高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 階段規(guī)范強(qiáng)化練3 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-人教版高三數(shù)學(xué)試題

階段規(guī)范強(qiáng)化練(三)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、選擇題1．(2015·大慶市高三質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x＋eq\f(1,3)，則與f(x)圖象相切的斜率最小的切線方程為()A．2x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0C．x－y－3＝0 D．2x＋y－3＝0【解析】f′(x)＝x2－4x＋3，f′(x)min＝f′(2)＝－1，f(2)＝1，故與f(x)圖象相切斜率最小的切線方程為y－1＝－1(x－2)，即x＋y－3＝0.【答案】B2．(2016·銀川模擬)下列圖象中，有一個(gè)是函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則f(－1)＝()圖1A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(7,3)D．－eq\f(1,3)或eq\f(5,3)【解析】f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，因?yàn)閍≠0，故其圖象為第三個(gè)，且－a>0?a<0.f′(0)＝0?a＝－1，當(dāng)a＝－1時(shí)，f(－1)＝－eq\f(1,3)－1＋1＝－eq\f(1,3).【答案】B3．已知f(x)＝ax3－3x2＋1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0>0，則a的取值范圍是()A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)【解析】f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝3ax2－6x＝3xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－2))，a>0時(shí)，由f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))>0，得x<0或x>eq\f(2,a)；由f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))<0，得0<x<eq\f(2,a)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，0))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，＋∞))上單調(diào)遞增；在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,a)))上單調(diào)遞減．由題意可知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))<0，這與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))＝1>0矛盾，故舍．當(dāng)a<0時(shí)，由f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))>0，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，0))，由f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))<0，得x<eq\f(2,a)或x>0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，0))上單調(diào)遞增；在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,a)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))上單調(diào)遞減．依題意可得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))＝－eq\f(4,a2)＋1>0?a2>4，∵a<0，∴解得a<－2.綜上可得a<－2.故C正確．【答案】C4．(2015·煙臺(tái)模擬)已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足f(－x)＋f(x)＝0，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)不等式f(x)＋xf′(x)<0總成立，若記a＝20.2f(20.2)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝(－3)·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,27)))，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)＞c＞bC．c>b>a D．c>a>b【解析】構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xf(x)，F(xiàn)′(x)＝f(x)＋xf′(x)，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，F(xiàn)′(x)＜0，故F(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，∴F(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝F(x)，∴F(x)為R上的偶函數(shù)，故F(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，a＝20.2f(20.2)＝F(20.2)，b＝(logπ3)f(logπ3)＝F(logπ3)，∴c＝(－3)·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,27)))＝F(－3)＝F(3)，∵3＞20.2＞1＞logπ3，∴F(3)＞F(20.2)＞F(logπ3)，即c＞a＞b.【答案】D5．(2016·濰坊模擬)設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，f′(x)在區(qū)間(a，b)上的導(dǎo)函數(shù)為f″(x)，若在區(qū)間(a，b)上f″(x)<0恒成立，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上為“凸函數(shù)”．已知f(x)＝eq\f(1,12)x4－eq\f(m,6)x3－eq\f(3,2)x2在(1,3)上為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(31,9))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(31,9)，5))C．(－∞，－2) D．[2，＋∞)【解析】因?yàn)閒′(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(m,2)x2－3x，所以f″(x)＝x2－mx－3，由題意可知在區(qū)間(1,3)上f″(x)<0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f″1＝1－m－3≤0，,f″3＝32－3m－3≤0，))解得m≥2，故選D.【答案】D6．(2016·孝感模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－e－x，x≤0，,\r(2x)，x>0.))若|f(x)|≥ax，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(－∞，0] B．(－∞，－1]C．[－2,0] D．[－1,0]【解析】由題意，當(dāng)x≤0時(shí)，e－x－1≥ax，即e－x≥ax＋1，令y＝e－x－1，∴y′＝－e－x，其在(0,0)處的切線的斜率為k＝y(tǒng)′|x＝0＝－e－x|x＝0＝－1，再由數(shù)形結(jié)合得－1≤a≤0.當(dāng)x>0時(shí)，eq\r(2x)≥ax，∴a≤eq\r(\f(2,x))，當(dāng)a≤0時(shí)恒成立，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為－1≤a≤0，故選D.【答案】D二、填空題7．(2016·云南師大附中模擬)若函數(shù)f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)x2＋2ax在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則a的取值范圍是________．【解析】f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)＋2a.當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))時(shí)，f′(x)的最大值為f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝2a＋eq\f(2,9)，令2a＋eq\f(2,9)>0，解得a>－eq\f(1,9)，所以a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,9)，＋∞)).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,9)，＋∞))8．下列說法，其中正確命題的序號(hào)為________．①若函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝2處有極大值，則實(shí)數(shù)c＝2或6；②對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－1)f′(x)≥0，則必有f(0)＋f(2)>2f(1)；③若函數(shù)f(x)＝x3－3x在(a2－17，a)上有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－1,4)；④已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(1)＝0，xf′(x)－f(x)>0(x>0)，則不等式f(x)>0的解集是(－1，0)∪(1，＋∞)．【解析】對(duì)于①，展開可得f(x)＝x3－2cx2＋c2x，求導(dǎo)數(shù)可得f′(x)＝3x2－4cx＋c2＝(x－c)(3x－c)，令f′(x)＝0，可得x＝c，或x＝eq\f(c,3)，當(dāng)c＝0時(shí)，函數(shù)無極值，不合題意，當(dāng)c＞0時(shí)，函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(c,3)))，(c，＋∞)上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,3)，c))上單調(diào)遞減，故函數(shù)在x＝eq\f(c,3)處取到極大值，故c＝6；當(dāng)c＜0時(shí)，函數(shù)在(－∞，c)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,3)，＋∞))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(c,3)))上單調(diào)遞減，故函數(shù)在x＝c處取到極大值，故c＝2，矛盾，命題①錯(cuò)誤；對(duì)于②，(x－1)f′(x)≥0，則函數(shù)f(x)在(－∞，1)上遞減，在(1，＋∞)上遞增，∴f(0)＞f(1)，f(2)＞f(1)，則f(0)＋f(2)＞2f(1)．命題②正確；對(duì)于③，∵f(x)＝x3－3x在(a2－17，a)上有最大值，∴此最大值必是極大值，令f′(x)＝3x2－3＝0，求得極值點(diǎn)為x＝1或x＝－1，當(dāng)x＞1或x＜－1時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)－1＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，∴x＝－1為極大值點(diǎn)，包含在(a2－17，a)之內(nèi)，∴a2－17＜－1＜a，解得－1＜a＜4.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－1,4)，命題③正確；對(duì)于④，xf′(x)－f(x)＞0(x＞0)，即eq\f(xf′x－fx,x2)＞0，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,x)))′＞0，所以函數(shù)eq\f(fx,x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且當(dāng)x＝1時(shí)，eq\f(f1,1)＝f(1)＝0，故函數(shù)eq\f(fx,x)在(0,1)上有eq\f(fx,x)＜0，則f(x)＜0，在(1，＋∞)上有eq\f(fx,x)＞0，則f(x)＞0.又由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，f(x)＜0，當(dāng)x∈(1,0)時(shí)，f(x)＞0.故不等式f(x)＞0的解集為(－1,0)∪(1，＋∞)，命題④正確．故答案為②③④.【答案】②③④三、解答題9．(2015·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)＝2lnx－x2＋ax(a∈R)．(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求f(x)的圖象在x＝1處的切線方程；(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－ax＋m在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解】(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝2lnx－x2＋2x，f′(x)＝eq\f(2,x)－2x＋2，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，切線的斜率k＝f′(1)＝2，則切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.(2)g(x)＝2lnx－x2＋m，則g′(x)＝eq\f(2,x)－2x＝eq\f(－2x＋1x－1,x).因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))，所以當(dāng)g′(x)＝0時(shí)，x＝1.當(dāng)eq\f(1,e)＜x＜1時(shí)，g′(x)＞0；當(dāng)1＜x＜e時(shí)，g′(x)＜0.故g(x)在x＝1處取得極大值g(1)＝m－1.又geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝m－2－eq\f(1,e2)，g(e)＝m＋2－e2，g(e)－geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝4－e2＋eq\f(1,e2)＜0，則g(e)＜geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))，所以g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上的最小值是g(e)．g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上有兩個(gè)零點(diǎn)的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1＝m－1>0，,g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝m－2－\f(1,e2)≤0，))解得1＜m≤2＋eq\f(1,e2)，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，2＋\f(1,e2))).10．已知函數(shù)f(x)＝ax－1－lnx，a∈R.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在x＝1處取得極值，對(duì)?x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【解】(1)在區(qū)間(0，＋∞)上，f′(x)＝a－eq\f(1,x)＝eq\f(ax－1,x)，當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＜0