新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊5 .4 .3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象

5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握正切函數(shù)的周期性和奇偶性2能借助單位圓畫出尸tan尤的圖象.3.掌握

正切函數(shù)的性質(zhì).

知識梳理梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ)

--------------------N--------------------

知識點(diǎn)函數(shù)y=tan尤的圖象與性質(zhì)

解析式y(tǒng)=tmx

圖象

定義域

值域

最小正周期

奇偶性奇函數(shù)

單調(diào)性在每個(gè)開區(qū)間（3+E，升（止Z）上都是增函數(shù)

對稱中心（券，）（）

對稱性O(shè)kGZ

TT

思考正切函數(shù)》=1211%的圖象與X=fai+],有公共點(diǎn)嗎？

答案沒有.正切曲線是由被互相平行的直線x=E+全AGZ）隔開的無窮多支曲線組成的.

-思考辨析判斷正誤

1.正切函數(shù)的定義域和值域都是R.（X）

2.正切函數(shù)圖象是中心對稱圖形，有無數(shù)個(gè)對稱中心.（V）

JT

3.正切函數(shù)圖象有無數(shù)條對稱軸，其對稱軸是I=%?！?，%￡Z.（X）

4.正切函數(shù)是增函數(shù).（X）

題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升

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一、正切函數(shù)的圖象的畫法

例1我們能用“五點(diǎn)法”畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡圖，類似地你能畫出正切函數(shù)y=tanx,

江（甘，⑥的簡圖嗎？

解三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（一.T），（0,0）,仔1），

兩條平行線：x=~yx=2,

反思感悟“三點(diǎn)兩線法”作正切曲線的簡圖

⑴''三點(diǎn)”分別為（配一去一1）,（析，0）,（E+金1）,其中ZGZ;兩線分別為直線彳=也

7171

一］和直線x=E+g,其中左ez.（兩線也稱為正切曲線的漸近線，即無限接近但不相交）.

（2）作簡圖時(shí)，只需先作出一個(gè)周期中的兩條漸近線，然后描出三個(gè)點(diǎn)，用光滑的曲線連接得

一條曲線，最后平行移動(dòng)至各個(gè)周期內(nèi)即可.

二、正切函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用

例2⑴比較下列兩個(gè)數(shù)的大小（用或填空）：

2兀10兀

（l）tan-tan一^一；

②tan中________tan（一^|^）.

答案①<②<

AT1_LLZ-N10713兀r八2兀37171

角牛析①tan-^-=tan—,且

又尸tanx在（0,§上單調(diào)遞增,

匕ri、I2兀3?？诳?兀1OTC

rj\以tan-<tan即tan-<tan

6兀7Ctan（T2兀

②tang=tan亍tan

因?yàn)椤?號苫，又丫=1211_￥在（（J,§上單調(diào)遞增,

匕匕）\?兀27r6兀（13兀）

所以tan5<tan-y,則tany<tan^--J.

⑵求函數(shù)y=tan&+§的單調(diào)遞增區(qū)間.

解令z=$+；,貝!|y=tanz.

由于函數(shù)》=12!12在（一冷+配，微+E）（左GZ）上是增函數(shù)，且Z=$+￡是增函數(shù)，

由-3+EV%+/<B+E,%￡Z,

3冗7C

解得一爹+2EVX<2+2左兀,%￡Z.

所以函數(shù)y=tan&+*的單調(diào)遞增區(qū)間為（一芋+2kn,彳+2防，（左eZ）.

延伸探究

求函數(shù)y=3tan（一；x+§的單調(diào)遞減區(qū)間.

解y=3tan（—&+；）可化為

y=-3tan（%一

兀］兀兀

由左兀一］<那一］<左兀+1kGZ,

得2fal—^<x<2k7i+竽，止Z,

故單調(diào)遞減區(qū)間為（2E—與2E+引（左金Z）.

反思感悟（1）運(yùn)用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小的方法

①運(yùn)用函數(shù)的周期性或誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).

②運(yùn)用單調(diào)性比較大小關(guān)系.

（2）求函數(shù)y=tan（s+9）的單調(diào)區(qū)間的方法

y=tan（aa+9）（①>0）的單調(diào)區(qū)間的求法是把a(bǔ)）x+（p看成一個(gè)整體，解一i+Evs+eV'+E,

即可.當(dāng)①<0時(shí)，先用誘導(dǎo)公式把Q化為正值再求單調(diào)區(qū)間.

跟蹤訓(xùn)練1求函數(shù)y=tan（2x一§的單調(diào)區(qū)間.

解,.,y=tanx在（一叁+%兀，叁+"）（%￡Z）上是增函數(shù)，

.兀I,—兀兀IT1__

??——"2~rkii<2x——十E,Z,

tin兀?%兀57T.ATT

即一五十5yxqi+E,&ez.

函數(shù)y=tan（2x—舒的單調(diào)遞增區(qū)間是（一金+竽，碧十用（左GZ）,無單調(diào)遞減區(qū)間.

三、正切函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例3設(shè)函數(shù)/（x）=tan&-亨.

（1）求函數(shù)人元）的定義域、最小正周期、單調(diào)區(qū)間及對稱中心;

（2）求不等式一1WfgW/的解集.

Y7171

解（1）由

571

得xW亍+2祈（女￡Z）,

所以“X）的定義域是卜卜W卑+2E,kezj.

因?yàn)閏t）=2?所以最小正周期T=~=~^=2TI.

2

由一1+kii＜2一^2+即（k￡Z）,

兀5兀

得一1+2%兀＜1＜于+2kli（k￡Z）.

所以函數(shù)人x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（一號+2配，竽+2E）（左GZ）,無單調(diào)遞減區(qū)間.

由尹畀墨/6Z）,得x=E+多c（止Z）,

故函數(shù)於）的對稱中心是（防1+1，0）,ZGZ.

得一號+EW:一字《母+%兀（%￡Z）,

7T471

解得4+2falWx4行+2kn（k￡Z）.

所以不等式一1W危）的解集是叫竽+2M,kezI.

反思感悟解答正切函數(shù)圖象與性質(zhì)問題應(yīng)注意的兩點(diǎn)

（1）對稱性：正切函數(shù)圖象的對稱中心是停，0）（左GZ）,不存在對稱軸.

（2）單調(diào)性：正切函數(shù)在每個(gè)（一與+配，胃+防，（左GZ）區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的，但不能說其在定

義域內(nèi)是遞增的.

跟蹤訓(xùn)練2關(guān)于尤的函數(shù)八尤）=tan（無+。）有以下幾種說法：

①對任意的9,於）都是非奇非偶函數(shù)；②"）的圖象關(guān)于電一9,0）對稱；③段）的圖象關(guān)于

E—（p,0）對稱；④鞏x）是以兀為最小正周期的周期函數(shù).

其中不正確的說法的序號是.

答案①

解析①若取9=far（AeZ）,則於）=tanx,此時(shí)，段）為奇函數(shù)，所以①錯(cuò)；觀察正切函數(shù)y

=tanx的圖象，可知y=tanx關(guān)于佟，0）（%GZ）對稱，令_￥+夕=?得了=竽-0,分別令人=

1,2知②，③正確，④顯然正確.

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

1----------------------------------------------------------N------------

1.函數(shù)尸tan（2x+￡）的最小正周期為（）

7171

A.2兀B.7iC，2D，

答案C

解析根據(jù)周期公式計(jì)算得T=黃巖，故選C.

co2

2.函數(shù)yutang—習(xí)的定義域是（）

A.卜卜丹JB.^xW一§!

答案D

JTIT3IT

解析由％—7^左兀+手左金工"導(dǎo)兄/航+工，％￡Z.

3.函數(shù)y=tanG+^的一個(gè)對稱中心是（）

A.（0,0）B.[j,0）eg,0）D.（兀，0）

答案c

解析令x+g=9，得X=]—）GZ,

所以函數(shù)尸tan（x+"）的對稱中心是（竽一]，0）,AGZ.

令京=2,可得函數(shù)的一個(gè)對稱中心為停，0）.

4.函數(shù)尸tan（兀-x）,尤e（一彳，號的值域?yàn)?

答案（一小，1）

解析y=tan（兀一%）=—tan%,在（一￡，上為減函數(shù)，所以值域?yàn)椋ㄒ恍。?）.

5.比較大?。簍antan

答案<

解析因?yàn)閠an1^=3JTtan小IT

17TI2兀

tan~^~=tan

JC27r7T

又°<4<5時(shí)，

尸tanx在0,，內(nèi)單調(diào)遞增,

所以tan余tan卷，

口口13兀17兀

即tan-^―<tan

■課堂小結(jié)

1.知識清單：

（1）正切函數(shù)圖象的畫法；

（2）正切函數(shù)的性質(zhì).

2.方法歸納：三點(diǎn)兩線法，整體代換，換元.

3.常見誤區(qū)：最小正周期T=俞，在定義域內(nèi)不單調(diào)，對稱中心為（竽，0）?eZ）.

課時(shí)對點(diǎn)練-------注-重--雙基、強(qiáng)-化-落-實(shí)

g基礎(chǔ)鞏固

1.函數(shù)/（x）=2tan（一尤）是（）

A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)

D.非奇非偶函數(shù)

答案A

解析7（—尤）=2tan尤=—/（X）,為奇函數(shù).

2.y（x）=-tang+g的單調(diào)減區(qū)間是（）

A（k兀一冬防t+舒，左GZ

B.（左兀，（左+1）兀），

C.3一苧左兀+副kRZ

E+多，kGZ

答案C

解析令一彳+也<了+于<m+%兀，左￡Z,

37171

解得一彳+E<尤<W+E,左ez.

所以函數(shù)/U）的單調(diào)遞減區(qū)間為（防t—竽，E+事，kWZ.

3.函數(shù)段）=tan8（。>0）的圖象上的相鄰兩支曲線截直線y=l所得的線段長為余則。的值

是（）

A.1B.2C.4D.8

答案C

解析由題意可得加）的最小正周期為張則焉甘???0=4.

4.若於）=tanQ+］）,貝ij（）

A.式。）/一WU）B.加）/1）次—1）

c.#）40）次—1）D.八—1）/0）次1）

答案A

解析危）在左兀一兀+與止Z,

即左兀一,<x<E+1%￡Z上是增函數(shù)，且周期為兀，

371

??Q1）=式1—兀），-^<1-71<-1<0<4，

???旭）次T）>1）.

5.下列關(guān)于函數(shù)丫內(nèi)6十稱的說法正確的是（）

A.在區(qū)間（一會為上單調(diào)遞增

B.最小正周期是兀

C.圖象關(guān)于點(diǎn)件0）成中心對稱

D.圖象關(guān)于直線》=專成軸對稱

考點(diǎn)正切函數(shù)周期性與對稱性

題點(diǎn)正切函數(shù)周期性與對稱性

答案B

解析令%兀一與＜%+與＜左兀+與，k《Z,解得左兀一手＜1＜左兀+專，k《Z,顯然（一點(diǎn)，笥不滿足上

乙J乙UU、Uy

述關(guān)系式，故A錯(cuò)誤；易知該函數(shù)的最小正周期為兀，故B正確；令x+A笫kRZ,解得

尤=冷一?MZ,任取左值不能得到尸去故C錯(cuò)誤；正切函數(shù)曲線沒有對稱軸，因此函數(shù)

y=tanG+§的圖象也沒有對稱軸，故D錯(cuò)誤.故選B.

6.函數(shù)y=3tan（ox+］）的最小正周期是則。=.

答案±2

解析丁=合=去"=±2.

7.函數(shù)y=y/1—tanx的定義域?yàn)?

答案苫，E+號（左￡Z）

8.函數(shù)y=2tan（3x+J—5的單調(diào)遞增區(qū)間是.

口木＜T-4,至+同，

解析令bl—5〈3X++E+5（%￡Z）,得

ku7i4兀?兀八一1、

可一+五（左eZ）.

9.設(shè)函數(shù)段）=tan作一］）.

（1）求函數(shù)五尤）的最小正周期、對稱中心；

（2）作出函數(shù)八x）在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖.

解（l）：0=g,

最小正周期7=方=牛=3兀.

CO

3

令g—,=Z（%￡Z）,得1=兀+-^_（左￡2）,

.?JU）的對稱中心是（兀+/-,oJ/GZ）.

（2）令方冶=0,則x=n；

令方V，貝！1x=y；

，函數(shù)y=tan。一g的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（兀，0）,在這個(gè)交點(diǎn)左、右兩側(cè)相鄰的兩條

漸近線方程分別是x=g,戶苧，從而得到函數(shù)尸危）在一個(gè)周期（甘，箋）內(nèi)的簡圖（如圖）.

10.已知函數(shù)fix）=3tan仁一力.

⑴求加）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）試比較人兀）與要|的大小.

17LJC7L.兀/丁

由加一iq—4<E+5(A：eZ),

得4fal—與<x<4析+梟人6Z).

4人?！A，4k7i

x4左兀一竽，4析+等（左￡Z）內(nèi)單調(diào)遞減.

所以/)=-3tan|

故原函數(shù)的最小正周期為4兀

單調(diào)遞減區(qū)間為（4左兀一與，4左兀+號）（左￡Z）.

r兀

(2W)=3tan|=3tan]2,

/閨=3tan6T)=3tan(一符,5兀

—3tan藥

E山八兀5兀兀

因?yàn)?<12<24<2>

且丁=1211］在（0,0上單調(diào)遞增,

所以tany^<tan碧，所以刎>于（

X綜合運(yùn)用

11.若式〃)=tan石(“dN*),則八1)+12)+…+八2019)等于()

A.~y[3B.y[3C.0D.一2小

答案C

解析由題意可知，7=詈3,

71

3

犬1)=小，犬2)=一小，

大3)=0中1)+八2)+五3)=0,

故y(l)+y(2)H-----H/(2019)=673X0=0.

12.已知函數(shù)＞=12115在區(qū)間(一看習(xí)內(nèi)是減函數(shù)，貝！]()

A.0＜(oWlB.—lWco＜0

C.①三1D.oW—1

答案B

解析：y=tan0尤在(甘，宮內(nèi)是減函數(shù)，

,,7L

.?.。＜0且7=-2兀，

.?.一1忘0＜0.故選氏

13.函數(shù)產(chǎn)一taYx+dtanx+l,xG的值域?yàn)?

答案[—4,4]

TTTT

解析,.?一4?入?不一1Wtan冗＜1.

令tan%=/,則[—1,1],

?*?y=—5+4/+1——(/—2了+5.

1T

???當(dāng)/=-1,即1=一W時(shí)，ymin=—4,

jr

當(dāng)r=l,即尤=4時(shí)，＞max=4.

故所求函數(shù)的值域?yàn)閇—4,4].

14.已知函數(shù)y(x)=Atan(0x+9)(A＞O,。＞0,|研音)的圖象與無軸相交的兩相鄰點(diǎn)的坐標(biāo)為

6°)和管，。)且過點(diǎn)(°，—3)，則於)=，危)》/的x的取值范圍為.

小4(3兀、「2左兀,5兀2fal.TI\

答案3tan(jx—/]丁+逐，了+2(ZGZ)

解析由題意可得處0的周期為

rp5兀7i2TT7i匕=3

T=~6~6=S=^所以°=2，

得/U）=Atangx+p）,它的圖象過點(diǎn)噲，0）,

所以tai（1,+,=0,即tan仔+?）=0,

7171

所以］+9=E（左GZ）,得夕=M—w，左GZ,

又儂專所以。=一/，

它的圖象過點(diǎn)（0,-3）,

所以Atan（一幻=—3,得4=3.

所以

7137T7T

得左兀+不忘］'—］＜%兀+2，左￡Z,

解得華+相"+會代z,

JloJZ

所以滿足式x）24的X的取值范圍是［華+瑞，竽