2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊(cè) 6-3-1　平面向量基本定理 學(xué)案

6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.1平面向量基本定理新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)理解平面向量基本定理及其意義直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算共線(xiàn)向量基本定理的實(shí)質(zhì)是，所有共線(xiàn)的向量中，只要指定一個(gè)非零向量，則其他向量都可以用這個(gè)向量表示出來(lái).那么，這個(gè)結(jié)論是否可以推廣到所有共面的向量呢？問(wèn)題如圖所示，已知a，b，c，d，e，f的始點(diǎn)相同，你能分別將c，d，e，f寫(xiě)成向量a，b的線(xiàn)性運(yùn)算嗎？

知識(shí)點(diǎn)平面向量基本定理1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2.基底若e1，e2不共線(xiàn)，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.提醒（1）基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量都可以作為一個(gè)基底.同一非零向量在不同基底下的分解是不同的；（2）基底給定時(shí)，分解形式唯一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數(shù)值.1.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A.一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線(xiàn)的向量可構(gòu)成表示該平面內(nèi)所有向量的基底B.一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)多對(duì)不共線(xiàn)的向量可構(gòu)成表示該平面內(nèi)所有向量的基底C.零向量不可以作為基底中的向量D.一對(duì)不共線(xiàn)的單位向量可以作為基底解析：A平面內(nèi)向量的基底是不唯一的.在同一平面內(nèi)，任意一對(duì)不共線(xiàn)的向量都可構(gòu)成表示該平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，故A錯(cuò)，B、D對(duì).零向量與任一向量平行，故零向量不可以作為基底中的向量，故C對(duì).2.（多選）設(shè)O是平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)AC，BD的交點(diǎn)，其中可表示這個(gè)平行四邊形所在平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底的是（）A.{AD，AB}B.{DA，BC}C.{CA，DC} D.{OD，OB}解析：AC平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線(xiàn)的向量都可以作為基底.如圖，對(duì)于A，AD與AB不共線(xiàn)，可作為基底；對(duì)于B，DA與BC為共線(xiàn)向量，不可作為基底；對(duì)于C，CA與DC不共線(xiàn)，可作為基底；對(duì)于D，OD與OB是共線(xiàn)向量，不可作為基底.3.如圖所示，向量OA可用向量e1，e2表示為.

解析：由圖可知，OB＝3e2，OC＝4e1，∴OA＝4e1＋3e2.答案：4e1＋3e2題型一平面向量基本定理的理解【例1】設(shè)e1，e2是不共線(xiàn)的兩個(gè)向量，給出下列四組向量：①e1與e1＋e2；②e1－2e2與e2－2e1；③e1－2e2與4e2－2e1；④e1＋e2與e1－e2.其中能作為平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底的是（填序號(hào)）.

解析①設(shè)e1＋e2＝λe1（λ∈R），則λ=1，1=0，無(wú)解，∴e1＋e2與e1不共線(xiàn)，即{e1，e1＋e2}能作為一個(gè)基底.②設(shè)e1－2e2＝k（e2－2e1）（k∈R），則e1－2e2＝－2ke1＋ke2，∴1=－2k，－2=k，無(wú)解，∴e1－2e2與e2－2e1不共線(xiàn)，即e1－2e2，e2－2e1能作為一個(gè)基底.③∵e1－2e2＝－12（4e2－2e1），∴e1－2e2與4e2－2e1共線(xiàn)，即{e1－2e2，4e2－2e1}不能作為一個(gè)基底.④設(shè)e1＋e2＝n（e1－e2）（n∈R），則e1＋e2＝ne1－ne2，∴1=n，1=－n，無(wú)解答案①②④通性通法對(duì)基底的理解（1）兩個(gè)向量能否作為一個(gè)基底，關(guān)鍵是看這兩個(gè)向量是否共線(xiàn).若共線(xiàn)，則不能作基底，反之，則可作基底；（2）一個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個(gè)向量都可以由這個(gè)基底唯一線(xiàn)性表示出來(lái).設(shè)向量a與b是平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，則x1＝x2且y1＝y(tǒng)2.已知e1，e2不共線(xiàn)，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作為平面內(nèi)的一個(gè)基底，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為.

解析：若{a，b}能作為平面內(nèi)的一個(gè)基底，則a與b不共線(xiàn)，則a≠kb（k∈R），∵a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，∴λ≠4.∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（－∞，4）∪（4，＋∞）.答案：（－∞，4）∪（4，＋∞）題型二用基底表示向量【例2】如圖，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)分別是DC，AB的中點(diǎn)，設(shè)AD＝a，AB＝b，試用{a，b}為基底表示DC，EF.解因?yàn)镈C∥AB，AB＝2DC，E，F(xiàn)分別是DC，AB的中點(diǎn)，所以DC＝AF＝12AB＝1EF＝ED＋DA＋AF＝－12DC－AD＋12AB＝－12×12b－a＋12通性通法用基底表示向量的方法將兩個(gè)不共線(xiàn)的向量作為基底表示其他向量的方法有兩種：一是運(yùn)用向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至用基底表示；二是通過(guò)列向量方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解.如圖，在正方形ABCD中，設(shè)AB＝a，AD＝b，BD＝c，則以{a，b}為基底時(shí)，AC可表示為，以{a，c}為基底時(shí)，AC可表示為.

解析：以{a，b}為基底時(shí)，AC＝AB＋AD＝a＋b；以{a，c}為基底時(shí)，將BD平移，使B與A重合，再由三角形法則或平行四邊形法則即得AC＝2a＋c.答案：a＋b2a＋c題型三平面向量基本定理的應(yīng)用【例3】如圖，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求AP∶PM與BP∶PN的值.解設(shè)BM＝e1，CN＝e2，則AM＝AC＋CM＝－3e2－e1，BN＝BC＋CN＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分別共線(xiàn)，∴存在實(shí)數(shù)λ，μ使得AP＝λAM＝－λe1－3λe2，BP＝μBN＝2μe1＋μe2.故BA＝BP＋PA＝BP－AP＝（λ＋2μ）e1＋（3λ＋μ）e2.而B(niǎo)A＝BC＋CA＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得λ+2μ∴AP＝45AM，BP＝∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝32（變?cè)O(shè)問(wèn)）在本例條件下，若CM＝a，CN＝b，試用a，b表示CP.解：由本例知BPPN＝32，則NP＝25NB，CP＝CN＋NP＝CN＋25NB＝b＋25（CB－CN）＝b＋45a－2通性通法若題中有多組三點(diǎn)共線(xiàn)，可從三點(diǎn)共線(xiàn)出發(fā)，列出關(guān)于系數(shù)的方程組，通過(guò)解方程組求解.如圖所示，在正方形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，若AE＝λAB＋μAC，則λ＋μ＝.

解析：由題意，得AE＝12（AD＋AC）.又AD＝BC＝AC－AB，所以AE＝12（－AB＋2AC）＝－12AB＋AC.又AE＝λAB＋μAC，所以λ＋μ＝－12答案：11.在△ABC中，AB＝c，AC＝b，點(diǎn)D滿(mǎn)足BD＝2DC，若將{b，c}作為一個(gè)基底，則AD＝（）A.23b＋13c B.53cC.23b－13c D.13b解析：A∵BD＝2DC，∴AD－AB＝2（AC－AD），∴AD－c＝2（b－AD），∴AD＝13c＋23b，2.如圖，用向量e1，e2表示向量a－b＝（）A.－2e1－4e2B.－4e1－2e2C.e2－3e1D.－e2＋3e1解析：C如圖所示，a－b＝BA＝CA－CB＝e2－3e1.故選C.3.已知非零向量OA，OB不共線(xiàn)，且2OP＝xOA＋yOB，若PA＝λAB（λ∈R），則x，y滿(mǎn)足的關(guān)系式是（）A.x＋y－2＝0 B.2x＋y－1＝0C.x＋2y－2＝0 D.2x＋y－2＝0解析：A由PA＝λAB，得OA－OP＝λ（OB－OA），即OP＝（1＋λ）OA－λOB.又2OP＝xOA＋yOB，所以x=