(5.6.11)-4.6 傳染病模型-SIR模型

紅色字體表示在屏幕上需要體現(xiàn)的文字內(nèi)容，與語音同時出現(xiàn)黃底色紅字表示用素材（圖片、表格、公式等）展示并顯示文字黃底色黑字表示用素材（圖片、表格、公式等）展示，文字不用顯示灰底色刪除線表示刪除的文字批注制作的意見或重點(diǎn)文字的提煉藍(lán)色字體制作的意見或說明綠色字體表示講稿存疑之處，需要與老師進(jìn)行溝通如無特殊說明，上屏文字均為：思源宋體CNSemiBold腳本-傳染病模型——SIR模型(ppt1，ppt2)同學(xué)，你好，這節(jié)課我們接著上節(jié)課的內(nèi)容，繼續(xù)講解傳染病模型的建模過程。(ppt3)首先，我們來回顧一下傳染病模型中的SIS模型。(ppt4)（動畫1）SIS模型的微分方程的形式為，感染者所占的比例i對t的導(dǎo)數(shù)等于λi(t)乘上[1-i(t)]，再減去μi(t)，（動畫2）我們令sigama=μ分之λ，（動畫3）可以得到i對t的導(dǎo)數(shù)等于負(fù)的λi(t)再乘以i(t)減去1-sigama分之一。其中（動畫4），λ為病人每天有效接觸的人數(shù)，μ為感染者的治愈率。（動畫5）那么如果治愈的病人都產(chǎn)生了長期免疫力，又該怎樣建立模型呢？(ppt5)下面我們來講解對上面這個問題所提出的一個改進(jìn)模型——SIR模型。(ppt6)在已學(xué)的SIS模型中，我們只把人分為兩類。在今天學(xué)的模型中，把居民分為三類，：（動畫1，2）第一類的比率??(??)表示為??時刻已經(jīng)感染人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；（動畫3，4）第二類的比例??(??)表示為??時刻未被感染人數(shù)（健康人）占總?cè)藬?shù)的比例；（動畫5,6）第三類比例??(??)表示??時刻移除者占總?cè)藬?shù)的比例。他們的關(guān)系是：（動畫7）健康人被感染后變成病人，（動畫8）病人治愈產(chǎn)生抗體變?yōu)橐瞥?。（動?）他們是一個動態(tài)過程，顯然這3個比例加起來等于1即??(??)+??(??)+??(??)=??。（動畫10）我們記λ為日接觸率，??為移除率。(ppt7)接下來我們開始構(gòu)建SIR模型。（動畫1）在detat的時間內(nèi)，感染者增加的數(shù)量與以前學(xué)過的SIS模型類似。一方面可可以表示為（動畫2）N乘以i(t+detat)減去i(t)，另一方面也可以表示為（動畫3）病人每天的有效接觸人數(shù)λ乘以s(t)乘以病人數(shù)Ni(t)再乘以detat再減去從病人中移除的人數(shù)gama乘以Ni(t)乘以detat，（動畫4）根據(jù)變化量相等可知，這兩個式子相等。（動畫5）在兩邊同除以Ndetat，得到（動畫6）i對t的導(dǎo)數(shù)等于λs(t)i(t)減去gama乘以i(t)。（動畫7，8）接下來我們看看健康人減少的量：健康人減少的量一方面可以表示為：N[s(t+?t)-s(t)]，另一方面可以表示為健康人被病人感染的量的負(fù)值。類似根據(jù)變化量相等可知，這兩個式子相等,（動畫9）在兩邊同除以Ndetat，得到s(t)對t的導(dǎo)數(shù)等于負(fù)的λs(t)i(t)。最后考慮移除者的量：（動畫10，11）一方面與從病人中移除的人數(shù)gama乘以Ni(t)乘以detat相同，另一方面可以表示為N[r(t+Δt)-r(t)]。類似他們是相等的，兩邊同除以Ndetat，（動畫12）得到r對t的導(dǎo)數(shù)等于gama乘以i(t)。（動畫13）聯(lián)立上面3個方面，我們得到傳染病的微分方程組，即SIR模型。(ppt8)下面我們對方程進(jìn)行化簡，（動畫1）由于i(t)加s(t)再加r(t)等于1，只要知道了i(t)和s(t)，就可以求出r(t)。我們看到上面那個方程組中前兩個方程與r(t)無關(guān)，只與i(t)和s(t)有關(guān)，（動畫2）因此我們考慮前兩個方程，即s(t)對t的導(dǎo)數(shù)等于負(fù)的λs(t)i(t)，i對t的導(dǎo)數(shù)等于λs(t)i(t)減去gama乘以i(t)。仔細(xì)分析，我們發(fā)現(xiàn)這是非線性微分方程組，求不出真解。下面我們采用相平面分析法。（動畫3，4）什么是相平面呢？i(t)和s(t)所構(gòu)成平面稱為相平面。利用下面方程除以上面方程，我們可以得到可以得到i(t)關(guān)于s(t)的微分方程，即：i(t)對s(t)的導(dǎo)數(shù)等于負(fù)的λs(t)i(t)分之λs(t)i(t)減去gama乘以i(t)，也就等于λs(t)分之gama再減去1。我們把i(t)看出因變量，s(t)看成自變量。利用分離變量法，（動畫5，6）可以解得通解為：i(s)等于負(fù)的s(t)加上λ分之gama乘以lns(t)再加上C。（動畫7）當(dāng)t等于0時，s等于s_0，i等于i_0，把他們代入上面的通解，我們可以把C求解出來。記ρ等于λ分之gama，可得特解，即相軌線方程：（動畫8）i(s)等于i_0加s_0減去s(t)再加上ρ乘以lns_0分之s(t)。（動畫9）特解的圖像即為相軌線，相應(yīng)的相軌線的定義域D為：s大于等于0，i大于等于0，由于i(t)加s(t)再加r(t)等于1，這里r(t)大于等于零，因此s加i小于等于1。（動畫10）如右圖所示。(ppt9)接下來我們對SIR模型的結(jié)果進(jìn)行分析。（動畫1）首先我們根據(jù)相軌線的定義域可以得到這樣一個坐標(biāo)系。（動畫2），我們可以得到如下結(jié)論：（動畫3）第一、當(dāng)t趨于無窮時，i在t趨于無窮時等于0，也就是說病人終將在系統(tǒng)中消失。（動畫4）如左圖中的相軌線軌跡所示。（動畫5，6））第二、令t趨于無窮，因為i趨于無窮時等于0，我們可以發(fā)現(xiàn)s無窮滿足方程：1減去s無窮加ρlns_0分之s無窮等于0。其中s無窮是相軌線與s軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。（動畫7）第三、對相軌線方程求導(dǎo)，可以得到i在s星等于ρ時達(dá)到最大值，且i(s星)等于1減ρ加ρ乘以lns_0分之ρ。（動畫8）如左圖相軌線所示。（動畫9，10）根據(jù)上一條我們可以得出第四條結(jié)論，當(dāng)健康人比例初值s_0大于ρ時，i(t)先升后降至0，此時傳染病蔓延。（動畫11，12）當(dāng)健康人比例初值s_0小于等于ρ時，i(t)單調(diào)減少到0，此時傳染病不蔓延。因此傳染病是否蔓延與ρ的值有關(guān)。我們需要增加ρ的值才能減少傳染病蔓延。(ppt10)接下來我們來了SIR模型提供的決策依據(jù)。(ppt11)（動畫1）我們分析ρ值，（動畫2，3）ρ等于移除率gama除以有效接觸率λ。（動畫4，5）前面我們得到增加ρ的值才能減少傳染病蔓延。因此我們必須減少有效接觸率λ和提升移除率gama。(ppt12)（動畫1）減少有效接觸率λ最有效的措施是把感染者隔離。這一點(diǎn)我們國家做的非常好，及時的封城，在當(dāng)?shù)乜焖俑綦x疑似病例以及從高發(fā)地區(qū)返程的人員，并且號召全國人民沒有事情盡量少出門，出門也要帶好口罩，做好防護(hù)。(ppt13)（動畫1）提升移除率gama的一個方法是：國家還要