253向量數(shù)量積的坐標表示利用數(shù)量積計算長與角課件4

向量數(shù)量積的坐標表示利用數(shù)量積計算長度與角度必備知識·自主學習平面向量數(shù)量積的坐標表示設向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).【思考】由向量長度的坐標表示,能否得出平面內(nèi)兩點間的距離公式?提示:設A(x1,y1),B(x2,y2),那么=(x2-x1,y2-y1),由向量長度的坐標表示可得|AB|=||=【根底小測】1.辨析記憶(對的打“√〞,錯的打“×〞)(1)假設兩向量滿足a·b<0,那么兩向量的夾角θ一定是鈍角; (

)(2)假設a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么向量a,b的夾角θ滿足

(

)(3)假設A(1,0),B(0,-1),那么 (

)(4)假設△ABC是直角三角形,那么 (

)提示:(1)×.兩向量滿足a·b<0,兩向量的夾角θ也可能是平角.(2)×.當a≠0且b≠0時,向量a,b的夾角θ滿足即向量夾角公式的適用范圍是a≠0且b≠0.(3)√.由兩點間的距離公式,得(4)×.△ABC是直角三角形,三個角都有可能是直角,不一定就是角B.2.向量a=(-4,7),向量b=(5,2),那么a·b的值是 (

)

【解析】選D.因為a=(-4,7),b=(5,2),所以a·b=(-4,7)·(5,2)=-4×5+7×2=-20+14=-6.3.a=(,1),b=(-,1),那么向量a,b的夾角θ=________.

【解析】由題,所以θ=120°.答案:120°4.a=(2,-1),b=(1,x),且a⊥b,那么x=________.

【解析】由題意知a·b=2×1+(-1)×x=0,得x=2.答案:2關(guān)鍵能力·合作學習類型一向量數(shù)量積的坐標運算(數(shù)學運算,直觀想象)【題組訓練】1.假設向量a=(1,-1),b=(-1,2),那么(2a+b)·a= (

)

2.假設向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)滿足條件(8a-b)·c=30,那么x= (

)3.正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中點,點F在AD上,,那么

=________.

【解析】1.選C.方法一:因為a=(1,-1),b=(-1,2),所以|a|=,a·b=-3,從而(2a+b)·a=2a2+a·b=4-3=1.方法二:因為a=(1,-1),b=(-1,2),所以2a+b=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),從而(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.2.選C.因為a=(1,1),b=(2,5),所以8a-b=(8,8)-(2,5)=(6,3).又因為(8a-b)·c=30,所以(6,3)·(3,x)=18+3x=30,所以x=4.3.建立平面直角坐標系如下圖,那么A(0,2),E(2,1),D(2,2),B(0,0),C(2,0),因為,所以F.所以=(2,1),-(2,0)=所以=(2,1)·=2×(-)+1×2=.答案:【解題策略】數(shù)量積的坐標運算方法(1)一是先將各向量用坐標表示,直接進行數(shù)量積運算.(2)二是先利用數(shù)量積的運算律將原式展開,再依據(jù)計算.圖形中的數(shù)量積,如果圖形適宜,就可以建立坐標系,采用坐標運算.【補償訓練】1.向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,那么k= (

)

【解析】選a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,所以10+2-k=0,解得k=12.2.a與b同向,b=(1,2),a·b=10.(1)a的坐標為________;

(2)假設c=(2,-1),那么a(b·c)=________,(a·b)c=________.

【解析】(1)設a=λb=(λ,2λ)(λ>0),那么有a·b=λ+4λ=10,所以λ=2,所以a=(2,4).(2)因為b·c=1×2-2×1=0,a·b=10,所以a(b·c)=0a=0,(a·b)c=10(2,-1)=(20,-10).答案:(1)(2,4)

(2)0

(20,-10)類型二向量模的計算(數(shù)學運算)【典例】設平面向量a=(1,1),b=(0,2).求a-2b的坐標和模的大小.【思路導引】利用向量的坐標運算求得a-2b的坐標表示,然后求模.【解析】因為a=(1,1),b=(0,2),所以a-2b=(1,1)-2(0,2)=(1,-3),所以【變式探究】1.將例題中的條件不變,假設c=3a-(a·b)b,試求|c|.【解析】a·b=x1x2+y1y2=2,所以c=3(1,1)-2(0,2)=(3,-1),所以|c|=.2.將例題中的b=(0,2)改為b=(0,-2),其他條件不變,假設ka-b的模等于,試求k值.【解析】因為ka-b=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2),因為ka-b的模等于,所以

,化簡得k2+2k-3=0,解得k=1或k=-3.【解題策略】向量模的計算方法1.設a=(x,y),那么|a|2=x2+y2,或2.向量a與b的數(shù)量積為a·b=cos<a,b>,通過數(shù)量積和夾角可以計算a或b的模.【跟蹤訓練】1.設x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4)且a⊥c,b∥c,那么|a+b|= (

)

【解析】選D.因為a⊥c,b∥c,所以有2x-4=0且2y+4=0,解得x=2,y=-2,即a=(2,1),b=(1,-2).所以a+b=(3,-1),|a+b|=.2.假設平面向量a與b的夾角為,a=(2,0),|a+2b|=2,那么a·b= (

)【解析】選C.因為平面向量a與b的夾角為,a=(2,0),|a+2b|=2,所以=2,a·b=2·cos=-,=12,即為a2+4a·b+4b2=4-4+4=12,解得=2(-1舍去),那么a·b=-2.類型三向量的夾角與垂直(數(shù)學運算)角度1求兩向量的夾角或夾角的余弦值

【典例】如圖,在平面直角坐標系xOy中,O是原點.點A(16,12),B(-5,15).試求∠OAB的度數(shù).【思路導引】先由坐標求向量的模,再代入夾角公式得余弦值,最后求角.【解析】由=(16,12),=(-5-16,15-12)=(-21,3),得所以cos∠OAB=cos<,>=其中=-(16,12)·(-21,3)=-[16×(-21)+12×3]=300,故cos∠OAB=.所以∠OAB=45°.角度2夾角求參數(shù)的值或范圍

【典例】(2021·全國Ⅰ卷)設向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),假設a⊥b,那么m=________.

【思路導引】根據(jù)向量垂直,結(jié)合題中所給的向量的坐標,利用向量垂直的坐標表示,求得結(jié)果.【解析】由a⊥b可得a·b=0,又因為a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),所以a·b=1·(m+1)+(-1)·(2m-4)=0,即m=5.答案:5角度3向量坐標背景下的垂直關(guān)系

【典例】在△ABC中=(2,3),=(1,k),假設△ABC是直角三角形,求k的值.【思路導引】三個角A,B,C都有可能是直角,根據(jù)垂直時向量的數(shù)量積為零建立方程.【解析】因為=(2,3),=(1,k),所以=(-1,k-3).假設∠A=90°,那么=2×1+3×k=0,所以k=-;假設∠B=90°,那么=2×(-1)+3(k-3)=0,所以k=;假設∠C=90°,那么=1×(-1)+k(k-3)=0,所以k=.故所求k的值為-或或.【解題策略】1.利用向量的數(shù)量積求兩向量夾角的一般步驟(1)先利用平面向量數(shù)量積的坐標表示求出兩向量的數(shù)量積;(2)再運用|a|=求出兩向量的模;(3)由公式計算cosθ的值;(4)在[0,π]內(nèi),由cosθ的值確定角θ.2.垂直關(guān)系的坐標運算:(1)判斷兩個向量是否垂直,只需計算其數(shù)量積是否為0;(2)假設兩向量垂直,那么可利用數(shù)量積的坐標表示建立有關(guān)參數(shù)的方程,進而求解.【題組訓練】1.向量a=(3,4),b=(2,-1),如果向量a+xb與-b垂直,那么x的值為(

)

【解析】選A.因為a+xb=(3,4)+x(2,-1)=(3+2x,4-x),-b=(-2,1),且(a+xb)⊥(-b),所以-2(3+2x)+(4-x)=0,得x=-.2.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c與a的夾角等于c與b的夾角,那么m等于 (

)【解析】選D.因為a=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m+4,2m+2),所以a·c=m+4+2(2m+2)=5m+8,b·c=4(m+4)+2(2m+2)=8m+20.因為c與a的夾角等于c與b的夾角,所以解得m=2.3.設向量a,b的夾角為θ,且a=(5,5),2b-a=(-1,1),那么cosθ=________.

【解析】因為a=(5,5),所以2b=(5,5)+(-1,1)=(4,6).即b=(2,3).又|a|=5,|b|=,且a·b=(5,5)·(2,3)=25.所以答案:【補償訓練】1.向量a=(1,3),b=(2,1),那么a·b=________;a與b夾角的大小為________.

【解析】因為向量a=(1,3),b=(2,1),由向量數(shù)量積的坐標運算得a·b=1×2+3×1=5,設a與b的夾角為θ,由向量的夾角公式得:

因為θ∈[0,π],所以θ=答案:5

2.設向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).假設(a+c)⊥b,那么|a|=________.

【解析】由題意知,a+c=(3,3m),(a+c)·b=3(m+1)+3m=0,解得m=-,即a=(1,-1),|a|=答案:類型四用數(shù)量積解決簡單的平面幾何問題(直觀想象,數(shù)學運算)【典例】如下圖,在正方形ABCD中,E,F分別是AB,BC的中點,求證:AF⊥DE.【解題策略】利用向量解決垂直問題的方法和途徑方法:對于線段的垂直問題,可以聯(lián)想到兩個向量垂直的條件,即向量的數(shù)量積為0;途徑:可以考慮向量關(guān)系式的形式,也可以考慮坐標的形式.【跟蹤訓練】求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值.【解析】如圖,分別以等腰直角三角形的兩直角邊為x軸、y軸建立直角坐標系.設A(2a,0),B(0,2a),那么D(a,0),C(0,a),從而可求:=(-2a,a),=(a,-2a),不妨設的夾角為θ,那么故所求鈍角的余弦值為.1.假設向量a=(x,2),b=(-1,3),a·b=3,那么x= (

)

C.

D.-【解析】選A.a·b=-x+6=3,故x=3.課堂檢測·素養(yǎng)達標2.a=(-,-1),b=(1,),那么a,b的夾角θ= (

)A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】選D.,又因為0°≤θ≤180°,所以θ=150°.3.向量a=(1,n),b=(-1,n),假設2a-b與b垂直,那么|a|等于 (

)【解析】選C.因為(2a-b)·b=2a·b-|b|2=2(-1+n2)-(1+n2)=n2-3=0,所以n=±.所以4.向量b與向量a=(1,-2)的夾角是180°,且|b|=3,那么b= (

)A.(-3,6)

B.(3,-6)

C.(6,-3)

D.(-6,3)【解析】選A.由題意,設b=λa=(λ,-2λ)(λ<0),由于|b|=3.所以|b|=,所以λ=-3,即b=(-3,6).5.a=(-3,-2),b=(-4,k),假設(5a-b)·(b-3a)=-55,試求b的坐標.【解析】因為a=(-3,-2),b=(-4,k),所以5a-b=(-11,-10-k).b-3a=(5,k+6),所以(5a-b)·(b-3a)=(-11,-10-k)·(5,k+6)=-55-(k+10)(k+6)=-55,所以(k+10)(k+6)=0,所以k=-10或k=-6,所以b=(-4,-10)或b=(-4,-6).二十一向量數(shù)量積的坐標表示利用數(shù)量積計算長度與角度【根底通關(guān)——水平一】(15分鐘30分)1.設向量a=(2,0),b=(1,1),那么以下結(jié)論中正確的選項是 (

)A.|a|=|b|

B.a·b=C.(a-b)⊥b D.a∥b課時素養(yǎng)評價【解析】選C.因為a=(2,0),b=(1,1),所以|a|=2,|b|=,|a|≠|(zhì)b|,故A錯誤;a·b=(2,0)·(1,1)=2×1+0×1=2,故B錯誤;因為a-b=(1,-1),所以(a-b)·b=(1,-1)·(1,1)=0,所以(a-b)⊥b,故C正確.因為2×1-0×1≠0,所以a與b不共線,故D錯誤.2.向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,那么實數(shù)k= (

)A.

D.【解析】選C.因為a=(k,3),b=(1,4),所以2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3,-6).因為(2a-3b)⊥c,所以(2a-3b)·c=(2k-3,-6)·(2,1)=2(2k-3)-6=0,解得k=3.3.A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),那么△ABC的形狀是________三角形(

)

A.直角 B.銳角 C.鈍角 D.等邊【解析】選A.由題設知=(8,-4),=(2,4),=(-6,8),所以=2×8+(-4)×4=0,即,所以∠BAC=90°,故△ABC是直角三角形.4.a=(4,-3),b=(2,1),假設a+tb與b的夾角為45°,那么實數(shù)t=________.

【解析】因為a=(4,-3),b=(2,1),所以a+tb=(2t+4,t-3),所以(a+tb)·b=5t+5.又因為且(a+tb)·b=|a+tb||b|cos45°,所以整理得t2+2t-3=0,解得t=1或t=-3,經(jīng)檢驗知t=-3不成立,故t=1.答案:15.假設a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),假設a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),那么向量的模為________.

【解析】因為a∥b,所以x=4,所以b=(4,-2),所以a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y),因為(a+b)⊥(b-c),所以(a+b)·(b-c)=0,即6-3(-2-y)=0,所以y=-4,故向量=(-8,8),||=8.答案:86.a=(,-1),b=(1)求證:a⊥b;(2)是否存在實數(shù)k,使x=a-2b,y=-ka+b,且x⊥y,假設存在,求k的值;不存在,請說明理由.【解析】(1)因為a·b=所以a⊥b.(2)因為x=(,-1)-2

y=

假設存在k使x⊥y,所以x·y=化簡得-4k-2=0,所以k=-即存在k=-滿足條件.【能力進階——水平二】(30分鐘60分)一、單項選擇題(每題5分,共20分)1.向量a=(-1,x),b=(2,-1),假設(a-2b)⊥b,那么a與b的夾角的余弦值為(

)

【解析】選B.因為向量a=(-1,x),b=(2,-1),所以a-2b=(-5，x+2).又b=(2,-1),(a-2b)⊥b,所以-10-(x+2)=0,即x=-12,所以2.向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,那么|b|= (

)【解析】選C.方法一:設b=(x,y),那么a·b=2x+y=10①,又a+b=(x+2,y+1),|a+b|=5,所以(x+2)2+(y+1)2=50

②,①與②聯(lián)立得或所以|b|=方法二:由|a+b|=5得a2+2a·b+b2=50,即5+20+b2=50,所以b2=25,所以|b|=5.3.在四邊形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),那么該四邊形的面積為(

)【解析】選C.因為=(1,2)·(-4,2)=-4+4=0,所以,所以S四邊形ABCD=

4.向量a=(sinα,-2),b=(1,cosα),且a⊥b,那么等于(

)

【解析】選A.因為a⊥b,所以sinα-2cosα=0,可得sinα=2cosα,因為sinα+cosα≠0,所以sinα=2cosα≠0,那么二、多項選擇題(每題5分,共10分)5.=(4,2),=(k,-2),假設△ABC為直角三角形,那么k可取的值是

(

)【解析】選AD.當A=90°時,,那么4k-4=0,k=1;當B=90°時,所以4(k-4)+2×(-4)=0,解得k=6;當C=90°時,,那么k(k-4)+(-2)×(-4)=0,即k2-4k+8=0,無解.故k=1或6.6.假設向量i,j為互相垂直的單位向量,a=i-2j,b=i+mj,且a與b的夾角為銳角,那么實數(shù)m可取的值有 (

)

D.【解析】選AC.由題意,因為a與b夾角為銳角,所以a·b=(i-2j)·(i+mj)=1-2m>0,且b,a不共線,所以m<.當a∥b時,可得m=-2,所以實數(shù)λ的取值范圍是(-∞,-2)∪(-2,),于是AC符合.三、填空題(每題5分,共10分)7.(2021·浙江高考)設e1,e2為單位向量,滿足|2e1-e2|≤,a=e1+e2,b=3e1+e2,設a,b的夾角為θ,那么cos2θ的最小值為________.

【解析】(a·b)2=|a|2·|b|2·cos2θ=(e1+e2)2(3e1+e2)2cos2θ=(2+2e1·e2)(10+6e1·e2)cos2θ=[(e1+e2)·(3e1+e2)]2=所以

(10+6e1·e2)cos2θ=8(1+e1·e2),(6cos2θ-8)e1·e2=8-10cos2θ,又因為-4e1·e2≤2,5-4e1·e2≤2,所以e1·e2≥,所以e1·e2=

所以cos2θ的最小值為.答案:

8.向量=(1,7),=(5,1)(O為坐標原點),設M為直線y=x上的一點,那么的最小值是________,此時M點的坐標為________.

【解析】設M,那么

所以當x=4時,取得最小值-8.答案:-8

(4,2)四、解答題(每題10分,共20分)9.a,b,c是同一平面內(nèi)的三個向量,其中a=(1,2).(1)假設|c|=2,且c與a方向相反,求c的坐標;(2)假設|b|=,且a+2b與2a-b垂直,求a與b的夾角θ.【解析】(1)設c=(x,y),由c∥a及|c|=2,可得所以或因為c與a方向相反,所以c=(-2,-4).(2)因為(a+2b)⊥(2a-b),所以(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0,所以2|a|2+3a·b-2|b|2=0,所以2×5+3a·b-2×=0,解得a·b=-.所以又因為θ∈[0,π],所以θ=π.10.=(2,1),=(1,7),=(5,1),設C是直線OP上的一點(其中O為坐標原點).(1)求使取到最小值時的;(2)對(1)中求出的點C,求cos∠ACB.【解析】(1)因為點C是直線OP上一點,所以向量與共線,設=t,那么

=(2t,t).=(1-2t,7-t),=(5-2t,1-t),=(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)=5t2-20t+12=5(t-2)2-8,當t=2時,