(2.5)-3.4.1 緊致空間與緊致子集定義及性質(zhì)_第1頁
(2.5)-3.4.1 緊致空間與緊致子集定義及性質(zhì)_第2頁
(2.5)-3.4.1 緊致空間與緊致子集定義及性質(zhì)_第3頁
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文檔簡介

1.緊致空間與緊致子集2.緊致性的判別3.緊致性是拓撲性質(zhì)主要內(nèi)容1緊致空間與緊致子集PARTONE量子力學(xué)緊致空間：

設(shè)

是一個拓撲空間，如果

的任何開覆蓋都有有限子覆蓋，那么就稱

是一個緊致空間.

緊致子集：設(shè)

是拓撲空間

的一個非空子集，若

作為

的子空間是緊致的，則稱

是

的緊致子集.

例1：

是

的緊致子集.

2緊致性的判別PARTTWO命題2.14

:緊致子集的判別條件：

是

的緊致子集

在

中的任一開覆蓋都有有限子覆蓋.證明：

設(shè)

是

在中的開覆蓋，則是在子拓撲空間的開覆蓋，由于是的緊致子集，那么存在的有限子集，是在子拓撲空間中的一個有限子覆蓋，并且是在中的開覆蓋中的一個有限子覆蓋.

設(shè)

是

在子拓撲

中的任何一個開覆蓋，由子拓撲的定義，對

的開集

，使得

,則所得到的

構(gòu)成

在

中的開覆蓋

，由條件知，存在

的有限子集

是

在

中的有限開覆蓋.于是

是

在

中的有限開覆蓋,所以

是

的緊致子集.命題2.15緊致空間的閉子集是緊致的證明：設(shè)

是緊致拓撲空間，

是

的閉子集。證

的緊致性只需證明在中的任一開覆蓋存在有限子覆蓋.因為是閉集，所以是開集.于是在中添加后得到的一個開覆蓋.由于緊致，它有子覆蓋是的有限子覆蓋.所以是緊致的.例2.

緊致，

是

的閉集,所以

也緊致。

而開集不行，如

是它的開子集，不是緊致的.

舉例說明

注：歐氏空間中的緊致子集是有界閉集.3緊致性是拓撲性質(zhì)PARTTHREE命題2.16：緊致空間在連續(xù)映射下的像也是緊致的.證明：設(shè)

和

是兩個拓撲空間，映射

連續(xù)，只需證明

緊致。設(shè)

是

在

中的開覆蓋，則

是

的

開覆蓋，有子覆蓋

即

于是

因此

是

的子覆蓋，再由

緊致（任一開覆蓋有有限子覆

蓋），所以

緊致

緊致性是拓撲性質(zhì)注：緊致性是拓撲性質(zhì),可以用來區(qū)分不同的拓撲空間.應(yīng)用舉例：因為

不是緊致的，

是緊致的。又因為緊致性是拓撲性質(zhì)，所以

與

不同胚.因為

不是緊致的，

(單位圓周)是緊致的，又因為緊致性是拓撲性質(zhì)，所以

與

不同胚.

推論：定義在緊致空間上的連續(xù)函數(shù)有界，并且達到最大、最小值.證明：設(shè)

是緊致的，

是

上定義的連續(xù)函數(shù).因為

緊致，

是連續(xù)的，所以

是

的一個緊致子集.因此,

是

的一個

有界閉集，所以

有界.設(shè)

分別是

的最大值與最小值

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