山東省濱州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

山東省濱州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）高一數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上將條形碼橫貼在答題卡對應(yīng)位置“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若向量，，且，則的值為()A.3 B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.如圖，用斜二測畫法得到的直觀圖為等腰直角三角形，其中，則的面積為()A.1 B. C.2 D.4.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為13，弧長為的扇形，則該圓錐的體積為()A. B. C. D.5.假設(shè)，，且A與相互獨立，則()A.0.9 B.0.75 C.0.88 D.0.846.已知三棱錐中，平面，則三棱維的外接球的表面積為()A. B. C. D.7.如圖，為平行四邊形對角線上一點，交于點，若，則()A. B. C. D.8.一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個面分別刻有1，2，3，4，5，6六個數(shù)字，投擲這枚骰子兩次，事件“第一次向上一面的數(shù)字是2”，事件“第二次向上一面的數(shù)字是3”，事件“兩次向上一面的數(shù)字之和是7”，事件“兩次向上一面的數(shù)字之和是8”，則()A.與相互獨立 B.與相互獨立C與相互獨立 D.與相互獨立二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的四個命題中為真命題的是()A.B.C.的共軛復(fù)數(shù)為D.是關(guān)于方程的一個根10.有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，下列命題正確的是()A.若樣本的每一個數(shù)據(jù)變?yōu)樵瓉淼?倍，則平均數(shù)也變?yōu)樵瓉淼?倍，方差不變B.若樣本的每一個數(shù)據(jù)增加3，則平均數(shù)也增加3，方差不變C.若樣本數(shù)據(jù)增加兩個數(shù)值，且，則極差變大D若樣本數(shù)據(jù)增加兩個數(shù)值，且，則中位數(shù)不變11.在中，角的對邊分別為，下列條件中能確定為銳角的有()A B.C.A，B均為銳角，且 D.12.已知在正三棱錐中，為等邊三角形，由此三棱錐截成的三棱臺中，，則下列敘述正確的是()A.該三棱臺的高為2B.C.該三棱臺的側(cè)面積為D.該三棱臺外接球的半徑長為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知一組數(shù)據(jù)：20，30，40，50，50，60，70，80，這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是________.14.已知，若，則______．15.一艘海輪從處出發(fā)，以每小時60海里速度沿南偏東方向直線航行，30分鐘后到達處.在處有一座燈塔，海輪在處觀察燈塔，其方向是南偏東，在處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么兩點間的距離是________海里.16.已知在中，，.對任意，恒成立.，點在直線上運動，則的最小值是________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，角，，的對邊分別為，且滿足.(1)求；(2)若，求的面積.18.已知直三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，，為的中點.(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離.19.已知，是夾角為的兩個單位向量，，.(1)求與的夾角；(2)若與()互相垂直，求的值.20.某統(tǒng)計局就當(dāng)?shù)鼐用竦脑率杖肭闆r調(diào)查了10000人，這10000人的月收入(單位：元)均在之間，并根據(jù)所得居民的月收入數(shù)據(jù)進行分組(每組為左閉右開區(qū)間)，畫出了頻率分布直方圖.(1)求的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；(3)已知在收入為，之間的人中采取分層隨機抽樣的方法抽取6人進行調(diào)查，并在這6人中再隨機選取2人作為調(diào)查員，求選取的2名調(diào)查員中至少有一人收入在之間的概率.21.某高校的人學(xué)面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目，甲同學(xué)答對每道題目的概率都是0.8，乙同學(xué)答對每道題目的概率都是0.7，且甲、乙抽到不同題目能否答對是獨立的.若每位面試者共有三次機會，一旦某次答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直到第三次答完為止.(1)求在甲、乙兩人第一次答題中只有一人通過面試的概率；(2)求甲、乙兩人都通過面試且甲的答題次數(shù)少于乙的答題次數(shù)的概率.22.如圖1，在四邊形中，，，.為的中點，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的幾何體.(1)證明：平面；(2)若為上靠近點的三等分點，求二面角的余弦值.

高一數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上將條形碼橫貼在答題卡對應(yīng)位置“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若向量，，且，則的值為()A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標公式計算即可.【詳解】因為向量，，且，所以，解得.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡共軛復(fù)數(shù)，從而得復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得答案.【詳解】由得所以，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第一象限.故選：A.3.如圖，用斜二測畫法得到的直觀圖為等腰直角三角形，其中，則的面積為()A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)所給的直觀圖是一個等腰直角三角形且直角邊長是，求出直觀圖的面積，根據(jù)平面圖形的面積是直觀圖的倍，得到結(jié)果．【詳解】△是一平面圖形的直觀圖，直角邊長為，直角三角形的面積是，因為平面圖形與直觀圖的面積的比為，原平面圖形的面積是．故選：B．4.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為13，弧長為的扇形，則該圓錐的體積為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可求得圓錐的底面半徑和高，根據(jù)圓錐的體積公式即可得答案.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，由題意可知，且，則，故該圓錐的體積為，故選：A5.假設(shè)，，且A與相互獨立，則()A.0.9 B.0.75 C.0.88 D.0.84【答案】C【解析】【分析】根據(jù)獨立事件的乘法公式求得，再根據(jù)和事件的概率計算即可求得答案.【詳解】由題意，，且A與相互獨立，則,故，故選：C6.已知三棱錐中，平面，則三棱維的外接球的表面積為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以為長寬高構(gòu)建長方體，則長方體的外接球是三棱錐的外接球，由此能求出三棱錐的外接球的表面積.【詳解】在三棱錐中，平面，以為長寬高構(gòu)建長方體，則長方體的外接球是三棱錐的外接球，所以三棱錐的外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：D.7.如圖，為平行四邊形對角線上一點，交于點，若，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，得，再根據(jù)向量的加減法則用把表示出來，從而可求出，進而可求出.【詳解】因為為平行四邊形對角線上一點，交于點，所以，所以，因為，所以，所以，故選：C8.一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個面分別刻有1，2，3，4，5，6六個數(shù)字，投擲這枚骰子兩次，事件“第一次向上一面的數(shù)字是2”，事件“第二次向上一面的數(shù)字是3”，事件“兩次向上一面的數(shù)字之和是7”，事件“兩次向上一面的數(shù)字之和是8”，則()A.與相互獨立 B.與相互獨立C.與相互獨立 D.與相互獨立【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相互獨立事件得定義結(jié)合古典概型的概率公式即可得解.【詳解】投擲這枚骰子兩次，共有個基本事件，共個基本事件，則，共個基本事件，則，共個基本事件，則，共個基本事件，則，事件為不可能事件，則，所以與不相互獨立，故A錯誤；事件共個基本事件，則，所以與不相互獨立，故B錯誤；事件共個基本事件，則，所以與不相互獨立，故C錯誤；事件共個基本事件，則，所以與相互獨立，故D正確.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的四個命題中為真命題的是()A.B.C.的共軛復(fù)數(shù)為D.是關(guān)于的方程的一個根【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求得，根據(jù)模的計算可判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方判斷B；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念判斷C；計算，判斷D.【詳解】由題意得，故，A錯誤；，B正確；的共軛復(fù)數(shù)為，C錯誤；，即z是關(guān)于x的方程的一個根，D正確，故選：BD10.有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，下列命題正確的是()A.若樣本的每一個數(shù)據(jù)變?yōu)樵瓉淼?倍，則平均數(shù)也變?yōu)樵瓉淼?倍，方差不變B.若樣本的每一個數(shù)據(jù)增加3，則平均數(shù)也增加3，方差不變C.若樣本數(shù)據(jù)增加兩個數(shù)值，且，則極差變大D.若樣本數(shù)據(jù)增加兩個數(shù)值，且，則中位數(shù)不變【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)都加上或都乘以一個數(shù)后的平均值以及方差的性質(zhì)可判斷A，B；根據(jù)極差的概念判斷C；根據(jù)中位數(shù)的概念判斷D.【詳解】對于A，若樣本的每一個數(shù)據(jù)變?yōu)樵瓉淼?倍，則平均數(shù)也變?yōu)樵瓉淼?倍，方差變?yōu)樵瓉淼?6被，A錯誤；對于B，根據(jù)原來的數(shù)據(jù)都加上一個數(shù)后的平均知己方差的性質(zhì)可知，若樣本的每一個數(shù)據(jù)增加3，則平均數(shù)也增加3，方差不變，B正確；對于C，原來數(shù)據(jù)的極差為，樣本數(shù)據(jù)增加兩個數(shù)值后的極差為樣本數(shù)據(jù)增加兩個數(shù)值，由于，故，C正確；對于D，不妨假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是從小到大排列，則其中位數(shù)為，樣本數(shù)據(jù)增加兩個數(shù)值，且，則其中位數(shù)也為，D正確，故選：BCD11.在中，角的對邊分別為，下列條件中能確定為銳角的有()A. B.C.A，B均為銳角，且 D.【答案】BD【解析】【分析】選項A由余弦定理可判斷；選項B由向量的數(shù)量積定義可判斷；選項C由誘導(dǎo)公式有，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷；選項D由正弦定理可得，則，由大邊對大角可判斷.【詳解】對于A，為鈍角，故A錯誤；對于B，，，為銳角，故B正確；對于C，均為銳角，∴，，又，所以，可得則為鈍角，故C錯誤；對于D，，由正弦定理得，，則為銳角，故D正確.故選：BD.12.已知在正三棱錐中，為等邊三角形，由此三棱錐截成的三棱臺中，，則下列敘述正確的是()A.該三棱臺的高為2B.C.該三棱臺的側(cè)面積為D.該三棱臺外接球的半徑長為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，根據(jù)三棱臺的圖形特點，利用直角三角形中勾股定理求解即可；對于B，根據(jù)線面垂直的相關(guān)知識，結(jié)合圖形特點進而證明即可；對于C，根據(jù)梯形面積計算方法直接計算即可；對于D，根據(jù)圖形特點找到外接球的球心，進而得到半徑即可判斷.【詳解】如下圖所示，取，的中心，連接，對于A，在中，根據(jù)正弦定理得，得外接圓半徑，即，同理，，在平面中，過點作交與點，顯然，四邊形為矩形，則，所以，在直角中，，所以，即該三棱臺的高為2，故A正確；對于B，由正三棱錐的性質(zhì)可知，平面，因為平面，所以，因為是等邊的中心，所以，又因為平面，，所以平面，因為平面，所以，故B正確；對于C，如右圖所示，在梯形中，過點作交于點，過點作交于點，根據(jù)梯形性質(zhì)易知，四邊形是矩形，則，則，在直角中，，所以梯形的面積為，所以該三棱臺的側(cè)面積為，故C錯誤；對于D，因為，則，則點是三棱臺外接球的球心，則該三棱臺外接球的半徑長為，故D正確.故選：ABD【點睛】方法點睛：本題考查立體幾何中棱錐與棱臺的綜合問題.立體幾何小題要善用觀察法，從而找到特殊的幾何關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合的方法求解答案.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知一組數(shù)據(jù)：20，30，40，50，50，60，70，80，這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計算即可.【詳解】因為，所以組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是第個數(shù)，即為.故答案為：.14.已知，若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求得，結(jié)合向量的數(shù)量積的運算公式求得的值，得到的坐標，利用向量模的公式，即可求解．【詳解】因為，可得，又因為，可得，解得，所以，所以.故答案為：.15.一艘海輪從處出發(fā)，以每小時60海里的速度沿南偏東方向直線航行，30分鐘后到達處.在處有一座燈塔，海輪在處觀察燈塔，其方向是南偏東，在處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么兩點間的距離是________海里.【答案】【解析】【分析】由題意可求出的值，然后在利用正弦定理可求出【詳解】由題意得，，所以，在中，由正弦定理得，則，所以，得，即兩點間的距離是海里，故答案為：16.已知在中，，.對任意，恒成立.，點在直線上運動，則的最小值是________.【答案】【解析】【分析】由題意可得為點到的垂線段，即，設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，連接，連接交于，此時最小，，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】因為，所以，因為對任意，恒成立，所以由減法與數(shù)乘的幾何意義，為點到的垂線段，所以，因為，所以，設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，連接，連接交于，此時最小，，因為，在中，根據(jù)余弦定理可得，即的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，角，，的對邊分別為，且滿足.(1)求；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)正弦定理與三角恒等變換即可得，再由弦化切得，從而可得角的大??；(2)由余弦定理求邊，再由面積公式即可得的面積.【小問1詳解】因為，由正弦定理得所以，則，因為，所以故，即，又，所以；【小問2詳解】由余弦定理得：，整理得解得或(舍)所以的面積18.已知直三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，，為的中點.(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)連接，交于O點，連接，證明，即可證明結(jié)論；(2)根據(jù)等體積法，即，即可求得答案.【小問1詳解】證明：連接，交于O點，連接，因為四邊形，故O為中點，又為的中點，故,而平面,平面,故平面；【小問2詳解】因在直三棱柱中，平面,平面，故，則，故，即為直角三角形，由題意知，平面,平面，故，又，平面，故平面，設(shè)點到平面距離為d，由于，則，即，則，即點到平面的距離為.19.已知，是夾角為的兩個單位向量，，.(1)求與的夾角；(2)若與()互相垂直，求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)數(shù)量積的運算律求得以及，利用向量的夾角公式即可求得答案；(2)根據(jù)垂直的向量表示，列式計算，即可求得答案.【小問1詳解】因為，是夾角為的兩個單位向量，故，則，則，，故，而，故.【小問2詳解】因為與()互相垂直，故，即，故.20.某統(tǒng)計局就當(dāng)?shù)鼐用竦脑率杖肭闆r調(diào)查了10000人，這10000人的月收入(單位：元)均在之間，并根據(jù)所得居民的月收入數(shù)據(jù)進行分組(每組為左閉右開區(qū)間)，畫出了頻率分布直方圖.(1)求的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；(3)已知在收入為，之間人中采取分層隨機抽樣的方法抽取6人進行調(diào)查，并在這6人中再隨機選取2人作為調(diào)查員，求選取的2名調(diào)查員中至少有一人收入在之間的概率.【答案】(1)(2)元(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)概率之和等于1求解即可；(2)根據(jù)頻率分布直方圖中中位數(shù)的計算公式計算即可；(3)先根據(jù)分層抽樣的定義求出每層的人數(shù)，再利用列舉法結(jié)合古典概型即可得解.【小問1詳解】由題意，，解得；【小問2詳解】因為，所以中位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，設(shè)為，則，解得，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為元；【小問3詳解】由題意，內(nèi)有人，設(shè)為，內(nèi)有人，設(shè)為，在這6人中再隨機選取2人作為調(diào)查員，有，共種，其中選取的2名調(diào)查員中至少有一人收入在，有，共種，所以選取的2名調(diào)查員中至少有一人收入在之間的概率為.21.某高校的人學(xué)面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目，甲同學(xué)答對每道題目的概率都是0.8，乙同學(xué)答對每道題目的概率都是0.7，且甲、乙抽到不同題目能否答對是獨立的.若每位面試者共有三次機會，一旦某次答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直到第三次答完為止.(1)求在甲、乙兩人第一次答題中只有一人通過面試的概率；(2)求甲、乙兩人