(3.7)-第五章 時(shí)間序列分析（版本二）

第五章

時(shí)間序列分析 1.平穩(wěn)時(shí)間序列分析 2.非平穩(wěn)序列建模一、了解時(shí)間序列1.1什么是時(shí)間序列？時(shí)間序列是指按時(shí)間順序排列的、隨時(shí)間變化且相互關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)序列。1.2什么是時(shí)間序列分析？簡單來說，就是對時(shí)間序列進(jìn)行觀察研究，找尋它的發(fā)展規(guī)律，預(yù)測它將來的走勢。

任何時(shí)間序列經(jīng)過合理函數(shù)變換均可認(rèn)為是三個(gè)部分疊加而成。即：趨勢項(xiàng)部分、周期項(xiàng)部分、隨機(jī)噪聲項(xiàng)部分時(shí)間序列可有不同的分類：

根據(jù)所研究的對象數(shù)量可分為一元時(shí)間序列和多元時(shí)間序列；根據(jù)時(shí)間的連續(xù)性，可分為離散時(shí)間序列和連續(xù)時(shí)間序列；根據(jù)序列的統(tǒng)計(jì)特性，可分為平穩(wěn)時(shí)間序列和非平穩(wěn)時(shí)間序列。二、了解Eviews軟件在這里，我們用Eviews軟件來求解所有的案例。那Eviews是什么，它又能夠做什么呢？我們來簡單了解一下：1）Eviews是在大型計(jì)算機(jī)的TSP(TimeSeriesProcessor)軟件包基礎(chǔ)上發(fā)展起來的新版本，是一組處理時(shí)間序列數(shù)據(jù)的有效工具。雖然Eviews是由經(jīng)濟(jì)學(xué)家開發(fā)的，并大多在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域應(yīng)用，但它的適用范圍不應(yīng)只局限于經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域。2）Eviews可以用來統(tǒng)計(jì)、計(jì)量分析和預(yù)測數(shù)據(jù)，

除菜單操作外，EViews還提供命令語言。平穩(wěn)時(shí)間序列分析 1.基本概念 2.ARMA模型的基本形式 3.ARMA模型的平穩(wěn)性和可逆性 4.ARMA建模 5.案例分析第一節(jié)

第五章一、基本概念1.隨機(jī)過程的均值函數(shù)：對于隨機(jī)過程,t固定時(shí),是一個(gè)隨機(jī)變量,是一個(gè)隨機(jī)變量,設(shè)其均值為.當(dāng)t變動(dòng)時(shí),是t的函數(shù).2.

隨機(jī)過程的方差函數(shù)：對于隨機(jī)過程 ,t固定時(shí),的方差為;當(dāng)t變動(dòng)時(shí),是t的函數(shù)3.自協(xié)方差函數(shù)：對于隨機(jī)過程

取定4.自相關(guān)系數(shù)：將標(biāo)準(zhǔn)化

5、平穩(wěn)時(shí)間序列：若隨機(jī)序列滿足條件下列條件6、白噪聲序列（純隨機(jī)序列）

若隨機(jī)序列是由一個(gè)不相關(guān)的隨機(jī)變量構(gòu)成的,且其期望和方差都是常數(shù)。即

1、自回歸(AR)模型2、移動(dòng)平均(MA)模型3、自回歸移動(dòng)平均(ARMA)模型

第五章二、ARMA模型的基本形式2.1

AR模型

滿足的條件其中：是零均值、方差是的平穩(wěn)白噪聲，為自回歸參數(shù)向量

*：特別當(dāng)時(shí)，稱為中心化AR(P)模型

中心化AR(p)模型引進(jìn)算子多項(xiàng)式，中心化AR(P)模型又可以簡記為其中:2.2

MA模型具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為q階移動(dòng)平均模型，簡記為MA(q)滿足的條件其中：是零均值、方差是的平穩(wěn)白噪聲

為移動(dòng)平均參數(shù)向量*：特別當(dāng)時(shí)，稱為中心化模型

中心化MA(q)模型

引進(jìn)算子多項(xiàng)式，中心化MA(q)模型又可以簡記為其中：2.3ARMA模型具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動(dòng)平均模型，簡記為ARMA（p,q）滿足條件其中：

是零均值、方差是的平穩(wěn)白噪聲為自回歸移動(dòng)平均參數(shù)向量*：特別當(dāng)時(shí)，稱為中心化ARMA（p,q）模型中心化

模型引進(jìn)算子多項(xiàng)式，中心化ARMA（p,q）模型又可以簡記為其中：

三、ARMA模型的平穩(wěn)性和可逆性對于一般的平穩(wěn)序列，設(shè)其均值，滿足

引進(jìn)算子多項(xiàng)式后，有

假定和無公共因子，且則:

模型的平穩(wěn)性條件—— 的根全在單位圓內(nèi)

模型的可逆性條件—— 的根全在單位圓外注意：

對于時(shí)間序列模型來說，只有滿足了平穩(wěn)性與可逆性，才能夠真正有意義的反映動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的實(shí)際變化特征。四、ARMA(p,q)建模過程1、獲得觀測值序列2、時(shí)間序列預(yù)處理3、ARMA模型識別與定階4、ARMA模型的參數(shù)確定5、ARMA模型的檢驗(yàn)6、ARMA模型的優(yōu)化7、序列預(yù)測及結(jié)果分析Step1獲得觀測值序列

在Eviews軟件中，利用菜單欄中的File可以直接把文本文件、Excel文件、數(shù)據(jù)庫保存的數(shù)據(jù)導(dǎo)入Eviews中。Step2時(shí)間序列預(yù)處理平穩(wěn)性檢驗(yàn)——檢驗(yàn)序列的平穩(wěn)性1）時(shí)序圖檢驗(yàn)根據(jù)平穩(wěn)時(shí)間序列均值、方差為常數(shù)的性質(zhì)，平穩(wěn)序列的時(shí)序圖應(yīng)該顯示出該序列始終在一個(gè)常數(shù)值附近波動(dòng)，而且波動(dòng)的范圍有界、無明顯趨勢及周期特征。2）自相關(guān)圖檢驗(yàn)平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性，該性質(zhì)用自相關(guān)系數(shù)來描述就是隨著延遲期數(shù)的增加，平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)會很快地衰減為零。

純隨機(jī)性檢驗(yàn)（白噪聲檢驗(yàn)）——檢驗(yàn)序列是否具有相關(guān)性

純隨機(jī)序列沒有分析價(jià)值，為了確定某平穩(wěn)序列值不值得繼續(xù)分析，我們需要對平穩(wěn)序列進(jìn)行純隨機(jī)性檢驗(yàn)。1）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量： Q-統(tǒng)計(jì)量，2）判斷原則： Q-統(tǒng)計(jì)量的P值小于時(shí)，認(rèn)為該序列為非白噪聲序列；反之，則為白噪聲序列。Step3

ARMA模型識別與定階兩個(gè)基本概念1）自相關(guān)系數(shù)（ACF）：構(gòu)成時(shí)間序列的每個(gè)序列值之間的簡單相關(guān)關(guān)系，用來度量自相關(guān)程度，即觀測值序列的樣本自相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式：其中：2）偏自相關(guān)系數(shù)（PACF）：所謂滯后k偏自相關(guān)系數(shù)，就是說在剔除了中間k-1個(gè)隨機(jī)變量的干擾之后，對影響的相關(guān)度量，即

觀測值序列的樣本自相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式：其中：根據(jù)樣本自相關(guān)系數(shù)與偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)腁RMA(p,q)進(jìn)行擬合。具體判斷標(biāo)準(zhǔn)為：（1）若為q階截尾，則判斷是MA(q)序列

（2）若為p階截尾，則判斷是AR(p)序列（3）若

、都不截尾，而僅僅是以負(fù)指數(shù)衰減，則可初步判斷是ARMA(p,q)序列補(bǔ)充：1）在實(shí)際處理中，要使、在某一階之后全部為0幾乎是不可能的，只能在某一階之后圍繞零值上下波動(dòng)2）拖尾性：呈負(fù)指數(shù)衰減

截尾性：若樣本（偏）自相關(guān)系數(shù)在最初的d階明顯大于兩倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍，而后幾乎95%的（偏）自相關(guān)系數(shù)都落在2倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍以內(nèi)，而且通常由非零自相關(guān)系數(shù)衰減為小值的波動(dòng)過程非常突然。這時(shí)，通常視為（偏）自相關(guān)系數(shù)截尾，截尾階數(shù)為d。

Step4

ARMA模型的參數(shù)確定對于一個(gè)非中心化的ARMA(p,q)模型有

即

其中：該模型有p+q+2個(gè)未知參數(shù)：其中

的估計(jì)值可以用樣本均值估計(jì)總體均值得到，其他p+q+1個(gè)未知參數(shù)可用矩估計(jì)、最大似然估計(jì)、最小二乘估計(jì)。Step5

ARMA模型的檢驗(yàn)1）模型的顯著性檢

目的：判斷整個(gè)模型對信息的提取是否充分。

模型檢驗(yàn)的對象為殘差序列，目的是為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行?，即對信息的提取是否充分。判定原則：A、一個(gè)好的擬合模型應(yīng)該能夠提取觀察值序列中幾乎所有的樣本相關(guān)信息，即殘差序列應(yīng)該為白噪聲序列B、若殘差序列為非白噪聲序列，那就意味著殘差序列中還殘留著相關(guān)信息未被提取，這就說明擬合模型不夠有效

。在Eviews軟件中，利用P統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行?，?dāng)時(shí)，殘差序列不為白噪聲序列，反之則為白噪聲序列DW檢驗(yàn)值：用于檢驗(yàn)序列的自相關(guān)性，大致在1.5~2.5間表明序列無自相關(guān)性2）參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)?zāi)康模簷z驗(yàn)?zāi)Ｐ徒Y(jié)構(gòu)是否最簡在Eviews軟件中，利用Std.Error（回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差）來檢驗(yàn)Step6

ARMA模型的優(yōu)化當(dāng)一個(gè)擬合模型通過了檢驗(yàn)，說明在一定的置信水平下，該模型能有效地?cái)M合觀察值序列的波動(dòng)，但這種效果并不是唯一的。當(dāng)同一個(gè)向量可以構(gòu)造兩個(gè)擬合模型，兩個(gè)模型都顯著有效，那么到底該選擇哪一個(gè)模型用于統(tǒng)計(jì)推斷呢？為了解決這個(gè)問題，我們用第3步中的最小信息準(zhǔn)則——AIC準(zhǔn)則、BIC準(zhǔn)則，確定模型相對最優(yōu)判定原則：AIC、BIC、SC越小，模型擬合相對最優(yōu)。在Eviews軟件中，可直接觀測到模型的AIC值、SC值Step7序列預(yù)測及結(jié)果分析利用得到的模型，預(yù)測下一時(shí)間段的值：在Eviews軟件中，利用Forcast進(jìn)行預(yù)測。依據(jù)題意，分析得到的結(jié)果。ARMA(p,q)建模過程流程五、案例分析已知某城市過去63年中每年降雪量數(shù)據(jù)，如下表，試預(yù)測該城市下一年降雪量5.1模型求解1）序列預(yù)處理結(jié)果分析：從時(shí)序圖（左）可以看出，y序列始終在一個(gè)常數(shù)值附近波動(dòng)，而且波動(dòng)的范圍有界、無明顯趨勢及周期特征，該序列為平穩(wěn)序列。

從自相關(guān)系數(shù)圖（右）可以看出，隨著延遲期數(shù)的增加，序列的自相關(guān)系數(shù)會很快衰減為零，該序列為平穩(wěn)序列。從Q-統(tǒng)計(jì)量的P值可以看出，大部分小于0.05，該序列為非白噪聲序列。2）確定模型類型的和階數(shù)

根據(jù)自相關(guān)與偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，確定模型類型的和階數(shù)

分別嘗試用ARMA(1,1)、ARMA(1,2)、ARMA(1,3)等模型擬合，并通過誤差分析來選取最優(yōu)模型模型自相關(guān)系數(shù)（ACF）偏自相關(guān)系數(shù)（PACF）AR(p)拖尾p階截尾MA(q)q階截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾3）ARMA(1，2)模型擬合結(jié)果根據(jù)該圖，我們得出這一模型形式如下：5）序列預(yù)測與結(jié)果分析該城市下一年的降雪量約為84.82。4）模型檢驗(yàn)分析：P值均大于0.05，殘差序列為白噪聲序列，建模通過DW檢驗(yàn)值為1.94，序列無自相關(guān)性。非平穩(wěn)時(shí)間序列建模 1.基本概念 2.ARIMA(p,d,q)模型 3.ARIMA建模過程 4.案例分析第二節(jié)

第五章一、基本概念1、差分運(yùn)算的實(shí)質(zhì)：差分方法是一種非常簡便、有效的確定性信息提取方法，差分運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是使用自回歸的方式提取確定性信息。d階差分后序列可以表示為2、差分方式的選擇在實(shí)際情況中，我們會根據(jù)序列不同的特點(diǎn)選擇合適的差分方式，常見情況有以下三種：1）序列蘊(yùn)含著顯著的線性趨勢，一階差分就可以實(shí)現(xiàn)趨勢平穩(wěn)。2）序列蘊(yùn)含著曲線趨勢，通常低階（二階或三階）差分就可以提取出曲線趨勢的影響。3）對于蘊(yùn)含著固定周期的序列進(jìn)行步長為周期長度的差分運(yùn)算，通?？梢暂^好地提取周期信息。二、ARIMA(p,d,q)模型1、ARIMA(p,d,q)模型結(jié)構(gòu)具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為ARIMA(p,d,q)模型可簡記為其中：2、對于ARIMA(p,d,q)模型有下列三種形式

當(dāng)d=0時(shí)，ARIMA（p,d,q）模型實(shí)際上是ARMA（p,q）模型

當(dāng)p=0時(shí)，ARIMA（p,d,q）模型可以簡記為IMA（d,q）

當(dāng)q=0時(shí)，ARIMA（p,d,q）模型可以簡記為ARI（p,d）特別地。當(dāng)d=1,p=q=0時(shí)，ARIMA(0,1,0)模型為該模型被稱為隨