-新人教原創(chuàng)分類計數原理與分步計數原理

歡迎諸位蒞臨指導某校將舉行高中男生乒乓球比賽，比賽分成三個階段進行。第1階段：將參加比賽的48名選手分成8個小組，每組6人，分別進行單循環(huán)賽，分組時，先將8名種子選手分別安排在8個小組，然后用抽簽方法確定其余各選手分在哪個小組。第2階段：將8個小組產生的前2名共16人再分成4個小組，每組4人，分別進行單循環(huán)賽；第3階段：由4個小組產生的4個第一名進行2場半決賽和2場決賽，確定1—4名的名次。問：整個賽程一共要進行多少場比賽？分類計數原理與分步計數原理工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車。一天中，火車有3班，那么一天中，乘坐這些交通汽車有2班?！咭惶熘谐嘶疖囉?種走法，乘汽車有2種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，∴共有3+2=5種不同的走法。分類計數原理：完成一件事，有n類方法，在第1類方法中有m1種不同的方法,在第2類方法中有m2種不同的方法……在第n類方法中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.汽車有2班，那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？所有走法：如何計算所有不同走法的種數？∵乘火車有3種走法，乘汽車有2種走法，∴乘一次火車再換乘一次汽車從甲地到乙地，共有3×2=6種不同的走法。從甲地到乙地，要從甲地先乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地。從一天中，火車有3班，從甲地到丁地，要從甲地先乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地，再從丙地換乘輪船到丁地，一天中，火車有3班，汽車有2班，輪船有3班，那么兩天中，從甲地到丁地共有多少種不同的走法？所有走法：如何計算所有不同走法的種數？∵乘火車有3種走法，乘汽車有2種走法，∴乘一次火車再換乘一次汽車從甲地到乙地共有3×2=6種不同的走法。分步計數原理：完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法……，做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.上述問題中的3×2=6,3×2×3=18都是用分步計數原理求出的.分步計數原理和分類計數原理的共同點：計算做一件事情完成它的所有不同方法種數的問題。分類計數原理又稱作加法原理；分步計數原理又稱作乘法原理。分類計數原理分步計數原理完成一件事，共有n類方法，關鍵詞“分類”區(qū)別1完成一件事，共分n個步驟，關鍵詞“分步”區(qū)別2區(qū)別3每類方法都能獨立地完成這件事情，它是獨立的、一次的、且每次得到的是最后結果，只須一種方法就可完成這件事。每一步得到的只是中間結果，任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事。各類方法是互斥的，并列的，獨立的。各步之間是關聯(lián)的、獨立的，“關聯(lián)”確保不遺漏，”獨立“確保不重復。即：類類互斥，步步獨立。例1書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書，〔1〕從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？〔2〕從書架的第1，2，3層各取1本書，有多少種不同的取法？解：〔1〕從書架上任取一本書，有三類方法：第1類方法是：從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2類方法是：從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類方法是：從第3層取1本體育書，有2種方法；根據分類計數原理，不同取法的種數是：答：從書架上任取1本書，有9種不同的取法。例1書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書，〔2〕從書架的第1，2，3層各取1本書，有多少種不同的取法？解：〔2〕從書架的1、2、3層各取1本書，可以分3步來完成：第1步：從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2步：從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3步：從第3層取1本體育書，有2種方法；根據分步計數原理，從書架的1、2、3層各取1本書，不同取法的種數是：答：從書架的1、2、3層各取1本書，有24種不同的取法。例2一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共10個數字，這4個撥號盤可以組成多少個四位數字號碼？例3要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？解：從3名工人中選1名上日班和1名上晚班，可以看作是先選1名上日班，再選1名上晚班這兩個步驟完成。先選1名上日班，共有3種選法；上日班的工人選定后，上晚班的工人有2種選法。根據分步計數原理，所求的不同選法數是：N=3×2=6答：3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有6種不同的選法。歸納小結:1.分類計數原理和分步計數原理.分類時用加法,分步時用乘法.2.分類時要求各類方法彼此之間相互排斥;分步時要求各步是相互獨立的.練習:P861,2練習