2022年上海大學(xué)附屬外國語中學(xué)高一數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2022年上海大學(xué)附屬外國語中學(xué)高一數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若向量，則（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B2.已知，若P點(diǎn)是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21參考答案：A【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】建系，由向量式的幾何意義易得P的坐標(biāo)，可化=﹣4（﹣4）﹣（t﹣1）=17﹣（4?+t），由基本不等式可得．【解答】解：由題意建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣4（﹣4）﹣（t﹣1）=17﹣（4t+），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17﹣（4t+）≤17﹣4=13，當(dāng)且僅當(dāng)4t=即t=時(shí)取等號(hào)，∴的最大值為13，故選：A．3.已知向量,.若，則m=(

)A. B. C.2 D.-2參考答案：A，，，故選A.

4.某單位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，為了調(diào)查他們的身體狀況的，需從他們中間抽取一個(gè)容量為36樣本，則老年人、中年人、青年人分別各抽取的人數(shù)是（

）

A．6，12，18

B．7，11，19

C．6，13，17

D．7，12，17參考答案：A老年人、中年人、青年人分別各抽取的人數(shù)是：。5.設(shè)集合A={x|y=log2（3﹣x）}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}則A∩B=（）A．[0，2] B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）參考答案：C【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【分析】先分別求出集合A和B，由此利用交集定義能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|y=log2（3﹣x）}={x|x＜3}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}={x|1≤x≤4}，A∩B={x|1≤x＜3}=[1，3）．故選：C．6.設(shè)a，b是非零實(shí)數(shù)，若a＜b，則下列不等式成立的是（）A．a(chǎn)2＜b2 B．a(chǎn)b2＜a2b C． D．參考答案：【考點(diǎn)】一元二次不等式的應(yīng)用；不等關(guān)系與不等式．【分析】由不等式的相關(guān)性質(zhì)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷，由于a，b為非零實(shí)數(shù)，故可利用特例進(jìn)行討論得出正確選項(xiàng)【解答】解：A選項(xiàng)不正確，因?yàn)閍=﹣2，b=1時(shí)，不等式就不成立；B選項(xiàng)不正確，因?yàn)閍=1，b=2時(shí)，不等式就不成立；C選項(xiàng)正確，因?yàn)?a＜b，故當(dāng)a＜b時(shí)一定有；D選項(xiàng)不正確，因?yàn)閍=1，b=2時(shí)，不等式就不成立；選項(xiàng)正確，因?yàn)閥=2x是一個(gè)增函數(shù)，故當(dāng)a＞b時(shí)一定有2a＞2b，故選C．7.如圖，在三棱錐S－ABC中，G1，G2分別是△SAB和△SAC的重心，則直線G1G2與BC的位置關(guān)系是()A．相交

B．平行C．異面

D．以上都有可能參考答案：B略8.若函數(shù)f（x）=5loga（3x﹣8）+1（a＞0，且a≠1），則f（x）過定點(diǎn)（）A．（1，3） B．（1，1） C．（5，1） D．（3，1）參考答案：D【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】令真數(shù)3x﹣8=1得x=3，代入解析式求出f（3）的值，即可求出f（x）過定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：由題意得，函數(shù)f（x）=5loga（3x﹣8）+1令3x﹣8=1得x=3，所以f（3）=5loga1+1=1，所以f（x）過定點(diǎn)（3，1），故選：D．9.已知定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=3f（x+2），當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=﹣x2+2x．設(shè)f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值為an（n∈N*），且{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn的取值范圍是（）A．[1，） B．[1，] C．[，2） D．[，2]參考答案：A【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】通過函數(shù)f（x）滿足f（x）=3f（x+2）可知函數(shù)向右平移2個(gè)單位時(shí)最大值變?yōu)樵瓉淼?，進(jìn)而可知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1、公比為的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論．【解答】解：：∵函數(shù)f（x）滿足f（x）=3f（x+2），∴f（x+2）=f（x），即函數(shù)向右平移2個(gè)單位，最大值變?yōu)樵瓉淼?，又∵?dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=﹣x2+2x，∴a1=f（1）=1，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1、公比為的等比數(shù)列，∴Sn=∈．故選：A．10.若集合M={﹣1，0，1，2}，N={x|x（x﹣1）=0}，則M∩N=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1}參考答案：D【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【分析】解一元二次方程求出N，再利用兩個(gè)集合的交集的定義求出M∩N．【解答】解：∵集合M={﹣1，0，1，2}，N={x|x（x﹣1）=0}={0，1}，∴M∩N={﹣1，0，1，2}∩{0，1}={0，1}，故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知單調(diào)遞減數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則_____.參考答案：【分析】根據(jù)，再寫出一個(gè)等式：，利用兩等式判斷并得到等差數(shù)列的通項(xiàng)，然后求值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，∴．當(dāng)時(shí)，，①，②①②，得，化簡得，或，∵數(shù)列是遞減數(shù)列，且，∴舍去．∴數(shù)列是等差數(shù)列，且，公差，故．【點(diǎn)睛】在數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，則有：，利用此關(guān)系，可將與的遞推公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等式，從而判斷的特點(diǎn).12.函數(shù)y＝的定義域是______________.參考答案：{x|x≤0，且x≠－}13.設(shè)正數(shù)列的前項(xiàng)之和是，數(shù)列的前項(xiàng)之積是，若+=1，則數(shù)列中最接近2004的數(shù)是。參考答案：198014.如果函數(shù)在R上為奇函數(shù),在上是增函數(shù),且,試比較的大小關(guān)系是_________________________.參考答案：15.已知函數(shù)f（x）=且f（x0）=8，則x0=

，f（x）的值域?yàn)?/p>

．參考答案：4，（﹣6，+∞）．【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；函數(shù)的值域．【分析】當(dāng)x0≤﹣3時(shí)，，當(dāng)x0＞﹣3時(shí)，2x0=8，由此能求出f（x0）=8時(shí)，x0的值．當(dāng)x≤﹣3時(shí)，f（x）=x2+2≥11，當(dāng)x＞﹣3時(shí)，f（x）=2x＞﹣6．由此能求出f（x）的值域．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=，且f（x0）=8，∴當(dāng)x0≤﹣3時(shí)，，解得，不成立；當(dāng)x0＞﹣3時(shí)，2x0=8，解得x0=4，成立．∴f（x0）=8時(shí)，x0=4．當(dāng)x≤﹣3時(shí)，f（x）=x2+2≥11，當(dāng)x＞﹣3時(shí)，f（x）=2x＞﹣6．∴f（x）的值域?yàn)椋ī?，+∞）．故答案為：4，（﹣6，+∞）．16.給出下列命題：

①存在實(shí)數(shù),使；②存在實(shí)數(shù)，使；③函數(shù)是偶函數(shù)；④是函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程；⑤若是第二象限的角，且，則；⑥在銳角三角形ABC中，一定有；

其中正確命題的序號(hào)是_

____。參考答案：③④⑥略17.已知長方體從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長分別為、、，則這個(gè)長方體的外接球的表面積為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知△ABC的頂點(diǎn)A（5，1），AB邊上的中線CM所在直線方程為2x﹣y﹣5=0，∠B的平分線BN所在直線方程為x﹣2y﹣5=0．求：（1）頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）直線BC的方程．參考答案：【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求直線方程；兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】（1）設(shè)B（x0，y0），由AB中點(diǎn)在2x﹣y﹣5=0上，在直線方程為x﹣2y+5=0，求出B的坐標(biāo)；（2）求出A關(guān)于x﹣2y﹣5=0的對(duì)稱點(diǎn)為A′（x′，y′）的坐標(biāo)，即可求出BC邊所在直線的方程．【解答】解：（1）設(shè)B（x0，y0），由AB中點(diǎn)在2x﹣y﹣5=0上，可得2?﹣﹣5=0即2x0﹣y0﹣1=0，聯(lián)立x0﹣2y0﹣5=0解得B（﹣1，﹣3）…（2）設(shè)A點(diǎn)關(guān)于x﹣2y+5=0的對(duì)稱點(diǎn)為A′（x′，y′），則有解得A′（，）…∴BC邊所在的直線方程為y+3=（x+1），即18x﹣31y﹣75=0…19.（14分）若f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且對(duì)一切x，y＞0，滿足f（）=f（x）﹣f（y）（1）求f（1）的值，（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣f（）＜2．參考答案：【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）利用賦值法即可求f（1）的值，（2）若f（6）=1，結(jié)合抽象函數(shù)將不等式f（x+3）﹣f（）＜2進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可．【解答】解：（1）在f（）=f（x）﹣f（y）中，令x=y=1，則有f（1）=f（1）﹣f（1），∴f（1）=0；（2）∵f（6）=1，∴2=1+1=f（6）+f（6），∴不等式f（x+3）﹣f（）＜2等價(jià)為不等式f（x+3）﹣f（）＜f（6）+f（6），∴f（3x+9）﹣f（6）＜f（6），即f（）＜f（6），∵f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，∴，解得﹣3＜x＜9，即不等式的解集為（﹣3，9）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．20.某服裝批發(fā)商場(chǎng)經(jīng)營的某種服裝，進(jìn)貨成本40元/件，對(duì)外批發(fā)價(jià)定為60元/件．該商場(chǎng)為了鼓勵(lì)購買者大批量購買，推出優(yōu)惠政策：一次購買不超過50件時(shí)，只享受批發(fā)價(jià)；一次購買超過50件時(shí)，每多購買1件，購買者所購買的所有服裝可在享受批發(fā)價(jià)的基礎(chǔ)上，再降低0.1元/件，但最低價(jià)不低于50元/件．（1）問一次購買多少件時(shí)，售價(jià)恰好是50元/件？（2）設(shè)購買者一次購買件，商場(chǎng)的利潤為元（利潤=銷售總額－成本），試寫出函數(shù)的表達(dá)式．并說明在售價(jià)高于50元/件時(shí)，購買者一次購買多少件，商場(chǎng)利潤最大．參考答案：解：（1）設(shè)購買者一次購買x件，售價(jià)恰好是50元/件．由題知：

所以，購買者一次購買150件，售價(jià)恰好是50元/件.------3分（2）ks5u--------------------------7分售價(jià)高于50元/件時(shí),ks5u若,則當(dāng)時(shí)利潤最大為元;------8分若,則當(dāng)時(shí)利潤最大為1562.5元.-------9分所以購買者一次購買125件，商場(chǎng)利潤最大．-------10分略21.（本題滿分14分）：已知直線與圓C：相交于兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為。（1）實(shí)數(shù)的取值范圍以及直線方程（2）若弦，求圓的方程參考答案：22.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點(diǎn)．（1）求PB和平面PAD所成的角的大??；（2）證明：AE⊥平面PCD；（3）求二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．【分析】（1）由線面垂直得PA⊥PB，又AB⊥AD，從而AB⊥平面PAD，進(jìn)而∠APB是PB與平面PAD所成的角，由此能求出PB和平面PAD所成的角的大?。?）由線面垂直得CD⊥PA，由條件CD⊥PC，得CD⊥面PAC，由等腰三角形得AE⊥PC，由此能證明AE⊥平面PCD．（3）過點(diǎn)E作EM⊥PD，AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM，則AM⊥PD，由此得∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．【解答】（1）解：在四棱錐P﹣ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∴∠APB是PB與平面PAD所成的角，在Rt△PAB中，AB=PA，∴∠APB=45°，∴PB和平面PAD所成的角的大小為45°．（2）證明：在四棱錐P﹣ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA，由條件AC⊥CD，PA⊥底面ABCD，利用三垂線定理得CD⊥P