第13講探索三角形相似的條件（2大考點）（原卷版）

第13講探索三角形相似的條件（2大考點）考點考點考向一．平行線分線段成比例（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例．（2）推論1：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．（3）推論2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例．二．相似三角形的判定（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應(yīng)用時要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形．（2）三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．【方法點撥】相似三角形的判定方法匯總：1、定義法：三個對應(yīng)角相等，三條對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似．2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．3、判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似．4、判定定理2：如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似．5、判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似．簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。考點考點精講一．平行線分線段成比例（共11小題）1．（2022秋?天寧區(qū)校級月考）如圖，l1∥l2∥l3，若＝，DF＝15，則DE等于（）A．5 B．6 C．7 D．92．（2022秋?江陰市校級月考）如圖，BE是△ABC的中線，點F在BE上，延長AF交BC于點D．若BF＝3FE，BD＝3，則DC＝．3．（2021秋?灌云縣期末）如圖，，AD＝15，AB＝40，AC＝28，則AE＝．4．（2022秋?惠山區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AD：DB＝3：2，AE＝6cm，則AC的長為（）A．6cm B．5cm C．4cm D．10cm5．（2022秋?錫山區(qū)校級月考）如圖，DE∥BC，且EC：BD＝2：3，AD＝6，則AE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2022秋?江陰市校級月考）如圖，已知AB∥CD∥EF，那么下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．7．（2021秋?儀征市期末）如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條直線分別交于點A、B、C和D、E、F．若AB＝6，BC＝3，EF＝4，則DE的長為（）A．4 B．6 C．8 D．98．（2022秋?江陰市校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D，E分別在邊AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，連接BE，CD，相交于點O，若Rt△ABC的面積為4，則△ABO面積為．9．（2021秋?常州期末）如圖，在△ABC中，點D在AB上，AD：DB＝2：3，點E是CD的中點，連接AE并延長，交BC于點F，則BF：FC＝．10．（2022秋?靖江市校級月考）如圖，AB∥CD∥EF，AF交BE于點G，若AC＝CG，AG＝FG，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．11．（2022秋?天寧區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6．點P從點A出發(fā)，沿折線AB﹣BC向終點C運動，在AB上以每秒5個單位長度的速度運動，在BC上以每秒3個單位長度的速度運動．點Q從點C出發(fā)，沿CA方向以每秒個單位長度的速度運動．P、Q兩點同時出發(fā)，當點P停止時，點Q也隨之停止．設(shè)點P運動的時間為t秒．（1）求線段AQ的長．（用含t的代數(shù)式表示）（2）當PQ與△ABC的一邊平行時，求t的值．二．相似三角形的判定（共14小題）12．（2022秋?錫山區(qū)期中）如圖，不能說明△ABC∽△ACD的一組條件是（）A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD?AB D．＝13．（2022秋?海陵區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，點P在邊AB上，則在下列四個條件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP?AB；④CP?AB＝AP?CB，能滿足△APC與△ABC相似的條件是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③14．（2022?宿豫區(qū)校級開學(xué)）已知AB＝4，CD＝9，BD＝17，AB⊥BD，CD⊥BD，在線段BD上有一點P，使得△PAB和△PCD相似，則滿足條件的點P的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．無數(shù)15．（2021秋?沛縣校級月考）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，動點P以2mm/s的速度從A向B移動，（不與B重合），動點Q以4mm/s的速度從B向C移動，（不與C重合），若P、Q同時出發(fā)，經(jīng)過秒后，△PBQ與△ABC相似．16．（2022秋?蘇州期中）如圖，在矩形ABCD中，P是AD上的動點，連接BP，CP，若AD上存在三個不同位置的點P，使△ABP與△CDP相似，設(shè)，則d的取值范圍是．17．（2022秋?江陰市校級月考）如圖，在第一象限內(nèi)作與x軸的正半軸成60°的射線OC，在射線OC上截取OA＝2，過點A作AB⊥x軸于點B，在坐標軸上取一點P（不與點B重合），使得以P，O，A為頂點的三角形與△AOB相似，則所有符合條件的點P的坐標為．18．（2022秋?射陽縣月考）如圖，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P為CD邊上的動點，當△ADP與△BCP相似時，求DP長．19．（2022秋?錫山區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，點P從點A出發(fā)，沿AB以4cm/s的速度向點B運動，同時點Q從點C出發(fā)，沿CA以3cm/s的速度向點A運動，當其中一點到達終點時，另一點也停止運動，設(shè)運動時間為xs．（1）當PQ∥BC時，求x的值．（2）△APQ與△CQB能否相似？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由．20．（2022秋?惠山區(qū)期中）如圖，AB、DE是⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠ABC＝20°，點D從點C出發(fā)沿順時針方向繞圓心O旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜180），當α＝時，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．21．（2022秋?江陰市校級月考）如圖，在△ABC中，AB＝14，AC＝6，在AC上取一點D，使AD＝2，如果在AB上取點E，使△ADE和△ABC相似，則AE＝．22．（2022秋?邗江區(qū)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，D為AB上一動點（點D與點A不重合）．若在△ABC的直角邊BC上存在一點E，使△ADE與△ABC相似，則AD的值為．23．（2022秋?邗江區(qū)月考）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，動點E在邊BC上，連接DE，過點A作AH⊥DE，垂足為H，AH交CD于F．（1）求證：△CDE∽△DAF；（2）當FC＝2時，求EC的長．（3）若直線AF與線段BC延長線交于點G，當△DEB∽△GFD時，求DF的長．24．（2022秋?江陰市校級月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是BC邊的中點，E為AB邊上的一個動點，作∠DEF＝90°，EF交射線BC于點F設(shè)BE＝x，△BED的面積為y．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）如果以B、E、F為頂點的三角形與△BED相似，求△BED的面積．25．（2022秋?江陰市校級月考）如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC是矩形，其中點A、C分別在x軸、y軸上，B（4，2）．P是x軸負半軸上一點，OP＝OC，過點P的直線l分別與y軸、邊BC交于點D、點E，連接AE．當△POD與△ABE相似時，求CE的長．

鞏固鞏固提升一、單選題1．（2020·江蘇·無錫市錢橋中學(xué)九年級月考）下列四個選項中的三角形，與圖中的三角形相似的是（）A． B．C． D．2．（2021·江蘇·揚州市梅嶺中學(xué)九年級月考）如圖，在四邊形中，如果，那么下列條件中不能判定和相似的是（）A． B．是的平分線C． D．3．（2021·江蘇·無錫市天一實驗學(xué)校九年級期中）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加一個條件后，仍不能判定△ABC與△ADE相似的是（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C． D．4．（2021·江蘇高郵·九年級期末）已知等腰△ABC的底角為75°，則下列三角形一定與△ABC相似的是（）A．頂角為30°的等腰三角形B．頂角為40°的等腰三角形C．等邊三角形D．頂角為75°的等腰三角形5．（2021·江蘇玄武·一模）如圖，在中，是邊上一點，在邊上求作一點，使得．甲的作法：過點作，交于點，則點即為所求．乙的作法：經(jīng)過點，，作，交于點，則點即為所求．對于甲、乙的作法，下列判斷正確的是（）A．甲錯誤，乙正確 B．甲正確，乙錯誤 C．甲、乙都錯誤 D．甲、乙都正確6．（2020·江蘇·射陽縣第二初級中學(xué)九年級月考）如圖，點P是△ABC的邊AC上一點，連結(jié)BP，以下條件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（）A．＝ B．＝ C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC二、填空題7．（2021·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，在中，，則圖中相似三角形共有______對．8．（2020·江蘇·淮安六中九年級期中）如圖，若，需添加的一個條件是______（填寫一個條件即可）．9．（2021·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中有3個斜三角形：①；②；③；其中能與相似的是_________．（除外）10．（2019·江蘇寶應(yīng)·中考模擬）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點E是重心，點D在斜邊AB上，CD過點E，作EF//AB交CB于點F，若EF=6，則11．（2019·江蘇·海慶中學(xué)九年級期末）如圖，在△ABC中，P是AB邊上的點，請補充一個條件，使△ACP∽△ABC，這個條件可以是：___(寫出一個即可)，12．（2020·江蘇寶應(yīng)·九年級）如圖，在中，，是上一點且，當________時，使得與相似．13．（2020·江蘇宜興·九年級月考）如圖，點D、E在△ABC的邊AB、AC上，請?zhí)砑右粋€條件：____，使△ADE∽△ACB．三、解答題14．（2019·江蘇無錫·九年級期末）如圖2，ΔABC與ΔDEA是兩個全等的等腰三角形，?BAC=?D=900，BC分別與AD,AE相交于點F,G，（1）圖中有哪幾對不全等的相似三角形，請把他們表示出來；（2）根據(jù)圖1兩位同學(xué)對圖形的探索，試探索BF,FG,GC之間的關(guān)系，并證明.15．（2018·江蘇雨花臺·九年級期末）如圖，已知AD?AC＝AB?AE．求證：△ADE∽△ABC．16．（2020·江蘇·常州市田家炳初級中學(xué)九年級期中）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E為邊CD延長線上一點，連接BE交邊AD于點F．（1）找出圖中所有的相似三角形（不再添加輔助線），它們分別是_____．（2）請在你找出的各對相似三角形中，選擇一對加以證明．17．（2021·江蘇淮安·九年級期末）如圖，在矩形ABCD中，E為AD上一點，EF⊥EC交AB于F，連接FC，求證：．18．（2021·江蘇江都·九年級期末）我們知道，全等是特殊的相似，相似與三角函數(shù)也有著密切的聯(lián)系．某數(shù)學(xué)興趣小組類比“斜邊和直角邊分別相等的兩個直角三角形全等”，進而提出猜想“斜邊和直角邊成比例的兩個直角三角形相似嗎？”如圖，在和中，，且，則與相似嗎？并說明理由．19．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·一模）如圖1，二次函數(shù)的圖像記為，與y軸交于點A，其頂點為B，二次函數(shù)的圖像記為，其頂點為D，圖像、相交于點P，設(shè)點P的橫坐標為m．（1）求證：點D在直線上；（2）求m和h的數(shù)量關(guān)系；（3）平行于x軸的直線經(jīng)過點P，與圖像交于另一點E，與圖像交于另一點F，若，求h的值；（4）如圖2，過點P作平行于的直線，與圖像交于另一點Q，連接．當時，_________．（直接寫出結(jié)果）20．（2021·江蘇·蘇州草橋中學(xué)一模）如圖1，拋物線（為常數(shù)）與軸交于兩點（點在點右側(cè)），與軸交于點．（1）下列說法：①拋物線開口向上，②點在軸正半軸上；③；④拋物線頂點在直線上，其中正確的是_______；（2）如圖2，若直線與該拋物線交于兩點（點在點下方），試說明：線段的長是一個定值，并求出這個值；（3）在（2）的條件下，設(shè)直線與軸交于點，連接，當時，求此時的值，判斷與是否相似，并說明理由．21．（2021·江蘇·宜興市樹人中學(xué)九年級期中）三角形的布洛卡點（Bro