《信號與系統(tǒng)》課件ch5

15.1

離散信號與離散系統(tǒng)

一、離散時(shí)間信號的表示二、典型離散信號三、離散信號的基本運(yùn)算四、離散系統(tǒng)響應(yīng)的求解方法5.2

離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)5.3

單位樣值響應(yīng)和階躍響應(yīng)5.4

離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

一、卷積和二、卷積的性質(zhì)三、卷積的計(jì)算5.5時(shí)域分析點(diǎn)擊目錄，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)第五章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析25.1離散信號與離散系統(tǒng)5.1離散信號與離散系統(tǒng)一、離散信號的表示離散信號一般用函數(shù)離散信號通常也稱表示，為序列，每一個(gè)值稱為一個(gè)樣本。有三種表示方法：1.解析式。比如2.序列形式3.圖形表示（即波形圖）比如：下標(biāo)表示第一個(gè)樣本的標(biāo)號，

或者其中，↑表示n=0的位置；

這種方法最適合表示有限長序列。

35.1離散信號與離散系統(tǒng)二、典型離散信號1.單位樣值序列以及移位單位樣值序列

它們的波形如圖所示

n0n0m45.1離散信號與離散系統(tǒng)2.單位階躍序列移位的單位階躍序列：它們的波形如下：n0n0m…12…55.1離散信號與離散系統(tǒng)兩者的關(guān)系：3.門序列（矩形脈沖序列）4.單邊指數(shù)序列，其中a為任意常數(shù)。65.1離散信號與離散系統(tǒng)三、離散信號的基本運(yùn)算2.移位和反折----規(guī)則與連續(xù)信號的時(shí)移、反折相同。1.加／減、乘／除將兩個(gè)序列對應(yīng)的樣值做相加、相減、相乘、相除即可得到。3.尺度變換-----與連續(xù)信號不同，下面舉例說明5.1.1已知，求和75.1離散信號與離散系統(tǒng)解：（1）即在信號處理中，這一運(yùn)算通常稱為“插值”。即如果將看作由連續(xù)信號的抽樣值組成，即,則是將抽樣率提高一倍的抽樣結(jié)果,

故這一運(yùn)算又稱為upsampling；

85.1離散信號與離散系統(tǒng)即在信號處理中，該運(yùn)算通常稱為“抽取”（decimation)。看作由連續(xù)信號的抽樣值組成，即,則是將抽樣率降低一倍的抽樣結(jié)果,

故這一運(yùn)算又稱為downsampling；

（2）即如果將95.1離散信號與離散系統(tǒng)第一章已經(jīng)指出，LTI離散系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)學(xué)模型為線性常系數(shù)差分方程，因此，系統(tǒng)響應(yīng)的求解的本質(zhì)即差分方程的求解。四、離散系統(tǒng)響應(yīng)的求解方法1.迭代法：根據(jù)差分方程逐個(gè)迭代出所有的樣本。適合數(shù)值解，特別是計(jì)算機(jī)求解，不易得到閉式解（即響應(yīng)的解析式）。比如

，則據(jù)此可以迭代出的所有樣本。105.1離散信號與離散系統(tǒng)2.經(jīng)典法：響應(yīng)等價(jià)于差分方程的完全解，由齊次解和特解組成，表示為3.時(shí)域分析法：將響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，然后分別求解，表示為4.z域分析法：利用z變換來求解系統(tǒng)的響應(yīng)，與連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析法相似。115.2離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)5.2離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)一、響應(yīng)的形式設(shè)一個(gè)LTI因果離散系統(tǒng)的差分方程為：根據(jù)定義，可知零輸入響應(yīng)與齊次差分方程的解形式相同，都取決于以下的特征方程與特征根：特征根125.2離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)1、特征根各不相同，則yx(n)為：2、有重根，不妨設(shè)λ1為r重根，則yx(n)為：二、系數(shù)Ck的確定通過yx(n)的N個(gè)初始值，比如yx(-1),yx(-2),…,yx(-N)或者yx(0),yx(1),…,yx(N-1),來確定。注意：一般yx(k)≠y(k)135.2離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)例5.2.1．某因果系統(tǒng)差分方程為求yx(n)。解：特征方程為解得特征根為所以根據(jù)初始條件，得解得故思考：將條件改為如何做？145.3單位樣值響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)5.3單位樣值響應(yīng)和階躍響應(yīng)一、單位樣值響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)的定義1、單位樣值響應(yīng)由δ(n)作用產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng),用h(n)表示；由U（n）作用產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，用g（n）表示。兩者關(guān)系：2、單位階躍響應(yīng)155.3單位樣值響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)二、因果離散系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)的求解設(shè)差分方程為：初始條件為(1)首先，h(n)是因果信號。原因：n<0,f(n)=0、初始條件均為零且為因果系統(tǒng)。(2)其次，先求以下系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)h1(n)：165.3單位樣值響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)h1(n)與齊次解形式相同，且為因果信號，形式如下：（以特征單根為例）系數(shù)Ck根據(jù)初始條件：來確定?？傻萌缦路匠探M175.3單位樣值響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)(3)最后，根據(jù)系統(tǒng)的線性和時(shí)不變性，h(n)為：例5.3.1某因果系統(tǒng)的差分方程為：求h(n)。解:(1)特征方程和特征根。特征方程：特征根：185.3單位樣值響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)(2)先求以下系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)h1(n):(3)

由線性和時(shí)不變性，可得易知據(jù)初始條件得：所以195.4零狀態(tài)響應(yīng)—卷積和5.4零狀態(tài)響應(yīng)——卷積和一、卷積和………012in-1f(n)f(-1)f(0)f(1)f(2)f(i)f(n)=…+f(-1)δ(n+1)+f(0)δ(n)+f(1)δ(n-1)+…任意離散序列f(n)可表示為1.序列的時(shí)域分解205.4零狀態(tài)響應(yīng)—卷積和2.任意序列作用下的零狀態(tài)響應(yīng)yf(n)f(n)根據(jù)h(n)的定義：δ(n)

h(n)由時(shí)不變性：δ(n

-i)h(n-i)f(i)δ(n-i)由齊次性：f(i)h(n-i)由疊加性：‖f(n)‖yf(n)稱為卷積和215.4零狀態(tài)響應(yīng)—卷積和3.卷積和的定義已知定義在區(qū)間（–∞，∞）上的兩個(gè)函數(shù)f1(n)和f2(n)，則定義和為f1(n)與f2(n)的卷積和，簡稱卷積；記為

f(n)=f1(n)*f2(n)注意：求和是在虛設(shè)的變量i下進(jìn)行的，i為求和變量，n為參變量。結(jié)果仍為n的函數(shù)。225.4零狀態(tài)響應(yīng)—卷積和二、卷積和的性質(zhì)1.代數(shù)律：(1)交換律(2)分配律(3)結(jié)合律235.4零狀態(tài)響應(yīng)—卷積和兩個(gè)重要結(jié)論：1、兩系統(tǒng)并聯(lián)，總系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)等于兩個(gè)子系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)之和。2、兩系統(tǒng)級聯(lián)，總系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)等于兩個(gè)子系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)的卷積。2.f(n)*δ(n)=f(n)，f(n)*δ(n–n0)=f(n–n0)3.f(n)*U(n)=4.f1(n–n1)*f2(n–n2)=f1(n–n1–n2)*f2(n)245.4零狀態(tài)響應(yīng)—卷積和5.卷積和的范圍的確定

序列長度為

序列長度為那么卷積和序列的長度為設(shè)255.4零狀態(tài)響應(yīng)—卷積和例5.4.1

如圖復(fù)合系統(tǒng),其中h1(n)=U(n)，h2(n)=U(n–5)，求復(fù)合系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)h

(n)。解根據(jù)h(n)的定義，有h(n)=[δ(n)*h1(n)–δ(n)*h2(n)]*h1(n)=(n+1)U(n)–(n–4)U(n–5)h1(n)h2(n)h1(n)∑f(n)y(n)=U(n)*U(n)–U(n–5)*U(n)=[h1(n)–h2(n)]*h1(n)=(n+1)U(n)–(n+1–5)U(n–5)265.4零狀態(tài)響應(yīng)—卷積和例5.4.2

如圖復(fù)合系統(tǒng)由兩個(gè)子系統(tǒng)級聯(lián)組成，其中

h1(n)=2cos(nπ)，

h2(n)=anU(n)，激勵f(n)=δ(n)–aδ(n-1)，求復(fù)合系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)響應(yīng)yf(n)。解yf(n)=f(n)*h1(n)*h2(n)h1(n)h2(n)f(n)y(n)=2cos(nπ)*[anU(n)]*[δ(n)–aδ(n-1)]=2cos(nπ)*[anU(n)-anU(n-1)]=2cos(nπ)*δ(n)=2cos(nπ)275.4零狀態(tài)響應(yīng)—卷積和三、卷積的計(jì)算卷積過程可分解為四步：（1）換元：n換為i→得f1(i)，f2(i)（2）反轉(zhuǎn)平移：由f2(i)反轉(zhuǎn)→f2(–i)平移n→f2(n–i)（3）乘積：f1(i)f2(n–i)（4）求和：i從–∞到∞對乘積項(xiàng)求和。注意：n為參變量。下面舉例說明。(一）卷積的圖解法285.4零狀態(tài)響應(yīng)—卷積和例5.4.3：f1(n)、f2(n)如圖所示，已知f(n)=f1(n)*f2(n)，求f(2)=？解：（1）換元（2）f2(i)反轉(zhuǎn)得f2(–i)（3）f2(–i)右移2得f2(2–i)（4）f1(i)乘f2(2–i)（5）求和，得f(2)=4.5f2(–i)f2(2–i)012i-1f1(i)f2(n-i)11.523012n-1f1(n)1.511.521f2(n)01233-2-2-1n295.4零狀態(tài)響應(yīng)—卷積和(二）豎乘法（不進(jìn)位相乘）f(n)=所有兩序列序號之和為n的那些樣本乘積之和。如n=2時(shí)f(2)=…+f1(-1)f2(3)+f1(0)f2(2)+f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)+…例5.4.4f1(n)={f1(1)，f1(2)，f1(3)}1f2(n)={f2(0)，f2(1)，0}0=…+f1(-1)f2(n+1)+f1(0)f2(n)+f1(1)f2(n-1)+f1(2)f2(n-2)+…+f1(i)f2(n–i)+…適合倆有限長序列的卷積305.4零狀態(tài)響應(yīng)—卷積和f1(1)，f1(2)，f1(3)f2(0)，f2(1)×——————————————————f1(1)f2(0)，f1(2)f2(0)，f1(3)f2(0)f1(1)f2(1)，f1(2)f2(1)，f1(3)f2(1)+—————————————————————f1(3)f2(1)f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)f1(1)f2(0)f(n)={f1(1)f2(0)，f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)，f1(3)f2(1)}1排成乘法315.4零狀態(tài)響應(yīng)—卷積和例

5.4.5f1(n)={2，1，5}0

f2(n)={3，4，0，6}1

3，4，0，62，1，5解×————————15，20，0，303，4，0，66,8，0，12+————————————6，11，19，32，6，3