CH1-3-4模糊集的T模與分解定理

1第3-4節(jié)

T-模與分解定理

2一、三角模

的概念本節(jié)是對(duì)模糊集運(yùn)算進(jìn)行拓廣,就是將模糊集的并、交運(yùn)算拓廣到一般的T-模、S-模。1、T-?；騎-范數(shù)或三角交1〕.從C.Elkan的西瓜問(wèn)題談起考慮一堆西瓜,定義西瓜為“里紅且外綠”的水果,這里“紅”與“綠”是模糊概念,從而這里的“西瓜”也是一個(gè)模糊概念。假設(shè)某水果里紅的程度是0.5,外綠的程度是0.8.它隸屬于西瓜的程度如何?3如果使用前述模糊集的交運(yùn)算之定義,那么這個(gè)水果屬于“西瓜”的程度為0.5∧0.8=0.5.然而,就直觀的感覺(jué)而言,里紅和外綠對(duì)于成為一個(gè)西瓜來(lái)說(shuō)應(yīng)該是互相加強(qiáng)的“證據(jù)單元”,因此這個(gè)水果隸屬于“西瓜”的程度大于0.5才合理。當(dāng)取兩個(gè)模糊集的交集時(shí),可能希望較大的模糊集對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響,但如果模糊交集選用min,那么可能較大的模糊集無(wú)法產(chǎn)生影響。4關(guān)于上述“西瓜問(wèn)題”,吳望名教授做了如下論述：因?yàn)榭陀^世界現(xiàn)象錯(cuò)綜復(fù)雜，“交”算子的選取也應(yīng)具體問(wèn)題具體分析。C.Elkan所舉西瓜“證據(jù)強(qiáng)度”的例子說(shuō)明min算子用此例不適宜,但不能說(shuō)采用別的算子就一定不適宜。目前“交”算子除采用min外,還可以用有界積、乘積、各種T-模算子、一致T-模算子、廣義模算子等等。min算子作為“交”算子可用于許多論域,但當(dāng)然不是所有論域,其它的“交”算子在一定條件下適用于一定的實(shí)際問(wèn)題,數(shù)學(xué)的高度抽象性和客觀世界的復(fù)雜多樣性從來(lái)就是相輔相成的。因此對(duì)模糊邏輯算子的否認(rèn)是站不住腳的.5T-模(triangularnorm,又稱為三角?；騎-范數(shù))首先出現(xiàn)在K.Menger于1942年發(fā)表的論文“Statisticalmetrics”(統(tǒng)計(jì)度量)中,在這里,T-模是作為經(jīng)典度量空間中三角不等式的自然推廣而提出的。上世紀(jì)60年代，B.Schweizer和A.Sklar重新嚴(yán)格定義了T-模(即現(xiàn)在通用的定義)和統(tǒng)計(jì)度量空間(現(xiàn)稱為概率度量空間),從而導(dǎo)致了這個(gè)領(lǐng)域的飛速開(kāi)展。由于T-模較好地反映了“邏輯與”的性質(zhì),因此T-模作為一般的“模糊與”算子一致受到模糊邏輯學(xué)界的青睞。6關(guān)于T-模及其在模糊邏輯中的應(yīng)用,澳大利亞學(xué)者E.P.Klement,捷克學(xué)者R.Mesiar,南斯拉夫?qū)W者E.Pap在專著TriangularNorms(KluwerAcademicPublicashers,2000)中進(jìn)行了全面總結(jié)。事實(shí)上,除了概率度量空間和模糊邏輯外,T-模還應(yīng)用于決策支持、函數(shù)方程、測(cè)度理論、博弈理論等許多領(lǐng)域.

72〕.T-模的定義定義1T-模是單位區(qū)間[0,1]上的二元函數(shù)T,它滿足交換律、結(jié)合律、單調(diào)性且?guī)в袉挝辉?.即函數(shù)T:[0,1][0,1][0,1]滿足以下條件(x,y,z[0,1]):(1)T(x,y)=T(y,x),(2)T(x,T(y,z))=T(T(x,y),z),(3)當(dāng)yz時(shí),有T(x,y)T(x,z),(4)T(x,1)=x，T(x,0)=0,x[0,1].常用表示T,并將T(x,y)記為xy.8以下各式定義的都是T-模:(1)xy=min(x,y).(取小算子或G?delT-模)(2)xy=xy.(積算子或乘積T-模)(3)xy=max(x+y1,0).(LukasiewiczT-模)(4)當(dāng)x,y至少有一個(gè)是1時(shí)xy取最小者,否那么,xy=0.(5)R0T-模(王國(guó)俊)92、S-模(T-余模)的概念定義2

S-模(三角余?；騎-余模)是單位區(qū)間[0,1]上的二元函數(shù)S,它滿足交換律、結(jié)合律、單調(diào)性且?guī)в袉挝辉?.即函數(shù)S:[0,1][0,1][0,1]滿足以下條件(x,y,z[0,1]):(1)S(x,y)=S(y,x),(2)S(x,S(y,z))=S(S(x,y),z),(3)

當(dāng)y

z時(shí),有S(x,y)S(x,z),(4)S(x,0)=x，S(x,1)=1,

x[0,1].常用

表示S,并將S(x,y)記為x

y.10以下各式定義的都是S-模:(1)xy=max(x,y).(2)xy=x+yxy.(概率和)(3)xy=min(x+y,1).(有界和)(4)當(dāng)x,y至少有一個(gè)是0時(shí)xy取最大者,否那么,xy=1.(突變和)(5)R0S-模(王國(guó)俊)113、否認(rèn)函數(shù)〔補(bǔ)運(yùn)算〕定義3設(shè)N:[0,1][0,1],稱N是否認(rèn)函數(shù)，如果N滿足以下條件(1)N(0)=1,N(1)=0;(2)當(dāng)x≥y時(shí),有N(x)≤N(y).稱否認(rèn)函數(shù)N是嚴(yán)格的，如果N還滿足：(3)N(x)是連續(xù)的；(4)當(dāng)x＞y時(shí),有N(x)＜N(y)稱嚴(yán)格否認(rèn)函數(shù)N是對(duì)合的，如果N還滿足：(5)N(N(x))=x,x[0,1].12Yager算子是否認(rèn)函數(shù):c(x)=(1xw)1/w,w(0,)Sugeno算子是否認(rèn)函數(shù):c(x)=(1x)/(1+λx),λ(-1,)容易驗(yàn)證,F(X)關(guān)于上述定義的模并、模交以及補(bǔ)運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)DeMorgan代數(shù)。13二、分解定理1.

截集定義設(shè)A

F(X),

[0,1],記A

={x|A(x)

,x

X}稱A

為A的

截集。又記A+={x|A(x)>,x

X}稱A+為A的

強(qiáng)截集。

稱為置信水平或閾值。14定義設(shè)A

F(X),稱A1={x

X|A(x)=1}為A的核,記為kerA.

稱A0+={x

X|A(x)>0}為A的支集,記為suppA.稱suppAkerA為A的邊界.稱hgtA=supA(x),xX為A的高度.稱dphA=infA(x),xX為A的深度.15kerA

A

suppA

X16例1設(shè)求A的各

截集，kerA，suppA，hgtA，dphA.17定理設(shè)A,BF(X),,[0,1].那么截集有如下性質(zhì)：(1)(A∪B)=A∪B,(A∩B)=A∩B.(2)(A∪B)+=A+∪B+,(A∩B)+=A+∩B+.(3)A+A.(4)假設(shè)AB,那么AB,A+B+.(5)假設(shè)>,那么AA,A+A+.(6)A=∩{A|[0,)}.A+=∪{A|(,1]}.18證明僅證(6)中的A=∩{A|[0,)}.設(shè)xA,那么A(x).從而對(duì)任意[0,)有A(x),所以xA,即x∩{A|[0,)}.反過(guò)來(lái),設(shè)x∩{A|[0,)}.那么對(duì)任意[0,)有A(x),所以A(x)sup[0,)=.192.數(shù)積(截積)定義設(shè)A

F(X),

[0,1],

與A的數(shù)積(截積)A定義為：(A)(x)=

∧A(x),x

X.即

A仍為X上的模糊集。A20注意：設(shè)AP(X),[0,1],那么A21性質(zhì)1〕設(shè)AF(X),1,2[0,1],且1≤22〕設(shè)那么223.模糊集合的分解定理定理對(duì)任意的A

F(X)有A=∪

[0,1]

A

。x23任取

[0,1],將模糊集A切成經(jīng)典集合A

,再用

與A

作數(shù)積得模糊集

A

,將所有的數(shù)

A

(

[0,1])拼起來(lái),組成∪

[0,1]A

,此模糊集就是A.24證明對(duì)任意的A

F(X)有A=∪

[0,1]A

只需證明對(duì)任意的x

X,A(x)=(∪

[0,1]A

)(x),即A(x)=∨

[0,1](A

)(x)=∨

[0,1](

∧A

(x)).由于A(x)[0,1],而∨

[0,1](

∧A

(x))=[∨

[0,A(x)](

∧A

(x))]∨[∨

(A(x),1](

∧A

(x))]注意到,當(dāng)A(x)時(shí)A

(x)=1,反之,