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軌道角動(dòng)量
氫原子,單電子,電子在原子核的庫(kù)侖場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),中心立場(chǎng),勢(shì)能函數(shù)為:中心力場(chǎng),角動(dòng)量守恒,在經(jīng)典力學(xué)中,角動(dòng)量定義為在量子力學(xué)中,軌道角動(dòng)量求角動(dòng)量的本征方程首先定義角動(dòng)量算符!定義角動(dòng)量的平方算符中心力場(chǎng),中心對(duì)稱,方程表達(dá)在球坐標(biāo)下角動(dòng)量和哈密頓對(duì)易,角動(dòng)量守恒,角動(dòng)量模長(zhǎng),角動(dòng)量投影,哈密頓,三者共享本征函數(shù)先求最簡(jiǎn)單的,角動(dòng)量投影算符的本征函數(shù)
在球坐標(biāo)系中,軌道角動(dòng)量z軸投影yrxz0球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系之間坐標(biāo)變換一維問(wèn)題,一階線性微分方程
的本征方程其中是本征值,是本征波函數(shù)。通解:由周期性邊界條件,限定ml取值由波函數(shù)的歸一化條件得則角動(dòng)量在z軸上的投影的歸一化本征波函數(shù)為:這要求ml必須是整數(shù),即
在球坐標(biāo)系中,軌道角動(dòng)量的本征方程角動(dòng)量算符和的共同本征波函數(shù)可寫(xiě)作微分相加,無(wú)交叉項(xiàng),分離變量本征方程:其中,已解,有態(tài)指標(biāo)
根據(jù)波函數(shù)的量子化條件(略過(guò)程),得本征值本征方程變?yōu)闉?其中l(wèi)稱為角量子數(shù),,稱為軌道磁量子數(shù)。
和的共同本征函數(shù)是球諧函數(shù)
l=0,1,2的球諧函數(shù)取核所在點(diǎn)為原點(diǎn):xyz0r則球坐標(biāo)中的定態(tài)薛定諤方程為線性齊次微分方程,微分相加無(wú)交叉,分離變量法薛定諤方程動(dòng)能項(xiàng),和角動(dòng)量有關(guān)根據(jù)對(duì)易
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