN,連接MQ,AQ,

先得到ABOG絲△COM(SAS),再得到aAC。絲A4BN(SAS)和△BNG絲△CQW(SAS),所以

ZNAM^ZMAQ^^CAM+ZCAQ=ZCAM+ZBAN,所以NC4M+N8AN=30。，則/。M=a,所以

ZBAN=30°-a.

(1)證明：如圖，連接OF,

DE=EF,ZDEF=60°,

_￡>EF是等邊三角形，

:.DF=EF,

?.丁ABC是等邊三角形，

，ZA=ZC=60°.

ZAFE=ZAFD+ZDFE=60。+ZAFD,

ZAFE=NC+ZEFC=60°+NFEC,

:.ZAFD=NFEC,

ZA=ZC,DF=EF,

尸三△CFE（A4S）,

:.AD=CF；

(2)證明：如圖，過點(diǎn)尸作JK〃AC交A8于點(diǎn)J,交BC于點(diǎn)、K,過點(diǎn)尸作尸〃〃3交AC于P,交BC于點(diǎn)/,

連接。尸，

D

/BJK=ABAC=/BKJ=ZACB=60。=ZABC,

ACPI=ABAC=ZB=ZCIP=60。=ZACB,

/./\BJK和△CP/是等邊三角形，

NDEF=600,DE=EF,

.?..O斯是等邊三角形，

由(1)中結(jié)論可知，XBDE三NFD三XKEF,

:,DJ=BE=FK,

ABHPl.FK//AC,

???四邊形A/Q是平行四邊形，

:.AJ=PF,

/FIK=/FK1=GT,

:.FI=FK,

△CP/為等邊三角形，ZFCB=30°,

.-.ZFC7=ZFCP=3O°,

.?.CF平分NPC7,

△CH是等邊三角形，

/.FI=FP,

.FP=AJ,

FK=BE=DJ,Fl=FK,

..AJ=DJ=BE,即AD=A/+A/=28E；

(3)如圖，延長(zhǎng)MO到點(diǎn)G,使OG=QM,連接NG,BG,NM,作&CQ=/ABN,且使CQ=3N,連

接MQ,A。，

G

MOtNO,OM=OG,

:.NG=MN、

MO=OG,BO=OC,/MOC=NBOG,

??.BOG=COM（SAS）f

:.BG=CM,ZGBO=ZOCM,

:.BG//CM,

??.ZNBG=180°-ZBHC=60°,

BHC=120°,

.?.N//BC+N4C3=60。，

,ABC是等邊三角形，

?,.ZABC=ZACB=ZBAC=60°,

??.ZABH+/HBC=ZACH+4HCB=附,

:.ZABH=ZHCB./HBC=ZACH,

"CQ=AABN,AB=AC,BN=CQ,

:.^ACQ=/^\BN（SAS）,

/.AN=AQ,/BAN=NCAQ,

ZACB=ZACH+ZBCH=60°,ZABN=ZBCH=ZACQ,

/./MCQ=ZACM+ZACQ=ZACH+ZBCH=60°=NNBG,

BN=CQ,BG=CM,

/\BNG=/XCQM（S4S）,

：.NG=MQ,

NG=NM,

:.MQ=MN,

AN=AQ,AM^AM,

ANAMs△QAM(SSS),

:.ZNAM=ZMAQ=ZCAM+ZCAQ=ZCAM+ZBAN.

又、ZNAM+ZCAM+ZBAN=6()°,

ZCAM+ZBAN=30°,

/.CAM=a,

ZBAN=30°-a.

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形的綜合題，涉及全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角

形三線合一等知識(shí)，類比思想及構(gòu)造的思想進(jìn)行分析，仿造(1)中的結(jié)論構(gòu)造出全等三角形是解題關(guān)鍵.

13.(2022?湖南永州?八年級(jí)期末)如圖，是等邊三角形，點(diǎn)￡>、E分別是射線A8、射線C8上的動(dòng)點(diǎn),

點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)沿著射線AB移動(dòng)，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿著射線BG移動(dòng)，點(diǎn)ZXE同時(shí)出發(fā)并且移動(dòng)速度相

同，連接8、DE.

圖③

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)。移動(dòng)到線段45的中點(diǎn)時(shí)，OE與OC的長(zhǎng)度關(guān)系是：DEDC.

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)。在線段A3上移動(dòng)但不是中點(diǎn)時(shí)，探究OE與。C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)。移動(dòng)到線段A8的延長(zhǎng)線上，并且時(shí);求NDEC的度數(shù).

【答案】(l)DE=DC;(2)E>E=OC,證明見詳解；(3)45°

【分析】(1)由題意可知AD=Z>3=3E,所以NDEB=NBDE,由等邊三角形及中點(diǎn)可知NDCB=30。，而

ZBE￡>=30°,所以可證NB￡?=N￡>CE,進(jìn)一步可證￡>E=Z)C；

(2)猜測(cè)。E=OC,在射線AB上截取跖=3E,如圖(見詳解)，利用等邊三角形的性質(zhì)及=可

知」BEF為等邊三角形,再利用邊角邊即可證明△/)即0△CD4,最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明

DE=DC；

(3)按照第(2)問的思路，作出類似的輔助線：在射線CB上截取8尸=班>,如圖(見詳解)，用同樣的

方法證明絲△CDB，再根據(jù)證出aDCE為等腰直角=角形，即可求出NOEC的度數(shù).

(1)解：DE=DC,證明過程如下：由題意可知A￡)=BE,\?。為A8的中點(diǎn)，.,A￡>=QB,；??=BE,

:?NBED=NBDE.,；：ABC為等邊三角形,AD=DB^：.ZABC=60°,ZDCB=30°.ZABC=2ZBED,

：.ABED=-AABC=30°,ABED=ZDCB=30°,DE=DC.

2

(2)解：DE=DC,理由如下：在射線AB上截取所=3E,連接EF,如圖所示,

?.二ABC為等邊二角形，ZA=ZABC=60。，AB=BC=AC.VZEBF-ZABC=60°,BF=BE.：.t_BEF

為等邊三角形，:?EF=BF=BE、NEFB=60°.由題意知A￡)=BE,:.AD=BF=EF,

：.AD+DB=BF+DB.^AB=DF.,：AB=AC,：.DF=AC.在.D￡F和二CZM中，1/EFB=/A=60。,

EF=AD

，ADEF^ACm(SAS),DE與力C之間的數(shù)量關(guān)系是DE=DC.

(3)如圖，在射線C8上截取=連接。F,如圖所示,

,.二ABC為等邊二角形，.ZA=ZABC=60。，AB=BC=AC.'：Z.DBFZABCifiP,BF=BD.A.BDF

為等邊三角形，:.DF=BF=BD,ZDFB=NDBF=60。,:.NDFE=4BC=120。.由題意知AD=8E,

,:BD=BF=DF,:.AD—DB=BE—BF,^AB^EF.:AB=BC,:.EF=BC.在二0所和“DCS中,

DF=BD

ZDFB=ZDBC=120°,A.：.DE=DC.VEDIDC,/.DEC為等腰直角三角形,

EF=BC

二NDEC=45。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形，等邊三角形，以及全等三角形的判定及性質(zhì)，能夠作出輔助線，并

合理利用等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.(2022?河南許昌?八年級(jí)期末)如圖，在，ABC中，AB=AC,ABAC=tz(0°<?<60°),點(diǎn)。在..4?C內(nèi),

BD=BC,ZDBC=60°,點(diǎn)E在二ABC外，NEC8=150。,NA8E=60。.

(1)ZADB的度數(shù)為：

(2)小華說(shuō)AABE是等腰三角形，小明說(shuō)AABE是等邊三角形，的說(shuō)法更準(zhǔn)確，并說(shuō)明理由：

(3)連接OE,若￡>E，82OE=10,求AO的長(zhǎng).

【答案】⑴150。；(2)小明,理由見解析;(3)5

【分析】(1)首先證明△D8C是等邊三角形，推出NBDC=60。，可證明△AAB絲△A￡)C,繼而推出

NA38=N4OC進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)小明更準(zhǔn)確，AABE是等邊三角形.只需證明△48。/△EBC即可；

(3)首先證明△DEC是含有30度角的直角三角形，求出EC的長(zhǎng)，利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題.

⑴解:'：BD=BC,NDBC=60。,.,.△OBC是等邊三角形,：.DB=DC,NBDC=NDBC=NDCB=60。.在

AB=AC

△A08和△ADC中，\AD=AD,(SSS),AZADB=ZADC,AZADB=y(360°-

DB=DC

60°)=150°.

(2)解：小明的說(shuō)法更準(zhǔn)確，理由如下：'：ZABE=ZDBC=6Q°,：.ZABD=ZEBC,在△ABC和AEBC

ZABD=ZEBC

中=(ASA),：.AB=BE.VZAZ?E=60°,.?.△48七是等邊三角

ZADB=ZECB=\50°

VZJ?CE=150o,NDCB=6。。,AZDCE=90°,'/ZEDB=90°,ZBDC=60°,Z.ZEDC=30°,

:.EC=^DE=5.,:AABD注AEBC,：.AD=EC=5.

2

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、30度角的直角三角形的性質(zhì)等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì).

15.（2022?福建漳州?八年級(jí)期末）求證：在直角三角形中，若一個(gè)銳角等于30。，則它所對(duì)的直角邊等于斜

邊的一半.要求：

（1）根據(jù)給出的線段A8及以線段A3為直角邊，在給出的圖形上用尺規(guī)作出及一4?C的斜邊AC,使得

ZA=30°,保留作圖痕跡，不寫作法；

（2）根據(jù)（1）中所作的圖形，寫出已知、求證和證明過程.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)作一個(gè)角等于己知角的方法作圖即可；

（2）根據(jù)圖形和命題的已知事項(xiàng)寫出已知，根據(jù)命題的未知事項(xiàng)寫出求證，再寫出證明過程即可.

(1)解：如圖所示，線段4c為所求作的線段:

(2)

已知：如圖，—ABC是直角三角形，ZABC=90°,ZA=30°.

求證：BC=^AC.

解法?：如圖，在AC上截取一點(diǎn)Q,使得CD=CB,連接。8.

VZABC=90°,ZA=30°,AZ4CB=60°.

CD=CB,人BCD是等邊三角形.

BC=CD=BD,ZCfiD=60°.

ZABC=90°,，ZABD=ZABC-NCBD=30°.

AZABD^ZA.ADA=DB.

VBC=CD=DB,：.BC=-AC.

2

解法二：如圖，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D,使C5=5￡>,連接AO.

,/ZABC=90°,ABAC=30°,

AZABD=90°,ZACB=60°,

VAB=AB,BC=BD,ZABC=ZABD,

:…ABC絳ABD(SAS)./.AC=AD.

*??△AC。是等邊三角形.

???AC=CD.

VBC=-CD,：.BC=-AC.

22

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角及命題的證明過程的書寫格式，掌握相關(guān)內(nèi)容是解題

的關(guān)鍵.

16.（2022?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）在等邊三角形A8C的兩邊A8、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N,P為△A8C

外一點(diǎn)，且NMPN=60。，NBPC=120。，BP=CP.探究：當(dāng)點(diǎn)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM,

NC,MN之間的數(shù)量關(guān)系.

（D如圖①，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且PM=PN時(shí),試說(shuō)明例+C7V.

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且PA#PN時(shí)，MN=BM+CN還成立嗎？

答：.（請(qǐng)?jiān)诳崭駜?nèi)填“一定成立”“不一定成立''或"一定不成立

（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊A8、。的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出NC,MN之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）見解析；（2）一定成立；（3）MN=NC-8M

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理得到NP8C=N=30。，進(jìn)而得到

=90°,證明放△空陽(yáng)△PCM得到/8PM=/CPN=30。，根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)證明結(jié)論;

（2）延長(zhǎng)AC至H,使連接尸“，證明△P8M絲得到PM=P"，NBPM=/CPH,再

證明△MPNgZV/PN,得到MN=〃N,等量代換得到答案；

（3）在AC上截取CK=8M,連接尸K,仿照（2）的方法得出結(jié)論.

（1）證明：:△ABC為等邊三角形，

???ZABC=ZACB=60°,

VZBPC=120°,BP=CP,

；?NPBC=/PCB=gx(180°-120°)=30°,

:?/PBM=/PCN=900,

在/?/△PBM和RmPCN中,

[PB=PC

[PM=PNf

:PBMQRt〉PCN(HL),

:?NBPM=/CPN=30。,

?:NMPN=60。,PM=PN,

?'△PMN為等邊三角形，

:?PM=PN=MN,

在/?/△PBM中，ZBPM=30°f

:?BM=；PM,

同理可得，CNRPN,

:?BM+CN=MN.

⑵解：一定成立，

理由如下：延長(zhǎng)4C至“，使CH=BM,連接尸”，如圖所示,

由(1)可知：NPBM=NPCN=90。,

???NPC”=90。，

:?/PBM=/PCH,

在仆PBMPCH中,

BM=CH

<4PBM=NPCH,

PB=PC

:ZBMQAPCH(SAS),

:?PM=PH,NBPM=NCPH,

■:/BPM+NCPN=6。。,

:?/CPN+/CPH=60。,

：,/MPN=ZHPN,

在^MPN和AHPN中,

PM=PH

<4MPN=4HPN,

PN=PN

：.4MPNQAHPN(SAS),

:.MN=HN=BM+CN,

故答案為：一定成立.

(3)解：在AC上截取CK=3M,連接PK,如圖所示,

N

在4尸8知和4PCK中，

PB=PC

<NPBM=Z.PCK=90°,

BM=CK

???△P5M絲△PCK(SAS),

：.PM=PK,NBPM=NCPK,

'：NBPM+NBPN=60°,

：.ZCPK+ZBPN=60°,

：.NKPN=60°,

：.NMPN=NKPN,

在4^燈7和4KPN中,

PM=PK

-4MPN=ZKPN,

PN=PN

:AMPN%/\KPN（SAS）,

:.MN=KN,

,:KN=NC-CK=NC-BM,

:.MN=NC-BM.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)

定理是解題的關(guān)鍵.

17.（2022?貴州?遵義市新蒲新區(qū)天立學(xué)校八年級(jí)期中）圖，△ABC是等邊三角形，AB=6,P是AC邊上一動(dòng)

點(diǎn),由A向C運(yùn)動(dòng)（與A、C不重合），。是CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)

線方向運(yùn)動(dòng)（。