高等數(shù)學(xué)極限練習(xí)題及答案

高等數(shù)學(xué)極限練習(xí)題及答案

f?x??x2

x3?l

?x?l與函數(shù)g?x??x?l相同.

錯(cuò)誤???當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和函數(shù)關(guān)系相同時(shí)，則這

兩個(gè)函數(shù)是相同的。???

f?x??x2

x3?l

?x?l與g?x??函數(shù)關(guān)系相同，但定義域不同，所以f?x?

與g?x?

x?l

是不同的函數(shù)。

2、如果f?x??M,則f?x?為無(wú)窮大.錯(cuò)誤根據(jù)無(wú)窮

大的定義，此題是錯(cuò)誤的。、如果數(shù)列有界，則極限存在.

錯(cuò)誤如：數(shù)列xn???l?是有界數(shù)列，但極限不存在

n

4、n??

liman?a,liman?a.

n??

n

n

n??

錯(cuò)誤如：數(shù)列an???l?,lim

x??

?L但limn不存在。

n??

5、如果limf?x??A,則f?x??A??.正確根據(jù)函數(shù)、

極限值、無(wú)窮小量的關(guān)系，此題是正確的。、如果？?？，

則？?？？0???.

?

?1,是？

??????.,.lim?lim?l???O,即？??是？的高階無(wú)窮小量。

????

2

7、當(dāng)x?0時(shí)，l?cosx與x是同階無(wú)窮小.

2

xx??2sin2sin?

l?cosxl???l??lim?lim2??正確

Vlimx?0x?0x?04?x?2x2x2

???2?

正確?「lim

11

?limx?limsin?O.

x?0xx?0x?0x

1

錯(cuò)誤Vlimsin不存在，，不可利用兩個(gè)函數(shù)乘積求極

限的法則計(jì)算。

x?Ox

8、limxsin

?1?

9、lim?l???e.

x?0

?x?

?1?

錯(cuò)誤??Tiin?l???e

x??

?x?

x

10、點(diǎn)x?0是函數(shù)y?的無(wú)窮間斷點(diǎn).

x

xx?xx

lim??l錯(cuò)誤lim?,lim?lim?l

x?0?0xx?0?0xx?0?0xx?0?0x

x

??.點(diǎn)x?0是函數(shù)y?的第一類間斷點(diǎn).

x

1

11、函數(shù)f?x??必在閉區(qū)間?a,b?內(nèi)取得最大值、最小

值.

x

1

X

X

錯(cuò)誤???根據(jù)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)，f?X??

???函數(shù)f?x??

1

在x?0處不連續(xù)X

1

在閉區(qū)間?a,b?內(nèi)不一定取得最大值、最小值x

二、填空題：

1、設(shè)y?f?x?的定義域是?0,1?,則

??f?l?sinx?的定義域是fex的定義域是；

f?lgx?的定義域是.答案：V0?e?lV0?l?sinx?l

V0?lgx?l

2x

???

xx??k,?x????Z)

2??

?x?2?2?x?0

?

x?0的定義域是2、函數(shù)f?x???O.

?x2?30?x?4?

3、設(shè)f?x??sinx2,??x??x2?l,則f???x???.

2

??

x

n??n

xxsinsin

x?lim?x?xVlimnsin?lim

n??n??xnn??l

nnx??l?l?x

??x?

5、設(shè)f?x???cos,limf?x??.?l?x?l,則limf?x??

x?l?0x??l?02?

x?l??x?l

VIimf?x??lim?2,1imf?x??lim?x?l??O

4、limnsin

x??l?O

x??l?O

x?l?O

x?l?O

?l?cosxl?x?0

6、設(shè)f?x???x2,如果f?x?在x?0處連續(xù),則a?.

2?x?0?a

l?cosxll?cosxl

x?O?lim??f?O??a??Vlim,如果在處連續(xù)，則

fx22x?0x?022xx

7、設(shè)xO是初等函數(shù)f?x?定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，則

;初等函數(shù)f?x?在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，???limf?x??f?xO?

x?xOx?xO

8、函數(shù)y?Vlim

x?l

1

x?12

2

當(dāng)x?時(shí)為無(wú)窮大，當(dāng)x?時(shí)為無(wú)窮小.

1

x?l??,lim

x??

1

9、若lim

x???

x

x?12

?0

1

).

2

?x?l?ax?b?O,則a?,b?.

11?

xx2?x?2

n、f?x??2的連續(xù)區(qū)間是.

x?4x?3ax?2sinx

?2,則a?12、若lim.

x??x

aax?2sinxsinx??lim?lim?a?2?a?0??a?0?2??limx??x??x

??xx??

1

?2

13、lim

sinx

?is,limxn

x??x??x

1

x

x?0

1

?,x

kx

lim?l?x?

?l?k

,lim?l???.?

x??x??

sinl

x?l

k

Vlim

sinxl1

?lim?sinx?Olimxsin?lim

x??x??xx??xxx??l

x

lim?l?x??lim?l??

x?0

x?0

1x1

??x

1??1??

?e?llim?l???lim?x??ek

x??x??x??x??

x???

kx

14、x??

limsin?iclarcont,m

n??

x?

三、選擇填空：

1、如果limxn?a,則數(shù)列xn是

a.單調(diào)遞增數(shù)列b.有界數(shù)列c.發(fā)散數(shù)列

3

2、函數(shù)f?x??logax?

x2?l是

a.奇函數(shù)b.偶函數(shù)c.非奇非偶函數(shù)???

f??x??loga??x?2

?1?

?logla

??

x?x2

?1

??logax?x2?l??f?x?

3、當(dāng)x?0時(shí)，ex

?1是x的

a.高階無(wú)窮小b.低階無(wú)窮小c.等價(jià)無(wú)窮小

4、如果函數(shù)f?x?在xO點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)恒有f?x?M,

則函數(shù)f?x?在該鄰域內(nèi)條件下趨于？?.a.x?lb.x?l?0

c.x?l?0

6、設(shè)函數(shù)f?x??sinx

x

,則limx?0f?x??

a.1b.—1c.不存在Vsinx

xlim

?lim

?sinxsinx?0?0xx?0?0x??xlim?0?0x

??1

limsinxsinxOx?xlim?0?0x

?1x?0?根據(jù)極限存在定理知：limx?0

f?x?不存在。

7、如果函數(shù)f?x?當(dāng)x?xO時(shí)極限存在,則函數(shù)f?x?

在xO點(diǎn)a.有定義?b.無(wú)定義c.不一定有定義

丁f?x當(dāng)x?xO時(shí)極限存在與否與函數(shù)在該點(diǎn)有無(wú)定義

沒(méi)有關(guān)系。、數(shù)列1,1,

12,2,13,3,…，1

n

，n,…當(dāng)n??時(shí)為a.無(wú)窮大?b.無(wú)窮小c?.發(fā)散

但不是無(wú)窮大

9、函數(shù)fx?在xO點(diǎn)有極限是函數(shù)f?x在xO點(diǎn)連續(xù)的

a.充分條件b.必要條件c.充分必要條件10、點(diǎn)

x?0是函數(shù)arctan

1

x

的a.連續(xù)點(diǎn)b.第一類間斷點(diǎn)c.第二類間斷點(diǎn)

Vlxlim?0?0

arctan

x???l?xlim?0?0arctanx?2

根據(jù)左右極限存在的點(diǎn)為第一類間斷點(diǎn)。11、點(diǎn)x?0

是函數(shù)sin

1

x

的a.連續(xù)點(diǎn)b.第一類間斷點(diǎn)c.第二類間斷點(diǎn)四、

計(jì)算下列極限:

nn

1、lim???l?n??3n

n

解

limn???l?n??3n?limn??nl3?n)?3

4

c)

2、lim

tan3x

x?0sin2x

tanx33x31i?lim?解x?0

sinx2x?02x2

3、lim??x?

x???

9

?lim

x???

x???

lim

x?x?x??

?

x??x??

x??x?x??x?x??x??

?lim

x???

?2

x??x?l???

??1

??21im

4、lim

n??

x???

n

2

?n?l?n2?n

?

解

Iimn2?n?l?n2

n??

n

?n??lim

n??

2

?n?l?n2?n

2

n

2

?n?l?n2?n

2

n?n?l?n?n

12?

2n?l?lim?lim?l

n??

Illn2?n?l?n2?nn??

??2??nnn

x3?x2

5、lim

x?O?Ox?sinx

x3?x2x

?xlim?lim?limx?O?Ox?sinxx?O?Ox?sinxx

?0?0

xsin

x?

x?l

2

x?0

?xl

?sinxl?

x

x2?

6、lim

x?0

xsinx?x?O

x2?

?1

5

?lim

x?0

1x2

?

第二章導(dǎo)數(shù)與微分

典型例題分析

客觀題

例1設(shè)f在點(diǎn)xO可導(dǎo),a,b為常數(shù)，則lim

f?f

?x

ab

?x?0

?

f?

Aabf?Bf?Cf?D

答案C解

f?flim??x?O?x

[f?f]?[f?f]

?lim??x?O?x

f?ff?f

?blim?alim

?x?O?x?Ob?xa?x

?f?

例2設(shè)f在x?a的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,則f在x?a處

可導(dǎo)的一個(gè)充分條件是

l????f?f

limh?f?a???f?存在lim存在

h?Oh???hh????

lim

f?f

2h

h?0

存在lim

f?f

h

存在

h?0

答案D

解題思路

對(duì)于答案，不妨設(shè)

lh

??x,當(dāng)h???時(shí)，?x?0,則有

?

l?f?f???

limh?f?a???f??lim存在，這只表明f在x?a處

h????x?Oh??x???

右導(dǎo)數(shù)存在,它并不是可導(dǎo)的充分條件,故不對(duì).

?

對(duì)于答案與，因所給極限式子中不含點(diǎn)a處的函數(shù)值

f,因此與導(dǎo)數(shù)概念不相符和.例如，若取

?1,x?a

f??

0,x?a?

則與兩個(gè)極限均存在，其值為零，但從

而f在

x?a

x?a處不連續(xù)，因而不可導(dǎo)，這就說(shuō)明與成立并不能

保證f?存在，從而

與也不對(duì).

記?x??h,則？x?0與h?0是等價(jià)的，于是

lim

f?f

h

h?0

??lim

f?f

h

h?0

?lim

f?f

?h

h?0

?x

所以條件D是f?存在的一個(gè)充分必要條件.

例3設(shè)f?0,則f在點(diǎn)x?0可導(dǎo)的充要條件為

?x?0

?lim

f?f

?f?

lim

Ihlh

2

h?0

f存在lim

Ihlh

h?0

f存在

h

lim

h?0

2

f存在lim

h?0

?f?f?存在

答案B解題思路當(dāng)h?0時(shí),

l?coshh

h?0

2

lim

f

h

2

h?0

?lim

2

f?f

h

2

?

1

.所以如果f?存在,則必有

?lim

f?f

l?cosh

h?0

?lim

l?coshh

2

h?0

若記u?l?cosh,當(dāng)h?0時(shí),u?0,所以

f?ff?flim?lim?f?h?0h?01?coshu于是

?

lim

f

h

2

h?0

?

12

f?

Ih

2

這就是說(shuō)由f?存在能推出lim

h?0

f存在.

?

hO,而不是u?0,因此但是由于當(dāng)h?0時(shí)，恒有

u?l?cos?

lf?f

f???limlini2f存在只能推出存在，而不能推出f?

h?0hx?0x存在.

?

當(dāng)h?0時(shí)，l?e??h?o,于是

h

lim

f

h

h

h?0

?lim

f)?f

h

h?0

??lim

f)?f

?h?o

h?0

由于當(dāng)h?0時(shí)，？h?o既能取正值，又能取負(fù)值，所以極

限

lim

f)?f

?h?o

h?0

存在與lim

f?f

h

h?0

?f?存在是互相等價(jià)的.因而

極限lim

lh

h?0

h

f存在與f?存在互相等價(jià).

當(dāng)h?0時(shí)，用洛比塔法則可以證明lim

lim

f

h

2

h?0

，所以h

f?fh?sinh

?lim?lim?hh?Oh?Oh?sinhh

h?0

3

h?sinh

?

1

由于h?0,于是由極限lim

f?f

h?sinh

h?0

?lim

h?sinhh

3

h?0

?h存在未必推出

h?sinh

f在點(diǎn)x?0可導(dǎo)一定有存在,但存在不一定f在點(diǎn)x?0

可導(dǎo).

h?0

lim

f?f

也存在，因而f?未必存在.

例函數(shù)f?|x?x|有個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)013

答案C

解題思路當(dāng)函數(shù)中出現(xiàn)絕對(duì)值號(hào)時(shí),不可導(dǎo)的點(diǎn)就有

可能出現(xiàn)在函數(shù)的零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)零點(diǎn)是分段函數(shù)的分界點(diǎn).

因此需要分別考察函數(shù)在點(diǎn)x0?0,xl?l,x2??l考察導(dǎo)數(shù)的存

在性.

解將f寫(xiě)成分段函數(shù):

23

???2

?x,?x?2)x,?x?2)x,?x?2)x,

2

22

2

x??l,?l?x?O,O?x?l,l?x.

在xO?O附近,f寫(xiě)成分段函數(shù):

22

?x,x?0?23

f?|x?x|??

22

??x,x?0

容易得到

f?f22

?f??lim?lim?2

??

x?0x?0x

f?f22

f???lim?lim??2

??

x?0x?0x

由于f???f??,所以f?不存在.

在xl?l附近,f寫(xiě)成分段函數(shù)：

2

?x,x?l?23

f?|x?x|??

2

??x,x?l

f?f2

?f??lim?limx??4

??

x?lx?lx?l

f?f2

f???lim?limx??4

??

x?lx?lx?l

由于f???f??,所以f?不存在.

在x2??l附近,f寫(xiě)成分段函數(shù):

2

?x,x??l?23

f?|x?x|??

2

??x,x??l

f?f

?

x??l

x?Ox?l

由于f???f???O,所以f?存在.

x??l

?

?

f???lim

x?l

f?f

??lim

x??l

?

x?0

?limx?O

綜合上述分析,f有兩個(gè)不可導(dǎo)的點(diǎn).

例設(shè)f具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),F?f?,則f?0是

F在x?0處可導(dǎo)的

必要但非充分條件充分但非必要條件

充分且必要條件既非充分也非必要條件答案C

分析從F在x?0的導(dǎo)數(shù)定義著手.將

F?f??f?f?|sinx|解

F?Ff?ff|sinx|?f|sinO|

?lim?limF???lim

x?0x?0x?0x?0x?0x?0

?f??f

f?ff|sinx|?f|sinO|F?F

?lim?limF???lim

???

x?0x?0x?0x?0x?0x?0

?f??f

于是推知F???F??的充分必要條件是f?0.

?

?

?

例設(shè)函數(shù)f?3x?x|x|,則使f

32

存在的最I(lǐng)WJ階數(shù)

n?.

013

答案C

解題思路應(yīng)先去掉f中的絕對(duì)值,將f改寫(xiě)為分段函

數(shù)

?2x3

f?3x?x|x|??3

?4x

3

2

x?0x?0x?0x?0

?2x3

解由f?3x?x|x|??3

?4x

3

2

?6x2

得f???2

?12x

x?Ox?O

?12x

且f????

?24x

又

x?0

?

?12

f?????x?0?24

x?0x?0x?0

f?f

x?0

?lim

x?0

2x?0

?

3

x?0

?0,

f???lim

f?f

?

x?0

x?0

?lim

x?0

4x?0

?

3

x?0

2

?0

所以f?存在.

f????lim

f??f?

?

x?0

x?0

?

?lim

x?0

6x?0

?

x?012x

?

?0?0

?0

f????lim

f??f?

x?0

2

?lim

x?0

x?0

x?0

所以f??存在.

f?????!im

f???f??

?

x?0

x?0

?

?lim

x?0

12x?0

?

x?0

?

?12

x?0

即f?????f????.因而使f

x?0

f?????!im

f???f??

?24

x?0

存在的最高階數(shù)是2.

x?0

?lim

24x?0

例f?cos|x|?x2|x|存在的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)等于

AOBICD答案C

2

解題思路注意cos|x|?cosx,所以只需考察x|x|在點(diǎn)

x?0的情況.

例8設(shè)??0,f在區(qū)間內(nèi)有定義，若當(dāng)x?時(shí)，恒有

f?x,則x?0必是f的

間斷點(diǎn)，連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn)，，可導(dǎo)的點(diǎn)，且

2

f'?0可導(dǎo)的點(diǎn)，且f'?0

答案C

解由題目條件易知f?0,因?yàn)?/p>

所以由夾逼定理

f?f

X

|?|

fxfx

|?|

X

2

x

I

2

lim|

x?0

f?f

x

x?0

x?0

x

X

|?0

于是f??0.

?l?e?x?,x?0,則f?為例設(shè)f??x?O,x?0.?1

01?1

2

答案

解題思路因f為分段函數(shù)，故它在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

應(yīng)按導(dǎo)數(shù)的定義，又由于是未定式,可用洛必達(dá)法則求極限.

2

00

型

第一章函數(shù)與極限

習(xí)題1-1

1.求下列函數(shù)的自然定義域：y?

ll?x

2

?;

?l?x2?0

解：依題意有？，則函數(shù)定義域D??x|x??2且x??l?

x?2?0?

2x?l

arccos

?2x?l

?1?

解：依題意有?3,則函數(shù)定義域D??.

?2

?x?x?6?0

y?ln；

解：依題意有?x2?3x?2?0,則函數(shù)定義域

D??x|l?x?2?.

1

y?2

x?x

3

*

解:依題意有x3?x?0,則函數(shù)定義域D??x!???x???

且x?0,?1?.

1?

,x?l,?sin

y??x?l

?2,x?l;?

解：依題意有定義域D??x!???x????.y?arctan解:

依題意有?

lx?

?x?0?3?x?0

，則函數(shù)定義域D??x|x?3且x?0?.

2.已知f定義域?yàn)椋?,1］,求f,f,f,f?f的定義

域.

解：因?yàn)閒定義域?yàn)椋?,1］,所以當(dāng)0?x2?l時(shí)，得函

數(shù)f的定義域?yàn)镠;當(dāng)0?sinx?l時(shí)，得函數(shù)f定義域

為［2kJi,JI］；當(dāng)0?x?a?l時(shí),得函數(shù)f定義域?yàn)椋?a,?a?l］；

當(dāng)？

?0?x?a?l?0?x?a?l

12

時(shí)，得函數(shù)f?f定義域?yàn)椋喝鬭?

12

12

,x??a,l?a?；

若a?,x?；若a?

12

,x??.

3

.設(shè)f?

l?l?2?x??

，其中a?0,求函數(shù)值f,f.

,則l?a?ll??21?a?l?

??0,a>l,

?.???,0解：因?yàn)閒?

f?

1?

l?2?x?

l??a?l

1???2?2

4a?a?2a

,f?

|x|?l,?1?

4.設(shè)f??O|x|?l,

??l|x|?l.?

g?2,求f)與g),并做出函數(shù)圖形.

x

X

?12?lx?0?l??

解：f)??02x?l,即f)??Ox?O,

??1x?O?x

???1?1

?21

?0

g)??2

??1?2

9?9?9J^?

|x|?l,即g)??l

?1

|x|?l?

?2

|x|?l

|x|?l|x|?l|x|?l

,函數(shù)圖形略.

5.設(shè)f??

?l?x,?1,

x?0,x?0,

試證：f[f]??

?2?x,?1,

?1,

x??l,x??l.

,得證.

證明：f[f]??

?

?l?f,f?0

1,f?0

,即f[f]??

?2?x,x??l,x??l

6.下列各組函數(shù)中，f與g是否是同一函數(shù)？為什么？

f?ln

x,g??ln

?3

?;

不是，因?yàn)槎x域和對(duì)應(yīng)法則都不相同.f?g?是.

f?2,g?sec2x?tan2x；不是，因?yàn)閷?duì)應(yīng)法則不

同.f?21gx,g?lgx2；不是，因?yàn)槎x域不同.

7.確定下列函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性：y?3x?lnx,

x?；

解：當(dāng)x?時(shí)，函數(shù)yl?3x單調(diào)遞增，y2?lnx也是單

調(diào)遞增，則y?yl?y2在內(nèi)也是遞增的.

y?解:

y2?

lyl

?

,x?.l?x?x?lly???l?

l?xl?xx?l

1

?x

,當(dāng)X?時(shí)，函數(shù)yl?x?l單調(diào)遞增，則

?xl?x

x?l

是單調(diào)遞減的，故原函數(shù)y?是單調(diào)遞減的.

8.判定下列函數(shù)的奇偶性.y?lg?lg

所以y?lg?O?f,所以y?0是偶函

數(shù).y?x2?2cosx?sinx?l；

解:因?yàn)閒?x2?2cosx?sinx?Lf?f且f??f,所以

y?x?2cosx?sinx?l既非奇函數(shù)，又非偶函數(shù).

2

x

?x

y?

a?a

2

a

?x

解：因?yàn)閒?

?f,所以函數(shù)y?22

9.設(shè)f是定義在［?1,1］上的任意函數(shù)，證明：

?a

x

a?a

x?x

是偶函數(shù).

f?f是偶函數(shù)，f?f是奇函數(shù)；f可表示成偶函數(shù)與

奇函數(shù)之和的形式.證明：令g?f?f,h?f?f,則

所以f?f是偶函數(shù)，g?f?f?g,h?f?f??h,

f?f是奇函數(shù).

任意函數(shù)f?數(shù)，

f?f

2

f?f

2

?

f?f

2

,由可知

f?f

2

是偶函

是奇函數(shù)，所以命題得證.

10.證明：函數(shù)在區(qū)間I上有界的充分與必要條件是:

函數(shù)在I上既有上界又有下界.證明：若函數(shù)f在區(qū)間I上

有界，則存在正數(shù)M,使得x?L都有

f?M成立，顯然?即證得函數(shù)f在區(qū)間I上既

有上界又有下界

設(shè)函數(shù)f在區(qū)間I上既有上界M2,又有下界Ml,即

有

f?Ml且f?M2,取M?max{Ml,M2},則有f?M

,即函數(shù)f在區(qū)間I上有

界.

11.下列函數(shù)是否是周期函數(shù)？對(duì)于周期函數(shù)指出其

周期：y?|sinx|；

周期函數(shù)，周期為n.y?l?sinJix；周期函數(shù)，周

期為2.y?xtanx；不是周期函數(shù).y?cos2x.

周期函數(shù)，周期為互.

12.求下列函數(shù)的反函數(shù)：y?

3

XX

3?1

yy?l

解：依題意，3x?

f

?1

，則x?log3

yy?l

,所以反函數(shù)為

?log3

,x??x?lax?by?；

cx?d

b?dycy?a

x

解：依題意，x?y?lgx?解：依題意，x?

，則反函數(shù)f?l?

b?dxcx?a

?;

?y

12

，所以反函數(shù)f?l?

12

,x?R

y?3cos2x,??

?x?

JI?

9??9?

arccos

y3

arccos

x

,x?[0,3]

解:依題意，x?

2

，所以反函數(shù)f?l?

2

13.在下列各題中，求由所給函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),

并求這函數(shù)分別對(duì)應(yīng)于給定自變量值xl和x2的函數(shù)值：

y?eu,u?x2+1,xl?0,x2?2；

y?u2?l,u?ev?l,v?x?l,xl?l,x2??l.解:y?f?ex

2

?1

,f?e,f?e

5

y?f?2?l,f?e4?2e2?2,f?l.

14.在一圓柱形容器內(nèi)倒進(jìn)某種溶液，該容器的底半

徑為r,高為H.當(dāng)?shù)惯M(jìn)溶液后液面的高度為h時(shí)，溶液的

體積為V.試把h表示為V的函數(shù)，并指出其定義區(qū)間.

解：依題意有V?nr2h,則h?

VJir

2

,V?[0,JirH].

2

15.某城市的行政管理部門(mén)，在保證居民正常用水需

要的前提下，為了節(jié)約用水，制定了如下收費(fèi)方法：每戶居

民每月用水量不超過(guò)4.5噸時(shí)，水費(fèi)按0.64元/噸計(jì)算.超

過(guò)部分每噸以5倍價(jià)格收費(fèi).試建立每月用水費(fèi)用與用水?dāng)?shù)

量之間的函數(shù)關(guān)系.并計(jì)算用水量分別為3.5噸、4.5噸、

5.5噸的用水費(fèi)用.

解：依題意有f??

?0.64x,

?4.5?0.64??3.2,

0?x?4.5x?4.5

,所以

f?2.24元，f?2.88元,f?6.08元

習(xí)題1-2

1.設(shè)an?

,n?l

222

求|al?|,|al0?|,|al00?|的值；

333

2

求N,使當(dāng)n?N時(shí)，不等式|an?|?10?4

3

23|??23|?|

2n?l

成立；

求N,使當(dāng)n?N時(shí)，不等式|an?解：|al?|al00

2

34312220121?|?|?|?33013903

23|?10,

?4

成立.

2131?23|?

193,

l?l

3

?

2

I?

1

|alO?

要使|an?

?9997?

?9??1110,??

即

1

?4

310

23|?10

?4

1

，則只要n?

99979

取仁

故當(dāng)n>1110時(shí)，不等式|an?

23!??

成立.

2

要使Ian?

成立，n?

1?3?9?

取N??那么當(dāng)n?N時(shí),|an?|???,3?9??

?1?3??

成立.

2.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：

lim

In!

n??

?0

；lim

ln!?O|=

ln!?ln

n

n??

?1.

?1?

解:???0,要使|

??

，只要取N???,所以，對(duì)任意??0,

???

存在N???,當(dāng)n?N時(shí)，總有|?0|??,則lim?0.

n??n!n!???

???0,要

使I

N??l?ll

n

?1!?

?

22n

2

??

即n?

n

，只要

取

，所以，對(duì)任意的＞0,

存在N??,當(dāng)n?N,

總有11??,

則

lin??

n

?.1

n??

3.若limxn?a,證明lim|xn|?|a].并舉例說(shuō)明：如

果數(shù)列？|xn|?有極限，但數(shù)列？xn?

n??