高中數(shù)學(xué)（理科）易錯題之算法初步、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

專題14算法初步、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

易錯點(diǎn)1忽略判斷框內(nèi)的條件

閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入〃的值為9,則輸出S的值為

【錯解】依題意，該程序框圖的任務(wù)是計算S=2i+2?+23+…+28+1+2+3+...+8=546,故輸出S的值為

546.

【錯因分析】解題過程錯在循環(huán)是在仁10終止，而不是在k=9時終止，所以循環(huán)體最后一次執(zhí)行的是S=S

+29+9.

【試題解析】依題意，該程序框圖的任務(wù)是計算界21+2^+23+…+29+1+2+…+9=1067,故愉出S的值

為1067.

【警示】解決此類問題的關(guān)鍵是讀懂程序框圖，明晰循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的真正含義，對于本題，要認(rèn)清程

序框圖運(yùn)行的次數(shù).

,易錯點(diǎn)擊

1.注意起止框與處理框、判斷框與循環(huán)框的不同.

2.注意條件結(jié)構(gòu)與循環(huán)結(jié)構(gòu)的聯(lián)系：對于循環(huán)結(jié)構(gòu)有重復(fù)性，條件結(jié)構(gòu)具有選擇性沒有重復(fù)性，并且循環(huán)

結(jié)構(gòu)中必定包含一個條件結(jié)構(gòu)，用于確定何時終止循環(huán)體.

■.即時鞏固

1.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出S的值為

A.2B.4

C.6D.8

【答案】B

【解析】第一次循環(huán)，5=8,?=2;第二次循環(huán)，扉2,?=3;第三次循環(huán)，SM,?=4,故輸出S的值為4,

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，考查考生的運(yùn)算能力.一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),

?？疾檠h(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)是這類題的易錯之處，考生應(yīng)多加注意.當(dāng)循環(huán)次數(shù)不多

時，可以逐次列舉，力爭不失分.

易錯點(diǎn)2誤將類比所得結(jié)論作為推理依據(jù)

供倒分M

2

己知“，々，。［，為，打,。?都是非零實(shí)數(shù)，不等式@三+bYx+cx<0,o2x+&X+C2<0的解集分

a,b,C.

別為則“」=7±=-”是"M=N”成立的.條件（選填“充分不必要”“必要不充分”“充

a,b-,C,

要”“既不充分又不必要”中的一種）.

CLbaa,hG

【錯解】由上L=U=」知兩個不等式同解，即“3=”=’”是“M=N”成立的充要條件.

。2b?c2a2b2c2

【錯因分析】錯解將方程的同解原理類比到不等式中,忽略了不等式與等式的本質(zhì)區(qū)別.

【試題解析】當(dāng)“_=3=且時，可取q=4=q=L%=4=。2=-1,則Af=0,N=R,

故旦=*=

a[b、C]

當(dāng),M=N=0B寸，可取q=4=q=L%=Lb[=2,c?=3,則員工3工,，即

a?b、c?

M=N*包=且=2.

b、C]

綜上知"曳=?=g■”是“AAN”成立的既不充分又不必要條件.

a[o'）C]

,易錯點(diǎn)擊

類比推理是不嚴(yán)格的，所得結(jié)論的正確與否有待用實(shí)踐來證明，解題時若直接使用類比所得結(jié)論進(jìn)行推

理則容易出現(xiàn)錯誤.

■,即時鞏固

2.給出下面類比推理命題（其中Q為有理數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集）：

①“若〃，beR,則a-Z?=O=>a=Z?"類比推出“若a,beCf則。-尻0=。二8"；

②“若a,b,c,d￡R,貝!J復(fù)數(shù)a+Z?i=c+di=〃=c,類比推出“若a,b,c,duQ,貝！Ja-\-by/2=c-\-dyf2=>a=c,

b=cT；

③若％,Z?GR,貝ija—比>0=a泌”類比推出“若a,beC,則。一。>0=。泌''.

其中類比結(jié)論正確的個數(shù)是

A.0B.1

C.2D.3

【答案】c

【解析】①②正確，③錯誤，因?yàn)閮蓚€復(fù)數(shù)如果不是實(shí)數(shù)，不能比較大小，故選C.

錯點(diǎn)3小前提錯誤

,■--------------??

俠（M分加

■^判斷函數(shù)y=2H的單調(diào)性.

【錯解】指數(shù)函數(shù)y=爐（。>1）是增函數(shù)，而y=2閔是指數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)y=2兇是增函數(shù).

【錯因分析】錯解中的小前提“y=2國是指數(shù)函數(shù)”是錯誤的，函數(shù)y=2區(qū)不是指數(shù)函數(shù)，而是一個分

段函數(shù)，在每一個分段區(qū)間上是指數(shù)函數(shù)，并且底數(shù)的取值不同，要對單調(diào)性進(jìn)行討論.

【試題解析】對于指數(shù)函數(shù)>=當(dāng)a>1時是增函數(shù)，當(dāng)0<a<l時是減函數(shù)，故當(dāng)xe@+8）時,

>，=尸=不是增函數(shù)；當(dāng)xe（Y,O］時，），=2'=（3工是減函數(shù).

,易錯點(diǎn)擊

演繹推理的前提與結(jié)論之間有著某種蘊(yùn)含關(guān)系，解題時要找準(zhǔn)正確的小前提.

■,即時鞏固

3.某西方國家流傳這樣一個政治笑話：“鵝吃白菜，參議員先生也吃白菜，所以參議員先生是鵝.”結(jié)論顯

然是錯誤的，是因?yàn)?/p>

A.大前提錯誤B.小前提錯誤

C.推理形式錯誤D.非以上錯誤

【答案】C

【解析】???大前提的形式是：“鵝吃白菜”，不是全稱命題，大前提本身正確；小前提“參議員先生也吃

白菜”本身也正確，但不是大前提下的特殊情況，鵝與人不能類比不符合三段論推理形式，...推理

形式錯誤.

【名師點(diǎn)睛】演繹推理的結(jié)論是否正確，取決于該推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正確，因此,

分析推理中的錯因?qū)嵸|(zhì)就是判斷大前提、小前提和推理形式是否正確.

錯點(diǎn)4反證法誤區(qū)推理中未用到結(jié)論的反設(shè)

■_■

■._________?>

供幽分M

5已知實(shí)數(shù)0滿足不等式(20+1)⑦+2)<0用反證法證明:關(guān)于X的方程2x+5-p2=0無實(shí)

數(shù)根.

【錯解】假設(shè)方程三―2x+5-02=0有實(shí)數(shù)根，由已知實(shí)數(shù)p滿足不等式(2p+l)⑦+2)<0,解得

-2<p<-1,而關(guān)于x的方程x2-2x+5-p2=0的根的判別式/=4(p2—4).

?：-2<p<-i-,：.-<p2<4,.?./<0,即關(guān)于x的方程爐—2x+5-0?=o無實(shí)數(shù)根.

24

【錯因分析】錯解在解題的過程中并沒有用到假設(shè)的結(jié)論，故不是反證法.學(xué)科&網(wǎng)

【試題解析】假設(shè)方程f―2龍+5—p2=0有實(shí)數(shù)根，則該方程的根的判別式4=4("—4)20,解

得2或。<—2①,而由己知實(shí)數(shù)p滿足不等式(2p+l)⑦+2)<0,解得—2<。<一：②.

數(shù)軸上表示①②的圖形無公共部分，故假設(shè)不成立，從而關(guān)于x的方程三―2x+5-p2=o無實(shí)數(shù)根.

,易錯點(diǎn)擊

利用反證法進(jìn)行證明時，首先對所要證明的結(jié)論進(jìn)行否定性的假設(shè)，并以此為條件進(jìn)行歸謬，得到矛盾,

則原命題成立.

■.即時鞏固

4.用反證法證明某命題時，對結(jié)論“自然數(shù)。，6,c中恰有一個偶數(shù)”正確的反設(shè)是

A.自然數(shù)a,6,c中至少有兩個偶數(shù)

B.自然數(shù)a,b,c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)

C.自然數(shù)a,6,c都是奇數(shù)

D.自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù)

【答案】B

【解析】“恰有一個偶數(shù)”的反面應(yīng)是“至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)”，故選B.

錯點(diǎn)5數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用誤區(qū)—?dú)w納假設(shè)只設(shè)不用

■-_____

俠儂1分斫

用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+4+7+…+（3“-2）=；”（3"-l）（〃eN*）.

【錯解】（1）當(dāng)”=1時，左邊=1,右邊=1,左邊=右邊，等式成立.

*1

（2）假設(shè)當(dāng)〃=左（左eN）時等式成立，即1+4+7+…+（3左—2）=耳左（3左—1）.

那么，當(dāng)〃=左+1時，需證1+4+7+…+（3A—2）+[3（4+1）—2]=g（左+1）（3左+2）（*）.

由于等式左邊是一個以1為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列的前k+1項(xiàng)的和，所以左邊=；（左+1）（1+3左+1）=

-（k+1）（3左+2）=右邊，所以（*）式成立.

2

即〃=k+1時等式成立，

根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何"eN*都成立.

【錯因分析】錯解在證明當(dāng)〃=左+1等式成立時，沒有用到歸納假設(shè)“當(dāng)n=k（keN*）時等式成立“，故

不符合數(shù)學(xué)歸納法證題的要求.

【試題解析】（1）當(dāng)〃=1時，左邊=1,右邊=1,左邊=右邊，等式成立.

*1

（2）假設(shè)當(dāng)〃=左（左eN）時等式成立，即1+4+7+…+（3左—2）=萬人（3左—1）.

那么，當(dāng)〃…1時，1+4+7+--+（3…+[3（左+1）-2]=*31）+型+1）

111

=-（3k92+5k+2）=]（左+1）（3左+2）=2（4+1）[3（左+1）-1].

即當(dāng)〃二左+1時等式成立.

根據(jù)（1）和（2）,可知等式對任何“eN*都成立.

,易錯點(diǎn)擊

判斷用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問題是否正確，關(guān)鍵要看兩個步驟是否齊全，特別是第二步歸納假設(shè)是否被

應(yīng)用，如果沒有用到歸納假設(shè)，那就是不正確的.

■,即時鞏固

111]n

5.用數(shù)學(xué)歸納法證明:----+-----+-----+???+(neN*).

2x44x66x82n(2n+2)4(〃+1)

【答案】見解析.

【解析】①當(dāng)時,

左邊=---------------=—,右邊==—

2xlx(2xl+2)84x(1+1)8

左邊=右邊，所以等式成立.

②假設(shè)4CN)時等式成立，即有

1111k

-----1------1------1---1--------,

2x44x66x8-------2封2k+2)4(4+1)

則當(dāng)左2+1時,----+----+----H----1-----------H--------------------

2x44x66x82k(,2k+2)2(左+1)[2(左+1)+2]

k1_封無+2)+1

4(4+1)4(4+1)(無+2)-4(t+lX-+2)

（k+1）2_k+1_k+1

~4（左+1XP+2）-4/+2）-4（左+1+1）

所以當(dāng)戶左+1時，等式也成立，

由①②可知，對于一切〃CN?等式都成立.

錯點(diǎn)6對復(fù)數(shù)的相關(guān)概念不理解出錯

X_____,?

（典圖1分M

設(shè)復(fù)數(shù)〃+歷（〃，bGR）的模為貝！J（〃+bi）（tz—Z?i）

【錯解】復(fù)數(shù)”+bi的模為A/片+1=,貝!Ja2~\~b2-y/3.X（a+歷）（〃一bi）-a—&2i2=6z2+/?2=y/3,故（〃

+歷）（a—bi）=JG.學(xué)科.網(wǎng)

【錯因分析】上述的解題過程對復(fù)數(shù)模的運(yùn)算處出現(xiàn)了一個簡單的失誤，對于復(fù)數(shù)z=a+bi的模

|0二1/+/,故應(yīng)為d+/二3.

【試題分析】復(fù)數(shù)〃+為（a,/?￡R）的模為+廿二J5,則〃2+層=3,則（〃+歷）（Q—?dú)v）-a—（歷）2=/

-b^a+b2^.

?易錯點(diǎn)擊

復(fù)數(shù)的運(yùn)算過程中要注意靈活運(yùn)用復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算法則.如本例中模的計算要兩邊同時平方而得出正確結(jié)

論.

邦特別提醒

1.判定復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，僅注重虛部等于。是不夠的，還需考慮它的實(shí)部是否有意義.

2.對于復(fù)系數(shù)（系數(shù)不全為實(shí)數(shù)）的一元二次方程的求解，判別式不再成立.因此解此類方程的解，一般都

是將實(shí)根代入方程，用復(fù)數(shù)相等的條件進(jìn)行求解.

3.兩個虛數(shù)不能比較大小.

4.利用復(fù)數(shù)相等a+Z?i=c+di列方程時，注意〃，b,c,d￡R的前提條件.

5.注意不能把實(shí)數(shù)集中的所有運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來.例如，若4,z2ec,z；+z；=O,就不

能推出Zi=Z2=0；z2<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立.

■■即時鞏固

6.若復(fù)數(shù)z滿足2z+叁32,其中i為虛數(shù)單位，則2=

A.l+2iB.l-2iC.-l+2iD.—1—2i

【答案】B

——3a—3

【解析】通性通法:設(shè)z=a+歷（〃，/?￡R）,則z=〃-bi,故2z+z=2（〃+歷）+〃一bi=3。+歷二3一2i,所以《，

b=-2

<2=1

解得〈，所以z=l—2i,故選B.

b=-2

光速解法:設(shè)z="+bi(a,6GR),由復(fù)數(shù)的性質(zhì)可得z+z=2a,故2z+z=(z+z)+z,故2z+z的虛部就

是z的虛部，實(shí)部是z的實(shí)部的3倍，故z=l-2i,選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念、加法運(yùn)算、復(fù)數(shù)相等等知識，意在考查考生基本的運(yùn)算能力.常以選

擇題的形式考查，考生必定得分的題目之一.

，糾錯筆記》

一、算法初步

1.在設(shè)計一個算法的過程中要牢記它的五個特征：概括性、邏輯性、有窮性、不唯一性、普遍性.

2.在畫算法框圖時首先要進(jìn)行結(jié)構(gòu)的選擇.若所要解決的問題不需要分情況討論，只用順序結(jié)構(gòu)就能解決；

若所要解決的問題要分若干種情況討論時，就必須引入選擇結(jié)構(gòu)；若所要解決的問題要進(jìn)行許多重復(fù)的

步驟，且這些步驟之間又有相同的規(guī)律時，就必須引入變量，應(yīng)用循環(huán)結(jié)構(gòu).

3.循環(huán)語句有“直到型”與“當(dāng)型”兩種，要區(qū)別兩者的異同，主要解決需要反復(fù)執(zhí)行的任務(wù)，用循環(huán)語句來

編寫程序.

4.關(guān)于賦值語句，有以下幾點(diǎn)需要注意：

(1)賦值號左邊只能是變量名字，而不是表達(dá)式，例如3=加是錯誤的.

(2)賦值號左右不能對換，賦值語句是將賦值號右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號左邊的變量，例如Y=x,

表示用x的值替代變量y的原先的取值，不能改寫為廣匕因?yàn)楹笳弑硎居脃的值替代變量%的值.

(3)在一個賦值語句中只能給一個變量賦值，不能出現(xiàn)多個“=”.

二、推理與證明

1.常見的類比、歸納推理及求解策略

(1)在進(jìn)行類比推理時，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點(diǎn)：①找兩類

對象的對應(yīng)元素，如：三角形對應(yīng)三棱錐，圓對應(yīng)球，面積對應(yīng)體積等等；②找對應(yīng)元素的對應(yīng)關(guān)系，

如：兩條邊(直線)垂直對應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對應(yīng)面積相等.

(2)歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個

體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法.

2.利用綜合法、分析法證明問題的策略

(1)綜合法的證明步驟如下：①分析條件，選擇方向：確定已知條件和結(jié)論間的聯(lián)系,合理選擇相關(guān)定義、

定理等；②轉(zhuǎn)化條件，組織過程：將條件合理轉(zhuǎn)化，書寫出嚴(yán)密的證明過程.特別地,根據(jù)題目特點(diǎn)選取合

適的證法可以簡化解題過程.

(2)分析法的證明過程是：確定結(jié)論與已知條件間的聯(lián)系,合理選擇相關(guān)定義、定理對結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直

到獲得一個顯而易見的命題即可.

（3）實(shí)際解題時，用分析法思考問題，尋找解題途徑，用綜合法書寫解題過程，或者聯(lián)合使用分析法與

綜合法，即從“欲知”想“已知”（分析），從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，找到溝通已知條

件和結(jié)論的途徑.

3.用反證法證明不等式要把握的三點(diǎn)

（1）必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面.

（2）必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證.

（3）推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與己知事實(shí)矛盾等，且推導(dǎo)

出的矛盾必須是明顯的.

4.反證法的一般步驟

用反證法證明命題時，要從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出邏輯矛盾，從而達(dá)到新的否定（即肯定

原命題）的過程.這個過程包括下面三個步驟

（1）反設(shè)一假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)原結(jié)論的反面為真

（2）歸謬——由“反設(shè)”作為條件，經(jīng)過一系列正確的推理，得出矛盾

（3）存真——由矛盾結(jié)果斷定反設(shè)錯誤，從而肯定原結(jié)論成立

即反證法的證明過程可以概括為：反設(shè)——?dú)w謬——存真.

5.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的常見策略

（1）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，由〃%到〃=%+1時等

式兩邊變化的項(xiàng).

（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，關(guān)鍵是由“來成立證〃泉+1時也成立.在歸納假設(shè)后應(yīng)用比較法、

綜合法、分析法、放縮法等加以證明，充分應(yīng)用不等式的性質(zhì)及放縮技巧.

（3）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法解決“歸納一猜想一證明"，是不完全歸納與數(shù)學(xué)歸納法的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是先由合

情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后再證明結(jié)論的正確性.

三、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

1.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算主要有加、減、乘、除及求低次方根.除法實(shí)際上是分母實(shí)數(shù)化的過程.

2.在復(fù)數(shù)的幾何意義中，加法和減法對應(yīng)向量的三角形法則的方向是應(yīng)注意的問題，平移往往和加法、減

法相結(jié)合.

3.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集

合及平面向量是一一對應(yīng)關(guān)系，即

一,一?對應(yīng)

復(fù)數(shù)之=a+歷---------->復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（a.b）

~~,對應(yīng)—>

——f平面向量OZ

4.復(fù)數(shù)運(yùn)算常用的性質(zhì)：

(1)①(l±i)2二±③；②二i,二二-i.

1-i1+i

(2)設(shè)口二—+——i,則①IW=1；②1+口+①J。；③①二co?.

22

(3)in+in+1+in+2+in+3=0(幾￡N*).

l+2i_

1.復(fù)數(shù)2-i

A.1+?B.1-i

C.iD.-i

【答案】C

【解析】因?yàn)橥?=空燮也=￡±i±—=i±i=￡!±理出==故選c.

2-i(2-i)(2+i)52-i("i)(2+i)5,人心

z+2_

2.已知復(fù)數(shù)z=-1+i,則z2+z

A.-1B.1

C.-iD.i

【答案】A

z+2_1+i

【解析】由題意得z2+z=-2i-l+i=-i-l,z+2=l+i,所以z?+z，憶_1.選A.

3.在下列命題中，正確命題的個數(shù)是

①兩個復(fù)數(shù)不能比較大??；

②復(fù)數(shù)z=i-1對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限;

③若(/_1)+(%2+3x+2)i是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)x=±1；

④若(Z]-z2)2+(z2-z3)2=。，則Z1=z2-z3.

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】Z1=1>°=Z2,所以兩個復(fù)數(shù)不能比較大小錯誤，①錯誤;復(fù)數(shù)z=i-1對應(yīng)的點(diǎn)(-1,1)在第二象

f公-1=0

限，②錯誤;若(公-1)+(X2+3x+2)i是純虛數(shù)，則卜2+3工+2力0,解得x=1,即③錯誤;當(dāng)

22

Zi=U2=0/3=-1時烏-z2)+(z2-z3)=。，即④錯誤;所以正確命題的個數(shù)是0.選A.

4.若復(fù)數(shù)z滿足(遂+i)z=3i(i為虛數(shù)單位)，則z的共軌復(fù)數(shù)為

A.V2+iB.V2-iC.1-陰D.1+距

【答案】C

3i「

L—=——=1+J2i,_L

【解析】由(#+i)z=3^z=M+i所以z=l-?.

(1+》

5.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)2=萬丁的虛部是

A.-1B.1

C.-tD.i

【答案】B

【解析】由題可得,2」答=若抵=-1+i.所以復(fù)數(shù)的虛部是1.故選B.

6.已知i為虛數(shù)單位，且(1+i)z=-1,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

111./11\

【解析】：(1+i)z=-I,：/=~T+i=~2+2\z對應(yīng)的點(diǎn)是「詞，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.

7.已知復(fù)數(shù)z=(l+2i)(a+i)(a為實(shí)數(shù)J為虛數(shù)單位)的實(shí)部與虛部相等，則|z|=

A.5B.5"

C.3#D.50

【答案】B

【解析】因?yàn)閦=(l+2i)(a+i)=a-2+(2a+l)i的實(shí)部與虛部相等，

所以Q_2=2a+1,則Q=-3,

所以z=-5-5i,

則|z|=5^/2

2

8.下面關(guān)于復(fù)數(shù)z=F^的四個命題:Pi"z|=2;

P2：z的共軌復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-1);

「3：Z的虛部為/；

2

p4：z=-21

其中的真命題是

A.P2，P3B.P【P2C.P2，P4D.P3，P4

【答案】c

【解析】z=-y-=-1+i,則

-1—1

Pi：|z|=V2;

P2：z的共柜復(fù)數(shù)2=-1-i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-1)；

Pa：z的虛部為1；

p^z2=-2i.

故真命題是.，以.選C.

9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的。為24,c為5,輸出的數(shù)為3,則b有可能為

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【解析】因?yàn)檩敵龅膬?=3,所以方=叱3,因?yàn)閼?4,所以匕=27,則匕=22,滿足條件所以匕=17滿足條件，所以

-12.故選B.

Ill1

—F—+—+…d------

10.若下圖，給出的是計算24620值的程序框圖，其中判斷框內(nèi)可填入的條件是

A.i>10B.i〈10C.i>20D.i<20

【答案】A

1

【解析】由題意,i的值是從1開始，且執(zhí)行5=、+區(qū)由輸出結(jié)果得i>10時滿足條件.故選A.

11.習(xí)近平總書記在十九大報告中指出:堅定文化自信,推動社會主義文化繁榮興盛.如圖，“大衍數(shù)列”:0,2,4

,8,12…來源于〈乾坤譜〉中對〈易傳>“

大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生過程中曾

經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和.下圖是求大衍數(shù)列前n項(xiàng)和的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖，輸入m=l

。,則輸出的$=天一

天三

天五

地六

天七

????????地/I

天九

??地卜

大衍圖

A.100B.140

C.190D.250

【答案】C

【解析】由題意得:程序的功能是計算當(dāng)輸入“10時S的值:

計算可得

5=Z-(8+24+48+80)+-2(4+16+36+64+100)=190

故選

-2(8+24+48+80)+2-(4+16+36+64+100)=190,C.

12.如圖所示的程序輸出結(jié)果為的血=1320,則判斷框中應(yīng)填

A.i>9B.i>10C.210D.i<9

【答案】B

【解析】按照程序框圖執(zhí)行如下:sam=Li=12-sum=12,i=11-,sum=12x11=132t=10.

因?yàn)檩敵龅慕Y(jié)果為5戈加=132,

故此時判斷條件應(yīng)為:i210.

13.宋元時期數(shù)學(xué)名著〈算學(xué)啟蒙〉中有關(guān)于“松竹并生”的問題:松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹

何日而長等.下圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的分別為5,2，則輸出的九=

A.2B.3

C.4D.5

【答案】C

一515,15

5H=—,b—44

【解析】由題可得，因?yàn)镼=5力=2,有"=1以=22=4.因?yàn)?不成立，所以

151545,454545135,135

n=2,a=——H---------力=8,——<8——H-----------,b-----<16

24=4因?yàn)?不成立，所以九=3,a=48=8=16,因?yàn)?不成立，所以

135135405,405

4,a=------F----------,b-----<32

后816=16=32.因?yàn)?6成立，所以輸出幾=4.故選C.

14.用秦九韶方法求多項(xiàng)式/0)=12+35汽-8/+79/+6/+5好+3/在％=-4的值時『2的值為

A.34B.220

C.-845D.3392

【答案】A

［解析］因?yàn)閒O)=((((((3x+5)x+6)x+79A-8)久+35)x+12,因?yàn)閤=-4,所以%=3,%=-7,v2=34

故選A.

15.某班有三個小組，甲、乙、丙三人分屬不同的小組.某次數(shù)學(xué)考試成績公布情況如下:甲和三人中的第3小

組那位不一樣，丙比三人中第1小組的那位的成績低，三人中第3小組的那位比乙分?jǐn)?shù)高.若甲、乙、丙三

人按數(shù)學(xué)成績由高到低排列，正確的是

A.甲、乙、丙B.甲、丙、乙

C.乙、甲、丙D.丙、甲、乙

【答案】B

【解析】甲和三人中的第3小組那位不一樣,說明甲不在第3小組;三人中第3小組那位比乙分?jǐn)?shù)高:說明

乙不在第3組，說明丙在第3組，又第3組成績低于第1組,大于乙，這時可得乙為第2組,甲為第1組，那么

成績從高到低為:甲、丙、乙，故選B.

16.中國有個名句“運(yùn)籌帷幄之中,決勝千里之外”.其中的“籌”原意是指〈孫子算經(jīng)》中記載的算籌，古代是用算

籌來進(jìn)行計算，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算.算籌的擺放形式有縱橫兩種形式.如圖，表

示一個多位數(shù)時，像阿拉伯計數(shù)一樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，

個位，百位，萬位數(shù)用縱式表示，十位，千位，十萬位用橫式表示，以此類推，例如6613用算籌表示就是

?L,則1227用算籌表示為

IIIIIIIIIIIIHITnmim螟式

一=三三三上』情式

中同臺代的口器勒叫

A.」一二HB.一II二九

c.I—…D,J="」1

【答案】B

【解析】由題意得千位的1用算籌表示為“一”選B.

17.周末，某高校一學(xué)生宿舍甲、乙、丙、丁四位同學(xué)正在做四件事情，看書、寫信、聽音樂、玩游戲，

下面是關(guān)于他們各自在做的事情的一些判斷：

①甲不在看書，也不在寫信；

②乙不在寫信，也不在聽音樂；

③如果甲不在聽音樂，那么丁也不在看書；

④丙不在看書，也不在寫信.

已知這些判斷都是正確的，依據(jù)以上判斷，請問乙同學(xué)正在做的事情是

A.玩游戲B.寫信C.聽音樂D.看書

【答案】D

【解析】由①甲不在看書，也不在寫信及④丙不在看書，也不在寫信，知當(dāng)甲在聽音樂時，丙在玩游

戲；因?yàn)棰谝也辉趯懶?，也不在聽音樂，所以乙在看書；從而丁在寫?

可列表如下：

可列表如下：

當(dāng)甲玩游戲時，則乙在看書，如表2.

看書寫信聽音樂玩游戲

甲XX△

乙△XX

丙XX△

T△

故選D.

18.甲乙丙丁四名同學(xué)參加某次過關(guān)考試，甲乙丙三個人分別去老師處問詢成績,老師給每個人只提供了其他

三人的成績.然后，甲說:我們四個人中至少兩人不過關(guān);乙說:我們四人中至多兩人不過關(guān);丙說:甲乙丁恰

好有一人過關(guān).假設(shè)他們說的都是真的,則下列結(jié)論正確的是

A.甲沒過關(guān)B.乙沒過關(guān)

C.丙過關(guān)D.丁過關(guān)

【答案】B

【解析】因?yàn)榧渍f:我們四人中至少兩人不過關(guān);乙說:我們四人中至多兩人不過關(guān);所以四人級有且只有

兩人過關(guān).兩不過關(guān),又因?yàn)?，丙說:甲乙丁恰好有一人過關(guān),不過關(guān)的情況有三種可能:甲乙、甲丁、乙丁,

根據(jù)甲不知道自己成績的情況下說四個人中至少兩人不過關(guān),可見乙丙丁中有兩人不過關(guān)，不過關(guān)的可

能的情況有三種:乙丙、丙丁、乙丁，結(jié)合以上六種得況，同時成立的是乙丁不過關(guān)，所以一定正確的結(jié)論

是乙沒過關(guān)，故選B.

X1X2X3

—〉b--,c—

19.若久1，久2,久3e（°，+8）,設(shè)。=久2=彳3=4,則a,瓦C的值

A.至多有一個不大于1B.至少有一個不大于1

C.都大于1D.都小于1

【答案】B

【解析】假設(shè)a，"的值都大于1,則abc>l,

/比2x3

這與。兒=久2x3久1=1矛盾，

假設(shè)不成立，即a，瓦c的值至少有一個不大于1.

20.在一次體育興趣小組的聚會中,要安排6人的座位,使他們在如圖所示的6個椅子中就坐，且相鄰座位（如1與

2,2與3）上的人要有共同的體育興趣愛好，現(xiàn)已知這6人的體育興趣愛好如下表所示，且小林坐在1號位置

上，則4號位置上坐的是

/h*小方小馬小張小李小周

體育興趣快球.網(wǎng)球.足球，推球放球,棒球,擊創(chuàng),網(wǎng)潭,修球,排球,跆拳道?擊

愛好羽毛球胎季道乒乓球足球羽毛球劍，自行車

A.小方B.小張

C.小周D.小馬

【答案】A

【解析】由題可得,因?yàn)樾×肿?號位置上:根據(jù)相鄰座位的人有共同的體育興趣愛好，所以2號位置上

坐小馬的話，則3號位置只能坐小李，所以6號位置只能坐小張手斤以4號位要與3、5號位置有共同的興

趣愛好，則只能是小方.故選A.

21.祖曬是我國南北朝時期杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家祖沖之的兒子，他提出了一條原理:“嘉勢既同事，則積不

容異”.這里的“幕”指水平截面的面積，“勢”指高.這句話的意思是:兩個等高的幾何體若在所有等高處的水

平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等.一般大型熱電廠的冷卻塔大都采用雙曲線型.設(shè)某雙曲線

x2y2

-----=l（a>0,b>0）

型冷卻塔是曲線b2與直線久=o,y=o和y=b所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得,

如圖所示.試應(yīng)用祖眶原理類比求球體體積公式的方法，求出此冷卻塔的體積為.

Ana^b

【答案］M

【解析】如圖點(diǎn)3在雙曲線上，令4（%，%）刻苦一筆=1；而點(diǎn)B在雙曲線的漸近線上，可得8（警,先）；

求得如圖所示圓環(huán)的面積S=MxJ-（等『X（（等）'+°2-（V）2>7m2ma*;由祖唬原理可知:此冷

加塔的體積/=%+V^=na2b+^na2b=

22.學(xué)校藝術(shù)節(jié)對同一類的4BC。四項(xiàng)參賽作品，只評一項(xiàng)一等獎,在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對

這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測如下：

甲說:必作品獲得一等獎”；乙說:“C作品獲得一等獎”

丙說廣心刀兩項(xiàng)作品未獲得一等獎”丁說:“4或。作品獲得一等獎”

若這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是.

【答案】C

【解析】若4獲得一等獎,則甲、丙、丁的話是對的，與已知矛盾;若B獲得一等獎,則四人的話是錯誤的，與

已知矛盾;若C獲得一等獎,則乙、丙的話是對的，滿足題意;所以獲得一等獎的作品是C

23.“求方程+（?=1的解”有如下解題思路:設(shè)““"曰+1），則八幻在R上單調(diào)遞減，且f（2）=l,所以

原方程有唯一解久=2.類比上述解題思路，不等式--（久+2）>（久+2成-/的解集是.

【答案】(-8,_l)U(2,+8)

【解析】*6_(X+2)>(久+2)3_尤2可化為1+刀2>(%+2)3+(X4-2),

構(gòu)造函數(shù)/'(*)=/+X,則f(x)在R上單調(diào)遞增，

所以原不等式等價于f(')>fix+2),則公>X+2,

所以x<-1或久>2,故不等式的解集為(-8,-1)u(2,+8).

24.已知，觀察下列不等式：

--------->曬Q2a3

Q］+_______

-------------2曬a2a3a4

+。3+…+冊

照此規(guī)律，當(dāng)neN+522)時，n-.

［答案］曬。2”4

【解析】由題意:知左邊每一個式子是算術(shù)平均數(shù)，右邊的式子是幾何平均數(shù)，即幾個數(shù)算術(shù)平均數(shù)不小于

它們的幾何平均數(shù),歸納推測當(dāng)幾eN+(n>2)時，…豈］陪西，故答案為丑/F

25.如圖甲所示,在直角三角形ABC中,4；1AB,ZD_LBC,D是垂足，則有Z1B2=BD?BC,該結(jié)論稱為射影定理,如

圖乙所示，在三棱錐A-BCD中/D_L平面ABC/。，平面BCD,。為垂足，且。在ABCD內(nèi)，類比直角三角形中

的射影定理，則有.

h

BD

圖甲圖乙

【答案］S/BC=SABCO-S&BCD

【解析】結(jié)論:S/C=SABCO-SABCD.

證明如下:

A.

在ABCD內(nèi)，延長DO交BC于瓦連接AE,

：A￡>_L平面ABC,8Cu平面ABC,

：.BCLAD,

同理可得方Cl/。，

'.'AD.AO是平面AOD內(nèi)的相交直線，

...5C1平面AOD,

?二4￡、DEu平面.40D,

.,.AE13C目DE13C,

\"AAED中E41.”>/01DE,

..?根據(jù)題中的已知結(jié)論相A^=EO-ED,

兩邊都乘以(：左)2得?8C-鉆y=QBC-E。)?&BC-ED).

：AE.EO、石。分另!|是△ABC、ABCO、△38的邊BC的高線,

111

.SMBC=53C/E，SABCO=—BC-EO,S^BCD=-BC-ED

；.有S/BC=SABCO$xBCD,

故答案為:S/C=SARCO?SABCD.

26.已知2%+四分別求的)出1)次-1)+/(2)/-2)t/(3),然后歸納猜想一般性結(jié)論，并證明你的結(jié)論.

【答案】見解析

1

(x)=----------

【解析】已知/2、+&,

1_卜11+1_M

所以汽0)"1)=2。+招2】+隹2{_1)憂2)=2-1+”22+V22,

1.+」_=也

X-2)+/(3)=2-2+V223+722,

A/2

歸納猜想一般性結(jié)論：A-x)+/(l+x)=2.

證明如下：A-

11_2X1_.y/2-2z+l_V2-2X+1_V2

x+x+1x+x+1

x)+fix+l)=2-+^22+^2l+V2-224-^/22、+】+亞次(次A+l)2

]

r[S=-CLn—(—)n1+2(九

27.已知數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和n2為正整數(shù)).

(1)令%=2%%求證數(shù)列｛勾｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛冊｝的通項(xiàng)公式；