2023-2024學年人教A版必修第二冊 8-3-2　圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積 學案

8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積新課程標準解讀核心素養(yǎng)1.知道圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積的計算公式直觀想象2.能用公式解決簡單的實際問題數(shù)學運算在日常生活中，我們經(jīng)常遇到下列各類實物或它們的組合體.這些物體分別可以抽象出圓柱、圓錐、圓臺及球，它們均屬于立體幾何中的旋轉體.問題你會求上述幾何體的表面積及體積嗎？

知識點一圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積圖形表面積和體積圓柱S圓柱＝2πr（r＋l）（r是底面半徑，l是母線長）；V圓柱＝πr2h（r是底面半徑，h是高）圖形表面積和體積圓錐S圓錐＝πr（r＋l）（r是底面半徑，l是母線長）；V圓錐＝13πr2h（r是底面半徑，h是高圓臺S圓臺＝π（r'2＋r2＋r'l＋rl）（r'，r分別是上、下底面半徑，l是母線長）；V圓臺＝13πh（r'2＋r'r＋r2）（r'，r分別是上、下底面半徑，h是高） 提醒圓柱、圓錐、圓臺的關系：①側面積公式間的關系，S圓柱側＝2πrlS圓臺側＝π（r＋r'）lS圓錐側＝πrl；②體積公式間的關系V＝ShV＝13（S'＋S'S＋S）hV＝13知識點二球的表面積和體積公式1.球的表面積公式S＝4πR2（R為球的半徑）.2.球的體積公式V＝43πR31.一個高為2的圓柱，底面周長為2π.則該圓柱的表面積為，體積為.

解析：由底面周長為2π可得底面半徑為1.S底＝2πr2＝2π，S側＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S側＝6π.V＝πr2·h＝π×12×2＝2π.答案：6π2π2.若圓錐的底面半徑為3，高為1，則圓錐的體積為，表面積為.

解析：V＝13Sh＝13×π×3×1＝π.S＝πr（r＋l）＝3π（3＋2）＝（3＋23答案：π（3＋23）π3.直徑為1的球的表面積為，體積為.

解析：∵球的直徑為1，∴球的半徑r＝12，∴S表＝4πr2＝4π×（12）2＝π，V球＝43πr3＝43π×（12答案：ππ題型一圓柱、圓錐、圓臺的表面積【例1】（1）若圓錐的高為3，底面半徑為4，則此圓錐的表面積為（）A.40πB.36πC.26π D.20π（2）圓臺的上、下底面半徑分別為10cm，20cm，它的側面展開圖是扇環(huán)，其圓心角為π，則圓臺的表面積為cm2.（結果中保留π）

解析（1）圓錐的母線長l＝32＋42＝5，所以圓錐的表面積為π×42＋π×4（2）如圖所示，設圓臺的上底面周長為lcm，因為扇環(huán)的圓心角是π，所以l＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20cm.同理可得SB＝40cm，所以AB＝SB－SA＝20cm，所以表面積S＝π（10＋20）×20＋π×102＋π×202＝1100π（cm2）.答案（1）B（2）1100π通性通法解決圓柱、圓錐、圓臺的表面積問題，要利用好旋轉體的軸截面及側面展開圖，借助于平面幾何知識，求得所需幾何要素，代入公式求解即可，基本步驟如下：（1）得到空間幾何體的平面展開圖；（2）依次求出各個平面圖形的面積；（3）將各平面圖形的面積相加.1.（多選）如圖，四邊形BCC1B1是圓柱的軸截面，AA1是圓柱的一條母線，已知AB＝4，AC＝22，AA1＝3，則下列說法正確的是（）A.圓柱的側面積為23πB.圓柱的側面積為66πC.圓柱的表面積為66π＋12πD.圓柱的表面積為26π＋6π解析：BC因為AB＝4，AC＝22，所以BC＝AB2＋AC2＝26，即r＝6，又因為AA1＝3，所以圓柱的側面積是2πrl＝2π×6×3＝66π，圓柱的表面積是2πrl＋2πr2＝66π2.用一張4cm×8cm的矩形硬紙卷成圓柱的側面，則該圓柱的表面積為cm2.

解析：有兩種不同的卷法，分別如下：①以矩形8cm的邊長為母線長，把矩形硬紙卷成圓柱側面，設底面半徑為r，此時底面周長為2πr＝4cm，得r＝2πcm，則兩底面面積之和為8πcm2，又S側＝32cm2，故此時該圓柱的表面積為（32＋8π）cm2.②以矩形4cm的邊長為母線長，把矩形硬紙卷成圓柱側面，設底面半徑為r'，此時底面周長為2πr'＝8cm，得r'＝4π，則兩底面面積之和為32πcm2，又S側＝32cm2，故此時該圓柱的表面積為（32＋答案：32＋8π或32＋題型二圓柱、圓錐、圓臺的體積【例2】（1）已知圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側面積是162π，則圓錐的體積是（）A.64π3 C.64π D.1282π（2）已知圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，母線長為10，則圓臺的體積為.

解析（1）設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，∵圓錐的軸截面是等腰直角三角形，∴2r＝l2＋l2，即l＝2r，由題意得，側面積S側＝πr·l＝2πr2＝162π，∴r＝4.∴l(xiāng)＝42，高h＝l2－r2＝4.∴圓錐的體積V＝13Sh＝13π×（2）設上底面半徑為r，則下底面半徑為4r，高為4r，如圖.∵母線長為10，∴102＝（4r）2＋（4r－r）2，解得r＝2.∴下底面半徑R＝8，高h＝8，∴V圓臺＝13π（r2＋rR＋R2）h＝答案（1）A（2）224π通性通法圓柱、圓錐、圓臺體積的求法求圓柱、圓錐、圓臺的體積的關鍵是求其底面面積和高，其中高一般利用幾何體的軸截面求得，一般是由母線、高、半徑組成的直角三角形中列出方程并求解.1.如圖，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，則該幾何體的體積為（）A.5π B.6πC.20π D.10π解析：D用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補成一個圓柱，如圖，則圓柱的體積為π×22×5＝20π，故所求幾何體的體積為10π.2.已知圓錐的底面半徑為1，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的體積為（）A.22π B.22C.3π D.33解析：D設圓錐的母線長為l，高為h，底面半徑r＝1，則由2π×1＝πl(wèi)得l＝2，所以h＝l2－r2＝3，所以V＝13πr2h＝13π×12×題型三球的表面積與體積【例3】（1）一平面截一球得到直徑為25cm的圓面，球心到這個平面的距離是2cm，則該球的體積是（）A.12πcm3 B.36πcm3C.646πcm3 D.108πcm3（2）半徑為2cm的小金屬球共有125個，熔化后鑄成一個大金屬球，如果不計損耗，可鑄成的大金屬球的表面積為（）A.100 B.400C.100π D.400π解析（1）設球心為O，截面圓心為O1，連接OO1，如圖所示，在Rt△OO1A中，O1A＝5cm，OO1＝2cm，∴球的半徑R＝OA＝22＋（5）2＝3cm，∴球的體積V＝43π×3（2）設大金屬球的半徑為r，則4π3×23×125＝4π3×r3?r＝10，∴其表面積為4πr2答案（1）B（2）D通性通法因為球的表面積與體積都是球的半徑的函數(shù)，所以在解答這類問題時，設法求出球的半徑是解題的關鍵.1.若兩球的表面積之差為48π，它們的半徑之和為6，則兩球的體積之差的絕對值為.

解析：設兩個球的半徑分別為R，r（R＞r），則由題意得4πR2－4πr2=48π，R＋r=6，即（R＋r)(R－r）=12，R＋r=6，答案：22432.長、寬、高分別為2，3，5的長方體的外接球的表面積為.

解析：該長方體的體對角線長為22＋（3）2＋（5）2＝23，設外接球的半徑為R，∴2R＝23，∴R＝答案：12π1.球的體積是32π3，則此球的表面積是（A.12π B.16πC.16π3 解析：B設球的半徑為R，∴43πR3＝323π，∴R＝2，∴S球＝4πR22.若圓錐的底面半徑為1，高為3，則圓錐的表面積為（）A.π B.2πC.3π D.4π解析：C設圓錐的母線長為l，則l＝3+1＝2，所以圓錐的表面積為S＝π×1×（1＋2）＝3π.3.已知圓臺的體積為7π，上、下底面的半徑分別為1和2，則圓臺的高為（）A.3 B.4C.5 D.6解析：A設圓臺的高為h，由題意知V＝13π（12＋1×2＋22）h＝7π，故h＝4.我國南北朝著名數(shù)學家祖暅提出了祖暅原理：“冪勢即同，則積不容異”.即夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任何平面所截，若截得的兩個截面面積都相等，則這兩個幾何體的體積相等.在數(shù)學上運用祖暅原理推導球的體積公式時，構造了一個底面半徑與高都為R的圓柱內(nèi)挖掉一個等高、等底的圓錐的幾何體（如圖所示），則該幾何體的體積為.解析：圓柱的體積V1＝πR2·R＝πR3，圓錐的體積V2＝13πR3，所以所求的幾何體的體積為V1－V2＝πR3－13πR3＝23π答案：23πR探究空間幾何體上兩點間路徑最短問題計算空間幾何體上兩點間路徑最短問題時，一般轉化為平面幾何方法求解，即將側面展開化為平面圖形，即“化折為直”或“化曲為直”來解決，要熟練掌握多面體與旋轉體的側面展開圖的形狀.類型一旋轉體表面上兩點間的最短路徑問題【例1】（1）如圖，圓柱的高為2，底面周長為16，四邊形ACDE為該圓柱的軸截面，點B為半圓弧CD的中點，則在此圓柱的側面上，從A到B的路徑中，最短路徑的長度為（）A.217B.25C.3 D.2（2）如圖，圓錐的母線AB長為2，底面圓的半徑為r，若一只螞蟻從圓錐的點B出發(fā)，沿表面爬到AC的中點D處，則其爬行的最短路線長為5，則圓錐的底面圓的半徑為（）A.1 B.2C.3 D.3解析（1）圓柱的側面展開圖如圖所示，由題得AC＝2，BC＝14×16＝4，所以AB＝22＋42＝25.所以在此圓柱的側面上，從A到B的路徑中，最短路徑的長度為（2）如圖為半圓錐的側面展開圖，連接BD1，則BD1的長為螞蟻爬行的最短路線長，設展開圖的扇形的圓心角為α，根據(jù)題意得BD1＝5，AD1＝1，AB＝2，在△ABD1中，AB2＋AD12＝BD12，所以∠D1AB＝π2，所以扇形弧長l＝π2×2＝π，所以圓錐底面圓的周長為2l＝2π，即2πr＝2π，答案（1）B（2）A類型二多面體表面上兩點間的最短問題【例2】如圖，長、寬、高分別為3，2，1的長方體木塊上有一只小蟲從頂點A出發(fā)沿著長方體的外表面爬到頂點C1，則它爬行的最短路程是.

解析根據(jù)題意，將長方體的長、寬、高所在相鄰兩個面按照三種不同的方式展開，如圖①②③.結合長方體的三種展開圖，求得AC1的長分別是32，26，25，所以最小值是32.故小蟲爬行的最短路程是32.答案321.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝3，AB＝BC＝1，AC＝2，E是棱BB1上的一點，則△A1CE的周長的最小值為（）A.11＋3 B.11＋23C.11＋13 D.11＋14解析：C由題意得A1C＝9+2＝11，將三棱柱的側面BCC1B1展開至平面ABB1A1內(nèi)，如圖所示，當A1，