328059456.2.3 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步教學(xué)課件

6.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義1.掌握向量的數(shù)乘運(yùn)算及幾何意義；2.掌握向量的數(shù)乘運(yùn)算律，并會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算；3.理解兩個(gè)向量共線的條件，能表示與某個(gè)非零向量共線的向量，能判斷兩個(gè)向量共線.思考：已知非零向量

，如何求作向量

和

？OABCPQMN向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義

如圖，

，類比數(shù)的乘法，我們把

記作

，即.顯然

的方向與

的方向相同，

的長(zhǎng)度是

的3倍.

同上，

，我們把

記作

，即.顯然

的方向與

的方向相反，

的長(zhǎng)度是

的3倍.

一般地，我們規(guī)定：實(shí)數(shù)λ與向量

的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘.記作

，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：(1)；(2)λ>0時(shí),與

方向相同；

λ<

0時(shí),與

方向相反；

λ=0時(shí),.一般地，設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，則有以下等式成立：向量的數(shù)乘運(yùn)算性質(zhì)(1);(2);(3).向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量.例1.化簡(jiǎn)下列各式(1)(2)(3)例2.如圖，在△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且BE=2BC，設(shè)

，

，試用

，

表示.共線向量基本定理思考：對(duì)于向量

和

，若存在實(shí)數(shù)

λ，使

，則向量

與

的方向有什么關(guān)系？反過來，若向量

與

共線，則一定存在實(shí)數(shù)

λ，使

成立嗎？綜上可得向量共線定理：向量

與

共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)

λ，使

.例3已知任意兩個(gè)非零向量

，

，設(shè)

，

，.試判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系？分析：判斷三點(diǎn)之間的位置關(guān)系，主要是看這三點(diǎn)是否共線.在本題中，應(yīng)用向量知識(shí)判斷A，B，C三點(diǎn)是否共線，可以通過判斷向量

，

是否共線，即是否存在

λ，使

成立.解：因?yàn)?/p>

，

，所以.因此，A、B、C三點(diǎn)共線.例4已知非零向量

，

不共線.(1)如果

，

，

，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)欲使

和

共線，試確定實(shí)數(shù)k的值.解：(1)因?yàn)?/p>

，

，所以

，

共線，且有公共點(diǎn)

B.因此，A、B、C三點(diǎn)共線.(2)因?yàn)?/p>

與

共線，所以存在實(shí)數(shù)

λ，使得

，即

，由于

與

不共線，對(duì)比系數(shù)可得

，解得.

如圖，A，B，C三點(diǎn)在直線

l上，O是直線

l外一點(diǎn)，試探究

，

，

之間的關(guān)系？解：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以

，即

，化簡(jiǎn)得

，令

，所以有.例5.已知A，B，D三點(diǎn)共線，且對(duì)任一點(diǎn)C，有

，則

λ＝()A．

B．

C．

D．C一、①的定義及運(yùn)算律.②向量共線基本定理.二、定理的應(yīng)用：

1.